C6 TÍCH PHÂN 1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Định nghĩa: - Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) D F’(x) = f(x) với x  D - Tập hợp nguyên hàm f(x) gọi tích phân bất định f(x) Ký hiệu:  f (x )dx  F(x )  C Trong đó, F(x): Nguyên hàm C: Hằng số dx: vi phân biến x 146 C6 TÍCH PHÂN Các tính chất bản:  (f (x )  g(x ))dx   f ( x )dx   g(x )dx  kf ( x )dx  k  f (x )dx  f ( x)dx '  f (x ) 147 C6 TÍCH PHÂN Một số cơng thức:  dx  x  C   1 x  x  C (  -1)  dx   1 dx   ln x  C x x a x a C  dx  ln a  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C  dx sin x dx cos x dx   cot gx  C  tgx  C x x  arcsin  C   arccos  C  2 a a a x dx  ln x  x b C  x b dx x x  arctg  C   arc cot g  C  2 a a a a a x dx ax  ln C  2 2a a  x 148 a x C6 TÍCH PHÂN Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Tính  xe x2 dx  tgxdx Phương pháp tích phân phần:  udv  uv   vdu Ví dụ: Tính  ln xdx x  xe dx 149 C6 TÍCH PHÂN P(x ) Tích phân hàm hữu tỉ: Bậc tử nhỏ mẫu Q( x ) P(x ) A1 A2 Am     m ( x  a) ( x  a) ( x  a) (x  a)m P( x ) B1x  C1 B2 x  C2 Bnx  Cn    2 n n (x  bx  c ) (x  bx  c ) (x  bx  c ) ( x  bx  c) Với b2 – 4c < ; m, n số nguyên dương Xác định Ai, Bj, Cj thực đồng thức xdx 1 dx  dx  Ví dụ: Tính  m (x  x  1) ( x  a) xa 150 C6 TÍCH PHÂN Tích phân hàm vơ tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến chuyển hàm hữu tỉ dx Ví dụ: Tính  1 x  151 C6 TÍCH PHÂN 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục không âm [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x0 < x1 a  t  f (x )dx  lim  f (x )dx  B a t   a B gọi tích phân suy rộng f [a,+) Nếu B hữu hạn ta nói tích phân hội tụ ngược lại ta nói phân kỳ 155 C6 TÍCH PHÂN Tương tự có dạng khác sau: b b  f (x )dx  lim  f (x )dx  t   t  c   f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx  c  Ví dụ: Xét tích phân suy rộng sau:  x  e dx   xdx x 1 156 C6 TÍCH PHÂN Tích phân suy rộng hàm không âm: Định lý: Cho f(x) g(x) hai hàm không âm [a,+) f(x) ≤ g(x), đó:    g(x )dx hội tụ a   f (x )dx hội tụ a   f (x )dx phân kỳ  g(x )dx phân kỳ a a Ví dụ: Xét tính hội tụ phân kỳ:  x e sin xdx  157 C6 TÍCH PHÂN Định lý : Cho f(x), g(x) hai hàm không âm [a,+) f (x ) lim  k, k  (0,) x   g(x )    f (x )dx,  g(x )dx hội tụ phân kỳ a a Ví dụ: Xét tính hội tụ phân kỳ:  x2 dx  x 1 158 C6 TÍCH PHÂN Tích phân loại (của hàm khơng bị chặn): Cho hàm số f(x) liên tục khoảng [a,b) lim f (x )   t b b t  f ( x )dx  lim  f (x )dx  B a t b  a gọi tích phân suy rộng f [a,b] Nếu B hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại trường hợp f(x) không bị chặn gần điểm a f(x) không bị chặn đồng thời a b 159 C6 TÍCH PHÂN Ví dụ, Tính tích phân  dx dx 2 x 1 x  160 C6 TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) g(x) hai hàm liên tục không âm [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn b lim f ( x)  lim g(x)   x b  b xb b  g(x )dx hội tụ  f ( x)dx hội tụ a b a b  f ( x)dx phân kỳ  g(x )dx phân kỳ a a 161 C6 TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) g(x) hai hàm liên tục không âm [a,b) có: f (x ) lim f ( x)  lim g(x )   lim  k, k  (0,) x b  x b x b  g(x ) b b  g(x )dx  f (x )dx hội tụ phân kỳ a a 162 C6 TÍCH PHÂN 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG: Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm giá trị biên Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên sản phẩm doanh nghiệp chi phí cố định 50 MC  3x  2x  Tìm hàm doanh thu hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu biên MR  500  Q 163 C6 TÍCH PHÂN Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo sản lượng bán 50 sản phẩm lỗ 13.500$ MP  5Q  500 Ứng dụng tích phân xác định: Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên sản phẩm MP  0,0005x  12,2 a) Tìm thay đổi lợi nhuận lượng bán tăng từ 100 lên 101 đơn vị? b) Tìm thay đổi lợi nhuận lượng bán tăng từ 100 lên 110 đơn vị? 164 C6 TÍCH PHÂN Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t (tháng) doanh nghiệp thời gian năm Tìm chi phí sản xuất trung tháng kỳ kinh doanh TC  , 006 t  ,02 t  13 ,15 Thặng dư tiêu dùng thặng dư sản xuất: Một sản phẩm thị trường có hàm cung hàm cầu: Hàm cầu: P = -0,3x + 10 Hàm cung: P = 0,1x + Hãy tìm thặng người tiêu dùng thặng dư người sản xuất điểm cân 165 ... lên 110 đơn vị? 164 C6 TÍCH PHÂN Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t (tháng) doanh nghiệp thời gian năm Tìm chi phí sản xuất trung tháng kỳ kinh doanh TC  , 0 06 t  ,02 t  13... f(x) không bị chặn gần điểm a f(x) không bị chặn đồng thời a b 159 C6 TÍCH PHÂN Ví dụ, Tính tích phân  dx dx 2 x 1 x  160 C6 TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) g(x) hai hàm liên tục không âm [a,b),... dụ: Tính  m (x  x  1) ( x  a) xa 150 C6 TÍCH PHÂN Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến chuyển hàm hữu tỉ dx Ví dụ: Tính  1 x  151 C6 TÍCH PHÂN 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: Định nghĩa: