BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Văn Ly NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Văn Ly NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC HAI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC HAI 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Sự tồn nghiệm dương toán (1.1), (1.2) (1.1), (1.3) 10 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI ĐỐI SỐ LỆCH 49 2.1 Giới thiệu toán 49 2.2 Sự tồn nghiệm dương 50 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS Ts Nguyễn Anh Tuấn – Giảng viên khoa Toán – Tin, trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Trong suốt trình học thực luận văn thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành tốt luận văn Bằng lòng tôn kính biết ơn, xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin gởi cảm ơn quí thầy khoa Toán – Tin, trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh tận tình bảo truyền thụ kiến thức cho trình học Tôi xin gởi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô ban giám hiệu, thầy cô phòng sau đại học trường ĐHSP Tp HCM giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành chương trình học Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Tp HCM, ngày 26 tháng 09 năm 2012 Tác giả Trần Văn Ly CÁC KÍ HIỆU  tập hợp số tự nhiên  tập hợp số thực, = + x ∈  , [ x ]+ = [0, +∞ ) ,  − = ( −∞,0] x− x x +x , [ x ]− = 2 C ([ a, b ];  ) không gian Banach hàm liên tục u : [ a, b ] →  với chuẩn { } = u C m ax u ( t ) : t ∈ [ a, b ] { } C ([ a, b ];  + ) = u ∈ C ([ a, b ];  ) : u ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] { } Ct0 ([ a, b ];  + ) = v ∈ C ( [ a , b ] ;  + ) : v ( t0 ) = , t0 ∈ [ a, b ] C ([ a, b ];  ) tập hợp hàm liên tục tuyệt đối u : [ a, b ] →  C ′ ([ a, b ];  ) tập hợp hàm u ∈ C ([ a, b ];  ) , cho u′ ∈ C ([ a, b ];  ) ′ ( D;  ) tập hợp hàm γ ∈ C ( D;  ) , cho γ ′ ∈ C ([α , β ];  ) , với Cloc [α , β ] ⊆ D , D ⊂  L ([ a, b ];  ) không gian Banach hàm khả tích Lebesgue p : [ a, b ] →  b với chuẩn p L = ∫ p ( s ) ds a { } L ([ a, b ];  + ) = p ∈ L ([ a, b ];  ) : p ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] ab tập hợp hàm đo f : [ a, b ] → [ a, b ] ab tập hợp  : C ([ a, b ];  ) → L ([ a, b ];  ) toán tử tuyến tính bị chặn ab tập hợp toán tử tuyến tính bị chặn  : C ([ a, b ];  + ) → L ([ a, b ];  + ) MesA độ đo Lebesgue tập A Toán tử  ∈ ab gọi toán tử t0 - Volterra, t0 ∈ [ a, b ] , với a1 ∈ [ a, t0 ] , b1 ∈ [t0 , b ] , a1 ≠ b1 , v ∈ C ([ a, b ];  ) thỏa mãn điều kiện: v ( t ) = , t ∈ [ a1 , b1 ]  ( v )( t ) = , t ∈ [ a1 , b1 ] Cho  ∈ ab toán tử b – Volterra (tương ứng toán tử a – Volterra) ξ ∈ ( a, b ) Kí hiệu  ξ b (tương ứng  aξ ) thu hẹp toán tử  không gian C ([ξ , b ];  ) (tương ứng C ([ a, ξ ];  ) ) MỞ ĐẦU Vấn đề tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm có vị trí quan trọng lí thuyết phương trình vi phân có nhiều ứng dụng, đặc biệt lĩnh vực vật lí, học, kĩ thuật,… Trong năm gần vấn đề thu hút quan tâm sâu sắc nhiều nhà toán học giới như: A Lomtatidze, P Vodstrčil, R P Agrwal, D O O’Regan, H Wang,… nhiều nhà toán học Việt Nam Do đó, vấn đề tồn nghiệm dương cho lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai áp dụng kết để tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đối số chậm đối số lệch quan tâm sâu sắc Mục đích luận văn nghiên cứu việc tồn nghiệm dương phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai: = u′′ ( t )  ( u )( t ) + q ( t ) với điều kiện biên u ( a ) = 0, u ( b ) = u ( a ) = 0, u′ ( b ) = đó,  : C  a, b ;    L  a, b ;   , q  L  a, b ;    Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Nghiệm dương phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai Trong chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai thỏa mãn điều kiện biên nêu Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai đối số lệch Trong chương ta áp dụng kết từ chương để xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân cấp hai đối số lệch Các kết luận văn trích từ báo “On nonnegative solutions of second order linear functional differential equations” hai tác giả A Lomtatidze, P Vodstrčil, đăng tạp chí Mem Differential Equations Math Phys 32(2004), 59 – 88 Luận văn tài liệu tham khảo cho quan tâm nghiên cứu việc tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai áp dụng kết để tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đối số chậm đối số lệch Chương 1: NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC HAI 1.1 Giới thiệu toán Trên đoạn [ a, b ] , xét phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai = u′′ ( t )  ( u )( t ) + q ( t ) (1.1) thỏa mãn điều kiện biên u (a) = , u (b) = (1.2) u ( a ) = , u′ ( b ) = (1.3) đó,  ∈ ab , q ∈ L ([ a, b ];  − ) Nghiệm toán (1.1), (1.2) (1.1), (1.3) hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi đoạn [ a, b ] thỏa mãn điều kiện biên (1.2) (1.3) Cùng với toán (1.1), (1.2) (1.1), (1.3), ta xét toán tương ứng: u′′ ( t ) =  ( u )( t ) (1.1 ) thỏa mãn điều kiện biên (1.2) (1.3) Từ định lí tổng quát tính giải toán giá trị biên cho phương trình vi phân hàm (xem tài liệu [1] ,  2 , 3 , 11 , 16), ta có định lí sau: Định lí 1.1 Bài toán (1.1), (1.2) (hoặc (1.1), (1.3)) giải toán tương ứng (1.1 ), (1.2) (hoặc (1.1 ), (1.3)) có nghiệm tầm thường Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm dương cho hai toán (1.1), (1.2) (1.1), (1.3) Để làm thành kết chương ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2 Cho  ∈ ab , ta nói toán tử  ∈V ([ a, b ]) với hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn (1.2) u′′ ( t ) ≥  ( u )( t ) , t ∈ [ a, b ] u (t ) ≤ , t ∈ [ a, b ] (1.4) (1.5) Định nghĩa 1.3 Cho  ∈ ab , ta nói toán tử  ∈V ′ ([ a, b ]) với hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn (1.3) u′′ ( t ) ≥  ( u )( t ) , t ∈ [ a, b ] u (t ) ≤ , t ∈ [ a, b ] (1.4) (1.5) Từ định lí 1.1 định nghĩa 1.2, 1.3 ta có nhận xét sau: Nhận xét: i) Nếu  ∈V ([ a, b ]) toán (1.1), (1.2) tồn nghiệm dương ii) Nếu  ∈V ′ ([ a, b ]) toán (1.1), (1.3) tồn nghiệm dương Thật vậy, để chứng minh toán (1.1), (1.2) tồn nghiệm dương trước hết ta cần chứng minh toán (1.1), (1.2) có nghiệm Điều tương đương với ta chứng minh toán (1.1 ), (1.2) có nghiệm tầm thường Giả sử u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) nghiệm toán (1.1 ), (1.2) Do đó, u nghiệm hệ t f (t ) = ( t − s ) (τ ( s ) − a ) p ( s ) ds , t − a ∫a t ∈ ( a, b ] t Suy = f ′(t ) ∫ ( s − a ) (τ ( s ) − a ) p ( s ) ds a (t − a ) b mà ≥0 b < f ( b= ) ( b − s ) (τ ( s ) − a ) p ( s ) ds ≤ ∫ (τ ( s ) − a ) p ( s ) ds b − a ∫a a lim f ( t ) = t →a + sup { f ( t ) : t ∈ ( a, b ]} = f (b ) Nên Theo (2.50) ta có sup { f ( t ) : t ∈ ( a, b ]} ≤ Do (2.49) thực hiện, nên theo định lí 2.7 ta có điều phải chứng minh Định lí 2.9 τ (t ) ≤ t , Cho t ∈ [ a, b ] (2.51)  t  sup  s − t b − τ s p s ds : t ∈ a , b ( ) ( ) ( ) ) [ ( )  ≤1 ∫ − b t a   (2.52) Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Đặt ϕ1 ( t )= b − t Chọn = m 2,= k Ta chứng minh định lí 2.9 thỏa mãn tất điều kiện hệ 1.17 Thật vậy, dễ dàng kiểm tra  toán tử a – Volterra Mặt khác từ định nghĩa ϕ1 ta có ϕ1 ( t ) > , ϕ1′ ( t ) =−1 < , t ∈ [ a, b ) Xét b ∫ ( s − t )  (ϕ ( s ) ) ds − ( b − t ) ϕ2 ( t ) − ϕ1 ( t ) = t b = ∫ ( s − t ) (ϕ (τ ( s ) ) ) p ( s ) ds − ( b − t ) t b = ∫ ( s − t ) ( b − τ ( s ) ) p ( s ) ds − ( b − t ) t b Theo (2.52) suy ∫ ( s − t ) ( b − τ ( s ) ) p ( s ) ds − ( b − t ) ≤ t ϕ1 ( t ) ≥ ϕ2 ( t ) Hay Do đó, điều kiện hệ 1.17 thực nên ta có điều phải chứng minh Hệ 2.10 Cho (2.51) xảy b ∫ ( b − τ ( s ) ) p ( s ) ds ≤ (2.53) a Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Dễ dàng chứng minh với (2.53) (2.52) xảy Định lí 2.11 Giả sử (2.48) xảy b ∫ ( b − s ) p ( s ) ds ≤ a hai điều kiện sau thỏa mãn (2.54) b ∫ ( b − s ) p ( s ) ds > (2.55) a τ (t ) s ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds ≤ η t đó, với * (2.56) a = η * sup {η ( x ) : x > 0}   b    x exp  x ∫ ( b − s ) p ( s ) ds    a  , η ( x ) = ln  b  x     exp  x ∫ ( b − s ) p ( s ) ds  −   a    x>0 Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Nếu (2.54) xảy ra, điều kiện hệ 1.13 thực với ϕ1 ( t ) = 1= , m 2,= k Nếu (2.55), (2.56) xảy b c= ∫ ( b − s ) p ( s ) ds , c > Khi đó, đặt a Ta có  xecx  lim η ( x ) = lim+ ln  cx  = −∞ x →0 + x →0 x  e − 1 Do   xecx  cx   = + − ln c < x ln lim ln =  xlim   →0+  ecx −  x→0+  ecx − c    lim +  x→0 x = +∞ Mặt khác, ta lại có  xecx  lim η ( x ) = lim ln  cx  x →+∞ x →+∞ x  e − 1   ecx   ln  cx    e − 1  ln x = lim  +  x →+∞  x  x      ecx  ln  cx  e − 1 ln x = lim + lim  x →+∞ x x →+∞ x ln x lim= lim = x →+∞ x x →+∞ x mà  ecx  ln  cx  e − 1  ecx ′ ecx − c  lim lim  cx  cx = = − lim cx = x →+∞ x →+∞ e − x →+∞ e − x   e lim η ( x ) = nên x →+∞ Do đó, tồn λ > cho η* = η (λ ) (2.57) Theo (2.56) ta có   b   − λ λ b s p s ds exp ( ) ( )     τ (t ) s ∫a     ∫t ∫a p (ξ ) dξ ds ≤ λ ln   b    exp λ ∫ ( b − s ) p ( s ) ds  −   a    (2.58) Lũy thừa số e hai vế (2.58) ta  b  λ exp λ b − s p s ds ( ) ( )   ∫a  τ (t ) s    , exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ b  t a  exp λ ( b − s ) p ( s )ds  − ∫  a  τ (t ) s mà τ (t ) t ∈ [ a, b ] b = ∫ (τ ( t ) − s ) p ( s ) ds ≤ ∫ ( b − s ) p ( s ) ds , t ∈ [ a, b ] ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds a a tptp a a (2.59)  τ (t ) s  λ exp λ p ξ d ξ ds  ∫∫ ( )   τ (t ) s   a a  , exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ τ (t ) s    t a  exp λ ∫ ∫ p (ξ )dξ ds  −  a a  nên t ∈ [ a, b ]   τ (t ) s    τ (t ) s   τ (t ) s  Hay  exp λ ∫ ∫ p (ξ )dξ ds  − 1 exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ λ exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds     a a    t a   a a   Từ suy  τ (t ) s   t  exp λ ∫ ∫ p (ξ )dξ ds  − ≤ λ exp λ ∫ ( t − s ) p ( s )ds  ,  a a   a  t ∈ [ a, b ] (2.60) Đặt  t  γ ( t ) =exp λ ∫ ( t − s ) p ( s ) ds  − 1,  a  γ (t ) > , Khi đó, rõ ràng t ∈ [ a, b ] t ∈ ( al , b ] Từ định nghĩa γ suy t  t  ′ = γ ( t ) λ ∫ p ( s ) ds exp λ ∫ ( t − s ) p ( s )ds  a  a   t   t   t  ′′ γ= ( t ) λ p ( t ) exp λ ∫ ( t − s ) p ( s ) ds  +  λ ∫ p ( s ) ds  exp λ ∫ ( t − s ) p ( s ) ds   a   a   a  Do đó,  al  γ ′ ( al ) λ ∫ p ( s ) ds exp λ ∫ ( t − s ) p ( s )ds  = a  a  al  al  = λ ∫  (1)( s ) ds exp λ ∫ ( al − s ) p ( s ) ds  =   a  a  al  t  γ ′′ ( t ) ≥ λ p ( t ) exp λ ∫ ( t − s ) p ( s ) ds   a    τ (t )   ≥ p ( t )  exp λ ∫ (τ ( t ) − s ) p ( s )ds  − 1 = p ( t ) γ (τ ( t ) ) , t ∈ [ a, b ]      a    Vậy hàm γ thỏa mãn tất điều kiện định lí 1.11 nên ta có điều phải chứng minh Định lí 2.12 Giả sử (2.51) xảy b ∫ ( s − a ) p ( s ) ds ≤ (2.61) a hai điều kiện sau thỏa mãn b ∫ ( s − a ) p ( s ) ds > (2.62) a t b ∫τ ∫ p (ξ ) dξ ds ≤ η * (2.63) (t ) s đó, với = η * sup {η ( x ) : x > 0}   b   x exp x s − a p s ds ( ) ( )   ∫    a   , η ( x ) = ln b  x     exp  x ∫ ( s − a ) p ( s ) ds  −    a   x>0 Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Nếu (2.61) xảy ra, điều kiện hệ 1.17 thực với , m 2,= ϕ1 ( t ) = 1= k Nếu (2.62), (2.63) xảy Khi đó, lim η ( x ) = −∞ x →0 + lim η ( x ) = x →+∞ Do tồn λ > cho η* = η (λ ) (2.64) Theo (2.63) ta có   b   − λ λ s a p s ds exp ( ) ( )   ∫   t b  a    ∫τ t ∫s p (ξ ) dξ ds ≤ λ ln   b   ()  exp λ ∫ ( s − a ) p ( s ) ds  −    a   (2.65) Lấy lũy thừa số e hai vế (2.65) cho ta  b  λ exp λ s − a p s ds ( ) ( )   ∫  t b   a  , exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ b    τ (t ) s  exp λ ∫ ( s − a ) p ( s )ds  −  a  b b mà b ∫τ ∫ p (ξ ) dξ ds = τ ∫ ( s − τ ( t ) ) p ( s ) ds ≤ ∫ ( s − a ) p ( s ) ds , t ∈ [ a, b] (t ) s nên b t ∈ [ a, b ] (t ) (2.66) a  b b  λ exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds   t b   τ (t ) s  , exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ b b    τ (t ) s  exp λ ∫ ∫ p (ξ )dξ ds  −  τ (t ) s  t ∈ [ a, b ]   b b    t b   b b    Hay exp λ ∫ ∫ p (ξ )dξ ds  − exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds  ≤ λ exp λ ∫ ∫ p (ξ ) dξ ds    τ (t ) s    τ (t ) s   τ (t ) s   Từ suy   b    b   exp λ ∫ ( s − τ ( t ) ) p ( s ) ds  − 1 ≤ λ exp λ ∫ ( s − t ) p ( s )ds  , t ∈ [ a, b ] (2.67)    t   τ (t )    Đặt  b  γ ( t ) =exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds  − 1,  t  γ (t ) > , Khi đó, rõ ràng t ∈ [ a, b ] t ∈ [ a, bl ) Từ định nghĩa γ ta suy  b  γ ′(t ) = −λ ∫ p ( s ) ds exp λ ∫ ( s − t ) p ( s )ds  t  t  b  b   b   b  ′′ ( t ) λ p ( t ) exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds  +  λ ∫ p ( s ) ds  exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds  γ=  t   t   t  Do đó, ta có  b  −λ ∫ p ( s ) ds exp λ ∫ ( s − bl ) p ( s )ds  γ ′ ( bl ) = bl  bl  b  b  = −λ ∫  (1)( s ) ds exp λ ∫ ( s − bl ) p ( s ) ds  =  bl  bl b  b   b   b  ′′ ( t ) λ p ( t ) exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds  +  λ ∫ p ( s ) ds  exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds  γ=  t   t   t   b  ≥ λ p ( t ) exp λ ∫ ( s − t ) p ( s ) ds   t    b   ≥ p ( t )  exp λ ∫ ( s − τ ( t ) ) p ( s )ds  − 1 = p ( t ) γ (τ ( t ) ) , t ∈ [ a, b ]    τ (t )    Vậy hàm γ thỏa mãn điều kiện định lí 1.14 nên ta có điều phải chứng minh Định lí 2.13 Cho (2.48) xảy τ (t )  b  − − × − p t τ t s τ s a p s ds exp τ s a p s ds   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   dt < (2.68) ∫a  ∫t ∫  t   b Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Rõ ràng, f ( v )( t ) = p ( t ) τ (t ) ∫ v ( s ) ds a t ϕ ( v )( t ) = ∫ f ( v )( s ) ds a Đặt = f ( v )( t ) p ( t ) τ (t ) ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s ) ds , t ∈ [ a, b ] t Do (2.48) dễ dàng kiểm tra  toán tử b – Volterra b Xét ∫ a b  f (1)( t ) exp  ∫ f (1)( s ) ds dt = t  τ (t ) a t ∫ p (t ) ∫ = = b b τ (t ) a t ∫ p (t ) ∫ b  (τ ( t ) − s ) f (1)( s )ds.exp  ∫ f (1)( s ) ds  dt t  b  (τ ( t ) − s ) (τ ( s ) − a ) p ( s )ds.exp  ∫ (τ ( s ) − a ) p ( s ) ds  dt t  Theo (2.68) ta suy b ∫ a b  f (1)( t ) exp  ∫ f (1)( s ) ds dt < t  Hơn nữa, với v ∈ Ca ([ a, b ];  + ) , t ∈ [ a, b ] ta xét f (ϕ ( v ) ) ( t ) − f (1)( t )ϕ ( v )( t ) = = p (t ) τ (t ) s t a a a ∫ ∫ f ( v )(ξ )dξ ds − p ( t ) (τ ( t ) − a ).∫ f ( v )( s )ds p (t ) = p (t ) = p (t ) ≤ τ (t ) t a a τ (t ) t t a ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s )ds − p ( t ) ∫ (τ ( t ) − a ) f ( v )( s ) ds ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s )ds − p ( t ) ∫ ( s − a ) f ( v )( s ) ds τ (t ) f ( v )( t ) ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s )ds = t Hay f (ϕ ( v ) ) ( t ) − f (1)( t )ϕ ( v )( t ) ≤ f ( v )( t ) Do đó, giả thiết hệ 1.18 thỏa mãn nên ta có điều phải chứng minh Hệ 2.14 Cho (2.48) xảy ra, p ≡/ τ (t )   b   ess sup  ∫ (τ ( s ) − a ) p ( s )ds : t ∈ [ a, b ] <  exp  ∫ (τ ( s ) − a ) p ( s )ds  − 1   a    t   −1 (2.69) Khi đó,  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Dễ dàng kiểm tra (2.69) thỏa mãn (2.68) Định lí 2.15 Cho (2.51) xảy b ∫ p (t ) a t  − − − exp s τ t b τ s p s ds b τ s p s ds dt < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ∫τ t ∫ a  () t (2.70) Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh f ( v )( t ) = − p ( t ) Rõ ràng, b ∫τ v ( s ) ds (t ) b ϕ ( v )( t ) = ∫ f ( v )( s ) ds t Đặt = f ( v )( t ) p ( t ) t ∫τ ( s − τ ( t ) ) f ( v )( s ) ds , (t ) t ∈ [ a, b ] Do (2.51) dễ dàng kiểm tra  toán tử a – Volterra b Xét ∫ a t  f (1)( t ) exp  ∫ f (1)( s ) ds dt = a  t  = ∫ p ( t ) ∫ ( s − τ ( t ) ) f (1)( s )ds.exp  ∫ ( b − τ ( s ) ) p ( s ) ds  dt τ (t ) a a  b t t  = − ∫ p ( t ) ∫ ( s − τ ( t ) ) ( b − τ ( s ) ) p ( s )ds.exp  ∫ ( b − τ ( s ) ) p ( s ) ds  dt τ (t ) a a  b t Do (2.70) nên ta có b ∫ a b  f (1)( t ) exp  ∫ f (1)( s ) ds dt < t  Hơn nữa, với v ∈ Cb ([ a, b ];  + ) , t ∈ [ a, b ] ta xét f (ϕ ( v ) ) ( t ) − f (1)( t )ϕ ( v )( t ) = = − p (t ) = − p (t ) = b (t ) s t ∫τ ∫ f ( v )(ξ )dξ ds + p ( t ) ( b − τ ( t ) ).∫ f ( v )( s )ds b b τ (t ) t p (t ) p (t ) ≤ b b ∫ ( s − τ ( t ) ) f ( v )( s )ds + p ( t ) ∫ ( b − τ ( t ) ) f ( v )( s ) ds τ (t ) t t a ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s )ds − p ( t ) ∫ ( s − a ) f ( v )( s ) ds τ (t ) f ( v )( t ) ∫ (τ ( t ) − s ) f ( v )( s )ds = t Hay f (ϕ ( v ) ) ( t ) − f (1)( t )ϕ ( v )( t ) ≤ f ( v )( t ) Do đó, điều kiện hệ 1.19 thỏa mãn nên ta có điều phải chứng minh Hệ 2.16 Cho (2.51) xảy ra, p ≡/  t   b   ess sup  ∫ ( b − τ ( s ) ) p ( s )ds : t ∈ [ a, b ] <  exp  ∫ ( b − τ ( s ) ) p ( s )ds  − 1   a   τ (t )   −1 (2.71) Khi  thuộc vào hai tập V ([ a, b ]) , V ′ ([ a, b ]) (với  định nghĩa (2.2)) Chứng minh Dễ dàng chứng minh với (2.71) điều kiện (2.70) thỏa mãn Định lí 2.17 Cho  ∈ ab toán tử định nghĩa (2.3), hàm g , µ thỏa mãn điều kiện định lí 2.1 định lí 2.5 hệ 2.2, hàm p,τ thỏa mãn điều kiện định lí từ 2.7 – 2.15, hệ 2.8 – 2.16 Khi đó,  ∈V ([ a, b ]) Định lí 2.18 Cho  ∈ ab toán tử định nghĩa (2.3), hàm g , µ thỏa mãn điều kiện định lí 2.3 định lí 2.6 hệ 2.4, hàm p,τ thỏa mãn điều kiện định lí 2.7 – 2.15, hệ 2.8 – 2.16 Khi đó,  ∈V ′ ([ a, b ]) Chứng minh định lí 2.17, 2.18 Định lí 2.17, 2.18 suy trực tiếp từ định lí 2.1 – 2.15, hệ 2.2 – 2.16 định lí 1.23 KẾT LUẬN Nội dung luận văn xây dựng điều kiện đủ để toán (1.1), (1.2) (1.1), (1.3) tồn nghiệm dương Điều tương đương với việc ta xây dựng điều kiện đủ để  ∈V ([ a, b ])  ∈V ′ ([ a, b ]) Đó mục đích luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Nghiệm dương phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai Trong chương luận văn xây dựng điều kiện đủ để  ∈V ([ a, b ])  ∈V ′ ([ a, b ]) với  toán tử đơn điệu hay  ∈ ab biểu diễn =   − 1 ,  , 1 ∈ ab Các kết định lí 1.4, định lí 1.8, định lí 1.11, định lí 1.14, định lí 1.23 Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai đối số lệch Trong chương này, áp dụng kết từ chương để xây dựng điều kiện đủ để  ∈V ([ a, b ])  ∈V ′ ([ a, b ]) với toán tử   ab cho công thức (2.1), (2.2), (2.3) Các kết định lí 2.1, định lí 2.3, định lí 2.7, định lí 2.9, định lí 2.11 Các kết luận văn hạn chế mở rộng cho toán biên không địa phương, toán biên tuần hoàn,… Đó hướng tiếp tục xem xét có điều kiện Do thời gian thực đề tài có hạn nên chắn luận văn tránh khỏi số thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp quí thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Azbelev, N.V (1971), “The zeros of the solutions of a second order linear differential equation with retarded argument”, Differentsial’nye Uravnenija 7, 1147 – 1157 [2] Azbelev, N.V., Maksimov, V.P., and Rakhmatullina, L.F (1991), Introduction to the theory of functional differential equations, Nauka, Moscow, Russian [3] Bravyi, E (2000), “A note on the Fredholm property of boundary value problems for linear functional differential equations” Mem Differential Equations Math Phys, 20, 133–135 [4] Hakl, R., Lomtatidze, A., and Půža, B (2001), “On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equation”, Mem Differential Equation Math Phys, 23, 51 – 84 [5] Hakl, R., Lomtatidze, A., and Šremr, J (2002), Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations, Folia, Facult Scient Natur Univ Masarykianae Brunensis, Mathematica 10 [6] Kiguradze, I., and Půža, B (2003), Boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Folia Facultatis Scientiarium Naturalium Universitatis Masarykianae Brunensis Mathematica, 12, Masaryk University, Brno [7] Labovskii, S.M (1984), “Positive solutions of linear functionaldifferential equations” Differentsial’nye Uravneniya (Russian), 20(4), 578– 584 [8] Schwabik, S., Tvrdy, M., and Vejvoda, O (1979), Differential and integral equations Boundary value problems and adjoints, D Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass-London [...]... ≥ 0, t ∈ [ a, b ] Hay Do đó, nghiệm duy nhất của bài toán (1.1), (1.2) là dương Tương tự, tính đúng đắn của ii) cũng được chứng minh Vậy để xây dựng điều kiện đủ cho vi c tồn tại và duy nhất nghiệm dương của các bài toán (1.1), (1.2) hoặc (1.1), (1.3) thì ta chỉ cần xây dựng điều kiện đủ để  ∈V ([ a, b ]) hoặc  ∈V ′ ([ a, b ]) 1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của các bài toán (1.1), (1.2)... b ] Hay u ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] Các điều trên chứng tỏ u= ( t ) 0, t ∈ [ a, b] Do đó, bài toán (1.1 0 ), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lí 1.1 thì bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất nghiệm Ta sẽ chứng minh nghiệm này là dương Giả sử v ∈ C ′ ([ a, b ];  ) là nghiệm của (1.1) và thỏa mãn (1.2) Do q ∈ L ([ a, b ];  − ) nên v′′ ( t ) ≤  ( v )( t ) Từ đó suy ra −v′′ ( t ) ≥  ( −v )( t... thì ta có u ( al ) > 0 , u′ ( al ) > 0 (1.64) Do tính liên tục của hàm u , u′ nên các bất đẳng thức trong (1.64) chứng tỏ tồn tại t0 ∈ ( al , b ) sao cho (1.60) xảy ra Bây giờ ta giả sử (1.63) xảy ra, khi đó t1 ∈ ( al , b ) (1.65) Thật vậy, vì nếu t1 ∈ [ a, al ] , khi đó lấy tích phân (1.61) từ t tới t1 và do (1.63) ta có u′ ( t ) ≤ 0 , t ∈ [ a, t1 ] Tích phân bất đẳng thức trên từ a tới t1 và do (1.58)... ) ≥ 0 , (1.86) Do (1.75), (1.76), (1.83), (1.86) nên ω ′ ( t0 ) > 0 (1.87) Từ tính liên tục của các hàm u , γ trên đoạn [t0 , b ] nên từ (1.80) tồn tại t ′ ∈ ( t0 , b ] sao cho λ= Hay −u ( t ′ ) γ ( t′) ω ( t′) = 0 (1.88) Mặt khác, tích phân (1.84) từ t0 tới t và do (1.87) ta có ω′ ( t ) > 0 , t ∈ [ t0 , b ] Tiếp tục tích phân bất đẳng thức trên từ t0 tới t ′ và cùng với (1.85) ta gặp mâu thuẫn với... v )( t ) = − a+b v  (b − a )  2  8 2 Khi đó, rõ ràng (1.30’) đúng Mặt khác, hàm u= (t ) 4 (b − a ) 2 ( t − a )( b − t ) , t ∈ [ a, b ] là nghiệm không tầm thường của bài toán (1.1 0 ), (1.2) Do đó, theo nhận xét i) thì  ∉V ([ a, b ]) Định lí 1.8 Cho − ∈ ab Khi đó  ∈V ′ ([ a, b ]) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ′ ( ( a, b ];  ) thỏa mãn (1.6), (1.7) γ ∈ Cloc γ ′(b) ≥ 0 γ ( a ) + γ ′ ( b... kiện của định lí 1.8 được thực hiện nên  ∈V ′ ([ a, b ]) Vậy hệ quả đã được chứng minh xong Chú ý: Giả thiết (1.47) không thể thay thế bằng giả thiết b ∫ ( s − a )  (1)( s ) ds ≤ 1 a Ví dụ 2: Xét  ( v )( t ) = − 2 (b − a ) 2 v (b) Khi đó, rõ ràng (1.47’) đúng Mặt khác, hàm u (t ) = 2 1   ( t − a ) + ( t − a )( b − t )  , t ∈ [ a, b ]  (b − a )  2 2 2 (1.47’) là nghiệm không tầm thường của. .. thì hàm γ thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.11 nên  ∈V ([ a, b ]) Hệ quả đã được chứng minh xong Định lí 1.14 ′ ( ( a, bl ];  ) thỏa Cho  ∈ ab là toán tử a – Volterra, và tồn tại hàm γ ∈ Cloc mãn các điều kiện γ ′′ ( t ) ≥  ab ( γ )( t ) l γ (t ) > 0 t ∈ [ a, bl ] , t ∈ [ a, bl ) , γ ′ ( bl ) ≤ 0 trong đó, Bl = 0, x ∈ [t , b ]} , {t ∈ [ a, b] :  (1)( x ) = bl = inf Bl Khi đó  thuộc cả hai. .. mãn các Cho  ∈ ab là toán tử b – Volterra, và hàm γ ∈ Cloc điều kiện γ ′′ ( t ) ≥  a b ( γ )( t ) l γ (t ) > 0 t ∈ [ al , b ] , t ∈ ( al , b ] , γ ′ ( al ) ≥ 0 trong đó, (1.55) (1.56) (1.57) Al = 0, x ∈ [ a, t ]} , {t ∈ [ a, b] :  (1)( x ) = al = sup Al Khi đó  thuộc cả hai tập V ([ a, b ]) và V ′ ([ a, b ]) Bổ đề 1.12 Cho  ∈ ab ,  (1) ≡/ 0 , hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn (1.4) và... chứng minh Chứng minh định lí 1.8 Điều kiện cần Cho − ∈ ab , giả sử  ∈V ′ ([ a, b ]) , ta sẽ chứng minh tồn tại ′ ( ( a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện (1.6), (1.7), (1.39), (1.40) hàm γ ∈ Cloc Lấy γ là nghiệm của bài toán γ ′′ ( t ) =  ( γ )( t ) ; γ (a) = 1, γ ′(b) = 0 Khi đó (1.6), (1.39), (1.40) được thực hiện Đặt t ∈ ( a, b ] u0 ( t ) = 1 − γ ( t ) , t ∈ [ a, b ] Suy ra u0′′ ( t ) = −γ... ) thỏa mãn các điều kiện Điều kiện đủ Giả sử, tồn tại hàm γ ∈ Cloc (1.6), (1.7), (1.39), (1.40), chứng minh  ∈V ′ ([ a, b ]) Giả sử u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện (1.3), (1.4) Ta sẽ chứng minh u ( t ) ≤ 0, t ∈ [ a, b ] Phản chứng, giả sử max {u ( t ) : t ∈ [ a, b ]} > 0 (1.43) a b ta có (1.16) Tích phân 2 vế (1.16) từ 2 Tích phân (1.4) với cận từ t tới a tới t và do (1.3) ta được ... trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai áp dụng kết để tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đối số chậm đối số lệch Chương 1: NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN... gồm hai chương: Chương 1: Nghiệm dương phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai Trong chương xây dựng điều kiện đủ cho vi c tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai. .. nhà toán học Vi t Nam Do đó, vấn đề tồn nghiệm dương cho lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai áp dụng kết để tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đối số chậm