Chơng Hệ phơng trình tuyến tính 4.1 Khái niệm hệ phơng trình tuyến tính A Tóm tắt lý thuyết Dạng tổng quát hệ phơng trình tuyến tính Hệ m phơng trình tuyến tính n ẩn hệ có dạng: a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n am1x1 + am2 x2 + + amn xn = bm Trong aij (i= 1, m ;j= 1, n ) bi (i= 1, m ) số cho trớc trờng K, x1,x2, ,xn n ẩn số cần tìm Nếu b1=b2= =bm=0 hệ đợc gọi hệ tuyến tính nhất, ngợc lại hệ đợc gọi hệ tuyến tính không Nếu m=n ta đợc hệ vuông Đặt: a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 x1 b1 b a21 a22 a2 n a21 a22 a2 n b2 x A= A*= X= b= am1 am2 amn am1 am2 amn bm xn bm Ta gọi A ma trận hệ số, A* ma trận hệ số mở rộng, X véc tơ ẩn b véc tơ cột vế phải hệ Khi có hệ dới dạng ma trận a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2 n x2 = b2 am1 am2 amn xn bm Điều kiện tồn nghiệm Định lý (Định lý Kronecker- Capeli) Hệ phơng trình 140 a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n am1x1 + am2 x2 + + amn xn = bm có nghiệm r(A)=r(A*) Định lý : Hệ có nghiệm r(A)=r(A*)=n (n số ẩn hệ) Chú ý: Vì không gian Km hệ độc lập tuyến tính có không m phần tử nên hệ phơng trình có nghiệm mn 4.2 Giải hệ phơng trình tuyến tính Hệ Cramer Định nghĩa : Hệ phơng trình tuyến tính với n phơng trình n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến gọi hệ Cramer Hệ : Hệ Cramer có có nghiệm Công thức nghiệm n xi= bj A ji = i (i=1,2, ,n) j =1 Trong =det(A) i định thức nhận đợc từ cách thay cột i cột b Phơng pháp Khử_Gauss Trong phơng pháp khử sử dụng phép biến đổi phơng trình tơng đơng: (i) Nhân hai vế phơng trình hệ với số khác không (ii) Cộng phơng trình với phơng trình khác sau nhân phơng trình với số (iii) Đổi vị trí hai phơng trình hệ cho Nh phép biến đổi tơng đơng hệ phép biến đổi Gauss theo hàng ma trận hệ số mở rộng a Khử Gauss cho hệ n phơng trình n ẩn số Xét hệ n phơng trình tuyến tính n ẩn: 141 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n an1 x1 + an x2 + + ann xn = bn Với A ma trận vuông cấp n Nội dung khử Gauss gồm hai bớc: (i) Dùng phép biến đổi tơng đơng lần lợt khử hệ số phần tam giác dới cột đa hệ ban đầu hệ tam giác trên: u12 u1n x1 b'1 u2 n x2 = b'2 0 xn b'n Muốn ta thực khử n lần lần khử thứ i (i= 1, n ) ta thực bớc sau a i b i 1 aiji = iji (j= i, n ) , bii = ii với aiii aii aii k= i + 1, n a kji = a kji aiji a kii (j= i, n ) bki = bki bii a kii i Nếu aiii = a mi (i[...]... nghiệm b Nếu t=1 hệ đã cho trở thành hệ: x1+x2+x3+x4=1 r(A)=r(A*)=1 ... Định lý : Hệ có nghiệm r(A)=r(A*)=n (n số ẩn hệ) Chú ý: Vì không gian Km hệ độc lập tuyến tính có không m phần tử nên hệ phơng trình có nghiệm mn 4. 2 Giải hệ phơng trình tuyến tính Hệ Cramer... vào ma trận kết để tính nghiệm hệ c Khử Gauss giải hệ nhất: Khi nghiệm thu đợc phụ thuộc nhiều tham số d Khử Gauss giải hệ phơng trình tuyến tính phức Xét hệ phơng trình với hệ số phức Gọi: (a11... t-2 t1 hệ có nghiệm c x= y=z= t+2 Với t hệ có vô số nghiệm t=8 hệ có nghiệm 2x1+3x2+2x4 =4 x3=-1 x1 t8 hệ có nghiệm x1 tuỳ ý x = x3=-1 x4=0 d t=-3 hệ vô nghiệm t=1 hệ vô số nghiệm x1+x2+x3+x4=1