TÍCH PHÂN MẶT TÍCH PHÂN MẶT CBGD Lê Hoài Nhân Ngày 13 tháng năm 2013 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu miền diện tích ∆Si CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu miền diện tích ∆Si Trên miền ta chọn điểm Mi tùy ý lập tổng n In = f (Mi )∆Si i =1 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu miền diện tích ∆Si Trên miền ta chọn điểm Mi tùy ý lập tổng n In = f (Mi )∆Si i =1 Cho n → ∞ cho max ∆Si −→ CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu miền diện tích ∆Si Trên miền ta chọn điểm Mi tùy ý lập tổng n In = f (Mi )∆Si i =1 Cho n → ∞ cho max ∆Si −→ Nếu lim = I hữu hạn không n→∞ phụ thuộc vào cách chia mặt cong S, cách chọn điểm Mi I gọi tích phân mặt loại hàm f (x, y , z) mặt cong S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu miền diện tích ∆Si Trên miền ta chọn điểm Mi tùy ý lập tổng n In = f (Mi )∆Si i =1 Cho n → ∞ cho max ∆Si −→ Nếu lim = I hữu hạn không n→∞ phụ thuộc vào cách chia mặt cong S, cách chọn điểm Mi I gọi tích phân mặt loại hàm f (x, y , z) mặt cong S Ký hiệu I = f (x, y , z)dS S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Cách tính tích phân mặt loại CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Cách tính tích phân mặt loại Xét mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) với (x, y ) ∈ D CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Cách tính tích phân mặt loại Xét mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) với (x, y ) ∈ D (D hình chiếu S mặt phẳng Oxy ) Công thức CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Cách tính tích phân mặt loại Xét mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) với (x, y ) ∈ D (D hình chiếu S mặt phẳng Oxy ) Công thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S P − = ± ∂z ∂x + Q − ∂z ∂y + R dxdy D CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Cách tính tích phân mặt loại Xét mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) với (x, y ) ∈ D (D hình chiếu S mặt phẳng Oxy ) Công thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S P − = ± ∂z ∂x + Q − ∂z ∂y + R dxdy D với dấu "+" tương ứng tích phân lấy theo phía S dấu "−" tương ứng tích phân lấy theo phía S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính I = xdydz + dzdx + xz dxdy với S phần tám thứ S mặt cầu x + y + z = Tích phân lấy theo phía S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính I = xdydz + dzdx + xz dxdy với S phần tám thứ S mặt cầu x + y + z = Tích phân lấy theo phía S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () − x − y miền D : x + y ≤ 1, (x, y ≥ 0) TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính I = (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S biên S hình nón giới hạn z = S CBGD Lê Hoài Nhân () x + y z = Tích phân lấy theo phía TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 10 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính I = (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S biên S hình nón giới hạn z = S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () x + y z = Tích phân lấy theo phía x + y , z = miền D : x + y ≤ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 10 / 18 Định lý Gauss - Ostrogradski Định lý Nếu P, Q, R hàm số liên tục đạo hàm riêng chúng miền hữu hạn V Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ∂Q ∂R ∂P + + ∂x ∂y ∂z = dxdydz V S biên miền V tích phân mặt lấy theo phía S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 11 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = xydydz + yzdzdx + zxdxdy với S biên hình S chóp giới hạn mặt x = 0, y = 0, z = x + y + z = CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 12 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = xdydz + ydzdx + zdxdy với S mặt cầu tâm O, S bán kính a Tích phân lấy theo phía S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 13 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = x dydz + y dzdx + z dxdy với S nửa S mặt cầu x + y + z = a2 , tích phân lấy theo phía S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () a2 − x − y miền D : x + y ≤ a2 TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 14 / 18 Định lý Stokes Định lý Nếu P, Q, R hàm số liên tục đạo hàm riêng chúng mặt cong hữu hạn S Pdx + Qdy + Rdz L ∂R ∂y = S − ∂Q ∂z dydz + ∂P ∂z − ∂R ∂x dzdx + ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy L biên mặt cong S, hướng lấy tích phân mặt chiều lấy tích phân đường tuân thủ quy tắc vặn nút chai CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 15 / 18 Định lý Stokes Ví dụ (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y )dz với L giao Tính tích phân I = L tuyến mặt cầu x + y + z = a2 mặt phẳng x + y + z = Tích phân lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 16 / 18 Định lý Stokes CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 17 / 18 HẾT CHƯƠNG CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 2013 18 / 18 [...]... cầu S x 2 + y 2 + z 2 = a2 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 4 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = (x 2 + y 2 )dS với S là nửa trên của mặt cầu S x 2 + y 2 + z 2 = a2 Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () a2 − x 2 − y 2 và miền D : x 2 + y 2 ≤ a2 TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 4 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = (x 2 + y 2 )dS với... với S là biên của miền S V: x2 + y2 √ π 2 π Đs: + 2 2 ≤ z ≤ 1 Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () x 2 + y 2 , z = 1 và miền D : x 2 + y 2 ≤ 1 TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 5 / 18 Một số ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt cong S = dS S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 6 / 18 Một số ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt cong S = dS S Khối lượng... tương ứng tích phân lấy theo phía trên của S và dấu "−" tương ứng tích phân lấy theo phía dưới của S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 8 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = xdydz + dzdx + xz 2 dxdy với S là phần tám thứ nhất của S mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tích phân lấy theo phía trên của S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 9 / 18 Tích phân mặt... ngoài của S CBGD Lê Hoài Nhân () x 2 + y 2 và z = 1 Tích phân lấy theo phía TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 10 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S là biên của S hình nón giới hạn bởi z = ngoài của S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () x 2 + y 2 và z = 1 Tích phân lấy theo phía x 2 + y 2 , z = 1 và miền D : x 2 + y 2 ≤ 1 TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13... lấy tích phân mặt và chiều lấy tích phân đường tuân thủ quy tắc vặn nút chai CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 15 / 18 Định lý Stokes Ví dụ (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y )dz với L là giao Tính tích phân I = L tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a2 và mặt phẳng x + y + z = 0 Tích phân lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương của trục Oz CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN... thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy với S là nửa trên của S mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a2 , tích phân lấy theo phía trên của S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () a2 − x 2 − y 2 và miền D : x 2 + y 2 ≤ a2 TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 14 / 18 Định lý Stokes Định lý Nếu P, Q, R là các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên mặt cong... thiên liên tục trên nó CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 7 / 18 Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa Mặt định hướng là mặt cong được trang bị một trường vector pháp tuyến đơn vị, biến thiên liên tục trên nó Biểu thức tích phân mặt loại 2 I = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 7 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 2 Xét mặt cong S có phương... MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 9 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = xdydz + dzdx + xz 2 dxdy với S là phần tám thứ nhất của S mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tích phân lấy theo phía trên của S Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân () 1 − x 2 − y 2 và miền D : x 2 + y 2 ≤ 1, (x, y ≥ 0) TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 9 / 18 Tích phân mặt loại 2 Ví dụ Tính I = (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy... Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 3 / 18 Cách tính tích phân mặt loại 1 Xét mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) với (x, y ) ∈ D (D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ) Yếu tố diện tích mặt dS = 1 + zx2 + zy2 dxdy Công thức f (.) f (x, y , z) = S CBGD Lê Hoài Nhân () 1 + zx2 + zy2 dxdy D TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 3 / 18 Tích phân mặt loại 1 Ví dụ Tính tích phân I = (x 2 + y 2 )dS với S là nửa... 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 12 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = xdydz + ydzdx + zdxdy với S là mặt cầu tâm O, S bán kính a Tích phân lấy theo phía ngoài của S CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng 4 năm 20 13 13 / 18 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ Tính tích phân I = x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy ... = a2 CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 20 13 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính tích phân I = (x + y )dS với S nửa mặt cầu S x + y + z = a2 Hình: Mặt S : z = CBGD Lê Hoài Nhân. .. diện tích mặt dS = + zx2 + zy2 dxdy Công thức f (.) f (x, y , z) = S CBGD Lê Hoài Nhân () + zx2 + zy2 dxdy D TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 20 13 / 18 Tích phân mặt loại Ví dụ Tính tích phân. . .Tích phân mặt loại CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN MẶT Ngày 13 tháng năm 20 13 / 18 Tích phân mặt loại Định nghĩa Cho hàm số f (x, y , z) xác định mặt cong S không gian CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH