BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Anh Tuấn SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Anh Tuấn SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CAM ĐOAN  Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi sở cơng trình GS.TSKH Hà Huy Khối Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012 Trịnh Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN  Tơi vơ biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HỊA định hướng tơi nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p-adic, vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học; thầy người trực tiếp hướng dẫn tơi thực luận văn Tơi gửi lời tri ân đến thầy giáo khoa Tốn – Tin hướng dẫn tơi nghiên cứu Tốn học năm học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh gia đình bạn bè chia sẻ động viên tơi q trình tơi thực đề tài Một lần tơi xin chân thành cảm ơn! Trịnh Anh Tuấn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .1 LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN NỘI DUNG .9 Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Trường số phức p-adic: 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic: 15 1.3 Độ cao hàm chỉnh hình đường cong chỉnh hình  n ( p ) 25 1.4 Đường cong chỉnh hình  n ( p ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình: 32 1.5 Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: 41 Chương 2: Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p-adic .45 ( ) 2.1 Sự suy biến đường cong chỉnh hình  n  p : 45 ( ) 2.2 Các siêu mặt hyperbolic   p : 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .58 TÀI LIỆU THAM KHẢO .59 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một đường cong chỉnh hình đa tạp xạ ảnh X gọi suy biến chứa tập đại số thật X Vào năm 1979, M Green Ph Griffiths đốn đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng qt, đường cong chỉnh hình suy biến Cho tới bây giờ, điều đốn chưa chứng minh hồn tồn, nhiên có số bước tiến quan trọng Chẳng hạn, M Green chứng minh suy biến đường cong khả tích đa tạp Fermat với số chiều lớn Để có kết này, M Green sử dụng định lý Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình Và A M Nadel họ siêu phẳng xạ ảnh mà điều đốn Bằng cách sử dụng kết suy biến đường cong chỉnh hình, Nadel xây dựng số ví dụ chi tiết siêu mặt hyperbolic  Các kỹ thuật Nadel dựa định lý Siu liên thơng phân hình Trong trường p-adic, suy biến đường cong chỉnh hình đa tạp Fermat có số chiều lớn trình bày chi tiết tài liệu tham khảo [2] Và viết [1], Hà Huy Khối chứng minh “Nếu X nhiễu đa tạp Fermat  n (  p ) có số chiều đủ lớn n với số hệ số khác phương trình định nghĩa f ( z ) , đường cong chỉnh hình X suy biến” Chứng minh điều cung cấp đầy đủ thơng tin xác vị trí đường cong X, thơng tin hữu dụng cho ứng dụng sau Và hệ việc chứng minh này, Hà Huy Khối đưa số ví dụ cụ thể mặt hyperbolic p-adic  (  p ) đường cong  (  p ) với phần bù hyperbolic Bên cạnh có ví dụ cụ thể mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Nhắc lại, đa tạp X gọi hyperbolic p-adic ánh xạ chỉnh hình từ  p vào X ánh xạ Các ví dụ khác với ví dụ tài liệu [2] (được cho cách sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic) Trong số chiều mặt [2] chia số ngun lớn 1, số chiều cho tốt tất ví dụ phổ biến mặt hyperbolic phức, số chiều d ví dụ viết [1] u cầu khơng nhỏ 50 cho mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Như [2], cơng cụ chủ yếu [1] hàm độ cao trình bày [2], [5], [6] [7] Hàm có vai trò tương tự đa thức đặc trưng Nevanlinna chứng minh Green Hơn nữa, độ cao hàm chỉnh hình p-adic f ( z ) cung cấp thơng tin mật độ khơng điểm f điểm mơ tả cấp tăng f ( z ) Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng độ cao để nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic tương tự sử dụng số chiều nghiên cứu đa thức phức Việc nghiên cứu tính suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt khơng gian xạ ảnh nhiều chiều vấn đề thời nhiều nhà tốn học giới quan tâm Vì vậy, chúng tơi chọn việc nghiên cứu Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic khơng gian xạ ảnh phức p-adic làm đề tài Ở đây, chúng tơi giới hạn nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình  n ( p ) siêu mặt hyperbolic khơng gian xạ ảnh  ( p ) cơng bố cơng trình Hà Huy Khối, W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel từ 1996 đến nay, sở đó, xây dựng ví dụ minh chứng lớp siêu mặt cụ thể MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu Sự suy biến đường cong chỉnh hình  n ( p ) siêu mặt Hyperbolic khơng gian xạ ảnh  ( p ) ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức p-adic n chiều - Các siêu mặt hyperbolic p-adic Hà Huy Khối, W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel - Cụ thể hóa kết số trường hợp đặc biệt PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp hồn thiện kết có từ báo, tài liệu khoa học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu Đưa ví dụ minh họa cho kết trình bày Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic CẤU TRÚC LUẬN VĂN Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trường số phức p-adic Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic Độ cao hàm chỉnh hình đường cong chỉnh hình  n ( p ) Đường cong chỉnh hình  n ( p ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC Sự suy biến đường cong chỉnh hình  n ( p ) Các siêu mặt hyperbolic  ( p ) NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN κ trường; κ [ 0,1] = Oκ = {x ∈ κ = A r (κ ) = A ( r (κ ) x ≤ 1} ; f ( z ) lim a r 0} ; {= n n { f ( z ) bán kính hội tụ ρ ≤ r}; A (κ ) = A ∞ (κ ) tập hàm ngun κ ; f ′ đạo hàm bậc hàm f ; R ( D ) tập hàm hữu tỉ h khơng có cực điểm tập D ; H ( D ) đầy đủ hóa R ( D ) theo tơpơ sinh chuẩn hội tụ D ; Hol ( D ) tập hàm giải tích địa phương D ; M ( D ) tập hàm phân hình D ; H ( D ) tập hàm giải tích D ; g  M (κ ( 0; ρ ) ) =  g , h ∈ A( p (κ ) , h ≡  ; h  M( p (κ ) = M (κ ( 0; ρ ) ) ; M (  ) tập hàm phân hình  ; O (1) đại lượng giới nội; log hàm số logarit số e (log := ln) 46 ( M  f )( ) k Qk , f f nk+1 = Mf k Qk hàm chỉnh hình n +1 h ( Qk , t ) ≥ k ∑ h ( fi , t ) − kt , i =1 với t đủ nhỏ Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k Với k = hiển nhiên Giả sử mệnh đề với k Để đơn giản ta đặt: ϕ = f1 f n+1 Khi ta có: n +1 h (ϕ , t ) = ∑ h ( f i , t ) (1) i =1 Theo giả thiết quy nạp ta có: ( M  f )( ) = k Qk M  f ϕk Khi đó: ( M  f )( k +1) Mf = Qk +1 ϕ k +1 , Qk +1 = ϕ Qk ′ + ϕ Qk ( M  f )′ − kQ ϕ ′ Mf k 47 Chú ý hàm ( M  f )′ có cực điểm khơng điểm Mf f1 , , f n +1 Do đó, hàm ϕ ( M  f )′ chỉnh hình Suy Q hàm chỉnh hình k +1 Mf Mặt khác, từ Bổ đề 1.3.3 1.3.4 ta có: ( )  h (ϕ , t ) + h Q ′ , t ,  k     h ( Qk +1 , t ) ≥ h (ϕ , t ) + h ( Qk , t ) + h ( M  f )′ , t − h ( M  f , t ) ,    v ( k ) + h ( Qk , t ) + h (ϕ ′, t )    ( ) Khi đó, từ Bổ đề 1.3.2 ta có: h (ϕ , t ) + h ( Qk , t ) − t , h (ϕ , t ) + h ( Qk , t ) − t ,  h ( Qk +1 , t ) ≥   v ( k ) + h ( Qk , t ) + h (ϕ , t ) − t  =h (ϕ , t ) + h ( Qk , t ) − t ( 2) Từ (1) (2) suy mệnh đề k + Vậy theo quy nạp ta có điều cần chứng minh  Bổ đề 2.1.2 Gọi X nhiễu siêu phẳng Fermat số chiều d  n (  p ) f đường cong chỉnh hình X Giả sử: d≥ ( n + 1)( s − 1)( s − ) Nếu {M j = f , j 1, , s − 1} độc lập tuyến tính f ánh xạ Chứng minh: Để đơn giản, ta đặt: g= j ( z) cjM j  f ( z) cs M s  f ,= j 1, , s − 48 Khi hàm phân hình { g1 , , g s −1} thỏa: g1 + + g s −1 ≡ −1 Ta chứng minh { g1 , , g s −1} phụ thuộc tuyến tính Để chứng minh điều ta sử dụng kĩ thuật Wronski Nevanlinna: Ta có định thức Wronski logarit sau:    g1′  g Ls ( g ) =    ( s −2)  g1  g1 g 2′ g2 g 2( g2 s −2)   g s −1′  g s −1  ,  s −2  g s( −1 )  g s −1  Và Li = Li ( g1 , , g s −1 ) xác định bởi: 1  0   L1 L= = ( g1 , , g s −1 )   0  g 2′ g2 g 2( g2   g s −1′  g s −1  ,  s −2  g s( −1 )  g s −1  s −2) tương tự với = i 2, , s − cột {1,0, ,0} cột thứ i Nếu { g1 , , g s −1} ( M  f , , M s  f ) độc lập tuyến tính ánh xạ xạ ảnh L = ( L1 , L2 , , Ls ) trùng Áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho định thức Cụ thể, hạng tử thứ khai triển L1 ( g ) viết dạng: Q1 Qs − R = ( s −1)( s − 2) s −2 ϕ ϕ ϕ 49 Với ϕ ( s −1)( s −2) mẫu thức chung tất hạng tử khai triển định Ms  f ) thức Li ( g ) Do ta có ( M  f , ,= L1 , , Ls ) ( R1 , , Rs ) , đó, theo (= Bổ đề 2.1.1, R j hàm chỉnh hình thỏa điều kiện sau (với t đủ nhỏ): s −2 h ( R j , t ) = ∑ h ( Qk , t ) k =1 s −2 ≥ ( h (ϕ , t ) − t ) ∑ k k =1 ( s − 1)( s − ) h ϕ , t − ( s − 1)( s − ) t ( ) = ≥ ( n + 1)( s − 1)( s − ) h 2 ( f ,t ) − ( s − 1)( s − ) t Do M  f , , M s  f khơng có chung khơng điểm nên từ Bổ đề 1.3.6 ta có: h ( M j  f , t ) ≥ h ( R j , t ) + (1) 1≤ j ≤s j ≥ ( n + 1)( s − 1)( s − ) h ( f ,t ) − ( s − 1)( s − ) t + () Do X nhiễu siêu phẳng Fermat số chiều d nên ta có: min= h ( M j  f , t ) d= h ( f j , t ) dh ( f , t ) 1≤ j ≤ n +1 1≤ j ≤ n +1 ( 3) Lại có: = h(M j  f ,t ) n +1 ∑α h ( f , t ) ≥ dh ( f , t ) k =1 jk k Từ đó, ta được: dh ( f , t ) ≥ Khi d = ( n + 1)( s − 1)( s − ) h ( f ,t ) − ( s − 1)( s − ) t + () ( n + 1)( s − 1)( s − ) ta có điều vơ lý t → −∞ ( 4) 50 Khi d ≥ ( n + 1)( s − 1)( s − ) , từ (4) ta có: h ( f , t ) ≥ − Nt + (1) , N số dương Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 ta có f ánh xạ Vậy Bổ đề 2.1.2 chứng minh  Định lý 2.1.3 Cho X nhiễu siêu mặt Fermat số chiều d  n (  p ) gọi f đường cong chỉnh hình X Nếu d≥ ( n + 1)( s − 1)( s − ) ảnh f nằm tập thực X Nếu tồn fi ≡ f suy biến, ta giả sử fi ≡ 0, ∀i Chứng minh : Từ Bổ đề 2.1.2, ảnh f nằm tập thật X , với X xác định phương trình: a1 z1d + a2 z2d + + an+1 znd+1 + an+1M n+ + + as −1M s −1 = 0, tồn a j ≠ Ghi 2.1.1 Khơng có kết tương tự trường số phức 51 2.2 Các siêu mặt hyperbolic 3 (  p ) : Trong phần này, ta áp dụng Định lý 2.1.3 để đưa số ví dụ chi tiết mặt hyperbolic  (  p ) ví dụ đường cong  (  p ) với phần bù hyperbolic ví dụ siêu mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic chúng Khơng tính tổng qt, ta giả sử phương trình X hệ số đầu tiên= ci 1,= i 1, , n + Sau trình bày phương pháp xây dựng siêu phẳng hyperbolic, trước tiên, ta nhắc lại kết sau: X siêu mặt Fermat số chiều d  n (  p ) , Bổ đề 2.2.1 Gọi f = ( f1 , , f n+1 ) đường cong chỉnh hình X Giả sử fi ≡ 0,= ∀i 1, , n + Nếu d ≥ n − f đường cong tồn ∪ Iξ cho Iξ chứa phân hoạch tập số {1, , n + 1} = phần tử, i, j ∈ Iξ fi = f j số điểm (nếu n = tồn lớp) Định lý 2.2.2 Gọi X mặt  (  p ) có phương trình: X : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α z3α3 z4α = c ≠ 0, ∑α i =1 i X hyperbolic (1) = d , có α i = α j ≠ 1, ∀j ≠ i, j =1, 2,3, Khi đó, d ≥ 24 Chứng minh: = Gọi f ( f1 , f , f3 , f ) :  p → X đường cong chỉnh hình X 52 Giả sử tồn i cho fi = , chẳng hạn f = Nếu α = ánh xạ ( f1 , f , f3 ) từ  p vào  (  p ) có ảnh nằm đường cong xạ ảnh giống dương Từ Định lý Berkovich (xem [12]), ( f1 , f , f3 ) ánh xạ Kết hợp với (1) ta suy f ánh xạ Hiển nhiên, ta giả sử fi ≡ Từ chứng minh Định lý 2.1.3 ta có { f1d , , f 4d } phụ thuộc tuyến tính Giả sử: a1 f1d + + a4 f 4d ≡ , khơng đồng thời Ta xét trường hợp sau: (i) ≠ 0, i = 1, 2,3, Từ Bổ đề 2.2.1, ta có f ánh xạ ta = f1 c1 f= c2 f ( ∗) Và thay ( ∗) vào (1) ta có f ánh xạ giả sử , f3 hằng, (ii) Có hệ số 0, khơng tính tổng qt ta giả sử a4 = Khi đó, theo Bổ đề 2.2.1, ta có ( f1 , f , f3 ) ánh xạ Và f ánh xạ hằng, (iii) Có hai hệ số 0, giả sử a= a= Khi ta có f3 = c3 f Thay vào (1) ta được: f1d + f 2d + ε1 f3d + ε f1α f 2α f 3α ≡ , ε ≠ Nếu ε1 ≠ ảnh ánh xạ ( f1 , f , f3 ) :  p →  (  p ) nằm đường cong xạ ảnh có giống dương ( f1 , f , f3 ) ánh xạ hằng, f ánh xạ (Định lý Berkovich) 53 Giả sử ε1 = ảnh ( f1 , f , f3 ) nằm đường cong  (  p ) sau: Y : z1d + z2d + ε z1α z2α z3α +α = Ta chứng minh theo giả thuyết Định lý 2.2.2, giống Y nhỏ 1, từ định lý Berkovich ta có điều cần chứng minh Ta có giống Y số điểm ngun nằm tam giác với ba đỉnh ( d ,0 ) , ( 0, d ) (α ,α ) , hiển nhiên α + α < d Như vậy, dễ thấy tam giác chứa điểm ngun, trừ trường hợp α + α =d − Trường hợp loại từ giải thuyết Định lý 2.2.2 Vậy định lý chứng minh  Ghi 2.2.1 Trong [2], cách sử dụng phương pháp K.Masuda J.Noguchi [8], ta có ví dụ sau siêu mặt hyperbolic  (  p ) : z14 d + + z44 d + t ( z1 z2 z3 z4 ) = 0, d ≥ ( deg X = 4d ≥ 24 ) , t ∈ ∗p d Trong đó, siêu mặt hyperbolic xây dựng theo Định lý 2.2.2 có số chiều lớn 24 (khơng thiết phải bội 4) Chú ý rằng, hầu hết siêu mặt hyperbolic trường số phức trước cho với số chiều d chia hết cho số lớn (chia hết cho ví dụ BrodyGreen, cho ví dụ Nadel, cho ví dụ Noguchi) Trong [8] trình bày thuật tốn để xây dựng siêu mặt hyperbolic có số chiều tùy ý đủ lớn d Ở ta có siêu mặt hyperbolic với số chiều d ≥ 24 Ghi 2.2.2 Ví dụ sau số mũ α i , hai chúng 0,1 X khơng thể hyperbolic Mặt: X : z125 + z225 + z325 + z425 + z1 z224 = 54 chứa đường cong chỉnh hình ( −1 − z 25 ,1,1 + z 25 , z ) Bây ta dùng Định lý 2.1.3 để đưa số ví dụ đường cong  (  p ) với phần bù hyperbolic: Định lý 2.2.3 Cho X đường cong  (  p ) xác định phương trình: X : z1d + z2d + z3d + cz1α1 z2α z3α3 = 0, d Khi phần bù X hyperbolic d ≥ 24, d > α i ≥ 0, ∑ α i = p-adic  (  p ) Chứng minh: = Gọi f ( f1 , f , f3 ) :  p →  đường cong giải tích có ảnh nằm phần bù X Khi đó, hàm số: f1d + f 2d + f3d + cf1α f 2α f3α ≠ với z ∈  p , số a ≠ Do đó, ảnh đường cong chỉnh hình sau: ( f1 , f , f3 ,1) :  p → 3 nằm mặt Y  , với Y xác định phương trình: Y : z1d + z2d + z3d − az4d + cz1α1 z2α z3α3 = Từ chứng minh Định lý 2.1.3, { f1d , f 2d , f3d ,1} phụ thuộc tuyến tính: c1 f1d + c2 f 2d + c3 f 3d + c4 ≡ , ci khơng đồng thời Ta xét trường hợp sau: (i) ci ≠ 0, ∀i Theo Bổ đề 2.2.1, có hàm f1 , f , f3 hàm Suy f ánh xạ hằng, 55 (ii) Tồn ci = Khi theo Bổ đề 2.2.1, ta có f ánh xạ hằng, (iii) Nếu có hai ci = fi hàm hằng, hàm thương hai hàm fi , f j hàm Trong hai điều trên, ta có f hàm Vậy Định lý 2.2.3 chứng minh  Ghi 2.2.3 Ta chứng minh ánh xạ ( f1 , f , f3 ,1) :  p → Y ánh xạ Y khơng hyperbolic Bây ta dùng chứng minh Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 để đưa số ví dụ cụ thể mặt hyperbolic  (  p ) với phần bù hyperbolic Định lý 2.2.4 Cho X siêu mặt  (  p ) có số chiều d ≥ 50 xác định phương trình: X : z1d + + z4d + cz1α1 z2α z3α3 z4α = ( 6) c ≠ có α i = α j lại nhỏ Khi X hyperbolic phần bù X  (  p ) hyperbolic Chứng minh: Ta dùng Định lý 2.2.2 để chứng minh phần bù X hyperbolic Đặt f = ( f1 , , f ) đường cong có ảnh nằm phần bù X Như chứng minh Định lý 2.2.3 tồn số a ≠ cho ánh xạ ( f1 , f , f3 , f ,1) có ảnh nằm siêu mặt Y có số chiều d  (  p ) xác định phương trình: 56 Y : z1d + z2d + z3d + z4d + az5d + cz1α1 z2α z3α3 z4α = Từ chứng minh Định lý 2.1.3 ta có d ≥ {f d (7) ( + 1)( − 1)( − ) = 50 , f 2d , f3d , f 4d ,1} phụ thuộc tuyến tính Do đó: ∑ε i =1 f d + ε5 ≡ , i i ε i khơng đồng thời Nếu ε = ta lặp lại phần chứng minh Định lý 2.2.2 ta có f ánh xạ Giả sử ε ≠ , từ Bổ đề 2.2.1 ta suy f ánh xạ tồn fi , giả sử f , hàm Thay f số vào ( ) , ta thấy ảnh ánh xạ ( f1 , f , f3 ,1) nằm mặt phẳng xác định phương trình: 0, Z : z1d + z2d + z3d + a′z4d + c′z1α1 z2α z3α3 z4β4 = a′, c′ ≠ 0, β =d − (α1 + α + α ) Và từ Định lý 2.1.3, { f1d , f 2d , f3d ,1} phụ thuộc tuyến tính Do đó: δ1 f1d + δ f 2d + δ f3d + δ ≡ Nếu δ = tương tự chứng minh Định lý 2.2.2, ta có f ánh xạ Để lý ta cần giả thuyết α1 = số mũ lại phải 2, ta xét trường hợp δ ≠ Từ Bổ đề 2.1.1, ta có f ánh xạ tồn fi , chẳng hạn f3 , hàm Thay f3 , f số vào ( ) ta f1 = ε f , với ε số Cuối cùng, ánh xạ ( f1 , f , f3 , f ,1) có ảnh nằm Y nên ta có: 57 Af 2d + Bf 2α1 +α + C ≡ , A, B, C số B ≠ Từ giả thuyết Định lý 2.2.4, α1 + α ≠ 0, d nên ta có f hàm Vậy Định lý 2.2.4 chứng minh  Ghi 2.2.4 Định lý 2.2.3 2.2.4 cho ta ví dụ siêu mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic trường p-adic Trong trường số phức, tồn siêu mặt chứng minh M G Zaidenberg [10] A.Nadel [7]đã đưa ví dụ đường cong  ví dụ cụ thể siêu mặt hyperbolic  đưa K Masuda J Noguchi [8] Ghi 2.2.5 Ví dụ sau chứng tỏ tổng hai số số mũ α i khơng d phần bù X khơng hyperbolic Xét mặt X cho phương trình: X : z151 + z251 + z351 + z451 + z325 z426 = Khi đó, X hyperbolic (Định lý 2.2.2), phần bù X  (  p ) chứa đường cong chỉnh hình sau: = f ( z, − z,1,1) Vậy, với chương 2, có phương pháp nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình với phương pháp kiểm tra xây dựng siêu mặt hyperbolic (nhờ định lý 2.1.3, định lý 2.2.3 định lý 2.2.4 ) - 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn làm rõ kết Hà Huy Khối cơng trình ơng cơng bố năm 1997 tác giả có liên quan W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel Luận văn có đóng góp sau đây: - Đưa điều kiện đủ suy biến đường cong chỉnh hình  n (  p ) (Định lý 2.1.3) Từ phương pháp xét suy biến đường cong chỉnh hình  n (  p ) - Áp dụng Định lý 2.2.3, xây dựng số lớp siêu mặt hyperbolic cụ thể  (  p ) Vì lí thời gian khn khổ luận văn, chúng tơi khơng nêu chi tiết số khái niệm chứng minh số kết đường cong đại số, giống đường cong đại số số kết lý thuyết Nevanlinna mà tài liệu có trình bày chi tiết nội dung Hướng nghiên cứu đề tài: - Tìm vận dụng độ cao hàm chỉnh hình vào xét suy biến đường cong chỉnh hình  n (  p ) Xây dựng phương pháp đơn giản để xét suy biến nói - Tìm phương pháp xây dựng đưa ví dụ cụ thể siêu phẳng hyperbolic p-adic  n (  p ) với n > 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Khối (1997), p-adic Hyperbolic Surfaces, ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 22, Number 2, 501-514 [2] Hà Huy Khối Mai Văn Tư (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat, 719-731 [3] Hà Huy Khối(1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math J 50, 695-711 [4] Hà Huy Khối (1993), Height of p-adic holomorphic functions and applications, Diophantine Geometry and Related topics, RIMS Lect Notes Ser 819, Kyoto, 96-105 [5] Hà Huy Khối and Mỵ Vinh Quang (1988),p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math, 1351, 138-152 [6] Hà Huy Khối and Vũ Hồi An (2003), Value distribution for p-adic hypersurfaces, Taiwanese journal of mathematics, Vol 7, No 1, pp 5167 [7] A Nadel(1989), Hyperbolic surfaces in P , Duke Math J 58, 749771 [8] K Masuda and J Noguchi(1996), A construction of hyperbolic hypersurfaces of P n (  ) , Math Ann 304, 339-362 [9] M Green(1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer J Math 97, 43-75 60 [10] M G Zaidenberg (1993), Hyperbolicity in projective spaces, Diophantine Geometry and Relatedtopics, RIMS Lect, Notes Ser 819, Kyoto, pp 136-156 [11] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (1999), Meromorphic functions over Non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers [12] R Brody and M Green(1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfacesin P , Duke Math J 44, 873-874 [13] V Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33 [14] William Fulton (2008), Algebraic curves -An introduction to algebraic geometry, January 28 [15] W A Cherry (1994), Hyperbolic p-adic analytic spaces, Math Ann 300, 393- 404 [...]... t p p n n ∈  ∪ {0} Từ (iv) dễ thấy:  r =  p  x;  , x ∈  p , r ∈  + p ( x; r )  p Do đó vành định giá = O =  p ( 0; p ) vừa mở vừa đóng, và được gọi là p [ 0;1] p vành số ngun p- adic, ký hiệu  p Với mọi n ∈  + , vành  p được phủ bởi  p  k ; p − n  = k + p n p ( k = 0,1, , p n − 1) Tức là  p compắc và do đó  p compắc địa phương Như vậy, ta có  p p n p ≅  p n p , và l p. .. l p các p n  p trong  p là các quả cầu trong t p p- adic Các t p  p = 0; p − n  p n  p ( n ∈  ) tạo thành một hệ tọa độ địa phương của 0 ∈  p Khơng gian  p khơng liên thơng nhưng là khơng gian t p Hausdorff Bây giờ ta mở rộng của chuẩn p- adic trong  p trên bao đóng đại số  p của  p Lấy x ∈  p , khi đó x cũng thuộc mở rộng hữu hạn  p ( x ) và do đó ta có thể định nghĩa x p bằng cách... Acsimet trên  p , chuẩn này vẫn được ký hiệu là ⋅ p và thỏa: (i) Tồn tại ph p nhúng  p ⊂→  p và chuẩn sinh bởi ⋅ p trên  p qua ph p nhúng là p- adic Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  p với ảnh của nó qua ph p nhúng trong  p , (ii)  p trù mật trong  p , (iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) (thay ph p nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất)  p gọi là trường các số phức p- adic  p còn có tính...  p , (ii)  trù mật trong  p , (iii)  p đầy đủ 13 Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) (thay ph p nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất)  p được gọi là trường các số p- adic  p còn có tính chất sau: (iv) Với mỗi x ∈  p* , tồn tại một số ngun v p ( x ) sao cho x p = p − v p ( x) , tức là v p trong  được mở rộng lên  p Nói cách khác, t p tất cả các giá trị của  và  p qua ⋅ p { } là trùng nhau và. ..  p* , tồn tại một số hữu tỉ v p ( x ) sao cho x p = p − v tức là v p trong  p được mở rộng trong  p Và ảnh của  p* qua v p là  , (v)  p đóng đại số nhưng khơng compắc địa phương p ( x) , 15 1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường số phức padic: Cho κ là trường đóng đại số, đầy đủ với chuẩn khơng Acsimet ⋅ và có đặc số 0 Trong phần này ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm chỉnh. .. tích x p với cả các số ngun tố p trong  , bao gồm cả p = ∞ Đầy đủ hóa của  được tạo bởi t p cảm sinh từ ⋅ ký hiệu là  p , và chuẩn ⋅ p p là một trường, được trên  được mở rộng thành một chuẩn khơng Acsimet trên  p , vẫn ký hiệu là ⋅ p và thỏa: (i) Tồn tại ph p nhúng  ⊂→  p và chuẩn cảm sinh bởi ⋅ p trên  qua ph p nhúng là p- adic Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  với ảnh của nó qua ph p nhúng... số kiến thức bổ trợ Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cho những nội dung ở chương 2 Đó là các khái niệm về trường số phức p- adic; hàm chỉnh hình; hàm phân hình; khơng gian hyperbolic, 1.1 Trường số phức p- adic: Trước tiên, ta nhắc lại ký hiệu trường số phức, số thực và số hữu tỉ lần lượt là ,  và  , và ký hiệu vành số ngun là  Nếu η là t p con của  thì ta ký hiệu: η + ={ x ∈η x ≥ 0}... ) là các hàm chỉnh hình trên  p Khi đó ta có: (i) h ( f + g , t ) ≥ min {h ( f , t ) , h ( g , t )} , fg , t ) h ( f , t ) + h ( g , t ) (ii) h (= Định nghĩa 1.3.5 Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ  p vào  n (  p ) và f được cho bởi: f = ( f1 , f 2 , , f n+1 ) , 27 trong đó, fi là các hàm chỉnh hình trong  p và khơng có chung khơng điểm Khi đó, f được gọi là một đường cong chỉnh hình p- adic. .. p bằng cách mở rộng chuẩn p- adic trên  p ( x ) , cụ thể, ta có hàm: ⋅ :  p → + 14 Hàm trên là một mở rộng của chuẩn p- adic trên  p , và dễ chứng minh được rằng hàm này cũng là một chuẩn Chuẩn trên  p vẫn được gọi là chuẩn p- adic Tuy nhiên,  p khơng đầy đủ với chuẩn này Đầy đủ hóa của  p ứng với t p sinh bởi ⋅ là  p , chuẩn ⋅ p p là một trường được ký hiệu trên  p được mở rộng thành một chuẩn... f1 ) µ ( r , f 2 ) 25 1.3 Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) Có thể xem chi tiết trong [1] , [ 4] Cho f ( z ) là một hàm chỉnh hình p- adic trên  p và: ∞ f ( z ) = ∑ an z n n =0 Khi đó, ta có: lim v ( an ) + nv ( z )  =∞, n →∞ ∀z ∈ p Suy ra, với v ( z ) = t ∈  tồn tại n để cho v ( an ) + nt là cực tiểu Định nghĩa 1.3.1 Độ cao của f ( z ) được xác định bởi cơng ... hai đường cong chỉnh hình: 32 1.5 Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: 41 Chương 2: Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p- adic .45 ( ) 2.1 Sự suy biến đường. .. chỉnh hình  n ( p ) Đường cong chỉnh hình  n ( p ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ SIÊU... thể mặt hyperbolic p- adic  (  p ) đường cong  (  p ) với phần bù hyperbolic Bên cạnh có ví dụ cụ thể mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Nhắc lại, đa t p X gọi hyperbolic p- adic ánh xạ chỉnh