C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định (a,b), x0  (a,b) Đạo hàm f x0 định nghĩa ký hiệu: f (x )  f ( x ) f ' ( x )  lim x  x0 x  x0 Gọi x = x – x0: Số gia x x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia y x0 y y '  lim x   x dy df , dx dx 87 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm phía: f (x ) - Đạo hàm bên phải:  lim x    x f (x )  - Đạo hàm bên trái: f ' ( x )  lim x 0  x  f ' (x ) Định lý: f’(x0) tồn f’(x0+) = f’(x0-) Định lý: Nếu f có đạo hàm x0 f liên tục x0 Ví dụ: Xét đạo hàm tính liên tục f = |x| x0 = 88 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm khoảng, đoạn: - f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng đó, - f(x) có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm khoảng (a,b), có đạo hàm phải a đạo hàm trái b Ví dụ: Tìm đạo hàm y = x2, y = sinx Ý nghĩa đạo hàm: • Hệ số góc tiếp tuyến x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động y x tăng lên đơn vị 89 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm tổng thương tích hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u ' u u' v  v' u   •    (v  0) => (ku)’ = ku’ (k số) v v2 Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Đạo hàm hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm x0, hàm y = f(u) có đạo hàm u hàm hợp f(u) có đạo hàm x0 y’x = y’u.u’x Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm x, f’(x) ≠ có hàm số ngược 1 ' -1 x = f (y) thì: (f )y  ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm y = arcsinx 91 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN (c)’ = Đạo hàm  )’ = x-1 (x hàm số sơ cấp (ax)’ = axlna bản: (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx ( tgx )'  cos x (cot gx )'   sin x Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) (log a x )'  x ln a (ln x )'  x (arcsin x )'   x2 (arccos x )'   1 x2 ( arctgx )'   x2 ( arc cot gx )'    x2 92 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) gọi đạo hàm cấp Đạo hàm, có, đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y dx d2 f , dx Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x) dny n dx , dnf dxn 93 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: y = ex y = ax y = lnx y = x Một vài công thức:  y  sin x  y  sin( x  n )  (n) y  cos x  y  cos( x  n ) (n) 94 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv )(n )   Cknu(n  k ) v (k ) u(0) = u, v(0) = v k 0 95 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) gọi khả vi x tồn A cho f = A.x + 0(x) Biểu thức df = A.x gọi vi phân f x0 Định lý: f(x) khả vi x0  f có đạo hàm f’(x0) = A Vi phân tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu  udv d   v v2 96 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị điểm x0 có đạo hàm điểm f’(x0) = Ví dụ: Xét đạo hàm x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau gọi chung điểm tới hạn f: a) Không tồn f’(x) b) f’(x) = Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = gọi điểm dừng f 106 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm f(x) đạt cực đại x b) Nếu x vượt qua x mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương f(x) đạt cực tiểu x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu f(x) không đạt cực trị x Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y  (x  1) x 107 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định Tính f’(x) Tìm f’(x)=0 không tồn f’(x) Lập bảng biến thiên Suy điểm cực trị Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y  (x  1) x 108 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = a) Nếu f”(x0) > f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < f(x) đạt cực đại Quy tắc tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = Tìm miền xác định Tính f’(x) Tìm nghiệm f’(x)=0, xi Tính f’’(x) f’’(xi) Dựa vào dấu f’’(xi) suy cực trị Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y = x – ln(1+x) 109 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định D: • M gọi giá trị lớn y=f(x) tập D f(x) ≤ M với xD tồn x0D cho f(x0) = M • M gọi giá trị nhỏ y=f(x) tập D f(x) ≥ m với xD tồn x0D cho f(x0) = m 110 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất, bé hàm số [a,b]: Tính f điểm tới hạn [a,b] f(a), f(b) fmax (fmin) giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị tìm Ví dụ: tìm fmax ,fmin f(x) = x3 – 3x +1 [-1, 1] 111 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá C Cost Chi phí Total Cost Tổng chi phí Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí TC R 112 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu: TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC • Hàm lợi nhuận :  = TR - TC Ví dụ: Một quán bún bình dân, tính ngày bán tô có lời với giá bán 5.000đ/tô chi phí sau: Thuê mặt bằng, điện nước 50.000đ/ngày Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo Nhân viên 2.000đ/tô 500đ/tô 113 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường thay đổi sản lượng tăng lao động hay vốn lên đơn vị Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên doanh nghiệp cho nhận xét L=100 cho hàm sản xuất sau: Q5 L 114 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC đại lượng đo lường thay đổi chi phí sản lượng tăng lên đơn vị Ví dụ: Tìm MC MC Q = 50 cho nhận xét TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 115 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ MR đại lượng đo lường thay đổi doanh thu sản lượng hay giá tăng thêm đơn vị • Ví dụ: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR p = 40 p = 30 116 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên đại lượng đo lường thay đổi lợi nhuận giá hay sản lượng tăng thêm đơn vị 117 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Hệ số co giãn: (Elasticity) • Lượng thay đổi tuyệt đối: x • Lượng thay đổi tương đối: x x • Hệ số co dãn: Đo lường thay đổi tương đối y phụ thuộc vào thay đổi tương đối x y y y x  yx   x x x y y x x  yx  lim  y' ( x ) y x 0 x y • Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2 Tìm hệ số co dãn điểm P = 118 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)  d   d(TR  TC)   dx  dx   d    d (TR  TC)   dx  dx 119 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 120 [...]... lần 102 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) lim x 0   arctgx lim 2 1 x x tgx  x lim x  0 x  sin x x  sin x x3 Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) ln x lim x  0  cot gx lim x   ln x x n lim x n x   e x 103 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, / Ví dụ: 1 5 2 lim (  tgx ) lim x ln x lim ( 4  x ) tg(  x / 4 ) x  ... [-1, 1] 111 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí Total Cost Tổng chi phí Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí TC R 112 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) •... x1 2 x 1 x lim x 0 1 (cot gx )ln x 1 04 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)) Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng 2 Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm 105 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực... 4 Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x) 109 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định trên D: • M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) = M • M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) = m 110 C4...C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi |x| gần 0 ta có: f(x+x) – f(x)  f’(x)x hay f(x+x)  f(x) + f’(x)x Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1 /4 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f 97 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý... Thịt bò, heo Nhân viên 2.000đ/tô 500đ/tô 113 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: Q5 L 1 14 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là... hàm số: 3 y  (x  1) x 2 107 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc 1 tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định 2 Tính f’(x) Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x) 3 Lập bảng biến thiên 4 Suy ra điểm cực trị Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: 3 y  (x  1) x 2 108 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0 a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x)... định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a) 98 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b)  f (a ) f ' (c )  g(b)  g(a) g' (c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x 99 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả... là phần dư Lagrange f (n1) (c ) n 1 Rn (x )  (x  x 0 ) (n  1)! 100 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f (k ) ( x 0 ) k Pn( x )   (x  x0 ) k! k 0 n Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ' (0) f " ( 0) 2 f (n) (0) n f (n 1) (c ) n1 f ( x )  f ( 0)  x x   x  x 1! 2! n! (n  1)! 101 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý:... C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x 0 b) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x 0 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: 3 y  (x  1) x 2 107 C4 ... dnf dxn 93 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: y = ex y = ax y = lnx y = x Một vài công thức:  y  sin x  y  sin( x  n )  (n) y  cos x  y  cos( x  n ) (n) 94 C4 ĐẠO HÀM –... y = sin2x 90 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm x, f’(x) ≠ có hàm số ngược 1 ' -1 x = f (y) thì: (f )y  ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm y = arcsinx 91 C4 ĐẠO HÀM – VI... d   v v2 96 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi x |x| gần ta có: f(x+x) – f(x)  f’(x)x hay f(x+x)  f(x) + f’(x)x Ví dụ: Tính gần (15,8)1 /4 Định nghĩa: Cho