BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Văn Hoàng Hữu Vinh PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Văn Hoàng Hữu Vinh PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh trang bị cho nhiều kiến thức quí báu Toán học sống Tôi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011 Học viên Văn Hoàng Hữu Vinh LỜI CAM ĐOAN Mặc dù trình làm luận văn này, nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học tác giả luận văn khóa trước, có sử dụng kết chứng minh để hoàn thành luận văn mình, xin cam đoan không chép luận văn có xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T LỜI CAM ĐOAN T T MỤC LỤC T T MỘT SỐ KÍ HIỆU T T MỞ ĐẦU T T Lý chọn đề tài T T Mục tiêu luận văn T T Phương pháp nghiên cứu T T Nội dung luận văn T T Chương PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ TỰ T T 1.1 Các khái niệm T T 1.2 Sự tồn nghiệm nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C 17 T T 1.3 Sự tồn nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C 31 T T Chương ĐỊNH LÝ MOUNTAIN PASS TRONG KHOẢNG THỨ TỰ 47 T T 2.1 Các kết chuẩn bị 47 T T 2.2 Định lý Mountain Pass khoảng thứ tự 50 T T KẾT LUẬN 53 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 T T MỘT SỐ KÍ HIỆU C (U ,  ) Không gian hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp liên tục U C (U ,  ) Không gian hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp liên tục U C ∞ (U ,  ) Không gian hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp U I Ánh xạ đồng inf Φ ( C ) Cực tiểu Φ C int ( P ) Phần P ∂B Biên tập B = Γ Số phần tử tập Γ L(E) Không gian toán tử tuyến tính liên tục từ E → E εn  (ε n ) dãy giảm hội tụ đến Kc Cr ( Φ, H , c ) :={u ∈ H | Φ ( u ) =c, Φ ' ( u ) =0} im ( β ) Tập ảnh ánh xạ β deg loc ( Φ ', u0 , ) Bậc tôpô địa phương Φ ' lân cận u0 F ( x, h ) Đạo hàm theo hướng Clarke hàm F x hướng h MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán Khoa học tự nhiên, Y học, Kinh tế học,…đưa đến việc nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, xây dựng nghiệm xấp xỉ cho phương trình phi tuyến không gian trừu tượng Hai phương pháp để nghiên cứu phương trình phi tuyến phương pháp điểm bất động phương pháp biến phân Sự kết hợp phương pháp điểm bất động với sử dụng tính chất thứ tự không gian đưa tới đời Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự Lý thuyết hình thành từ năm 1940 phát triển hoàn thiện ngày Nó cho phép nghiên cứu sâu tính chất nghiệm tính dương, tính lồi,… tồn dãy đơn điệu để tính gần nghiệm Sự kết hợp phương pháp biến phân với sử dụng thứ tự bất đầu nghiên cứu từ năm 1980 Hướng nghiên cứu chưa nhận nhiều quan tâm nhà Toán học kết thu chưa nhiều Do việc tìm hiểu hướng nghiên cứu để sâu công việc có ý nghĩa hứa hẹn cho kết Mục tiêu luận văn Tìm hiểu trình bày cách hệ thống, chi tiết kết ban đầu phương pháp biến phân không gian có thứ tự Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu mang tính lý thuyết, thu thập tài liệu, phân tích tổng hợp tài liệu thu để trình bày kết tài liệu theo hiểu biết cách có hệ thống chi tiết Các phương pháp chứng minh: phương pháp trực tiếp, phương pháp minimax; sử dụng tính chất thứ tự sinh nón, sử dụng bậc tôpô Nội dung luận văn Chương Phương pháp biến phân kết hợp với thứ tự 1.1 Các khái niệm 1.2 Sự tồn nghiệm nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C 1.3 Sự tồn nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C Chương Định lý Mountain Pass cho khoảng thứ tự 2.1 Các kết chuẩn bị 2.2 Định lý Chương PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ TỰ 1.1 Các khái niệm Ta bắt đầu với toán mà cấu trúc thứ tự không đòi hỏi Cho ( H , (.,.) ) không gian Hilbert thực Φ ∈ C (U ,  ) , với ∅ ≠ U ⊂ H , U mở Với hai số thực c, d , tập ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng, ta định nghĩa Cr ( Φ, C , d ) := {u ∈ C | Φ ( u ) = d , Φ ' ( u ) = 0} Cr ( Φ, C )=:  Cr ( Φ, C , e ) e∈ Φ d := Φ −1 ( ( −∞; d ]) , Φ c := Φ −1 ([ c; +∞ ) ) , Φ dc := Φ d ∩ Φ c • Φ d =: int ( Φ d ) Ta nói Φ thỏa điều kiện Palais-Smale C (kí hiệu ( PS )C ) nếu: với dãy ( un ) ⊂ C , Φ ' ( un ) → 0, Φ ( un ) → d ∈  ( un ) tiền compact Tập D = D ( Φ, C ) định nghĩa = D: {σ : [0,1] × C → C liên tục | σ ( 0,.) = I ánh xạ t → Φ (σ ( t , u ) ) không tăng với u ∈ C } , gọi Φ − họ C Dễ dàng chứng tỏ rằng: σ , σˆ ∈ D ánh xạ σ * σˆ xác định t ∈ [0;1 2] σˆ ( 2t , u ) σ * σˆ =  σ ( 2t − 1, σˆ (1, u ) ) t ∈ [1 2;1] thuộc D Do “ * ” xác định ánh xạ từ D × D → D Ta có bổ đề sau tính chất Φ − họ (chứng minh cho [5]) Bổ đề 1.1.1 Cho H không gian Hilbert thực, ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng lồi, U mở Giả sử Φ ∈ C (U ,  ) thỏa ( PS )C gradient ∇Φ phân tích ∇Φ= I − K , KC ⊂ C Khi Φ − họ C , D = D ( Φ, C ) , có tính chất sau: với số thực d ∈  , ε > , lân cận tương đối W ⊂ C Cr ( Φ, C , d ) tồn ε ∈ ( 0, ε ] ánh xạ σ ∈ D cho ( ( σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) \W )) ⊂ Φ d −ε ∩C Lưu ý 1.1.1 Nếu  Cr ( Φ, C , e ) = ∅ giả thiết bổ đề 1.1.1 tồn e∈[ c ,d ] ( ) σ ∈ D ( Φ, C ) cho σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C Chứng minh Thật vậy, [ c, d ] compact nên tồn d i , c ≤ d1 < d < < d k ≤ d ε i > , i = 1, , k , cho ([ d i − ε i , d i + ε i ])i =1, ,k phủ [ c, d ] σ i ∈ D (áp dụng bổ đề 1.1.1 trước sử dụng tính compact [ c, d ] ) thỏa ( ) σ i {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C i i ( i i ) Đặt σ := ( (σ * σ ) * σ ) * * σ k , σ thỏa ( ) σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C  Sử dụng bổ đề 1.1.1 ta có kết tồn điểm tới hạn 40 Ta kí hiệu m − , m số Morse âm zero, tức m − = m dim ker ( Φ " ( ) ) tổng bội giá trị riêng λ < Φ " ( )= Xét  * = {1, 2, 3, }  =: * ∪ {0} Bước ( m − , m ) ∈ ({1} ×  ) ∪ {( 0, 1)} Để thấy điều ta cần chứng tỏ m − ≤ Thật vậy, m − ≤ ( m − , m ) ∉ {1} ×  , ta phải có m − = Theo bổ đề 1.3.1, m ≤ Nếu m = cực tiểu địa phương Φ t ( ) = I (mâu thuẫn t ( ) = − I ) Do m = ta có ( m − , m ) = ( 0, 1) Ta phải chứng minh m− ≤ Dùng phản chứng, giả sử m − > Kí hiệu ( λi )i∈ * dãy tăng giá trị riêng Φ " ( ) , với bội tương ứng mi = m ( λi ) Đặt T = K ' ( ) Do giả thiết ( ΦΦ ) ta tìm vectơ riêng dương u1  , u1 = 1, với E bội T Vì σ ( Φ " ( ) ) = − σ (T ) ta có λ1 = − T m1 = Hơn giả thiết, ta có λ1 < λ2 < Kí hiệu H1 không gian (1 + m2 ) chiều H Lưu ý  u1 ⊂ H1 ⊂ E Xét W ⊂ U E-lân cận Ta tìm δ > cho 41 ( ) Bδ := {u ∈ H1 | u < δ } thỏa Bδ ⊂ W sup Φ ∂ H1 Bδ < Φ ( ) =0 Vì dim H1 ≥ nên tập Z := ∂ H1 Bδ liên thông phần Do tồn ánh xạ liên tục γ : [0, 1] → Z ⊂ W cho γ ( ) = −δ u1 γ (1) = δ u1 Do γ ( ) < < γ (1) γ ⊂ Φ , mâu thuẫn với giả thiết W • cho trước t ( ) = − I Do ( m , m ) ∈ ({1}×  ) ∪ {( 0, 1)} − Bước ( m − , m ) ∈ {1} ×  ⇒ d = −1 Đặt H1 =  u1 H = H1⊥ , u1 vectơ riêng dương, u1 = , tương ứng với giá trị riêng λ1 Φ " ( ) Xét W E-lân cận 0, W ⊂ U , cho không tồn ánh xạ liên tục γ : [0, 1] → W mà γ ( ) < < γ (1) γ ⊂ Φ • Theo định lý hàm ẩn ta tìm cầu mở tương đối U i ⊂ H i , i = 1, , chứa ánh xạ β :U → U1 với β ∈ C (U , U1 ) P1Φ ' ( β y + y ) = ∀y ∈U , P1Φ ' ( x + y ) ≠ ∀x ∈∂U1 , ∀y ∈U , σ ( P1Φ " ( z ) | H1 ) ⊂ ( −∞, − ρ ] , ∀z ∈U1 ⊕ U , với ρ > cố định Φ '(z) = với z ∈U1 ⊕ U ⇒ z = Theo bổ đề 1.3.2, với h1 : U1 → H1 : h1 ( x ) = x − P1 Kx 42 h2 : U → H : h2 ( y ) = y − P2 K ( β y + y ) , ta deg ( Φ ', U1 ⊕ U , ) = − deg ( h , U , ) h1 | U1 gradient hàm Φ | U1 ∈ C (U1 ,  ) x = cực đại địa phương, dim H1 = Xét Φ * ∈ C (U ,  ) xác định Φ* ( y ) = Φ (β y + y) = sup x∈U1 Φ ( x + y ) Ta có P2 Φ ' ( β y + y ) Φ* ' ( y ) = Để chứng tỏ deg ( h2 , V2 , ) = , ta chứng tỏ cực tiểu địa phương (theo [4]) Ta chứng minh phản chứng, giả sử ngược lại Kí hiệu Bn cầu đóng H với bán kính ε n −1 , với ε > nhỏ cho Bn ⊂ U , ∀n ∈  * Do giả thiết, ta có inf Φ ( Bn ) < Φ * ( ) = Φ ( ) = Vì Φ * nửa liên tục yếu theo dãy Bn đóng, lồi, bị chặn, ta tìm yn ∈ Bn cho Φ * ( yn ) = inf Φ * ( Bn ) Do tồn λn ≥ cho Φ * ' ( yn ) + λn yn = 0, ∀n ∈  * Do ta có =P2 Φ ' ( β yn + yn ) + λn yn =(1 + λn ) yn − P2 K ( β yn + yn ) Lưu ý β :U → E liên tục im ( β ) ⊂  u1 ⊂ E tôpô cảm sinh E H  u1 đồng Hơn P2 Ei ⊂ Ei với không gian Banach thực Ei cho ánh xạ cảm sinh P2 : Ei → Ei liên tục 43 Do tính E-chính quy ta dễ dàng kiểm tra yn → E yn → H Ta tìm δ > cho tập [ −δ , δ ] u1 ⊂ U1 ∩ W Với N ∈  * đủ lớn, yn → E u1 ∈ int E PE , ta suy −δ 0u1 < y N < δ 0u1 , y N + tu1 ∈W ∩ (U1 ⊕ U ) , ∀t ∈ [ −δ , δ ] Xét đường cong γ : [0, 1] → W ∩ U γ ( t ) := y N + ( 2t − 1) δ 0u1 Ta có khẳng định sau sup Φ ( γ ) = Φ * ( y N ) < Φ * ( ) = Φ ( ) = Do t ( ) ≠ − I , mâu thuẫn với giả thiết Điều chứng minh d = −1 ( m − , m ) ∈ {1} ×  Bước ( m − , m ) = ( 0, 1) ⇒ d =−1 Đặt H =  u1 H1 = H 2⊥ Theo định lý hàm ẩn, ta tìm cầu mở chứa 0, U i ⊂ H i , cho U1 ⊕ U ⊂ U , Cr ( Φ, U1 ⊕ U ) = {0} , ánh xạ liên tục β :U → U1 , β | U ∈ C (U ,  ) , thỏa P1Φ ' ( β y + y )= 0, ∀y ∈U P1Φ ' ( x + y ) ≠ 0, ∀x ∈∂U1 , ∀y ∈U σ ( P1Φ " ( z ) | H1 ) ⊂ [ ρ , + ∞ ) , ∀z ∈U1 ⊕ U , với ρ > cố định Theo bổ đề 1.3.2, với h1 : U1 → H1 : h1 ( x ) = x − P1 Kx 44 h2 : U → H : h2 ( y ) = y − P2 K ( β y + y ) , ta deg ( Φ ', U1 ⊕ U , ) = deg ( h , U , ) , ta sử dụng nghiệm U1 h1 ( x ) = cực tiểu địa phương hàm Φ | U1 ∈ C (U1 ,  ) Lưu ý h2 ánh xạ tập chiều Như trường hợp trước h2 gradient ánh xạ C Φ * ∈ C (U ,  ) xác định Φ* ( y ) = Φ (β y + y) = inf x∈U1 Φ ( x + y ) Do định nghĩa Φ * có nghiệm h2 ( y ) = U , cụ thể y = Nếu ta chứng tỏ cực đại địa phương ta có đpcm Trong trường hợp deg ( h2 , U , ) = −1 dim H = Do giả thiết t ( ) = − I , ta tìm z1 , z2 ∈U1 ⊕ U cho Φ ( zi ) < z1 < < z2 Với = yi : P2 zi ∈U ta suy Φ * ( yi ) ≤ Φ ( yi + P1 zi ) = Φ ( zi ) < Điều chứng minh d = −1 ( m − , m ) = ( 0, 1) Chứng minh (i) (ii) Đặt H =  u1 H1 = H 2⊥ , u1 cho (iii) Do giả thiết sử dụng lập luận bước (iii), ta tìm cầu mở tương đối chứa 0, U i ⊂ H i , cho Cr ( Φ, U1 ⊕ U ) = {0} , U1 ⊕ U ⊂ U , ánh xạ liên tục β :U → U1 , β |U1 thuộc lớp C , 45 P1Φ ' ( β y + y )= 0, ∀y ∈U P1Φ ' ( x + y ) ≠ 0, ∀x ∈∂U1 , ∀y ∈U σ ( P1Φ " ( z ) | H1 ) ⊂ [ ρ , + ∞ ) , ∀z ∈U1 ⊕ U , với ρ > cố định Lấy đạo hàm P1Φ ' ( β y + y ) = theo biến y tính giá trị y = ta P1Φ " ( ) ( P2 ⊕ β ' ( ) ) = Vì P1Φ " ( ) | H1 song ánh P1Φ " ( ) P2 =P1 P2 Φ " ( ) =0 nên ta suy β ' ( ) = Do tính E-chính quy K ta có im ( β ) tập E Hơn giả thiết K '0 ( u ) K ' ( u ) ánh xạ β :U → E cảm sinh β thuộc C (U , E ) Lưu ý β = '0 ( ) β= ' (0) Ta có y + β y =y + ∫ β 0' ( ty ) ydt = : y + A( y ) y Vì A ( y ) → L (  u1 , E ) y → y  y  , nên E E y ≠ ta tìm δ > cho [ −δ , δ ] u1 ⊂ U y + β y ≥ 0, ∀y ≥ 0, y < δ , y + β y ≤ 0, ∀y ≤ 0, y < δ Điều mô tả dáng điệu (behaviour) Φ * ∈ C (U ,  ) Cụ thể trường hợp t ( ) = I , cực tiểu địa phương Φ * , lập luận tương tự (iii) bước 3, ta có d = , trường 46 hợp t ( ) ∈{0+ , 0− } , không cực tiểu địa phương hay cực đại địa phương Φ * Do đó, dim H = 1,= d □ 47 Chương ĐỊNH LÝ MOUNTAIN PASS TRONG KHOẢNG THỨ TỰ 2.1 Các kết chuẩn bị Cho H không gian Hilbert PH ⊂ H nón lồi đóng Cho X ⊂ H không gian Banach mà nhúng trù mật H Cho P= X ∩ PH int P ≠ ∅ Giả sử khoảng thứ tự bị chặn hữu hạn (fintely bounded), hàm Φ : H →  thỏa điều kiện sau Φ1 Φ ∈ C ( H ,  ) , thỏa (PS) H, tính chất biến dạng (deformation) H, Φ có hữu hạn điểm tới hạn cô lập Φ Gradient Φ phân tích ∇Φ= I − K H , K H : H → H compact, không gian X ổn định K H , K H ( X ) ⊂ X , thu hẹp K : K H | X : X → X liên tục bảo toàn thứ tự mạnh = Φ Φ bị chặn khoảng thứ tự X Bổ đề 2.1.1 Giả sử Φ thỏa điều kiện Φ1 − Φ u ≤ u cặp nghiệm nghiệm ∇Φ = X Khi tồn trường vectơ giả gradient âm η ( t , ) cho [ u , u ] bất biến dương trường vectơ η ( t , ) hướng vào trong [ u , u ] Hơn nữa, u ≤ u cặp nghiệm nghiệm ngặt ∇Φ = X, deg ( I − K , [ u , u ] , ) = 48 Chứng minh bổ đề Vì [ u , u ] bị chặn hữu hạn nên bậc Leray-Schauder deg ( I − K , [ u , u ] , ) xác định Với x ∈ [ u , u ] , ta có = x − ∇Φ ( x ) K ( x )  K ( u ) > u , (2.1.1) = x − ∇Φ ( x ) K ( x )  K ( u ) < u (2.1.2) Vì x − ∇Φ ( x ) ∈ int [ u , u ] Trong phần lại chứng minh, ta thực chứng minh cổ điển tồn trường vectơ giả gradient cho hàm thuộc C Đặt X= {x ∈ X : ∇Φ ≠ 0} , với x0 ∈ X , tồn w ∈ X , w = cho −Φ ' ( x0 ) , w > Φ ' ( x0 ) Nếu x0 ∈ [ u , u ] , (2.1.1) , (2.1.2) ta giả sử x0 + w ∈ int [ u , u ] Xét = v Φ ' ( x0 ) w ,  v < Φ ' ( x0 )    −Φ ' ( x0 ) , v > Φ ' ( x0 ) Do liên tục Φ ' , với x0 tồn lân cận U x0 x0 cho, với x ∈U x0 ,  v < Φ '( x)   −Φ > Φ ' x , v ' x ( ) ( )  (2.1.3) 49 Xét U x , Ux =    U x ∩ ( X \ [ u , u ]) , x ∈ [ u, u ] x ∈ X \ [ u , u ] Vì X khả metric, nên paracompact Vì vậy, tồn phân hoạch C 1, hữu hạn địa phương hàm đơn vị (unity) ( βα )α∈Λ , Λ tập số Điều dẫn ta đến phán đoán lượng v ( x ) = ∑ βα ( x ) vα , (2.1.4) α∈Λ vα ∈U xα thỏa (2.1.3) Ta dễ dàng kiểm tra v < Φ ' ( x ) , −Φ ' ( x ) , v > Φ ' ( x ) 2 Vì [ u , u ] lồi, (2.1.4) định nghĩa U x , ta có x + v ( x ) ∈ int [ u , u ] , với [ u , u ] Bây ta xét trường vectơ giả gradient âm η ( t , u ) Φ X xác định  dη ( t , u ) = v (η ( t , u ) ) ,   dt η ( 0, u ) = u  Ta có [ u , u ] bất biến dương trường vectơ η ( t , u ) Lưu ý là, với trường vectơ giả gradient η ( t , u ) , với nghiệm u nghiệm u , ta có tính chất ổn định sau (bất biến dương [ u , u ] η ) 50 η ( t , u + P ) ⊂ u + P,  + ⊂ + η t , u P u P ( )  Vì [ u , u ] bất biến dương trường vectơ η ( t , u ) kết cho [11], ta có deg ( I − K , [ u , u ] , ) =  Từ bổ đề 2.1.1 tính chất lý thuyết bậc, ta có hệ sau Hệ 2.1.1 Nếu u ≤ u cặp nghiệm nghiệm ngặt ∇Φ = X, {u ∈ H : ∇Φ ( u ) = 0} ∩ ∂ [ u , u ] = ∅ 2.2 Định lý Mountain Pass khoảng thứ tự Định lý Giả sử Φ thỏa điều kiện Φ1 − Φ tồn bốn điểm X cho v1 < v2 , v1 ≤ Kv1 , w < w , v > Kv   với   < v w , w Kw , <    w2 ≥ Kw2 ∅ [ v1 , v2 ] ∩ [ w1 , w2 ] = Khi Φ có điểm mountain pass u0 ∈ [ v1 , w2 ] \ ([ v1 , v2 ] ∪ [ w1 , w2 ]) Chính xác hơn, với v0 maximal minimizer Φ [ v1 , v2 ] w0 minimal minimizer Φ u0 [ w1 , w2 ] Nếu v0 < w0 v0  Chứng minh định lý w0 51 Với khoảng thứ tự X , Φ bị chặn thỏa mãn tính chất deformation nên Φ có cực tiểu địa phương khoảng thứ tự Gọi v0 cực tiểu địa phương Φ [ v1 , v2 ] w0 cực tiểu địa phương Φ [ w1 , w2 ] Đặt= Γ γ ( t ) ∈ C ([0, 1] ; [ v1 , w2 ]) cho  γ ( t ) ∈ [ v1 , w2 ] ([ v1 , v2 ] ∪ [ w1 , w2 ])    1 ( t ) η  − t, γ    γ =  3 3      t) η t − , γ   γ (=     1 2 , t ∈ ,  3 3  1   , t ∈ 0,  , γ   ∈∂ [ v1 , v2 ]  3   2    , t ∈  , 1 , γ   ∈∂ [ w1 , w2 ] 3   3 Ta có Γ khác rỗng không gian metric đầy đủ với khoảng cách hội tụ X , = d ( x, y ) max x ( t ) − y ( t ) X t∈[0, 1] Đặt c inf sup Φ (γ ( t ) ) , ta chứng minh c giá trị tới hạn Φ = γ ∈Γ t∈[0, 1] { Chính xác hơn, tồn u0 ∈ Κ c ∩ [ v1 , w2 ] ∩ [ v1 , w2 ] ([v , v ] ∪ [ w , w ])} 2 Ta thực bước chứng minh sau Bước Với γ ( t ) ∈ Γ , ta đặt F (γ (= t ) ) max Φ (γ ( t ) ) t∈[0, 1] Khi F ánh xạ Lipschitz địa phương bị chặn Γ Đặt { } M (γ ) = s ∈ [0, 1] : Φ (γ ( t ) ) = F (γ ( s ) ) = max Φ (γ ( t ) ) Bước t∈[0, 1] 52 Theo nguyên lý Ekeland, với dãy dương (ε n )n , ε n  , tồn dãy (γ n )n ⊂ Γ cho , với n ∈  , ta có c ≤ F (γ n ) ≤ c + ε n ,  F γ > F γ − ε d γ , γ , ∀ γ ≠ γ ( ) ( ) ( )  n n n n Vì vậy, với γ ∈ Γ ta có = F (γ n , h ) lim sup F (γ n + λγ ) − F (γ n ) λ λ ≥ −ε n max γ ( t ) X ( 2.2.1) t∈[0, 1] Bước Từ ( 2.2.1) mệnh đề 15.11 (chương 15, [2]), tồn tn ∈ M (γ n ) cho ∇Φ (γ n ( t ) ) , u ≥ −ε n u , ∀u ∈ X ⇒ ∇Φ (γ n ( t ) ) , u ≤ ε n u , ∀u ∈ X ⇒ ∇Φ (γ n ( tn ) ) → n → ∞ Bước Từ định nghĩa Γ bổ đề 2.1.1, ta có v0  u0 w0 Khi đó, theo bổ đề 2.1.1 hệ 2.1.1, ta có inf Φ ( u ) > Φ ( v0 ) , u∈∂[ v1 , v2 ] inf u∈∂[ w1 , w2 ] Do c > max {Φ ( v0 ) , Φ ( w0 )} Theo Hofer [3] , u0 điểm mountain pass  Φ ( u ) > Φ ( w0 ) 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết ban đầu phương pháp biến phân không gian có thứ tự Trọng tâm luận văn trình bày phân loại điểm tới hạn chứng minh số kết tồn nghiệm nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C , kết tồn nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C , trình bày định lý quan trọng phương pháp biến phân không gian có thứ tự định lý Mountain Pass khoảng thứ tự Phương trình biến phân không gian có thứ tự hướng nghiên cứu mới, việc nghiên cứu hứa hẹn cho kết mới… giới hạn phạm vi đề tài trình độ tác giả có hạn nên luận văn trình bày kết ban đầu lý thuyết Tôi hy vọng, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu thêm nội dung Nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý bảo quý thầy cô bạn bè 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Hofer, Variational and Topological Methods in Partially Ordered Hilbert spaces, Math Annalen, 261 (1982), 493-514 [2] Y Jabri, The Mountain Pass Theorem, Cambridge University Press, 2003 [3] H Hofer, A note on the topological degree at a critical point of mountain pass-type Proc Am Math Soc., 90, no 2, 309–315 (1984) [4] H Amann, A note on degree theory for gradient mappings Proc Am Math Soc., Volume 85, Number 4, August 1982 [5] Rabinowitz, P.: Variational methods for nonlinear eigenvalue problems CIME, pp 141-195 Verona 1974 Rome: Cremonese 1974 [6] Giáo trình Giải tích phi tuyến 1, PGS.TS Lê Hoàn Hóa [7] Giáo trình Giải tích thực, PGS.TS Nguyễn Bích Huy [8] Giáo trình Giải tích phi tuyến 2, PGS.TS Nguyễn Bích Huy [9] Schaefer, H.H, Topological vector spaces, Graduate Texts in Mathematics Berlin, Heidelberg, New York : Springer 1980 [10] K Deimling, Nonlinear functinonal analysis, Springer – Verlag, New York, 1985 [11] K C Chang, Infinite dimensional Morse theory and its applications Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 6, Birkh¨auser, 1985 [...]... vk ) , k v uk u0 trong H, vk v0 trong E, wk w0 trong E Khi ú ( uk ) E U v uk u0 trong E Chng minh Ta ch cn chng minh ( uk ) E U Vỡ Tuk + w= k ( uk vk ) nờn uk = vk + k 1 k (Tuk + wk ) Vỡ vk v0 trong E, wk w0 trong E nờn vk v0 trong Ei , wk w0 trong Ei , vi mi = i 0 n + 1 Vỡ uk u0 trong H = En +1 , v Ti C (U i , Ei 1 ) nờn ta cú = T ( uk ) Tn +1 ( uk ) T ( u0 ) trong En 15 Suy ra... trong En 15 Suy ra ( uk ) En , v do ú uk u0 trong En Lp lun tng t, vỡ uk u0 trong En nờn T= ( uk ) Tn ( uk ) T ( u0 ) trong En1 Suy ra ( uk ) En1 , v do ú uk u0 trong En1 Tip tc nh vy, ta cú ( uk ) E0 = E v uk u0 trong E Kt hp mnh 1.1.2 v b 1.1.2 mang li iu cú ớch sau H qu 1.1.1 Cho gi thit nh trong mnh 2 v gi s thờm K l E-chớnh quy vi khụng gian Banach thc E H Gi s u0 E U l im ti hn... rng tn ti u ( dd C ) \Cr Khi ú, vỡ H l khụng gian Hilbert nờn l khụng gian tỏch, suy ra tn ti mt lõn cn tng i W C ca Cr sao cho u W Theo b 1.1.1, tn ti D v > 0 m (1, u ) d C = , iu ny li vụ lý Cho n gi chỳng ta ó khụng s dng cu trỳc th t Bõy gi ta gii thiu khỏi nim ny 10 Cho X l tp khỏc rng Mt th t trong X, kớ hiu l , l mt quan h trong X m cú tớnh cht phn x, phn i xng, bc cu Cp (... gi l mt nún Ta cú nhn xột i Mi nún l tp li ii Vi mt nún P trong khụng gian vect thc X, ta cú th xỏc nh mt th t tuyn tớnh bi x y y xP, m c gi l th t cm sinh bi nún P Ta vit x > y : y x v y x x y : x y int ( P ) 11 Tp P \ {0} = {x X | x > 0} c gi l nún dng Khi X = ( X , ) l khụng gian Banach c sp th t bi mt nún P, thỡ X s l mt khụng gian Banach cú th t ( vit tt l OBS) nu th t cm sinh bi P... ) l khụng gian Hilbert thc cú th t, U H , U m, v C 1 (U , ) v gradient cú th c phõn tớch = I K , trong ú K compact, bo ton th t v E -chớnh quy vi khụng gian Banach thc E H tha int E ( P E ) Th nng b ca K l ỏnh x bin mi khong th t [u, v ] U thnh tp b chn v toỏn t K 0 : U E E cm sinh bi K l bo ton th t mnh Chỳ ý rng iu kin ( ) suy ra iu kin ( PS )[u ,v ] ỳng vi mi khong th t trong U Lu... v y Nu X l khụng gian tuyn tớnh thc, mt th t tng thớch vi cu trỳc tuyn tớnh, tc l tha món i x y x + z y + z, z X , ii x y x y , + = [0, [ , c gi l mt th t tuyn tớnh Cp ( X , ) c gi l khụng gian vect cú th t (vit tt l OVS) Xột mt OVS X v mt tp P := {x X : 0 x} Tp P cú nhng tớnh cht sau C1 P + P P , C2 + P P , C3 P ( P ) ={0} Mt tp con khỏc rng P ca mt khụng gian vect thc tha... tng ngt) nu x > y Tx > Ty , v c gi l bo ton th t mnh (hoc tng ngt) nu x y Tx Ty , tc l Ty Tx int P Vi kt qu chớnh trong phn ny thỡ Mnh 1.1.2 l hu ớch Mnh 1.1.2 Cho ( H , P ) l khụng gian Hilbert thc cú th t, U H , U m, v C 1 (U , ) v gradient cú th c phõn tớch = I K , trong ú K compact v bo ton th t Hn na, gi s u0 U l mt im ti hn ca Khi ú vi mi > 0 m B := {u H | u u0 } U thỡ tn... u0 trong E Kt qu tng t ỳng cho nu u0 ko l cc tiu a phng ca Chng minh Do u0 ko l cc tiu a phng ca + , ỏp dng mnh 1.1.2 tn ti mt dóy ( un ) U + sao cho un u0 n 1 ( un u0 trong H ) v ( ) ( un= ) inf B un ( u0 ) U + < ( u0 ) ' ( un ) + n ( un u0= ) 0, n 0 t àn := 1 + n ( 1) , suy ra Kun u= 0 ) àn ( un u0 ) ( ' ( u0 ) = 0 16 Do iu kin K l E-chớnh quy, theo b 1.1.2 ta c un u0 trong. .. mt toỏn t T : H U H Cho E, F l cỏc khụng gian Banach thc Nu E F v ỏnh x E F : u u l liờn tc thỡ ta vit E F 14 nh ngha 1.1.1 Ta gi mt toỏn t T : H U H l E-chớnh quy nu tn ti mt dóy hu hn ( Ei= )i 0 n +1 (i) E = E0 E1 cỏc khụng gian Banach thc tha món En En +1 = H (ii) Toỏn t T cm sinh nhng toỏn t liờn tc Ti C (U i , Ei 1 ) , vi = i 1 n + 1 , trong ú U= i : Ei U c trang b Ei tụpụ Ta cú... Kt qu chớnh ca ta trong phn ny l nh lý sau nh lý 1.2.1 Cho C 1 (U , ) tha ( ) ( ) (A) Gi s u < u l cỏc im ti hn ca = C: [ u, u ] U trong U tha v Cr ( , C ) l hu hn Khi ú (i) Nu ( t ( u ) , t ( u ) ) { I , X ,0 } ì { I , X ,0+ } thỡ tn ti w Cr ( , C ) I (ii) Nu ( t ( u ) , t ( u ) ) {I ,0+ } ì {I ,0 } thỡ tn ti w Cr ( , C ) I (B) Gi s u < ui , i = 1, 2 l nhng im ti hn ca trong U v u1 , u2 ... T T MT S K HIU C (U , ) Khụng gian cỏc hm :U cú o hm cp mt liờn tc trờn U C (U , ) Khụng gian cỏc hm :U cú o hm cp mt liờn tc trờn U C (U , ) Khụng gian cỏc hm :U cú o hm mi cp... dim H = 1,= d 47 Chng NH Lí MOUNTAIN PASS TRONG KHONG TH T 2.1 Cỏc kt qu chun b Cho H l khụng gian Hilbert v PH H l mt nún li úng Cho X H l mt khụng gian Banach m c nhỳng trự mt H Cho P= X ... cỏc khụng gian tru tng Hai phng phỏp c bn nghiờn cu cỏc phng trỡnh phi tuyn l phng phỏp im bt ng v phng phỏp bin phõn S kt hp phng phỏp im bt ng vi s dng cỏc tớnh cht th t ca khụng gian a ti