§3 Các mối liên hệ tuyến tính Các nội dung I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một số ví dụ III Một số kết PTTT – ĐLTT §3 Các mối liên hệ tuyến tính I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính: Trong Lấy m số thực tổng , cho m véc tơ + , +⋯+ ,…, ,…, (∗) lập (1) Định nghĩa: Mỗi tổng (1) gọi tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ (∗) Các số , , , gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Nhận xét: + Từ hệ véc tơ cho trước lập vô số tổ hợp tuyến tính + Tổng hai tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + + ⋯+ + = + + + +⋯+ + +⋯ + + + Tích tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, với số tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + = + + ⋯+ + ⋯+ Định lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến , tính hệ véc tơ n chiều ,…, cho trước: = + +⋯+ , , , ∈ không gian véc tơ không gian Hãy chứng minh định lý 2.Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ , ,…, vectơ X tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến , tính qua hệ vectơ m số = , , , + ,…, tồn cho: + ⋯+ Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y, tức là: tồn số nói X, Y tỷ lệ cho: = ta Ví dụ 1: Cho vectơ = = = ,− , , ⇒ = + Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , hay không? Trả lời: Có 10 §5 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ I Khái niệm sở hạng hệ vectơ Định nghĩa: Cho hệ véc tơ: , ,…, (∗) Cơ sở hệ véc tơ (∗) hệ thoả mãn hai điều kiện: + Độc lập tuyến tính + Mọi véc tơ hệ (∗) biểu diễn tuyến tính qua véc tơ hệ Ví dụ: Cho hệ véc tơ: = (1,2, −1) = (0,2,1) = (1,0, −2) = (2,2, −3) Nhận xét: + + , ĐLTT = − , =2 − Hiển nhiên, , Vậy , , = + , = + sở hệ véc tơ , Nhận xét: + Trong điều kiện thứ định nghĩa, ta cần chứng tỏ véc tơ lại hệ (∗) biểu diễn tuyến tính qua véc tơ hệ + Một hệ véc tơ cho trước có nhiều sở khác nhau, nhiên số véc tơ sở Định nghĩa: Số véc tơ sở hệ véc tơ gọi hạng hệ véc tơ Ký hiệu là: ( , ,…, ) hay ( , ,…, ) Ví dụ: Trong ví dụ trước, hệ véc tơ: = (1,2, −1) = (0,2,1) = (1,0, −2) = (2,2, −3) , Có hạng 2: Nhận xét: ≤ , , ,…, , = ≤ Hãy phát biểu lời , m: số véc tơ, n: số chiều II Các định lý hạng Định lý 1: Hạng hệ véc tơ r hệ véc tơ tồn hệ gồm r véc tơ ĐLTT hệ có số véc tơ lớn r (nếu có) PTTT Nói cách khác, hạng hệ véc tơ số véc tơ ĐLTT cực đại hệ véc tơ rank X , X , … , X =r ∘ Tồn tại hệ con gồm r véc tơ ĐLTT ⟺ ∘ Mọi hệ con có số véc tơ > r đều PTTT Chứng minh định lý ? (xem giáo trình trang 97) Hệ 1: Một hệ véc tơ PTTT hạng hệ véc tơ nhỏ số véc tơ hệ Nói cách khác, hệ véc tơ ĐLTT hạng hệ véc tơ số véc tơ Hệ 2: Nếu hạng hệ véc tơ r hệ gồm r véc tơ ĐLTT hệ véc tơ sở 10 Định lý 2: Cho hai hệ véc tơ n chiều: , ,…, (1) , ,…, (2) Sách giáo trình trang 98 Nếu véc tơ hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua véc tơ hệ (2) hạng hệ (1) không lớn hạng hệ (2) Hãy chứng minh định lý này? 11 III Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng 1) Phép thêm bớt: Cho hai hệ véc tơ: , , (1) ,…, ,…, ê é ơ " " (2) (1) ; (2) (2) đ é ơ " " (1) 12 Định lý: Cho hai hệ véc tơ: , , =∑ Nếu , ,…, ,…, ,…, (1) ; (2) = ( , ,…, ; ) 13 Như vậy, hạng hệ véc tơ không thay đổi ta thêm vào bớt véc tơ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ lại 2) Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau hệ véc tơ gọi phép biến đổi sơ cấp: 14 (i) Đổi chỗ hai véc tơ hệ (ii) Nhân véc tơ hệ với số k ≠ (iii) Cộng vào véc tơ hệ tích véc tơ khác hệ với số Định lý 2: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng hệ véc tơ Hãy chứng minh 15 Ví dụ: Cho X, Y hai véc tơ n chiều CMR: Hạng hệ véc tơ = { + , − , + + , + ,…, } hạng hệ véc tơ , Giải 16 [...]... , , có nghiệm” Lập ma trận mở rộng của hệ và biến đổi khử ẩn trên ma trận mở rộng ta có: 22 1  1 2 3 1  0  2 3 4 3   A 0  3 1 3 4     0 5 2 k   0 1 1  1 2 3 0  0 1 2 1     0 0 4 4  0    0 0 12 k  5   0 2 3 1  1 2 1  5 6 1  5 2 k 2 3 1   1 2 1  0 4 4   0 0 k  7 Hệ có nghiệm ⟺ k – 7 = 0 ⟺ k = 7 23 Sự phụ thuộc tuyến tính–độc lập... 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ X = (2, 1, 1) qua hệ véc tơ: Giải: X1  1, 3, 2   X 2   2,5 ,1  X 3   3,7,5  17 Thay số ta được Đs: = −30 + 49 − 22 18 Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ X1  1,  2, 3, 0   X 2   2, 3,  1, 5   X   3, 4, 3, 2   3  Với giá trị nào của k thì véc tơ X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ đã cho ? 19 Giải: Giả sử ta có: X  k1X1... sử ta có: X  k1X1  k 2 X 2  k 3 X 3 Thay số ta được: 1 2  3  1   2   3   4   3  k1    k 2    k 3       3   1   3   4          0 5  2  k  20 Đồng nhất các thành phần tương ứng ta được hệ:  k1 2k  1   3k 1    2k 2  3k 3  1  3k 2  k2 5k 2  4k 3  3k 3  2k 3  3  4  k 21 “X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đã cho ⇔ hệ phương... hệ vectơ , , hay không? 11 = , − , , = , − , , = − , , , = − , , , Không Trả lời: ????? 12 Nhận xét: Vectơ 0 luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều: 0n  0.X1  0.X 2    0.X n Biểu diễn tầm thường Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ , ,…, ? 13 Trả lời: Xét hệ thức: = + + ⋯+ Thay số ta được:  X1   X2   Xm   X          1    2      m  ... cho: 1 X 1   2 X 2     m X m  0 n    24 Ngược lại, nếu đẳng thức (∗) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0: = =⋯= thì ta nói hệ vectơ , =0 ,…, độc lập tuyến tính Như vậy, một hệ véc tơ cho trước chỉ có hai khả năng: ĐLTT hoặc PTTT 25 Xem xét hệ thức (∗) dưới dạng biểu diễn vectơ 0 qua hệ véc tơ: , ,…, 0n  1X1   2 X 2     m X m Có  i  0  Phụ thuộc tuyến tính 1 2... tuyến tính Bài toán: “Kiểm tra xem hệ véc tơ cho trước: , ,…, là ĐLTT hay PTTT?” 26 Các bước giải bài toán này Thay số ta được 27 Ví dụ: Cho hệ véc tơ: = = = , ,− , ,− , , − , ,− , Hệ véc tơ trên ĐLTT hay PTTT? Giải: o Xét hệ thức: + + = 28 Thay số ta được Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang nên hệ véc tơ đã cho là PTTT 29 Ví dụ 2: Kiểm tra xem hệ véc tơ sau là ĐLTT hay PTTT? = (2, 1, 6) = (3,2,...           14 Đây thực chất là hệ phương trình tuyến tính m ẩn số:  X1  A      rộng là: , ,…, với ma trận mở X2  Xm       X      Các véc tơ được xếp dạng cột 15 Thường giải hệ này bằng phương pháp Gauss: + Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính được qua , ,…, + Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu diễn , tuyến tính duy nhất qua ,…, 16 + Nếu hệ có vô số nghiệm... số ta được: 31 III Một số kết quả về sự PTTT - ĐLTT Định lý 1: Một hệ vectơ có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại Hệ quả 1: Một hệ chỉ gồm 2 vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ 32 Hệ quả 2: Mọi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính Muốn xét hệ véc tơ ĐLTT-PTTT Có 1 vectơ (≠ 0 )... ĐLTT-PTTT Có 1 vectơ (≠ 0 ) ? Có 2 vectơ ( tỷ lệ) ? Hệ có từ 3 vectơ trở lên ? 33 Định lý 2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính Hệ quả 1: Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính 34 Hệ quả 2: Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính 35 Định lý 3: Cho ... rộng ta có: 22 1  3  0  2 3 3   A 0  3 1 4     k   0 1  1 3 0  2 1     0 4  0    0 12 k    0 3  2 1  6 1  k 3   2 1  4   0 k... qua ,…, 16 + Nếu hệ có vô số nghiệm X biểu diễn tuyến tính qua , ,…, vô số cách Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ X = (2, 1, 1) qua hệ véc tơ: Giải: X1  1, 3, 2   X   2,5 ,1  X... tính qua hệ véc tơ cho ? 19 Giải: Giả sử ta có: X  k1X1  k X  k X Thay số ta được: 1 2  3    2   3     3  k1    k    k       3   1     4      