NGUYN THANH TNG bo ok c om /N TS T O EI C (Giỏo viờn chuyờn luyn thi THPT Quc Gia) ht s: //w w w fa ce BIấN SON THEO CU TRC MI NHT CA B GD&T * Dnh cho hc sinh lp 10, 11, 12 v luyn thi Quc Gia * Sỏch tham kho b ớch cho giỏo viờn NHà XUấT BảN TổNG HợP THàNH PHố Hồ CHí MINH Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 MC LC Phn 1: Tng hp cỏc kin thc c bn Phn 2: Nhng bi toỏn c bn 12 Bi toỏn 12 C Bi toỏn 14 O EI Bi toỏn 15 T Bi toỏn 16 TS Bi toỏn 17 /N Bi toỏn 18 om Bi toỏn 19 Phn 3: 10 bi toỏn hỡnh hc OXY 21 ok c Bi toỏn 21 bo Bi toỏn 108 ce Bi toỏn 117 w fa Bi toỏn 139 Bi toỏn 152 ht s: //w w Bi toỏn 184 Bi toỏn 253 Bi toỏn 269 Bi toỏn 297 Bi toỏn 10 317 Phn 4: Sỏng to v phỏt trin t cỏc bi toỏn hỡnh hc phng thun tỳy 331 Phn 5: Bi tng hp 362 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 PHN 1: TNG HP KIN THC C BN I H TRC TA T O EI C O(0;0) A H trc ta Oxy hay (O; i; j ) cú i = (1;0) j = (0;1) Ox : Trc honh ; Oy : Trc tung Chỳ ý: /N TS Nu núi ti tia Ox hay tia Oy c hiu l phn honh v tung khụng õm ca cỏc trc Ox, Oy tng ng B Vect : c om u = xi + y j u = ( x; y ) Cho hai vect a = ( x1 ; y1 ) v b = ( x2 ; y2 ) Khi ú: ok x1 = x2 y1 = y2 Hai vect cựng phng : a v b cựng phng a =kb x1 y2 =x2 y1 Tng, hiu hai vect: a b = ( x1 x2 ; y1 y2 ) Tớch mt s vi mt vect: k a = (kx1 ; ky1 ) Tớch vụ hng ca hai vect : a.b = a b cos a,= b x1 x2 + y1 y2 Mụun ca vect:= a x12 + y12 x1 x2 + y1 y2 a.b Gúc gia hai vect: cos = a, b = a.b x1 + y12 x22 + y22 Hai vect vuụng gúc: a b a.b = x1 x2 + y1 y2 = im: OM =xi + y j M ( x; y ) ht s: //w w ce w fa bo Hai vect bng nhau: a= b C ( ) ( ) * Cho ba im A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) Khi ú : ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB = Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) x1 + x2 y1 + y2 ; x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 Trng tõm G ca tam giỏc ABC : G ; 3 Trung im I ca AB cú ta : I w fa ce bo ok c om /N TS T O EI C Sau õy l s cho phn tng hp kin thc trờn: ht s: //w w II CC H THC LNG TRONG TAM GIC A TRONG TAM GIC VUễNG : H thc Pitago: a= b2 + c2 Mi quan h gia cnh, ng cao: b = ab ' c = ac ' 1 + = + h b2 c2 + h2 = b ' c ' + bc = ah + Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Mi quan h gia cnh v gúc: = b a= sin B a= cos C c= tan B c cot C B TRONG TAM GIC BT Kè : Cỏc nh lý * nh lý cụsin: a = b + c 2bc cos A H qu: C b2 + c2 a 2bc b2 + c2 a + Tớnh di ng trung tuyn: = m a b c * nh lý sin: = = = R sin A sin B sin C EI + Tớnh gúc: cos A = TS T O a /N Cỏc cụng thc tớnh din tớch tam giỏc ok c om a.ha + Hai cnh v sin gúc xen gia: S = ab sin C + ng cao v cnh i din: S = abc 4R + Na chu vi v bỏn kớnh ng trũn ni tip: S = pr p ( p a )( p b)( p c) w fa + Hờ rụng: S = ce bo + Ba cnh v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip: S = Trong ú: R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ; ht s: //w w r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC ; p= a+b+c l na chu vi tam giỏc ABC Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Sau õy l s cho phn tng hp kin thc trờn: ok c om /N TS T O EI C CC H THC LNG TRONG TAM GIC ht s: //w w w fa ce bo III IM, NG THNG, NG TRềN V ELIP A IM Cỏc im c bit ca tam giỏc: + Trc tõm : L giao ng cao ca tam giỏc + Trng tõm: L giao ng trung tuyn ca tam giỏc + Tõm ng trũn ngoi tip: L giao ng trung trc ca tam giỏc + Tõm ng trũn ni tip: L giao ca ng phõn giỏc Chỳ ý: + Do giao ca cỏc ng (cựng tờn) ng quy, nờn v hỡnh ta ch cn xỏc nh giao ca hai ng, thm l mt ng nu ú l trung tuyn (da vo t l trng tõm) + Tõm ng trũn bng tip : L giao ca ng phõn giỏc ngoi ca hai gúc hoc mt phõn giỏc ngoi ca mt gúc v mt phõn giỏc ca mt gúc Nh vy mt tam giỏc cú ng trũn bng tip Nu cho im phõn bit A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ), ta cú : AB = ( x2 x1 ; y2 y1 ) v AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 x1 + x2 xI = I l trung im ca AB y = y1 + y2 I w fa ce bo ok c om /N TS T O EI C x1 + x2 + x3 xG = G l trng tõm ca ABC y + y y = + y3 G A, B, C thng hng k : AB =k AC ht s: //w w B NG THNG ng thng * i qua im M ( x0 ; y0 ) v cú : + h s gúc k cú phng trỡnh: y = k ( x x0 ) + y0 + vect phỏp tuyn (vtpt) n = (a; b) cú phng trỡnh: a ( x x0 ) + b( y y0 ) = + vect ch phng (vtcp) n = (a, b) cú phng trỡnh dng tham s l: x x0 + at = x x0 y y0 hoc phng trỡnh dng chớnh tc l: (vi = y y0 + bt a b = ab ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Ct hai trc Ox, Oy ln lt ti hai im A(a;0), B (0; b) cú phng trỡnh dng on chn: x y + = (vi ab ) a b V trớ tng i ca hai ng thng Xột hai ng thng : a1 x + b1 y + c1 = v : a2 x + b2 y + c2 = C Ta giao im ca v l nghim ca h phng trỡnh : T O EI a1 x + b1 y + c1 = (I) a2 x + b2 y + c2 = * H (I) cú mt nghim ( x0 ; y0 ) , ú ct ti im M ( x0 ; y0 ) TS * H (I) cú vụ s nghim, ú om Mt vi chỳ ý /N * H (I) vụ nghim, ú // * Trc honh ( Ox ) cú phng trỡnh: y = ; Trc tung (Oy ) cú phng trỡnh: c x =0 ok * ng thng i qua hai im phõn bit: bo + A(a; y1 ), B (a; y2 ) cú phng trỡnh: x = a (song song vi trc Oy nu w fa Phng trỡnh ng thng cú dng tng quỏt n = (a; b) ax + by + c = (b; a) hoaở c u = (b; a) u = ht s: //w w * ce a 0) + A( x1 ; b), B ( x2 ; b) cú phng trỡnh: y = b (song song vi trc Ox nu b ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 C NG TRềN * ng trũn cú ta tõm I ( x0 ; y0 ) v bỏn kớnh R cú phng trỡnh: ( x x0 ) + ( y y0 ) = R2 * Nu ng trũn (C ) cú phng trỡnh dng: x + y + ax + by + c = 2 vi a + b > 4c thỡ (C ) cú: a + b2 c bo ok c om /N TS T O EI C a b kớnh R ; v bỏn= 2 tõm I = R a2 + b2 = c ce x2 y 2 Phng trỡnh chớnh tc ca elip ( E ) : + = ú a b a , b, c > 2 a= b + c w fa * ( E ) nhn Ox, Oy lm cỏc trc i xng v cú tõm i xng l gc ta O ht s: //w w x02 y02 = + * Nu M ( x0 ; y0 ) ( E ) a b MF + MF = 2a * Elip ( E ) cú: + Tiờu im trỏi F1 (c;0) , tiờu im phi F2 (c;0) + Cỏc nh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) + Trc ln: A1 A2 = 2a , nm trờn trc Ox Trc nh: B1 B2 = 2b , nm trờn trc Oy + Tõm sai: e= c < a Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 + ng chun: x = a a ng vi tiờu im F1 (c;0) v x = ng vi tiờu e e im F2 (c;0) x = a cú chiu di 2a , chiu y = b + Hỡnh ch nht c s to bi cỏc ng rng 2b C + Bỏn kớnh qua tiờu ca im M ( x0 ; y0 ) ( E ) l: TS T O EI c a + ex0 = a + x0 MF1 = a MF =a ex =a c x 0 a /N IV CC CễNG THC NH LNG KHONG CCH ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) c AB = om * Khong cỏch gia hai im A( x1 ; y1 ) v B ( x2 ; y2 ) l ok * Khong cỏch t im M ( x0 ; y0 ) n ng thng : ax + by + c = l: w fa ce bo ax + by0 + c d ( M , ) = a + b2 * Nu ' // v M ' thỡ khong cỏch gia hai ng thng ' v l: d ( ',= ) d ( M , ) GểC ht s: //w w * Gúc gia hai vect a = ( x1 ; y1 ) v b = ( x2 ; y2 ) xỏc nh bi: cos = a, b ( ) a.b = a.b x1 x2 + y1 y2 x + y12 x22 + y22 l gúc to bi hai ng thng : * a1 x + b1 y + c1 = v : a2 x + b2 y + c2 = xỏc nh bi cos cos n1 , n2 = = ( ) a1a2 + b1b2 = cos u1 , u2 a12 + b12 a22 + b22 ( ) 10 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 a 2(3m 1) = a = A(1;5) AG =2GM 11 11 m = M (1;3) (9 4a )= m BC i qua M v vuụng gúc vi ng x y + = nờn cú phng trỡnh: x + y = + Suy ta im B l nghim ca h : EI C = 3x + y= x B(3; 3) C (1;9) (do M l trung im ca BC) x + y =0 y =3 O Vy A(1;5), B (3; 3), C ( 1;9) T Bi 80 TS + ng trũn (C ) cú tõm I (4;0) v bỏn kớnh R = /N + Gi M (0; m) Oy IM = m + 16 om MA2 = MB = MI R = m + 12 c Suy A, B thuc ng trũn tõm M bỏn kớnh MA cú phng trỡnh: ok x + ( y m) = m + 12 bo + Khi ú ta A, B l nghim ca h: ce x + ( y m) = m + 12 x + y 2my 12 = x my 12 = 2 4)2 + y x + 12 ( x= x + y= w fa Suy phng trỡnh AB : x my 12 = + Mt khỏc E (4;1) AB 16 m 12 =0 m =4 M (0; 4) ht s: //w w Vy M (0; 4) Bi 81 + Ta im B l nghim ca h x y + =0 x =2 B(2; 1) x + y + =0 y =1 + Gi D l im i xng vi A qua BN D BC AD i qua A v vuụng gúc vi BN nờn cú phng trỡnh: x y = 432 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Suy ta giao im K ca AD v BN l nghim ca h : x y =0 x =1 K (1; 3) D(3; 4) (vỡ K l trung im ca AD) x + y + =0 y =3 Suy BC i qua B, D nờn cú phng trỡnh: x y + = + AC i qua A v vuụng gúc vi BH nờn cú phng trỡnh: x + y + = Suy ta im C l nghim ca h: T O EI C x = x + y + = C ; 2 3x y + = y = TS Vy B(2; 1), C ; 2 CI i qua I v vuụng gúc vi AB nờn cú phng trỡnh: x + y 10 = bo ok + om M lờn AB N 5; MN = c + Gi N l hỡnh chiu vuụng gúc ca /N Bi 82 w fa ce C (c;10 2c) CI Gi vi a yB A(2a; a) AB B(8 2a; a) ht s: //w w CI = (c 4) + (8 2c) = c Suy AI = BI = (2a 4) + (a 2) = a = 5 BN= (2a 3) 2= (3 2a) 5(2 a) + Ta cú S ABC = 10 CI AI = 10 c 5(2 a) = 10 c = 2a (1) Mt khỏc MN // CI nờn ta cú: MN BN 5(3 2a) 2(a 2) = = c 4= CI BI 2a c 5(2 a) (2) 433 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Thay (1) vo (2) ta c: c = 2(a 2) = a 2a + = a = c = 2a 2a c = Vy A(1; 2), B (6,3), C (6; 2) hoc A(1; 2), B (6,3), C (2;6) Bi 83 + Gi vecto phỏp tuyn ca AB C l n = (a; b) vi a + b > EI Khi ú phng trỡnh AB : O a ( x 2) + b( y 3) = T phng trỡnh BC : b( x 5) ay = a + b2 = a 4b a = a + 4b = a 4b a + b2 b = /N a 4b om d (T , AB) = d (T , BC ) TS + Do ABCD l hỡnh vuụng nờn: B(5;3) + Vi a = , chn b = , ú AB : y = v BC : x = c Do T l trung im ca BD nờn D (3; 5) ok Suy phng trỡnh AD := x + 0, DC := y + A(3;3), C (5; 5) bo v BC : y = B (2;0) + Vi b = , chn a = , ú AB : x = ce Do T l trung im ca BD nờn D (0; 2) w fa Suy phng trỡnh AD : y = 2, DC : x = A(2; 2), C (0;0) Vy A(3;3), B(5;3), C (5; 5), D(3; 5) hoc A(2; 2), B (2;0), C (0;0), D(0; 2) ht s: //w w Bi 84 x = x y = + Ta im I l nghim ca h I ; + = x y 2 y = Khụng mt tớnh tng quỏt gi s M l trung im ca AD vi = {M } d1 Ox M (3;0) Ta cú AB = IM = AD = S ABCD 12 = = 2 MA = MD = AB ( ) Suy A, D thuc ng trũn M , cú phng trỡnh: ( x 3) + y = + Vỡ I , M cựng thuc d1 nờn d1 AD phng trỡnh AD : x + y = 434 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Khi ú ta im A, D l nghim ca h : = y x + y = x 2;= yA >0 A(2;1) 2 4; y = x = D(4; 1) ( x 3) + y = + Do I l trung im ca AC , BD C (7; 2), D(4; 1) Vy A(2;1), B (5; 4), C (7; 2), D (4; 1) Bi 85 C + Theo gi thit ta cú C l nh EI nm trờn trc ln ca elip ( E ) O Do CA = CB , suy A, B i TS /N x02 + y0 = Gi A( x0 ; y0 ) ( E ) vi x0 (2; 2) B( x ; y ) 0 T xng qua trc honh c om 1 Khi ú S ABC = d (C , AB) AB = x0 y0 = (2 x0 ) y0 2 x (2 x0 )3 (2 + x0 ) (2 x0 ) y02 = (2 x0 ) = S ABC = 4 ok (1) bo Mt khỏc ỏp dng BT Cauchy ta cú: ce x0 x0 x0 (2 x0 )3 (2 + x0 ) + + + + x0 4 3 27 w fa 4= (2) (2 x0 )3 (2 + x0 ) 27 ht s: //w w T (1) v (2) suy ra: S ABC 27 3 S ABC Du = xy khi: A 1; , B 1; x0 =2 + x0 =1 x0 =1 y0 = A 1; , B 1; Vy A 1; 3 , B 1; hoc A 1; , B 1; 2 435 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Bi 86 + Gi vecto phỏp tuyn ca AB l nAB = (a; b) vi a + b , AB i qua M (2; 3) cú phng trỡnh: a ( x 2) + b( y + 3) =0 ax + by 2a + 3b =0 Ta cú nBC = (1;7) , ú: = EI a +b +7 (a + 7b) = 25(a + b ) O a + 7b T C ABC =450 cos ABC =cos 450 om /N TS 3a = 4b 12a ab 12b = (3a 4b)(4a + 3b) = 4a = 3b a = suy phng trỡnh AB : x + y + = + Vi 3a = 4b , chn b = c Khi ú AC i qua N 1; vuụng gúc vi AB nờn AC cú phng trỡnh: ok 3x y + = bo x + y + =0 x =1 A(1;1) y+7 = x = y ce Ta im A l nghim ca h x + y + =0 x =4 B(4;5) 31 = x + y = y w fa Ta im B l nghim ca h +7 = x y= x C (3; 4) = 31 = x + y y ht s: //w w Ta im C l nghim ca h a = suy phng trỡnh AB : x y 18 = v b = + Vi 4a = 3b , chn AC : x + y 49 = Khi ú ta cú A(10;3) B (10;3) (loi) Vy A(1;1), B (4;5), C (3; 4) 436 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Bi 87 + ng trũn (T ) cú tõm I (4; 3) v bỏn kớnh R = Gi AB, AD tip xỳc vi (T ) ln AMIN l hỡnh lt ti M , N vuụng cnh bng R = C Suy AI = 2 O T Suy C (6; 5) ( I l trung im ca AC ) TS t = t R A ht s: //w w Ta nm ngoi ng trũn (T ) = HC = AC Gi H l hỡnh chiu ca I lờn BC , ú: HB Khi ú: IH = IB HB IB HB = IA2 HA2 R AC = IA2 AC 2 IH= IA HA AI R 52 25 AC = = = AC = HB = IH = 3 + Gi n = (a; b) l vecto phỏp tuyn ca vi a + b Suy phng trỡnh : ax + by a 3b = 437 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Khi ú d ( I , ) = IH 6a + 4b a = = 5a + 12ab = a +b 5a = 12b 2 + Vi a = , chn b = , suy phng trỡnh : y = + Vi 5a = 12b , chn a = 12, b = , suy phng trỡnh : 12 x y 69 = Vy : y = hoc :12 x y 69 = Bi 89 C + ng trũn (C ) cú tõm I (2; 3) v bỏn kớnh R = EI Khi ú phng trỡnh IM l : x = , suy AB vuụng gúc vi IM nờn cú O phng trỡnh y = m T + Suy honh giao im A, B l nghim ca phng trỡnh: (*) (2*) om ' = m 6m + 16 > < m < /N Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit khi: TS x x + m + 6m 12 = c A( x1 ; m) Ta cú ú x1 , x2 l nghim ca (*) v tha món: B( x2 ; m) bo ok x1 + x2 = x1 x2 = m + 6m 12 w fa ce x1 + x2 = = xH + Gi H l trung im ca AB , suy H (2; m) yH = m Do tam giỏc ABC u nờn ta cú: ht s: //w w m = AB 3 2 MH = MH = AB 2m + (9 3)m =0 m = Vy phng trỡnh cn lp l y = hoc y = Bi 90 438 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 + Ta cú nAB = (1; 2), nBD = (1; 7), nAC = (a; b) ln lt l cỏc vecto phỏp tuyn ca cỏc ng thng AB, BD, AC Khi ú ABCD l hỡnh ch nht nờn ta cú: cos nAC , nBD = cos nAB , nBD ( ) ( ) a 2b a +b 2 = 15 50 T O EI C 7a = b 2(a 2b) =9(a + b ) 7a + 8ab + b =1 a = b + Vi 7a = b , chn a = 1, b = nAC =(1; 7) cựng phng vi nBD (loi) + Vi a = b , chn a = 1, b = nAC =(1; 1) TS Khi ú AC i qua M (2;1) cú phng trỡnh : x y = om c x = x y + 14 = I ; 2 x y = y = /N Suy ta giao im I ca AC v BD l nghim ca h : ok + Do A, C khỏc phớa so vi ng thng BD NA + NC AC bo Du = xy khi= { N } AC BD N I hay N ; 2 ce Bi 91 w fa + Gi P, K ln lt l trung im ca DA, AC v G l trng tõm tam giỏc ABC , ú : ht s: //w w CE CG = = EG // PD hay EG // AB CP CD Do I l tõm ng trũn ngoi tip nờn DI AB DI EG (1) DK / / BC DE / / BC Mt khỏc GI DE (2) AG BC GI BC T (1) v (2) , suy I l trc tõm ca tam giỏc DEG EI DG + Khi ú CD i qua M(3; -1) v vuụng gúc vi IE nờn cú phng trỡnh x = 439 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Gi D (3; d ) CD, suy D(3;3) d = DN DI DN DI =0 D 3; d = 3 + Vi D (3;3) , suy phng trỡnh AB : x y + = v AI i qua I v vuụng gúc vi DE nờn cú phng trỡnh x y = EI C y2 = x = x Suy ta im A l nghim ca h A(7;5) y+3 = x 2= y O Do D l trung im ca AB B (1;1) T Ta cú BC i qua B v vuụng gúc vi AI nờn cú phng trỡnh : x + y = /N TS +y = x= x Khi ú ta im C l nghim ca h C (3; 3) x = y = om 107 125 + Vi D 3; lm tng t nh trờn ta c A ; (loi) 27 ok Bi 92 .c Vy A(7;5), B ( 1;1), C (3; 3) ce bo + Gi phng trỡnh chớnh tc ca ( E ) cú dng: a2 = a = 8c c w fa + Phng trỡnh ng chun l x + = x2 y + = vi a > b > a b2 Vỡ M ( E ) 9 + = + = 2 a b a a c2 (1) (2) ht s: //w w c = 2c 17c + 26 =0 13 + = Thay (1) vo (2) ta c: c = 8c 8c c a = 16 x2 y + Vi c =2 ( E ) : + = 2 16 12 b = a c = 12 a = 52 13 x2 y ( E ) : + =1 + Vi c = 39 2 52 39 b = a c = 4 Vy phng trỡnh ( E ) cn lp l : 2 x2 y + = hoc x + y = 16 12 52 39 440 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Bi 93 ng trũn (C ) cú tõm I (1; 2) v bỏn kớnh R = Gi H l hỡnh chiu ca I AB trờn AB AH = =2 C IH = R AH = 52 (2 5)2 = Khi ú d ( I , AB) = T O EI Do ABOI l hỡnh thang ỏy AB AB // OI Vi OI= (1; 2) , suy phng trỡnh ng thng AB cú vộct phỏp tuyn nAB = (2;1) TS Khi ú phng trỡnh AB cú dng: 2.1 + m = m = m= ( tha m ) om d ( I , AB) = IH /N 0) 2x + y + m = ( m OI cú phng trỡnh x + y = c Vy phng trỡnh AB l x + y + = hoc x + y = ok Bi 94 bo Ta cú: ht s: //w w w fa ce S CDM = S ABCD S CDM S ADM = S = S ADM ABCD d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) = 3+3 2 = Gi A(t ; 3t + 2) thuc ng thng x + y = (vi t < ) Khi ú d ( A, DM ) = t (3t + 2) 2 = t = t= (loi) hoc t = A(1;5) AD =(a + 1; a 7) + Gi D (a; a 2) DM CD =(a 3; a + 1) 441 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Do ABCD l hỡnh vuụng nờn : AD.CD = 0 (a + 1)(a 3) + (a 7)(a + 1) = 2 2 2 AD = CD (a + 1) + (a 7) = (a 3) + (a + 1) EI C a = (a + 1)(2a 10) = a = a = D(5;3) 12a + 50 =10 4a a = Mt khỏc AB =DC =(2; 6) B (3; 1) O Vy A(1;5) , B (3; 1) , D (5;3) T Bi 95 TS + ng trũn (C ) x + y x y = om A thuc tia Oy nờn gi A(0; a ) vi a /N cú tõm I (2;1) v bỏn kớnh R = 13 A (C ) a 2a = a = hoc a = (loi) c + Gi C (5c; c) ( vi c ) thuc ng thng d : x + y = bo (loi) Vy C (5; 1) 13 ce hoc c = ok C (C ) 25c + c 20c + 2c = 13c 9c = c = w fa = u= (5; 1) + Vỡ AB d nờn AB cú vộct phỏp tuyn nAB d Khi ú AB cú phng trỡnh : 5( x 0) ( y 4) = hay x y + = ht s: //w w Gi B (b;5b + 4) AB Ta cú : b = IB = R IB = R (b 2) + (5b + 3) =13 b + b = b = Vi b = B (0; 4) A (loi) ; Vi b = B (1; 1) Vy A(0; 4) , B (1; 1) v C (5; 1) Bi 96 ng trũn (C ) cú tõm I (1;1) v bỏn kớnh R = 2 Vỡ AC song song vi x y + 2015 = 442 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 nờn AC i qua I cú vộct ch phng x = + 3t u AC= u= (3; 4) cú phng trỡnh: d y = + 4t 2 Ta cú: IA = IB = R + R = + = 2 TS T Vỡ I l trung im ca AC nờn C ( 2; 3) O Vi a = A(4;5) v a = A(2; 3) (loi) EI IA = IA2 = 25 (3a ) + (4a ) = 25 a = hoc a = C Gi A(1 + 3a;1 + 4a ) AC nờn x = + 4t y = 3t /N Ta cú BD i qua I v vuụng gúc vi AC nờn cú phng trỡnh: om Gi B (1 + 4b;1 3b) BD nờn IB = IB = 25 (4b) + (3b) = 25 b = hoc b = ok b = B(3; 4) (loi) (Vỡ I l trung im ca BD ) v c Vi b = B(5; 2) D(3; 4) bo Vy A(4;5) , B (5; 2) , C ( 2; 3) v D (3; 4) ht s: //w w w fa ce Bi 97 Ta cú BC i qua B (2; 1) nhn u AH = (1;3) lm vộct phỏp tuyn nờn cú phng trỡnh: x + 3( y + 1) = hay x + y + = Khi ú ta im C l nghim ca h: x + y + =0 x =1 C (1;0) y +1 = x = y Gi E ( x; y ) l im i xng ca B qua phõn giỏc d : x y + = ca gúc ACB Suy E AC 443 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 BE =( x 2; y + 1) Ta cú v I x + ; y l trung im ca EB ud = (1;1) Khi ú: 1.( x 2) + 1.( y + 1) = x + y = x = BE ud E (2;3) x + y = = x y y + = I d 2 EI O T x +1 y EC= (1; 3) nờn cú phng trỡnh: = x + y + 3= Vỡ EC AH = {A} nờn ta im A l nghim ca h: C Khi ú ng thng EC i qua C ( 1;0) v cú vộct ch phng ok c om /N TS y+3 = x + = x A(1; 6) x y =0 y =6 AD =(a 1; b + 6) Gi D (a; b) , ú BC = (3;1) a =3 a =2 BC ABCD l hỡnh bỡnh hnh nờn suy AD = b + = b =5 ce Bi 98 bo Vy D (2; 5) w fa Ta cú BC ={H } nờn ta im H l nghim ca h: ht s: //w w y +1 = x 4= x H (1;1) y4 = x + 3= y Ta cú: d= ( A, BC ) Khi ú S ABC =15 +1 = 32 + 42 1 d ( A, BC ).BC =15 2.BC =15 BC =15 2 BC Mt khỏc H thuc on BC v HC = HB nờn BH = = 3b + Gi B b; BC (vi b > ) 444 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 3b + Khi ú BH =5 BH =25 (b 1) + =25 2 (b 1) + 25 (b 1) = 25 (b 1) = 25 16 16 x =8 x =7 C (7; 5) y =6 y =5 EI T ú: HC = BH O C (b 1) = 16 b = hoc b = (loi) , suy B (5; 4) HC =( x 1; y 1) , Gi C ( x; y ) ú BH =(4; 3) TS Vy B (5; 4) v C ( 7; 5) Bi 99 om F1 (3;0) a b 2= F2 (3;0) c a = x2 y c= + = 25 16 b = /N T phng trỡnh Elip ( E ) : ce Gi M ( x0 ; y0 ) , ú bo ok M (E ) MF1 + MF2 =2a =10 10 MF2 = 2= MF22 = 5MF2 = Maởt khaực MF1 = MF2 ht s: //w w w fa x02 y02 x02 y02 M E ( ) = = 1 (1) + + 25 16 25 16 2 MF2 = ( x 3) + y = y2 = x0 + x0 (2) Thay (2) vo (1) ta c : x02 x02 x0 + = 25 16 x0 =5 y0 =0 x 50 x0 + 175 = 35 640 x0 = y02 = ) Suy = AI EI Mt khỏc : S ABCD = 12 AB = 12 AB = om Cú AI = AB = 18 (t + 2) + (t + 2) = 18 (t + 2) = t = hoc t = (loi) ok c Vy I (1; 1) , suy C (4; 4) ( Vỡ I l trung im ca AC ) x= 1+ t y =1 + t ce Gi B (1 + b; + b) BD bo Khi ú BD i qua I (1; 1) vuụng gúc vi AC cú dng : w fa Khi ú AB = AB = 24 (b + 3) + (b 3) = 24 b = b = ht s: //w w B(1 + 3; + 3) D(1 3; 3) (Vỡ I l trung im ca BD) Suy ra: B(1 3; 3) D(1 + 3; + 3) B (1 3; 3) B(1 + 3; + 3) Vy C (4; 4) hoc C (4; 4) D(1 + 3; + 3) D(1 3; 3) 446 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 [...]... trực của hai cạnh và giao điểm của hai đường trung trực này chính là tâm I + Với J: Viết phương trình hai đường phân giác trong và tìm giao điểm hai đường này 20 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 .c om /N TS T O EI C 2 CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT: ok PHẦN 3: w fa ce bo 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY 1 BÀI TOÁN 1 A NỘI DUNG BÀI TOÁN 1 ht tp s: //w w Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng... được điểm B ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B đã biết tọa độ và cách điểm I cho trước một khoảng không đổi R nghĩa là ta chuyển bài toán về Bài toán 6 (Các bạn sẽ được tìm hiểu kĩ bài Bài toán 6 ở phần sau) * 34 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Giải + Đường tròn (C ) có tâm I (1; −1) và bán kính R = 2 5 Gọi H là hình chiếu của I trên AB... Với dữ kiện còn lại của bài toán và bằng phương pháp hình học thuần túy ta dễ dàng chỉ ra được BH = d ( B, CD = ) d ( B, ∆ ) , khi đó ta sẽ tính được độ dài BD và đưa ra lời giải đầy đủ cho bài toán Sau đây là lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải: 29 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , khi đó ABHD là hình vuông )  = MBA ... đó để tìm tọa độ điểm T O EI C 2 N ta cần thêm một yếu tố liên quan tới N Lúc này ta sẽ quan tâm tới các điểm đã biết tọa độ trong dữ kiện của bài toán Ở đây đường tròn (C ) có tâm I (3; −5) , nếu tính được độ dài NI ta chuyển luôn được về Bài toán 1 Song bài toán này việc tìm NI sẽ khá phức tạp Vì vậy sẽ cần một điểm khác mà việc tính khoảng cách từ N tới điểm đó đơn giản Trong bài toán có chứa yếu... hoành độ của điểm đó), vì vậy việc giải những lớp bài toán như thế này thực chất là việc chúng ta đi cắt nghĩa số liệu của bài toán để được hai phương trình (hai dấu “=”) Dữ kiện điểm thuộc đường luôn giúp ta có được một phương trình và các dữ kiện chưa khai thác sẽ giúp ta cắt nghĩa để tìm thêm một dấu “=” còn lại Kinh nghiệm làm những bài toán tìm điểm cho ta biết được xác suất rơi vào Bài toán 1 thường... dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD C nằm trên đường thẳng có phương trình x + y − 3 = 0 , điểm M (−1; 2) thuộc O đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương EI đường thẳng AB , điểm N (2; −2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các T Phân tích hướng giải: TS * Trong các dữ kiện của bài toán ta nhận thấy điểm có “lợi” để ta khai thác đầu tiên chính là điểm B , bởi B... (trong bài toán trên là AM ) sẽ khá đơn giản và bài toán gốc sẽ xuất hiện đúng như nội dung của Bài toán 1 * Ngoài cách tìm ra được AM = 3 10 như ở ví dụ trên, các bạn có thể tham khảo 2 việc tìm AM theo cách sau: 5a 2 a 10 Đặt AB = a ⇒ S AMN = S ABCD − ( S ADN + SCNM + S BAM ) = và AN = 12 3 5a 2 2 S AMN 3 5 12 ⇒ a= 3 2 ⇒ AM= a 5= 3 10 Khi đó: d ( M , AN = ) ⇔ = 2 2 2 AN a 10 3 2 Ví dụ 8 Trong mặt phẳng. .. thường khá cao (có lẽ đó cũng là ý đồ và lí do để tác giả giới thiệu Bài toán 1 đầu tiên tới các bạn) Vì vậy trong các ví dụ cụ thể, nếu điểm đã thuộc một đường thẳng cho trước thì hướng tư duy đầu tiên ta ưu tiên nghĩ đến là chỉ ra một điểm cố định và khoảng cách từ điểm cần tìm tới điểm đó xác định được ce bo Ví dụ 9 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A(1; − 3) có 0 góc  ABC = 30 , đường... chất của bài toán (điểm cần tìm là giao của đường thẳng và đường tròn) 2 * C1 và C2 là hai cách trình bày khác nhau của cùng một phương pháp thế trong giải hệ phương trình C * Nếu tìm được duy nhất một điểm M khi đó IM ⊥ ∆ (hay đường tròn ( I ; R ) EI tiếp xúc với ∆ tại M ) TS T O * Tùy vào dữ kiện của bài toán, có thể linh hoạt trình bày theo C1 hoặc C2 (C2 “mạnh” hơn C1 khi đề cập tới những điểm có... trung điểm của AC và BD nên suy ra C (3;0), D(−1; −2) Vậy A(−2;0), B(2, 2), C (3;0), D(−1; −2) 26 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Nhận xét : Khi bài toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà các điểm có vai trò như nhau (trong bài trên A, B có vài trò như nhau ) thì các bạn nên trình bày theo C2 để từ điểm này ta suy ra được điểm kia Ví dụ 4 (B – 2009 – NC) Trong mặt phẳng ... 3: 10 toán hình học OXY 21 ok c Bài toán 21 bo Bài toán 108 ce Bài toán 117 w fa Bài toán 139 Bài toán 152 ht s: //w w Bài. .. Những toán 12 Bài toán 12 C Bài toán 14 O EI Bài toán 15 T Bài toán 16 TS Bài toán 17 /N Bài toán 18 om Bài toán. .. //w w Bài toán 184 Bài toán 253 Bài toán 269 Bài toán 297 Bài toán 10 317 Phần 4: Sáng tạo phát triển từ toán hình học phẳng túy