C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM: Định nghĩa: Phương trình vi phân có dạng: F(x,y,y(1),y(2),…,y (n)) = Trong : x biến độc lập, y làm hàm số x, y(n) đạo hàm cấp n y theo x Nếu ta đưa : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y (n-1)) phương trình gọi dạng giải đạo hàm cấp cao 169 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Cấp phương trình : Đạo hàm cấp cao đạo hàm hàm số y = f(x) có phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân Nghiệm PT vi phân cấp phụ thuộc tham số : y = y(x,C), C  R Nghiệm PT vi phân cấp phụ thuộc hai tham số : y = y(x,C1,C2), C1,C2  R Nghiệm PT vi phân cấp n phụ thuộc n tham số : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R 170 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nghiệm tổng quát : Nghiệm phương trình có dạng : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân Nghiệm riêng : Khi cho tham số Ci giá trị cụ thể ta nghiệm gọi nghiệm riêng phương trình vi phân Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng phương trình vi phân không suy từ nghiệm tổng quát gọi nghiệm kỳ dị 171 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1: Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = Nếu giải y’, phương trình vi phân có dạng : y' = f(x,y) Định lý tồn nghiệm : Cho phương trình vi phân cấp y’ = f(x,y) Nếu f(x,y) liên tục miền chứa (x0,y0) tồn nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0 Nếu f(x,y) liên tục nghiệm Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người ta gọi toán Cauchy 172 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân không chứa hàm phải tìm: F(x,y’) = Trường hợp 1: Ta chuyển dạng : y' = f(x) Tích phân hai vế Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + thỏa điều kiện y(1) = Trường hợp : Ta chuyển dạng : x = f(y’) Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt => dy = tdx = tf’(t)dt Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 173 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình không chứa biến độc lập: F(y,y’) = Trường hợp 1: Ta chuyển dạng y’ = f(y) dy dy  f ( y)  dx  , f(y)  dx f ( y) Ví dụ : Giải phương trình y’ = + y2 Trường hợp : Ta chuyển dạng :y = f(y’) Đặt y’ = t => y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx f ' ( t)dt f ' ( t)dt dy  x   y'  t   t  dy  tdx dx  t t dx Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 174 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường hợp : Ta chuyển dạng : y = y(t) => dy = f’(t)dt dy y'  g(t)   g( t) dx f ' (t )dt dx  g( t) Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 175 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân có dạng : dy/dx = f(ax + by) Đặt z = ax + by, ta đưa dạng phương trình không chứa biến độc lập dz dz  a  bf (z)  dx  dx a  bf ( z) Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát phương trình : dy  x  2xy  y2 dx 176 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình với biến phân ly: Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy  y Phương trình : y'  f    x y dy xdz z   y  xz   z x dx dx dy dz xdz  zx  f (z)   f (z )  z dx dx dx x2  y2 Ví dụ : Giải phương trình y'  xy 177 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x) Giải phương trình: y’ + p(x)y = - Nếu y ≠ : y'  p( x )dx  p(x )  ln y    p( x )dx  C0  y  eC0 e  y  p( x )dx  y   C1e  , (C1  0) - y = 0: nghiệm phương trình Nghiệm viết tổng quát lại sau : y  Ce   p( x )dx , (C  R) 178 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình: y’ + p(x)y = q(x)   p (x )dx Lagrange : y  C(x )e C' (x )e   p( x )dx  C' (x )e  p(x )C(x )e   p( x )dx   p( x )dx  p(x )C(x )e   p( x )dx  q(x ) p( x )dx   q(x )  C' (x )  e q( x ) p( x )dx   C(x )   e q(x )dx  C   p( x )dx  p (x )dx  q(x )dx  C  e Nghiệm PT: y  e   3y  Ví dụ : Giải phương trình : y'  x2 179 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân Bernoulli: y’ + p(x)y = q(x)y ,  ≠  ≠ - Nếu y ≠ : y- y’ + p(x)y1- = q(x) Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y- y’  z' (1  )p(x )z  (1  )q(x ) - Nếu y = 0,  >0 Đây nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x 3y2 180 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3 ỨNG DỤNG: Tìm hàm cầu biết hệ số co giãn : Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn:  10P  4P2 thỏa Q = 1.000 P = 20 QP  Q 181 [...]...C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình: y’ + p(x)y = q(x)   p (x )dx Lagrange : y  C(x )e C' (x )e   p( x )dx  C' (x )e  p(x )C(x )e   p( x )dx   p( x )dx  p(x )C(x )e   p( x )dx  q(x ) p( x )dx   q(x )  C' (x )  e q( x ) p( x )dx   C(x )   e q(x )dx  C   p( x )dx  p (x )dx  q(x )dx  C  e Nghiệm của PT: y  e   3y  1 Ví dụ : Giải phương trình : y'  x2 179 ... e   3y  1 Ví dụ : Giải phương trình : y'  x2 179 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân Bernoulli: y’ + p(x)y = q(x)y ,  ≠ 0 và  ≠ 1 - Nếu y ≠ 0 : y- y’ + p(x)y1- = q(x) Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y- y’  z' (1  )p(x )z  (1  )q(x ) - Nếu y = 0,  >0 Đây cũng là một nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x 3y2 180 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3 ỨNG DỤNG: Tìm hàm cầu khi biết ... y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0 Nếu f(x,y) liên tục nghiệm Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người ta gọi toán Cauchy 172 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân không chứa hàm... + y’2 + 174 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường hợp : Ta chuyển dạng : y = y(t) => dy = f’(t)dt dy y'  g(t)   g( t) dx f ' (t )dt dx  g( t) Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 175 C7 PHƯƠNG... dx dy dz xdz  zx  f (z)   f (z )  z dx dx dx x2  y2 Ví dụ : Giải phương trình y'  xy 177 C7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x) Giải phương trình: y’