www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ MỘT MÔ HÌNH BÀI TOÁN HAI CHIỀU CHO DÒNG CHẢY TRÊN CÁC LÒNG DẪN HỞ BỀ MẶT TỰ DO KS Nguyễn Hải Bắc TS Vũ Hữu Hải Abstract: n This article present a mathematical model of open channel flow using 2D Navier – Stockes equation; some popular solving methods used in mathematical model and example that apply the mathematical model and the finite element method of the unstatedy flow, free surface through the spillway Đặt vấn đề: ol d v Tóm tắt : Bài báo trình bày mô hình toán cho dòng chảy lòng dẫn hở phương trình 2D Navier-Stokes; số phương pháp giải phổ biến sử dụng cho mô hình toán ví dụ áp dụng mô hình toán với phương pháp phần tử hữu hạn cho dòng chảy không ổn định, bề mặt tự qua đập tràn w v nc Nghiên cứu dòng chảy lòng dẫn hở (open channel flow) toán thường gặp việc thiết kế xây dựng công trình thủy lợi-thủy điện Ở Việt Nam nước khác giới có khoa học kỹ thuật tiên tiến, có nhiều công trình nghiên cứu vấn đề nhiều vấn đề nghiên cứu dòng chảy nói chung dòng chảy lòng dẫn hở nói riêng chưa giải thỏa đáng Trên giới việc nghiên cứu dòng chảy thông qua hai loại mô hình là: mô hình vật lý (physical model) mô hình toán (mathematical model) Mô hình vật lý với ưu điểm dễ xây dựng, phản ánh rõ ràng chất vật lý dòng chảy toán cụ thể nên trở thành công cụ thiếu nghiên cứu dòng chảy, nhiên mô hình vật lý gắn liền với nhiều khó khăn đồng dạng mô hình, vật liệu thiết bị đo Để khắc phục khó khăn nghiên cứu vào xây dựng mô hình toán giải toán tổng quát, phản ánh quy luật dòng chảy giúp cho trình nghiên cứu không giới hạn không gian thời gian Với lý việc nghiên cứu triển khai xây dựng mô hình toán kết hợp với mô hình vật lý cho dòng chảy nhằm giải vấn đề đặt cần thiết w w Một vấn đề kinh điển đặt toán dòng chảy lòng dẫn tự nhiên nhân tạo dùng để dự đoán phân tích trạng thái dòng chảy, thay đổi lưu lượng sóng lũ lưu vực sông kênh nhân tạo Đây vấn đề rộng lý thuyết thực nghiệm phạm vi báo tập trung vào việc xây dựng mô hình toán dòng chảy lưu vực sông qua phương trình Navier-Stokes toán hai chiều phương pháp giải phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung chính: Lựa chọn mô hình: Trạng thái dòng chảy lưu vực sông chịu ảnh hưởng lớn có công trình kết cấu đập tràn, tường chắn, đường đắp, mố trụ xây dựng chắn ngang dòng chảy Vận tốc dòng chảy thay đổi nhanh tiến đến gần -1- www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ công trình nói mặt cắt ngang dòng chảy bị thay đổi đột ngột Ví dụ với trường hợp hình vẽ đây, dòng chảy qua đoạn tường chắn có đoạn khe hẹp sau mở rộng đập thẳng vào hai bên tường biên đáy với vận tốc thay đổi lớn Sau đoạn mở rộng dòng chảy tạo thành xoáy nước lớn theo phương ngang phương đứng nguyên nhân dẫn đến việc xói bào mòn kết cấu công trình đáy sông Trong trường hợp mô hình toán ba chiều biểu diễn toàn trạng thái dòng chảy mục đích nghiên cứu dòng chảy không ổn định lòng dẫn hở .v n Tuy nhiên để áp dụng mô hình toán ba chiều gặp phải khó khăn lớn Một khó khăn giải hệ phương trình phi tuyến Navier-Stokes không gian chiều Việc giải phương pháp gần phụ thuộc vào biến đổi lưu lượng dòng chảy thay đổi nhanh mặt cắt ngang, phụ thuộc tỷ lệ dọc theo chiều dòng chảy mặt cắt ngang lớn khiến cho vùng tính toán phải chia thành nhiều lưới nhỏ trở ngại lớn cho việc giải phương pháp số Tất nhiên hoàn toàn giải vấn đề phương pháp toán học đại với hỗ trợ máy tính, mô hình phức tạp việc áp dụng cho vùng tính toán khó khăn ol d Với dòng chảy lòng dẫn hở số điều kiện phù hợp chọn giải pháp thay cho dòng chảy ba chiều dòng chiều tuyến dòng chảy thẳng, thay đổi dần mô hình hai chiều theo phương đứng phương dòng chảy mô hình hai chiều bình diện dòng chảy qua lòng dẫn có phẳng Trong báo lựa chọn mô hình toán hai chiều theo phương dòng chảy phương thẳng đứng, mô hình phổ biến giới áp dụng hiệu cho nhiều toán phức tạp Nội dung mô hình: w v Phương trình toán: nc Dòng chảy lưu vực sông mô tả phương trình hai chiều Navier-Stokes Phương trình sử dụng để tính cao độ mặt nước thành phần vận tốc theo phương ngang dòng chảy bề mặt tự hai trạng thái: dòng ổn định không ổn định Phương trình hay gọi “phương trình nước nông” a Phương trình liên tục hai chiều: ∂ρZ w ∂ρq x ∂ρq y + = ρq A + ∂x ∂y ∂t (NS1) Trong đó: w w ρ: tỷ trọng nước (kg m-3) Zw: cao độ mặt nước Zw=h + Zb h: chiều sâu cột nước (m) Zb: cao độ đáy qx=vxh qy=vyh lưu lượng đơn vị theo phương x phương y (m2 s-1) vx vy vận tốc theo phương x phương y qA lưu lượng đơn vị (m3 m-2 s-1) b Phương trình động lượng: Phương trình động lượng theo phương x phương y có dạng sau: -2- www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ qq ⎞ ∂Z ∂P ∂ρq x ∂ ⎛ qx ⎞ ∂ ⎛ ⎟ + ⎜⎜ ρβ x y ⎟⎟ + ρgh w + h a + ρghS fx − ρf C q x ⎜ + ⎜ ρβ ⎟ ∂x ∂x h ⎠ ∂y ⎝ ∂t ∂x ⎝ h ⎠ (NS2) ∂ ⎛ ∂q x ⎞ ∂ ⎛ ∂q x ⎞ ⎟=0 − τ wx − ⎜ ρK L ⎟ − ⎜ ρK T ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ q ⎞ ∂ ⎛ qq ⎞ ∂ ⎛⎜ ∂Z ∂P ρβ y ⎟ + ⎜⎜ ρβ x y ⎟⎟ + ρgh w + h a + ρghS fy + ρf C q y ⎜ ⎟ ∂t ∂y ⎝ h ⎠ ∂x ⎝ h ⎠ ∂y ∂y (NS3) q q ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ − τ wy − ⎜⎜ ρK L y ⎟⎟ − ⎜⎜ ρKT y ⎟⎟ = ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠ + n ∂ρq y Trong đó: v β: hệ số động lượng kể đến thay đổi vận tốc theo phương đứng (1-1.1) g: gia tốc trọng trường (m s-2) ol d Pa: áp suất không khí (N m-2) fC: tham số Coriolis (-) Sfx Sfy (m m-1) ma sát chuyển dịch τwx τwx ứng suất bề mặt gây gió theo phương x phương y (N m-2) nc KL and KT : độ nhớt chất lỏng theo phương dọc phương ngang (m2 s-1) Các thành phần phương trình (NS2) theo phương x là: Thứ nhất: biến thiên động lượng theo thời gian • Thứ hai: biến thiên động lượng theo phương x • Thứ ba: biến thiên động lượng theo phương y • Thứ tư: ảnh hưởng độ dốc mặt nước theo phương x • Thứ năm: ảnh hưởng áp suất theo phương x • Thứ sáu: thành phần nhám đáy theo phương x • Thứ bảy; ảnh hưởng lực Coriolis w w w v • • Thứ tám: ảnh hưởng gió theo phương x • Thứ chín: truyền động lượng theo phương dọc • Thứ mười: truyền động lượng theo phương ngang c Thành phần ma sát trượt Ma sát trượt phương trình động lượng tính qua công thức Manning: S fx = n q x q x2 + q y2 h10 / S fy = n q y q x2 + q y2 h10 / (NS-4) Trong n gọi hệ số Manning d Tính toán ảnh hưởng gió Thành phần ứng suất bề mặt theo hướng τwx and τwy sinh gió tính toán sau: -3- www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ τ wx = cs ρ aW cos(ψ ) τ wy = cs ρ aW sin(ψ ) (NS-5) Trong đó: cs hệ số ứng suất bề mặt ⎧⎪10 −3 c s1 ; W ≤ Wmin cs = ⎨ ⎪⎩[c s1 + c s (W − Wmin )]* 10 −3 ; W > Wmin cs1, cs2 Wmin hệ số Ví dụ tốc độ gió đo 10 m/s cs1=1.0, cs2=0.067 Wmin=4m/s ρa: tỷ trọng không khí (kg m-3) n W: tốc độ tiến gần gió với bề mặt nước ψ: góc hướng gió chiều dương trục x v e Tính toán ảnh hưởng lực Coriolis f Mô hình rối (dòng chảy hỗn loạn) ol d Ảnh hưởng chuyển động quay trái đất chuyển động dòng chảy kể tới tham số Coriolis fC = 2ωsinφ ω vận tốc góc trái đất (=7.27x10-5 rad/s), φ góc so với xích đạo Hầu hết với dòng chảy có tỷ lệ chiều ngang chiều sâu lớn (dòng chảy sông lũ đồng bằng) ảnh hưởng lực Coriolis nhỏ bỏ qua w v nc Sự truyền đông lượng chất lỏng thay đổi khối lượng chất lỏng chuyển động tốc độ khác gọi thay đổi hỗn loạn Nó tính gần phương trình cách nhân hệ số rối KL KT với đạo hàm thứ hai vận tốc theo phương x phương y Do khó để xác định giá trị cho hệ số rối nên lấy tương tự theo điều kiện vật lý nơi mà rối phụ thuộc vào động lượng chất lỏng khoảng cách hiệu động lượng, tính thương vận tốc chất lỏng diện tích bề mặt phần tử Vì số phần tử tăng KL KT tăng vận tốc tăng KL KT tăng Pe = ud L KL ; KL = ud L Pe Pe: gọi số Peclet có giá trị khoảng 15-40 u: vận tốc trung bình lưới (m/s) w w dL: chiều dài lưới theo hướng dòng chảy (m) KL: hệ số thay đổi động lượng theo phương dọc (m2 s-1) KT=(0.3-0.7)KL g Hai tham số đặc trưng dòng chảy - Số Reynolds: Re = ud L μ - Số Froude: Fr = U gd L Trong đó: µ: hệ số nhớt động dòng chảy -4- (NS-6) www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ U: vận tốc dòng chảy g: gia tốc trọng trường Một số phương pháp giải phương trình Navier-Stokes hai chiều Có ba phương pháp sử dụng phổ biến giải phương trình hai chiều ba chiều NavierStokes là: sai phân hữu hạn (finite difference method - FDM), thể tích hữu hạn (finite volume method - FVM) phần tử hữu hạn (finite element method - FEM) a Phương pháp sai phân hữu hạn nc ol d v n Theo phương pháp miền tính toán chia thành lưới chữ nhật (grid cell) có kích thước cell Δxi,j Δyi,j Với cách chia có phần sai khác với miền tính toán (phần diện tích vùng biên) phải loại bỏ chúng trình tính toán (ví dụ cách đặt vận tốc = cho tất cell đó) w w w v b Phương pháp thể tích hữu hạn Phương pháp sử dụng cell phần tử (element) nằm hoàn toàn miền tính toán Ý tưởng FVM tính toán mực nước điểm cell, thông lượng (flux) vận tốc tính toán biên Thể tích cần kiểm soát thể tích cell, cân khối lượng động lượng tính toán cho tất cell Trong trường hợp miền tính toán phức tạp hồ, cửa sông FEM trở nên mềm dẻo c Phương pháp phần tử hữu hạn Cũng phương pháp FVM FEM sử dụng cell phần tử nằm miền tính toán Mỗi phần tử chứa vài nút, thông thường số nút phần tử 3,6 (phần tử tam giác) (các góc điểm cạnh tứ giác) (cộng thêm điểm phần tử) Trong FEM mực nước vận tốc tính toán tất điểm -5- n www.vncold.vn Hội Đập lớn Phát triển nguồn nước Việt Nam ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Giải phương trình Navier-Stokes hai chiều phương pháp phần tử hữu hạn v 3.1 Công thức phần tử hữu hạn cho toán ol d Giải phương trình Navier-Stokes cho dòng không ổn định dựa phương pháp phần tử hữu hạn (FE) không gian thời gian Để xây dựng không gian hàm FE không gian thời gian chia khoảng thời gian (0,T) thành đoạn nhỏ In=(tn,tn+1) 0=t0 ... lòng dẫn hở số điều kiện phù hợp chọn giải pháp thay cho dòng chảy ba chiều dòng chiều tuyến dòng chảy thẳng, thay đổi dần mô hình hai chiều theo phương đứng phương dòng chảy mô hình hai chiều bình... diện dòng chảy qua lòng dẫn có phẳng Trong báo lựa chọn mô hình toán hai chiều theo phương dòng chảy phương thẳng đứng, mô hình phổ biến giới áp dụng hiệu cho nhiều toán phức tạp Nội dung mô hình: ... luận Dòng chảy lòng dẫn hở toán thông thường gặp phổ biến thực tế Nhưng việc xác định trạng thái dòng chảy tính toán thông số dòng chảy vấn đề phức tạp giải giải tích Vì việc áp dụng mô hình toán