CHƯƠNG : KHÁI NIỆM CHUNG §1.1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: Cơ học vật rắn biến dạng ngành học lớn, nghiên cứu làm việc vật rắn mặt học trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị biến dạng…dưới tác dụng bên (tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức… Do đối tượng nghiên cứu, kiện làm việc mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nên trình phát triển, ngành học lớn chia thành nhiều môn học riêng sau: 1.Sức bền vật liệu học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng kỹ thuật): Chủ yếu nghiên cứu hệ Trong trình tính toán đưa giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ có kết tiện lợi vấn đề tính toán Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu vật rắn đàn hồi có hình dạng Các lý thuyết khác : - Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu làm việc vật liệu giai đoạn biến dạng dẻo, hình thành biến dạng dẻo ứng suất tương ứng - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu biến đổi theo thời gian ứng suất biến dạng kết cấu tác dụng ngoại lực ban đầu (kể trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian) - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu chảy vật chất): Nghiên cứu định luật chung phát sinh phát triển biến dạng theo thời gian vật chất nguyên nhân khác điều kiện nhiệt động hóa lý khác Nhìn chung môn học có đối tượng phương pháp nghiên cứu khác mang tính tương đối Trong thực tế ranh giới môn học nhiều bị xóa bỏ xâm nhập lẫn §1.2 NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị vật thể đàn hồi tác dụng bên (tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức…) Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo giả thiết sau: Các giả thiết bản: a Vật liệu liên tục, đồng đẳng hướng: vật liệu điểm theo phương tính chất lý b Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết trình tăng tải giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trình chịu tải lượng hoàn toàn bảo toàn c Quan hệ ứng suất biến dạng bậc tức vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke d Vật liệu trạng thái tự nhiên trước chịu lực: Ở trạng thái ban đầu, vật thể chưa biến dạng vật thể không phát sinh ứng suất, nghĩa bên vật thể ứng suất trước e Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết biến dạng tương đối nhỏ so với tích biến dạng bỏ qua so với biến dạng so với * Giả thiết biến dạng bé giả thiết quan hệ ứng suất biến dạng bậc cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng giải toán §1.3 NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU Khái niệm nội lực : Trong vật lý, phần tử vật chất vật thể luôn tồn lực tương tác Khi vật thể chịu tác dụng ngoại lực tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng lực tương tác thay đổi Lượng thay đổi lực tương tác phần tử vật thể gọi nội lực Phương pháp mặt cắt, ứng suất hệ thống ký hiệu : - Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu SBVL CHKC): phương pháp làm xuất để tính nội lực S S dP n M n B M A dF A  Nếu ký hiệu n pháp tuyến mặt cắt điểm M cường độ phân  bố nội lực điểm M ký hiệu Pn gọi ứng suất toàn phần  Định nghĩa: Ứng suất toàn phần Pn nội lực đơn vị diện tích dF có  pháp tuyến n lấy điểm M(x, y, z) xét Biểu thức định nghĩa :   dP Pn  dF  dP : Tổng nội lực diện tích vô bé dF chứa điểm M thuộc mặt cắt    S nên ứng suất toàn phần hàm chứa biến M n : Pn (M , n ) * Các cách ký hiệu ứng suất toàn phần:     a Trong hệ tọa độ Descartes : Pn  Pnx e1  Pny e2  Pnz e3 Pny y Pn t n Pn n M(x,y) n t n Pnx x dF M Pnz z    b Trong Sức bền vật liệu: Pn   n   nt Trong đó:   n ứng suất pháp, có số phương pháp tuyến mặt cắt   nt ứng suất tiếp, có số, số thứ phương pháp tuyến mặt cắt, số thứ hai phương song song với ứng suất tiếp chứa ứng suất tiếp c Trường hợp đặc biệt mặt cắt qua điểm M(x, y, z) xét  vuông góc với trục tọa độ, pháp tuyến n tương ứng trùng với phương trục tọa độ: y y xz M y y M x yx M yz z zx z xz x zy x x z z * Trên mặt cắt vuông góc với trục x : - Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : x - Ứng suất tiếp nằm mặt phẳng chia thành hai thành phần theo hai phương y, z: ký hiệu : xy , xz Tương tự : y *Trên mặt cắt vuông góc trục y : y , yz , yx xy>0 *Trên mặt cắt vuông góc trục z : z , zx , zy *xy> x>0 *Quy ước dấu thành phần ứng suất : *  x>0 x z - Nếu pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều dương trục tọa độ tương ứng, chiều ứng suất hướng theo chiều dương trục tọa độ tương ứng ứng suất dương - Nếu pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều âm trục tọa độ tương ứng, chiều ứng suất hướng theo chiều âm trục tọa độ tương ứng ứng suất dương - Các trường hợp khác với điều nêu ứng suất âm §1.4 CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU Chuyển vị : a Khái niệm: Chuyển vị thay đổi vị trí phần tử vật chất vật thể vật thể bị biến dạng b Các thành phần chuyển vị ký hiệu : y P m P N M1(x1,y1,z1) N n M(x,y,z) x z Hình 1.1 Xét điểm M(x,y,z) vật thể V Sau vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M1(x1, y1, z1) Vectơ MM vectơ chuyển vị Véc tơ chuyển vị có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z u, v, w Các điểm M(x,y,z) khác có chuyển vị khác nên u, v, w hàm điểm M hàm biến x, y, z u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w = w(x,y,z) Các chuyển vị bé tức giá trị nhỏ nhiều so với kích thước vật thể Biến dạng : a Khái niệm: Biến dạng thay đổi hình dáng, kích thước vật thể yếu tố hình học vật thể b Các thành phần biến dạng ký hiệu : Để định lượng biến dạng vật thể, ta xét thay đổi yếu tố hình học chiều dài, góc, thể tích vật thể  Biến dạng dài tương đối :  Xét phân tố chiều dài MN = ds theo phương n Sau biến dạng MN = ds trở thành M1N1 = ds1 Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu n, tỷ số  n  ds1  ds ds Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối biến dạng đơn vị chiều dài, có số phương biến dạng Do biến dạng dài tương đối theo phương x, y, z hệ tọa độ Descartes : x, x, z  Biến dạng góc : Xét góc vuông PMN Sau biến dạng PMN trở thành P1M1N1 Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu mn hiệu số mn = PMN - P1M1N1  - P1M1N1 =  = Ý nghĩa: Biến dạng góc lượng thay đổi góc vuông mặt phẳng xét, có số mặt phẳng xét biến dạng góc => Biến dạng góc mặt phẳng xoy, yoz, zox : xy, yz, zx  Biến dạng thể tích tương đối : Xét phân tố tích dV sau biến dạng trở thành dV1 Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu , tỷ số : = dV1  dV dV Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối lượng thay đổi thể tích đơn vị thể tích *Các hàm , ,  hàm biến x,y,z:  = (x,y,z)  = (x,y,z) = (x,y,z) Theo giả thiết biến dạng bé ta có: // xy = α+β= v x u y + (c) Các kết (b) (c) cho mặt phẳng xoy sử dụng cho hai mặt phẳng lại yoz zox Bằng cách hoá vị vòng chỏ số theo thứ tự tam diện thuận x,y,z ta nhận quan hệ chuyển vị biến dạng sau : x(u) y(v) u     x x ;  v   y  ; y   w   ;  z z  v u  x y w v  yz   y z u w  zx   z x z(w)  xy  (3.1) Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính thành phần biến dạng chuyển vị xét thời điểm t, gọi phương trình quan hệ hình học CAUCHY Từ (3.1) kết luận biến dạng bé đạo hàm bậc chuyển vị theo phương toạ độ bé §3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG 3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương : Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo phương x,y,z Đặt vấn đề tính biến dạng dài tương đối theo phương ? y K1 dy y M1 K n M x dx x dz z z (Hình 3.3) 17 Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương n với cosin phương l,m,n Hình chiếu ds lên trục x,y,z dx, dy, dz   dx ds    dy Véc to n có m = cos ( n , y ) = ds   dz n = cos ( n , z ) = ds l = cos ( n , x ) = (a) +Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu điểm cuối vi phân MK M(x,y,z) K(x+dx, y+dy, z+dz) +Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z u,v, w +Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương : u+du; v+dv; w+dw Với du, dv, dw vi phân toàn phần thành phần chuyển vị u,v,w u dx + u dy + u dz x z y dv = v dx + v dy + v dz y x z dw = w dx + w dy + w dz x z y du = + Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 : M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w) K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw) + Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b) + Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng: ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c) Biến dạng dài tương đối theo phương n ds Ký hiệu n : ds  ds ds1 = -1 ds ds ds1  (n + 1) = ds 2 ds  ds ds1  1+2n + n =  n = (d) ds 2ds (Với giả thiết biến dạng bé bỏ qua n2 so với n) n = Tính ds12 = [dx + ( u u u dx + dy + dz)]2 + x z y 18 v dx + x w + [dz + ( dx + x + [dy + ( v dy + y w dy + y v dz)]2 + z w dz)]2 z (e) Khai triển (e) bỏ qua thành phần vô bé bậc cao u u v w u v v w w dx+ dy+ dz)2;( dx+ dy+ dz)2;( dx+ dy+ dz)2 so với x z x z x z y y y u v w u v w ; ; (vì theo giả thiết biến dạng bé ; ; x ds y ds z ds w dxdz w dydz w dz    x ds y ds z ds dx dy dz ;m  ;n  Thay l  biểu thức (3.1) vào n : ds ds ds  n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + xy.lm + yz.mn + zx.nl   xy n = x.l2 + y.m2 + z.n2 +   lm  yz mn  zx nl  2 (3.4)   19 xy xy ; yz yz ; zx  zx ta có : 2 2 2 n = x.l + y.m + z.n + 2( xy lm + yz mn + zx nl) Đặt (3.5) Có thể viết dạng toàn phương : n = l m x yx zx  l    n   xy y zy  m      n   xz yz z    (3.6) + Sau nhận (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) : n = x.l2 + y.m2+z.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7) Nên kết luận : Trạng thái biến dạng điểm đặc trưng thành phần biến dạng mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ Chín thành phần thành lập tenxơ hạng đối xứng gọi tenxơ biến dạng bé Ký hiệu : T x yx zx    T =  xy x zy    xz yz z      Và biểu diễn : II Tenxơ lệch biến dạng Tenxơ cầu biến dạng : Tenxơ biến dạng T phân tích thành tổng hai tenxơ hạng tenxơ lệch biến dạng D Tenxơ cầu biến dạng T0 x xy xz  x  tb     yx y yz  =  yx  zx zy z   zx    T Với = tb = xy xz  tb 0    y  tb yz  + 0 tb  zy z  tb 0 tb  D + T0  x  y  z : Biến dạng dài trung bình    D: đặc trưng cho biến dạng hình dạng phần tử T0: đặc trưng cho biến dạng thể tích phần tử §3.3 BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH Trạng thái biến dạng điểm M(x,y,z) đặc trưng tenxơ biến dạng bé Tại điểm M(x,y,z) ta tìm ba phương vuông góc với 20 mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, biến dạng góc không Những phương gọi phương biến dạng - Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng biến dạng chính, biến dạng biến dạng dài cực trị điểm Ký hiệu biến dạng : 1, 2 , 3 => theo quy ước 1> 2 > 3 Tương tự việc tìm ứng suất chính, biến dạng xác định từ phương trình sau : ( x   n )  yx   zx   Det   xy ( y   n )  zy 0     (    ) zx yz z n   (3.7) Khai triển (2.12) ta phương trình bậc ứng suất  n :  3n  J1 2n  J  n  J    Trong J   x  y   y  z   z  x  (  xy   yz   zx )   2 J   x  y  z   xy  yz  zx  ( x  yz   y  zx   z  xy ) (3.8) J1   x   y   z   (3.9) Các hệ số J1, J2 , J3 phương trình tìm biến dạng giá trị không đổi ta xoay trục Chúng gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai bất biến thứ ba trạng thái biến dạng điểm Phương trình (3.8) cho nghiệm biến dạng chính, ba nghiệm thực * Tìm phương biến dạng : Sau có biến dạng đường 1, 2 , 3, ứng với i sử dụng hệ phương trình (3.10) phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số ba cosin phương biến dạng i   n0    l  (   ) m   n  0   l  m  (   ) n   (   ) l   m x yx n xy y xz zy n yz zx z (3.10) n Và phương trình: l + m + n = (3.11) Kết ta có phương biến dạng tương ứng với biến dạng Ba phương trực giao với ký hiệu trục 1,2,3 Tenxơ biến dạng viết : 21 1 0  T  0     0   Các bất biến trạng thái biến dạng : J  1       J   1         J   1   §3.4 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG Ở mục ta lập phương trình vi phân biến dạng theo chuyển vị u, v, w (Biểu thức 3.1) x = u xy = y = yz = z = x v y w z zx = v u  x y w v  y z w u  x z (3.1) - Các phương trình cho phép tính biến dạng cách lấy đạo hàm chuyển vị u, v, w Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục vật thể hàm đơn trị liên tục biến số Dó đó, biến dạng hàm đơn trị liên tục - Để giải toán ngược tìm hàm chuyển vị u, v, w biết biến dạng, ta có phương trình đạo hàm riêng ẩn số Số phương trình nhiều ẩn số, nên để xác định ẩn số hàm liên tục đơn trị phương trình phải có quan hệ với Các quan hệ gọi điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục biến dạng gọi điều kiện Sainti - Venant Để nhận phương trình này, ta khử chuyển vị u, v, w phương trình biến dạng Cauchy - Navier 22 I Nhóm phương trình cho biến dạng mặt phẳng : 2   u v   xy    xy xy  y x  xy  2 x   y   y x  Tương tự ta có : u  v  u  v  2 x   y      y xy x y x x y y x  2 xy xy  2 y  2 z   yz   z y yz (3.12)  2 z  2 x  2 zx   x z xz II Nhóm phương trình cho biến dạng mặt phẳng khác nhau:    xy  zx   u v    w u  = +     xz  y x  xy  x z  xz xy 2    u    + y z  x  x 2 2 2 x   yz  = yz x =   v w    u      +  z y  yz  x           2 2 x    yz  zx  xy       yz x  x y z  2 2 y    yz  zx  xy       zx y  x y z  2 2 z    yz  zx  xy       xy z  x y z  (3.13) Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) (3.13) thể mối quan hệ biến dạng điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học CauchyNavier gọi phương trình liên tục biến dạng 23 CHƯƠNG : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG Trong hai chương ta nghiên cứu hai mặt riêng biệt môi trường liên tục mặt tĩnh học (trường ứng suất) mặt hình học (trường biến dạng), hai mặt có quan hệ với Sự phân bố ứng suất biến dạng môi trường phụ thuộc vào quan hệ Xét quan hệ ứng suất biến dạng tức xét mặt vật lý môi trường Sự khác mặt vật lý dẫn đến nội dung khác lý thuyết học vật rắn biến dạng lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến lý thuyết đàn hồi dẻo Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất hàm biến dạng : x = f1(x, y, z, xy, yz, zx); y = f2(x, y, ); z = f3(x, y, ); Txy= f4(x, y, ); (4.1) Tyz= f5(x, y, ); Tzx= f6(x, y, ); Trong môn học ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất biến dạng quan hệ tuyến tính Do (4.1) viết thành : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx; y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25yz + a26zx; (4.2) Tzx = a61x + a62y + a63z + a64xy + a65yz + a66zx Trong : Các hệ số aij : Là số đàn hồi vật liệu Trong (4.2) : Có tất 36 số đàn hồi Ta chứng minh vật liệu hoàn toàn đàn hồi đẳng hướng có số độc lập với §4.1 CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI Xét phần tử hình hộp có cạnh dx, dy, dz điểm M(x,y,z) Các mặt phân tử có ứng suất hình vẽ (H,4.1) Ứng với ứng suất phần tử có chuyển vị đường chuyển vị góc Khi phần tử bị biến dạng nội lực sinh công 24 xy dz y P (x,y+ dy,z)  xy  xy x dx  x dx x N (x+dx,y,z) x  dy xy  Q (x,y,z+ dz) dx x   xz    xz dx x x Hình 4.1 z 4.1.1 Số gia công ứng suất pháp sinh ra: x Ứng suất pháp mặt vuông góc trục x : x x + dx, có x độ dài tương đối x, độ dãn dài tuyệt đối : x.dx Sau thời gian vô bé t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: x Số gia độ dãn dài tuyệt đối cạnh dx : x dx Số gia công x sinh : (x.dydz)( x.dx) Tương tự số gia công y z sinh : (y.dxdz)( y dy) (a) (z.dxdy)( y dz) 4.1.2 Số gia công ứng suất tiếp sinh ra: Xét thành phần Txy thời điểm t, góc trượt tỷ đối xy Sau thời gian t, góc trượt có số gia xy Lực Txy : Txy.dy.dz Moment Txy tác dụng mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx Số gia công Txy sinh : (Txy.dydz.dx) xy Tương tự số gia công ứng suất tiếp Tyz Tzx sinh : (Tyz.dzdx.dy) xz (b) (Tzx.dxdy.dz) zx Số gia công phần tử hình hộp tổng số gia công ứng suất sinh (a+b): T = (x x +y y +z z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx )dxdydz (4.3) 25 Ta có: dV = dxdydz : Thể tích phần tử trước biến dạng *Số gia công đơn vị thể tích (công riêng) A : A = T = x x +y y +z z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx V (4.4) * Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi lượng sinh biến dạng bảo toàn Nếu gọi W biến dạng đàn hồi tích lũy vật thể biến dạng độ lớn biến dạng đàn hồi công ngoại lực A Do ta có A=W (4.5) Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi Từ (4.5)  A = W (4.6) Thế sinh biến dạng biến dạng mà có, biến dạng đàn hồi hàm số thành phần biến dạng : W = f(x, y, z, xy, yz, zx) Trong miền đàn hồi trình biến dạng thuận nghịch nên W vi phân toàn phần Nếu bỏ qua vô bé bậc cao khai triển số gia biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta : w w w w w w W = x + y + z + xy + yz + zx (4.7)  y  x  xy  z  yz  zx So sánh (4.4) (4.7) : A = W : ta có : x = w  x ; Txy = w ;  xy y = w  y ; Tyz = w ;  yz z = w  z ; Tzx = w ;  zx (4.8) Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất đạo hàm riêng biến dạng đàn hồi biến dạng tương ứng §4.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁTCÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU 4.2.1 Dựa vào định lý Green : Từ (4.2) ta có : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx (4.8) ta có : x = w  x 26 2w  = a15 (a)  x  yz Từ (4.2) ta có: Tyz = a51x + a52y + a53z + a54xy + a55yz + a56zx Từ (4.8) ta có: Tyz = w  yz  w  = a51  x  yz (b) Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) (b) ta có : a15 = a51 Tổng quát số đàn hồi (4.2) ta có: aij = aji (4.9) Vậy số hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo Do số cần xác định 36 - 15 = 21 hệ số 4.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng : Vật thể đẳng hướng vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, mặt phẳng qua phần tử mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý vật liệu theo phương Do phương trình (4.2) không thay đổi ta thay đổi hệ tọa độ : +Giả sử đổi chiều trục y ứng suất pháp x phương trình thứ hệ (4.2) không thay đổi: x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx (c) Nhưng biến dạng góc xy yz đổi dấu đổi chiều trục y góc trượt trước làm góc vuông nhỏ lại làm cho góc vuông lớn lên  x = a11x + a12y + a13z - a14xy - a15yz + a16zx (d) Đồng (c) (d) ta có : a14   a14    a14  a15  a15   a15  Tương tự đổi chiều trục z ta có a16 = Bằng cách chứng minh tương tự ta đến kết luận ba số cuối ba phương trình đầu hệ phương trình (4.2) Do aij = aji nên ba số đầu ba phương trình cuối hệ phương trình (4.2) 27 * Hệ phương trình (4.2) trở thành : x = a11x + a12y + a13z y = a21x + a22y + a23z z = a31x + a32y + a33z (4.9) Tyx = a44xy + a45yz + a46zx Tyz = a54xy + a55yz + a56zx Tzx = a64xy + a65yz + a66zx Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp quan hệ với biến dạng góc - Các ứng suất tiếp quan hệ với biến dạng dài tương đối Xét phương trình thứ (4) hệ phương trình ( 4.9) : Tyx = a44xy - a45yz + a46zx (e) Nếu ta đổi chiều trục z Txy không đổi yz zx đổi dấu: Tyx = a44xy - a45yz - a46zx (f) Đồng (e) (f) ta có : a45   a45    a45  a46  a46   a46  Do aij = aji  a54 = a64 = Tương tự ta có : a56 = a65 = Hệ phương trình (4.9) rút gọn sau: x = a11x + a12y + a13z y = a21x + a22y + a23z z = a31x + a32y + a33z Tyx = a44xy (4.10) Tyz = a55xy Tzx = a66xy Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) hệ phương trình (4.10), ta có: x y z z = a31x + a32y + a33z Hoán vị vòng ta có: x = a31y + a32z + a33x (4.14) Phương trình (1) hệ phương trình (4.10) : x = a12y + a13z + a11x Đồng (4.14) (1) ta có : a31 = a12 a32 = a13 a33 = a11 Vì aij = aj i  a12 = a21 a31 = a13 a32 = a23 28 * Đặt a = a11 = a22 = a33 b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23 Bằng phép hoán vị vòng phương trình (4,5,6) hệ (4.10) ta có : c = a44 = a55 = a66 Do (4.10) có dạng : x = ax + b(y + z) y = ay + b(x + z) z = az + b(x + y) Txy = cxy Tyz = cyz Tzx = czx *Ta có:  = x + y + z: biến dạng thể tích tương đối nên x = b + (a - b) x y = b + (a - b) y z = b + (a - b) z *Đặt b =  a -b =  (4.12)  x =  +2x y =  +2y z =  +2z Thực nghiệm chứng minh xoay hệ trục tọa độ ta có c = (4.15) (4.11) (4.12) (4.13) ( a b) c=  Txy = xy Tyz = yz (4.14) Tzx = zx Các hệ phương trình (4.18) (4.19) quan hệ ứng suất biến dạng vật thể đàn hồi đẳng hướng gọi định luật Hooke tổng quát viết dạng ứng suất theo biến dạng Đối với loại vật liệu có hai số vật lý   Hai số gọi số LaMê $4.3 MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT Từ (4.18) ta có : x + y + z = 3 + 2 Trong :  = x + y + z : Độ biến dạng thể tích tương đối = (x + y + z) 3  2 (a) 29 y  y2   y z     y  z  2  z  z    Từ (4.18) 2 (b)  Mặt khác x =  - (y + z) (c) Thay (a) (b) vào(c) ta có : x z   x = (x y z )    (x y z ) 3  2  (3  2 )  2    x y (x y z )  =  (3  2 ) 2    x   (x y )   (3  2 )   (  )   (3  2 ) Đặt E =    = 2(  ) x =  x   ( y  z) ; E :y =  y   ( x  z) ; E Ta có (4.20) : x = Tương tự : z =       (4.15) (416) (4.17) z   (x y) E Từ (4.21) ta có : E=   (3  2 )   2  2           (2   2)              Mà E 2(   1) E G= 2(   1) = =G Lúc (4.19) có dạng : Txy G yz = Tyz G zx = Tzx G xy = (4.18) 30 Các hệ phương trình (4.22) (4.23) gọi định luật Hooke tổng quát viết dạng biến dạng theo ứng suất *Định luật Hooke khối Từ (4.17) ta có : E(x + y + z) = (x + y + z) - 2(x + y + z) (*)  E = S (1 - 2)  =  2 S E (*) (4.19) Với:  = x + y + z : Biến dạng thể tích tương đối S =x + y + z: Hàm ứng suất tổng Phương trình (4.19) gọi Định luật Hooke khối 31 [...]... a44xy (4 .10 ) Tyz = a55xy Tzx = a66xy Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4 .10 ), ta có: x y z z = a 31 x + a32y + a33z Hoán vị vòng ta có: x = a 31 y + a32z + a33x (4 .14 ) Phương trình (1) của hệ phương trình (4 .10 ) : x = a12y + a13z + a 11 x Đồng nhất (4 .14 ) và (1) ta có : a 31 = a12 a32 = a13 a33 = a 11 Vì aij = aj i  a12 = a 21 a 31 = a13 a32 = a23 28 * Đặt a = a 11 = a22... xét về mặt vật lý của môi trường Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng : x = f1(x, y, z, xy, yz, zx); y = f2(x, y, ); z = f3(x, y, ); Txy= f4(x, y, ); (4 .1) Tyz= f5(x,... / ... vật lý môi trường Sự khác mặt vật lý dẫn đến nội dung khác lý thuyết học vật rắn biến dạng lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến lý thuyết đàn hồi dẻo Trong lý thuyết đàn hồi. .. : a 31 = a12 a32 = a13 a33 = a 11 Vì aij = aj i  a12 = a 21 a 31 = a13 a32 = a23 28 * Đặt a = a 11 = a22 = a33 b = a12 = a 21 = a13 = a 31 = a23 Bằng phép hoán vị vòng phương trình (4,5,6) hệ (4 .10 )... trình (4 .10 ), ta có: x y z z = a 31 x + a32y + a33z Hoán vị vòng ta có: x = a 31 y + a32z + a33x (4 .14 ) Phương trình (1) hệ phương trình (4 .10 ) : x = a12y + a13z + a 11 x Đồng (4 .14 ) (1)