LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, toán quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thông qua ví dụ Các bước nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính điển hình sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu b- Lập mô hình toán học c- Xây dựng thuật toán để giải toán mô hình hoá ngôn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính d- Tính toán thử điều chỉnh mô hình cần e- Áp dụng giải toán thực tế Bài toán vốn đầu tư Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử : aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mô hình sau : (j= 1,2, ,n) số lượng thức ăn thứ j≥Gọi xj cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn : z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần thỏa mãn : z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai1x1 m)→(i=1 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai2x2 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n : ainxn Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn : m)→ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1 Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu phải thỏa yêu cầu bi dinh dưỡng loại nên ta có ràng buộc sau : m)→ bi (i=1≥ai1x1+ai2x2+ +ainxn Khi theo yêu cầu toán ta có mô hình toán sau : z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn a11x1+a12x2+ +a1nxn≥b1 a21x1+a22x2+ +a2nxn≥b2 am1x1+am2x2+ +amnxn≥bm xj≥0(j=1,2, ,n) { { { { Bài toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi số lượng nguyên liệu loại i có cj lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có số lượng sản phẩm thứ j sản xuất≥Gọi xj (j=1,2, ,n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm : z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nên ta cần có : max z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn m dùng để sản xuất sản→Lượng nguyên liệu thứ i=1 phẩm thứ ai1x1 m dùng để sản xuất sản→Lượng nguyên liệu thứ i=1 phẩm thứ ai2x2 m dùng để sản xuất sản→Lượng nguyên liệu thứ i=1 phẩm thứ n ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm ai1x1+ai2x2+ +ainxn m dùng để sản xuất các→Vì lượng nguyên liệu thứ i=1 loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi nên : bi (i=1,2, ,m)≤ai1x1+ai2x2+ +ainxn Vậy theo yêu cầu toán ta có mô hình sau : max z= n ∑ j=1 cjxj=c1x1+c2x2+ +cnxn a11x1+a12x2+ +a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+ +a2nxn≤b2 am1x1+am2x2+ +amnxn≤bm xj≥0(j=1,2, ,n) { { { { Bài toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ Lượng hàng hoá kho i si (i=1,2, ,m) nhu cầu hàng hoá cửa hàng j dj (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển đơn vị hàng hoá từ kho i đến đồng.≥của hàng j cij Giả sử tổng hàng hoá có kho tổng nhu cầu hàng hoá cửa hàng nhau, tức : m ∑ i=1 si= n ∑ j=1 dj Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước nhỏ nhất, với điều kiện cửa hàng nhận đủ hàng kho trao hết hàng lượng hàng hoá phải vận chuyển từ≥Gọi xij kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất kho j : n ∑ j=1 cijxij Cước vận chuyển tất hàng hoá đến tất kho : z= m ∑ i=1 n ∑ j=1 cijxij Theo yêu cầu toán ta có mô hình toán sau : minz= m ∑ i=1 n ∑ j=1 cijxij m ∑ i=1 xij=dj        j=1,2, ,n        xij≥0(i=1,2, ,m)(j=1,1, ,n) { QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC Quy hoạch tuyến tính tổng quát Tổng quát toán quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, toán quy hoạch tuyến tính mô hình toán tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức tuyến tính Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính : min/maxz= n ∑ j=1 cjxj(I) n ∑ j=1 aijxj=bi        i∈I1        n ∑ j=1 aijxj≤bi                i∈I2                               II                n ∑ j=1 aijxj≥bi                          i∈I3                          xj≥0j∈J1 { { { xj≤0j∈J2 (III) xjtùy ýj∈J3 no { Trong : (I) Hàm mục tiêu• Là tổ hợp tuyến tính biến số, biểu thị đại lượng mà ta cần phải quan tâm toán (II) Các ràng buộc toán• Là phương trình bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh từ điều kiện toán (III) Các hạn chế dấu biến• số Người ta thường trình bày toán quy hoạch tuyến tính dạng ma trận sau : a11a12 a1n a21a22 a2n am1am2 amn righ [] [] [] A=[aij] = x1 x2 xn righ c1 c2 cn righ b1 b2 bm Theo trên, toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu tồn sở khả thi (tối ưu) B* , tức phương án sở x* tương ứng với B* phương án tối ưu Vấn đề xác định thủ tục để tìm B* Chúng ta thấy thủ tục suy cách trực tiếp từ việc chứng minh dấu hiệu tối ưu sau Ðịnh lý (dấu hiệu tối ưu) Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc min/maxz(x)=cT x Ax=b x≥0 { Điều kiện cần đủ để phương án sở khả thi x có dạng : xB=B−1b≥0 xN=0 righ [] x= toán phương án tối ưu : cNT=cNT−cBTB−1N≤0 toán max cNT=cNT−cBTB−1N≥0đối với toán Với : A=[B|N] cT= [ cB | cN ] Người ta thường gọi : cN chi phí sở cB chi phí sở cNT chi phí trượt giảm cBTB−1N lượng gia giảm chi phí Chứng minh (cho toán max) Ðiều kiện đủ Giả sử x* phương án sở khả thi với ma trận sở B thoả cNT=cNT−cBTB−1N≤0 cần chứng minh x* phương án tối ưu, nghĩa chứng minh với phương án toán ta có : z(x*)≤z(x) Xét phương án khả thi x , x thoả :    Ax=b x≥0 ⇒        [ BN ] xB xN ] [ =b xB≥0 xN≥0 B ma trận sở phương án sở khả thi x* B có ma trận nghịch đảo B-1 ⇒ BxB+NxN=b xB≥0 xN≥0 { ⇒ B-1BxB+B-1NxN=B-1b(B-1B=I) xB≥0 xN≥0 { ⇒ xB+B-1NxN=B-1.b xB≥0 xN≥0 { ⇒ xB=B-1b-B-1NxN xB≥0 xN≥0 { Tính giá trị hàm mục tiêu phương án x ta : z(x)= cTx =   cBT cNT      xB xN    =cBTxB+cNTxN = cBTB−1b−B−1NxN +cNTxN = cBTB−1b−cBTB−1NxN+cNTxN = cBTB−1b+( cNT-cBTB−1N)xN (1) Vì x* phương án sở khả thi tương ứng với ma trận sở B nên xB=B−1b≥0 xN=0 { Tính giá trị hàm mục tiêu đối vơi phương án x* ta : z(x*)= cTx* =   cBT cNT      xB xN    =cBTxB+cNTxN = cBTxB=cBTB−1b( xN=0)(2) Từ (1) (2) ta có : z(x*)vì≤z(x) cN−cBTB−1N≤0 Vậy x* phương án tối ưu Ðiều kiện cần Giả sử x∗ xB=B−1b≥0 xN=0 righ [] phương án tối ưu với ma trận sở B, cần chứng minh : cNT=cNT−cBTB−1N≤0 ( cN vectơ có n-m thành phần) Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử tồn thành phần cs cN mà cs > Dựa vào cs người ta xây dựng vectơ x sau : xB=xB−B−1NxN xN=θIs≥0 righ [] x= θTrong >0 Is vectơ có (n-m) thành phần 0, trừ thành phần thứ s Vậy xN=θIs≥0 xB=xB−B−1NθIs=B−1b−B−1NθIs righ [] x= (*) θ nên người ta chọn ≥Do B-1b >0 đủ nhỏ để xB > Vậy x chọn thoả : 0(3)≥x Ta kiểm chứng x thỏa ràng buộc toán cách tính : Ax=   BN      xB xN    =BxB+NxN = BxB−B−1NθIs +NθIs = BB−1b−B−1NθIs +NθIs = BB−1b−BB−1NθIs+NθIs = b−NθIs+NθIs = b(4) Từ (3) (4) cho thấy x phương án khả thi toán Bây ta mâu thuẩn so sánh giá trị hàm mục tiêu x x* Ta có : z(x)= cTx =   cBT cNT      xB xN    =cBTxB+cNTxN = cBTxB−B−1NxN +cNTxN = cBTxB−cBTB−1NxN+cNTxN = cBTxB+cNTxN−cBTB−1NxN+cNTxN(vìcNTxN=0) = [cBTcNT]    xB xN    +cNT−cBTB−1N xN = cTx+cNT−cBTB−1N θIs = cTx+cNTθIs= cTx+cNTIsθ = z(x*) + csθ > z(x*) ( csθ>0) Vậy x* phương án tối ưu nên mâu thuẩn với giả thiết Chú ý Qua việc chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta thấy từ phương án sở khả thi chưa tối ưu tìm phương án khả thi lúc tốt nhờ lặp lại nhiều lần công thức (*) Vấn đề được chọn để nhanh chóng nhận phương án tốiθđặt đại lượng ưu Bổ đề Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc maxz(x)=cT x Ax=b x≥0 { với B sở khả thi x0 phương án sở tương ứng, tức xB0=B−1b≥0 xN0=0 righ [] x0= z(x0)=cBT B−1b Xét cNT=cNT−cBTB−1N Nếu tồn biến sở xs cho cs>0 với cslà thành phần thứ s cN : a- Hoặc người ta làm tăng cách vô hạn giá trị xs mà không khỏi tập hợp phương án khả thi, trường hợp phương án tối ưu toán không giới nội b- Hoặc người ta xác định sở khả thi khác B có phương án sở khả thi x tương ứng với tốt , tức : z(x0) < z( x) Chứng minh Trong trình chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta có phương án xác định sau : xN=θIs≥0 xB=xB−B−1NθIs=B−1b−B−1NθIs righ [] x= Ký hiệu : N=B−1N Ns cột s N b=B−1b Như ta có : xB=b−θNs xN=θIs righ [] x= Hai trường hợp xảy sau : a- Trường hợp Ns≤0 θTrong trường hợp xs nhận giá trị Khi đã≥ 0, nghĩa x luôn thoả ≥lớn tuỳ mà đảm bảo xB biết giá trị hàm mục tiêu tương ứng z(x)= [cBTcNT] xB xN righ [] = cBTB−1b−B−1NθIs +cNTθIs = cBTB−1b−cBTB−1NθIs+cNTθIs = z(x0)+cNT−cBTB−1N θIs = z(x0)+cNT θIs = z(x0) + csθ với csθ lớn vô hạn giá trị hàm mục tiêu không giới nội m cho→b- Trường hợp tồn i=1 Nis>0 ( Nis>0 thành phần thứ i Ns) θTrong trường hợp giá trị >0 mà xs nhận tăng vô hạn phải đảm bảo xB>0 Giá trị lớn θ mà xs nhận đượcθcủa xác định sau : θ=min{ bi Nis ,Nis>0} = br Nrs (∀i=1→m) Phương án sở khả thi có thành phần sau : xB=b−θNs xN=θIs righ [] x= giá trị hàm mục tiêu tương ứng : z(x)=z (x0)+θ cs>z(x0) Ghi : Trong trường hợp toán không suy biến, θ xác định cách phương án x có m thành phần khác Thật : - Biến xs phương án x0 trở thành dương thật xs=θ - Biến xr dương thật nhận giá trị : xr=br−θNrs=br− br Nrs Nrs=br−br=0 Vậy phương án x phương án sở Nó tương ứng với sở B suy từ B cách thay cột r cột s Người ta nói hai sở B B kề nhau, chung tương ứng với điểm cực biên kề tập hợp lồi S phương án khả thi toán CÂU HỎI 1- Trình bày bước nghiên cứu quy hoạch tuyến tính 2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính tắc 3- Trình bày khái niệm phương án quy hoạch tuyến tính 4- Trình bày sở lý thuyết phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính hai biến BÀI TẬP CHƯƠNG 1- Một nhà máy cán thép sản xuất hai loại sản phẩm : thép thép cuộn Nếu sản xuất loại sản phẩm nhà máy sản xuất 200 thép 140 thép cuộn Lợi nhuận thu bán thép 25USD, thép cuộn 30USD Nhà máy làm việc 40 tuần thị trường tiêu thụ tối đa 6000 thép 4000 thép cuộn Vấn đề đặt nhà máy cần sản xuất loại sản phẩm tuần để đạt lợi nhuận cao Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính cho vấn đề 2- Có người phải quảng đường dài 10km mà có xe đạp chổ ngồi Tốc độ người thứ 4km/h, người thứ hai 2km/h, người thứ ba 2km/h Tốc độ xe đạp người thứ 16km/h, người thứ hai 12km/h, người thứ ba 12km/h Vấn đề đặt để thời gian người cuối đến đích ngắn Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính cho vấn đề 3- Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn cừu với lượng sản xuất ngày 480 thịt bò, 400 thịt lợn, 230 thịt cừu Mỗi loại bán dạng tươi nấu chín Tổng lượng loại thịt nấu chín để bán 420 250 Lợi nhuận thu từ việc bán loại thịt cho bảng sau : Tươi Nấu chín Nấu chín Bò 14 11 Lợn 12 Cừu 13 Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao 4- Một xưởng mộc làm bàn ghế Một công nhân làm xong bàn phải giờ, ghế phải 30 phút Khách hàng thường mua nhiều ghế kèm theo bàn tỷ lệ sản xuất ghế bàn nhiều 4:1 Giá bán bàn 135USD, ghế 50USD Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính để xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết xưởng có công nhân làm việc ngày 5- Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp lần thời gian làm kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai nhà máy làm 500 ngày Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều 150 mũ kiểu thứ 200 kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 8USD, mũ thứ hai 5USD Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao 6- Trong hai tuần gà mái đẻ 12 trứng ấp trứng nở gà Sau tuần bán tất gà trứng với giá 0,6USD gà 0,1USD trứng Hãy trình bày toán quy hoạch tuyến tính bố trí 100 gà mái đẻ trứng ấp trứng cho doanh thu nhiều 7- Giải toán quy hoạch tuyến tính sau phương pháp hình học : a)- maxz=x1−x2 3x1+x2≥3 x1+2x2≥4 x1−x2≤1 x1≤5 x2≤5 { { { { b)minw=−x1+x2 −x1−2x2≤6 x1−2x2≤4 −x1+x2≤1 x1,x2≤0 { { { c)maxz=5x1+6x2 x1−2x2≥2 −2x1+3x2≥2 x1,x2tuy ý { { d)minw=-2x1−x2 x1+2x2≤6 x1−x2≥3 x1,x2≥0 { { e)maxz=3x1+2x2 2x1+x2≤2 3x1+4x2≥1 x1,x2≥0 { { f)maxz=3x1−4x2 x1−x2≥−4 2x1+x2≤14 x2≤6 x1≤6 x1,x2≥0 { { { { g)min/maxz(x)=4x1+3x2 2x1−3x2≥−12 2x1+3x2≤24 3x1−x2≤14 x1+4x2≥9 2x1+x2≥4 x1,x2≥0 { { { { [...]... hoạch tuyến tính x1, x2 là các phương án của quy hoạch tuyến tính x là tổ hợp lồi thực sự của x1, x2 thì x1, x2 cũng là phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính Định lý Nếu quy hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì thì sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính chính tắc maxz(x)=2x1+3x2 4x1+2x2+x3=5 x1+3x2=1 x1,x2,x3≥0 { Với hệ A1 A2 ta tính. .. (III) xjtùy ýj∈J3 no { { { { Người ta gọi : - A là ma trận hệ số các ràng buộc - c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c) - b là vectơ giới hạn các ràng buộc Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm min/maxz= n ∑ j=1 cjxj(I) n ∑ j=1 aijxj=bi        i=1,2, ,m... diện không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi Đặc điểm của tập hợp các phương án Ðịnh lý Tập hợp các phương án của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi đa diện Nếu tập hợp lồi đa diện này không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi, số điểm cực biên của nó là hữu hạn Ðịnh lý Tập hợp các phương án tối ưu của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi Xét quy hoạch tuyến tính chính tắc min/maxz(x)=cT... rồi thay vào bài toán - Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt xj=xj'−xj'' với xj', {xj'' 0 rồi thay vào≥đều bài toán - Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong... chặn Định lý Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một đa diện lồi thì quy hoạch tuyến tính đó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu Phương pháp hình học Từ những kết quả trên người ta có cách giải một quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học thông qua ví dụ sau : Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính maxz(x)=3x1+2x2 x1−x2≥−4 x1+2x2≤14 5x1+2x2≤30... quy hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn Số thành phần > 0 của một phương án cực biên tối đa là bằng m Khi số thành phần > 0 của một phương án cực biên bằng đúng m thì phương án đó được gọi là một phương án cơ sở Định lý Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính chính tắc không rỗng thì quy hoạch tuyến tính đó có ít nhất một phương án cực biên Bổ đề Nếu x là một phương án tối ưu của quy hoạch. ..              II        xj≥0(j=1,2, ,n)(III) { n )≤( m min/maxz(x)=cT Ax=b(II) x≥0(III) x(I) { rang(A)=m Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây : thì người ta cộng≤- Nếu gặp ràng buộc i có dạng 0 để được dấu = ≥thêm vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i thì người ta trừ≥-... biến Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc min/maxz(x)=cT x Ax=b x≥0 { (P) a- Ma trận cơ sở Người ta gọi cơ sở của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc (P) là mọi ma trận B không suy biến (có ma trận nghịch đảo) mxm trích ra từ m cột của ma trận ràng buộc A Các cột còn lại được gọi là ma trận ngoài cơ sở, ký hiệu là N b- Phương án cơ sở - Phương án cơ sở khả thi B là một cơ sở của bài toán (P)... Theo trên, khi một bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì tồn tại một cơ sở khả thi (tối ưu) B* , tức là phương án cơ sở x* tương ứng với B* là phương án tối ưu Vấn đề bây giờ là xác định một thủ tục để tìm B* Chúng ta sẽ thấy rằng thủ tục đó được suy ra một cách trực tiếp từ việc chứng minh dấu hiệu tối ưu sau đây Ðịnh lý 4 (dấu hiệu tối ưu) Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc min/maxz(x)=cT... tại đó là : z(A)=3.6+2.0=18 z(B)=3.4+2.5=22 z(C)=3.2+2.6=18 z(D)=3.0+2.8=8 z(O)=3.0+2.0=0 Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B : x1=4 và x2=5 MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU Xét bài toán quy hoạch tuyến tính : min z(x)=-5x1−4x2−3x3 2x1+3x2+x3≤5 4x1+x2+2x3≤11 3x1+4x2+2x3≤8 x1,x2,x3≥0 { { Đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách đưa vào 0 ( làm cho các ràng buộc bất đẳng thức thành đẳng≥các biến phụ w1, w2, w3 ... CHÍNH TẮC Quy hoạch tuyến tính tổng quát Tổng quát toán quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, toán quy hoạch tuyến tính mô hình toán tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc... Định lý Nếu tập phương án quy hoạch tuyến tính tắc không rỗng quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên Bổ đề Nếu x phương án tối ưu quy hoạch tuyến tính x1, x2 phương án quy hoạch tuyến tính. .. c vectơ chi phí (cT chuyển vị c) - b vectơ giới hạn ràng buộc Quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài toán quy hoạch tuyến tính tắc toán quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = biến số không âm