BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, giúp nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học tập cao học, tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Sau xin cảm ơn người thân bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập TPHCM, tháng năm 2013 Học viên Trần Gia Huy MỤC LỤC MỞ ĐẦU T 0T Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ T T 1.1 Sử dụng nguyên lý Entropy 0T T 1.2 Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát 11 0T T Chương SỬ DỤNG LÁT CẮT 23 T T 2.1 Các định nghĩa 23 0T 0T 2.2 Sự tồn hàm chọn (lát cắt) ánh xạ đa trị 25 0T T 2.3 Ứng dụng vào toán điểm bất động 30 0T T Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 32 T T 3.1 Các định nghĩa 32 0T 0T 3.2 Chỉ số điểm bất động ánh xạ đa trị 33 0T T 3.3 Ứng dụng vào toán điểm bất động 35 0T T KẾT LUẬN 41 T 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 T 0T PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự hình thành thập niên 1940, đạt kết ấn tượng năm 1950 – 1970 tiếp tục hoàn thiện đến ngày Lý thuyết tìm ứng dụng rộng rãi nghiên cứu phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ thuật, nghiên cứu mô hình kinh tế– xã hội, lý thuyết điều khiển – tối ưu Một hướng nghiên cứu gần Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự xét phương trình không gian có thứ tự với ánh xạ đa trị Các ánh xạ đa trị nghiên cứu cách hệ thống Toán học từ năm 1950 – 1960 nhu cầu phát triển nội Toán học nhu cầu mô tả, tìm hiểu mô hình, tượng khoa học xã hội Các phương trình chứa ánh xạ đa trị không gian có thứ tự nghiên cứu phương pháp khác Một mặt, ta áp dụng phương pháp tổng quát phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với tính chất thứ tự không gian Mặt khác, ta áp dụng phương pháp đặc thù không gian có thứ tự sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý dãy lặp suy rộng, … Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết phương pháp nghiên cứu bao hàm thức không gian có thứ tự Đó phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô Luận văn có chương: Chương trình bày nguyên lý tập có thứ tự, nguyên lý Entropy nguyên lý Đệ quy tổng quát Sau áp dụng nguyên lý vào việc xét tồn nghiệm bao hàm thức Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [2], [3], [4] Chương trình bày tồn lát cát (hàm chọn) đơn điệu ánh xạ đa trị, kết hợp với định lý Tarskii, ta kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian Banach sinh nón minihedral mạnh Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [8] Chương giới thiệu số điểm bất động ánh xạ đa trị, từ chứng minh tồn điểm bất động toán tử cô đặc nón Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [10] Chương SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ 1.1 Sử dụng nguyên lý Entropy Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực  Tập K X gọi nón thỏa mãn điều kiện sau: i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ ( ) {} iii) K  −K = θ Định nghĩa 1.1.2 Nếu K nón không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh K sau: ∀x , y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Mệnh đề 1.1.3 Giả sử “ ≤ ” thứ tự không gian Banach X sinh nón K Khi : i) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X λx ≤ λy, ∀λ ≥ , ii) Nếu x n ≤ yn , ∀n ∈ * và= lim x n a= , lim yn b a ≤ b , n →∞ n →∞ iii) Nếu x n ≤ x n +1 (n ∈ * ) lim x n = a x n ≤ a, ∀n ∈ * n →∞ Chứng minh: i) Do x ≤ y nên ta có : (y + z ) − (x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z λy − λx = λ (y − x ) ∈ K nên λx ≤ λy ii) Do x n ≤ yn , ∀n ∈ * ⇒ yn − x n ∈ K, ∀n ∈ * ) ( a, lim yn =⇒ b b a lim yn − x n =− Mà lim x n = n →∞ n →∞ n →∞ Mặt khác K đóng nên b − a ∈ K ⇒ a ≤ b ( ) iii) Giả sử x n dãy tăng, x n ≤ x n +m (m, n ∈ * ) Cố định n , cho m → ∞ , ii), ta có: x n ≤ a, ∀n ∈ * Mệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy) Giả sử i) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận ( xn ≤ a ∈ X ) ) ii) S : X →  −∞; +∞ hàm: ( ) () • Đơn điệu tăng, nghĩa u ≤ v ⇒ S u ≤ S v ( ) • Bị chặn trên, nghĩa ∃M : S u ≤ M , ∀u ∈ X ( ) ( ) Khi đó, tồn phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S u = S uo Chứng minh: ( ) {−∞} , ta lấy u • Nếu S X = o ∈ X tùy ý ( ) ( ) { } • Giả sử S X ≠ −∞ , lấy u1 ∈ X , S u1 ≠ −∞ Xây dựng phần tử u1 ≤ u2 ≤  sau: giả sử có un , ta đặt: { { () } } Mn = u ∈ X : u ≥ un , β n = sup S u : u ∈ M n Khi −∞ < βn < +∞ ( )  Nếu βn = S un , ta lấy uo := un Khi đó: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ u ≥ un ⇒ u ∈ M n ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra: S u ≤ βn = S uo Mà S u ≥ S uo ( S hàm đơn điệu tăng) ( ) ( ) Do đó: S u = S uo ( )  Nếu βn > S un , ta tìm un +1 thỏa mãn: un +1 ∈ M n   S un +1 > βn −  βn − S un   ( ( ) ) ( ) Nếu trình vô hạn ta có dãy tăng un thỏa mãn: ( ) ( ) 2S un +1 − S un > βn , ∀n ∈ * ( ) Gọi uo cận số un ( uo ≥ un ) ( ) ( ) ( ) Với u ≥ uo , ta có: u ≥ un ⇒ u ∈ M n ⇒ S u ≤ βn < 2S un +1 − S un ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ S u ≤ lim S un ⇒ S u ≤ S uo n →∞ ( ) ( ) Mặt khác: S u ≥ S uo ( S hàm đơn điệu tăng) ( ) ( ) Do đó: S u = S uo Định nghĩa 1.1.5 Cho X ,Y hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y họ tất tập Y Một ánh xạ F : X → 2Y gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y { } Cho M ⊂ X ánh xạ đa trị F : M → 2M \ ∅ Khi v ∈ M gọi điểm bất động F v ∈ Fv v ∈ Fv gọi điểm bất động cực đại F với u ∈ Fu v ≤ u u =v v ∈ Fv gọi điểm bất động cực tiểu F với u ∈ Fu u ≤ v u =v Định nghĩa 1.1.6 Cho X không gian Banach thứ tự nón K Gọi A, B tập X i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  hai tập A, B sau: ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b AB ⇔  ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : a ≤ b ii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự < hai tập A, B sau: ( A < B ⇔ ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b ) iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  hai tập A, B sau: ( A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b ) Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K = 0; +∞ ) sau: A = Ta xét tập X như= 2;  , B = 1;  ,C 3;  Khi đó: A  C , A < B, B  C Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian Banach thứ tự nón K ánh xạ đa trị F : M ⊂ X → 2X i) Ánh xạ đa trị F gọi ánh xạ đa trị đơn điệu nếu: ( ) () ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x < F y ii) Ánh xạ đa trị F gọi đơn điệu nghiêm ngặt nếu: ( ) () ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x  F y Định lý 1.1.8 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K , M ⊂ X tập { } đóng F : M → 2M \ ∅ ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn: 29 Do u ≥ y ∨ z Suy y ∨ z ∈ G *x ′ Vì y ∈ G *x ′ z ∈ G *x tùy ý nên G *x ′ ≥wV G *x Vậy G * thỏa mãn điều kiện i), ii), iii), iv) nên với G ∈ R G * ∈ R Bổ đề 2.2.5 Với G G * xác định (2.2.1.1) (2.2.3.1), ta có G = G * Chứng minh: Ta có: Gx := *  Gx ; G x :=  G x G∈R * G *∈R {z ∈ Gx : ∀x ′ > x, ∀y ∈ G x ′ ⇒ y ≥ z} = R Lấy tùy ý x ∈ X , ký hiệu {G : G ∈ R} + G *x = * * Do bổ đề 2.2.4, với G ∈ R G * ∈ R nên ta có R = R * Do  G *x = *  Gx hay G x = Gx G∈R G *∈R * * Do x ∈ X tùy ý nên G = G + Bổ đề 2.2.6 Với G xác định (2.2.1.1) ta có G x ≠ ∅, ∀x ∈ X Chứng minh: Ta có: với G ∈ R x ∈ X , Gx dây chuyền đầy đủ bên nên ta có + G +x ≠ ∅ , suy + x G x ≠ ∅, ∀x ∈ X  G= G∈R Chứng minh định lý 2.2.1: () + Với x ∈ X , theo bổ đề 2.2.6, ta chọn tùy ý f x ∈ G x Khi ta hàm f : X → Y hàm chọn F Ta chứng minh f hàm tăng Thật vậy: ( ) ( ) G x G x , f x ′ ∈ G x ′ , theo (2.2.3.1) ta có f ( x ′ ) ≥ f ( x ) ∀x ′ > x , f x ∈= + *+ + 30 Vậy f hàm tăng nên hàm chọn đơn điệu F 2.3 Ứng dụng cho toán điểm bất động Định nghĩa 2.3.1 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Nón K gọi nón minihedral mạnh tập khác rỗng bị chặn có cận Định lý 2.3.2 (Định lý Tarskii) Giả sử X không gian Banach với thứ tự sinh nón minihedral mạnh K f : u; v → u; v ánh xạ tăng Khi f có điểm bất động u; v { } (trong u; v = x ∈ X : u ≤ x ≤ v , với “ ≤ ” thứ tự sinh nón K ) Chứng minh: { ( )} Đặt A = x ∈ u; v : x ≤ f x Ta có u ∈ A A bị chặn v , tồn x o = sup A Hiển nhiên ta có x o ∈ u; v ( ) ( ) ( ) Với x ∈ A ta có x ≤ x o , suy f x ≤ f x o x ≤ f x o ( ) ( ) Vậy f x o cận A x o = sup A nên x o ≤ f x o ( ) ( ( )) hay f (x ) ∈ A Do f ánh xạ tăng nên f x o ≤ f f x o ( ) Do f x o ≤ x o ( ) Vậy ta có x o = f x o x o điểm bất động f Định lý 2.3.3 o 31 Giả sử X không gian Banach với thứ tự sinh nón minihedral mạnh K F : u; v → u ;v { } \ ∅ ánh xạ tăng ≥wV cho với x ∈ u; v , Fx dây chuyền đẩy đủ bên F −x ≠ ∅ Khi F có điểm bất động u; v Chứng minh: Ta áp dụng định lý 2.2.1 với X= Y= u; v Hiển nhiên Y dàn Vì F thỏa mãn điều kiện định lý 2.2.1 nên tồn hàm chọn đơn điệu f F Do K nón minihedral mạnh nên theo định lý 2.3.2, f có điểm bất động u; v Do F có điểm bất động u; v 32 Chương SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 3.1 Các định nghĩa { } Cho X không gian Fréchet với pn | n ∈  họ nửa chuẩn xác định tôpô X Định nghĩa 3.1.1 Với n ∈  Q ⊂ X , ta định nghĩa γ n= (Q ) inf {d > | Q phủ hữu hạn tập hợp có pn – đường kính nhỏ d} χn= (Q ) inf {r > | Q phủ hữu hạn pn – cầu có pn – bán kính nhỏ r } Đặt= + {λ | λ ∈ , λ ≥ 0}  {+∞} , ta định nghĩa γ (Q ) : N →  + bởi: γ (Q )(n ) = γ n (Q ) với n ∈  χ (Q ) : N →  + bởi: χ (Q )(n ) = χn (Q ) với n ∈  γ , χ gọi chung độ đo phi compact, ký hiệu chung Φ Với A, B ⊂ X , ta có tính chất sau: ( ) • Φ A = ⇔ A compact tương đối • Φ coA = Φ A = Φ A , coA bao lồi đóng A • Φ A  B = max Φ A , Φ B • Φ A+B = Φ A +Φ B • Φ tA =Φ t A ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) 33 Định nghĩa 3.1.2 ( ) Ánh xạ T : D ⊂ X → 2X gọi nửa liên tục T x compact lồi với ( ) x ∈ D , đồng thời với x ∈ D tập mở V cho T x ⊂ V , tồn () tập mở W chứa x cho T y ⊂ V với y ∈W  D Định nghĩa 3.1.3 ( ( )) < Φ (Q ) , Ánh xạ T : D ⊂ X → 2X gọi Φ − cô đặc Φ T Q với ( ) Q ⊂ D, Φ Q ≠ 3.2 Chỉ số điểm bất động ánh xạ đa trị Định nghĩa 3.2.1 Cho F ⊂ X lồi đóng U ⊂ X tập mở cho U  F ≠ ∅ Ta ký hiệu U F thay ( ) cho U  F , U F ∂ F U F bao đóng biên U F F ( ) ( ) Giả sử T : U F → 2F nửa liên tục cô đặc, x ∉ T x x ∈ ∂ F U F Ta xây dựng dãy Fα sau: ( ) ( ) Đặt Fo = coT U F , Fα = coT Fα −1  U F với α > F∞ =  Fβ β ≥0 Ta có Fα giảm, tồn số γ cho Fγ = Fη , ∀η ≥ γ { ( )} ⊂ F Hơn nữa, tập x | x ∈ U F ∧ x ∈ T x γ ( ) coT Fγ  U F = Fγ , T cô đặc nên Fγ compact ( ) Ta định nghĩa số điểm bất động T F U , ký hiệu iF T ,U , sau: ( ) • Nếu U  Fγ = ∅ iF T ,U = 34 • Nếu U  Fγ ≠ ∅ , đặt r ánh xạ co liên tục từ X vào K γ ,ta định nghĩa ( ( ) ( ) ) = iF T ,U deg I − Tr , r −1 U , Trong vế phải đẳng thức bậc tôpô trường vectơ đa trị compact Mệnh đề 3.2.2 Cho F ,U ,T , Fγ r trên, giả sử A ⊂ F lồi đóng, A ⊃ K γ T : A  U F → 2A Cho ρ ánh xạ co X lên A Khi đó: ( ( ( ) ) ( ) ) deg I − T ρ, ρ −1 U , = deg I − Tr , r −1 U , Định lý 3.2.3 Cho F ⊂ X tập lồi đóng, U ⊂ X tập mở ánh xạ T : U F → 2F nửa liên tục ( ) ( ) trên, cô đặc, x ∉ T x x ∈ ∂ F U F ( ) 1) Nếu iF T ,U ≠ T có điểm bất động ( ) 2) Nếu x o ∈ U F iF xo ,U = , xo ánh xạ hằng, nhận giá trị x o ( ) 3) Nếu U = U  U , U 1,U tập mở không giao cho x ∉ T x ( ) ( ) x ∈ ∂ F U 1F  ∂ F U 2F ( ( ) ) ( i= T ,U iF T ,U + iF T ,U F ) ( ( 4) Cho H : 0;1 ×U F → 2F nửa liên tục cho Φ H 0;1 × Q ( ) ( ) ( ) với Q ⊂ U F , Φ Q ≠ x ∉ H t, x t ∈ 0;1 , x ∈ ∂ F U F ( ( ) ) ( ( ) ) Khi đó: iF H 1, • ,U= iF H 0, • ,U )) < Φ (Q ) , 35 3.3 Ứng dụng vào toán điểm bất động Từ định nghĩa số điểm bất động phần 3.2, ta chứng minh tồn điểm bất động toán tử nón mà miền xác định không đòi hỏi tính lồi Cho K nón X Định nghĩa 3.3.1 Cho F ⊂ X tập lồi đóng, U ⊂ X tập mở Ánh xạ T : U F → 2F gọi thỏa mãn điều kiện Leray – Schauder λx ∉ T ( x ) , ∀x ∈ ∂ F (U F ) , λ ≥ Định lý 3.3.2 Cho U lân cận giả sử T : U  K → 2K nửa liên tục trên, cô đặc Khi T thỏa mãn điều kiện Leray – Schauder T có điểm bất động Chứng minh: ( ) ( ) ( ) Ta định nghĩa H : 0,1 × D  K → 2K cho H t, x ∈ tT x , với t ∈ 0;1 ( ) ( ( ( ) { }) ) x ∈ D  K Với Q ⊂ D  K , ta có T Q ⊂ H 0;1 × Q ⊂ co T Q  ( ( Đồng thời Φ H 0;1 × Q )) < Φ (Q ) Φ (Q ) ≠ ( ) Hơn nữa, T thỏa mãn điều kiện Leray – Schauder nên x ∉ H t, x , với t ∈ 0;1 x ∈ ∂ K D ( ) ( )  D Theo định lý 3.2.3 ta có iK= T, D i= 0, , T có điểm bất động K Định lý 3.3.3 Cho X không gian Fréchet, K ⊂ X nón Cho d mêtric ( ) { } ( ) X r1, r2 ∈ 0; +∞ , r = max r1, r2 T : B 0, r  K → 2K nửa liên tục ( trên, cô đặc Giả sử tồn nửa chuẩn liên tục p cho I − T p − bị chặn Hơn nữa, giả sử T thỏa mãn: ) (B ( 0, r )  K ) 36 () ( ) i) Tồn w ∈ K cho p w ≠ x ∉ T x + tw với t > ( ) x ∈ ∂ K B 0, r1 ( ) ( ) ii) λx ∉ T x với λ > x ∈ ∂ K B 0, r2 { } ( ) { } Khi T có điểm bất động x o thỏa mãn r1, r2 ≤ d x o , ≤ max r1, r2 Chứng minh: ( ( ) ) = phương pháp phản chứng • Trước hết ta chứng minh iK T , B 0; r1 ( ( ) ) ≠ λ > , ta định nghĩa: Giả sử iK T , B 0; r1 ( ( ) ) ( ) ( ) H : 0;1 × B 0; r1  K → 2K H = t, x T x + t λw ( ) ( ) Theo i), x ∉ H t, x , với x ∈ ∂ K B 0, r1 t ∈ 0;1 ( ( Mặt khác Φ H 0;1 × Q ( ) ( ) )) < Φ (Q ) Q ⊂ B ( 0; r )  K ( ) Φ Q ≠ ( ) Do Φ A + B ≤ Φ A + Φ B , với A, B ⊂ X nên theo định lý 3.2.3, ta có: ( ( )) ( ( )) iK T , B 0,= r1 iK T + λw, B 0, r1 ( ( ) ) ≠ , suy Mặt khác, từ giả sử iK T , B 0, r1 ( ) tồn x λ ∈ B 0, r1  K cho ( ) x λ ∈ T x + λw ( ) ( ) Khi ta có chọn dãy x n ⊂ B 0, r1  K với x n ∈ T x n + nw với n ∈  ( ) ( ) Từ p w ≠ , suy p nw ( → +∞ I − T ) (B ( 0, r )  K ) không p − bị chặn; mâu thuẫn với giả thiết định lý ( ( • Ta chứng minh iK T , B 0, r2 ) ) = Thật vậy, ta định nghĩa: 37 ( ( ) ) ( ) ( ) F : 0,1 × B 0, r2  K → 2K F t, x = tT x ( ) ( ) Khi F t, x ≠ x t ∈ 0,1 x ∈ ∂ K B 0, r2 , ( ( T thỏa mãn điều kiện ii) Φ F 0,1 × Q ( ( ) ) )) < Φ (Q ) với Q ⊂ B ( 0, r )  K ( ( ) { }) (T , B ( 0, r )) = Φ Q ≠ , F 0,1 × Q ⊂ co T Q  Do theo định lý 3.2.3, iK Từ tính chất cộng tính số điểm bất động miền xác định, ta có: ( ( ) ( )) ≠ iK T , B 0, r \ B 0, r { } {} r = r1, r2 , T có điểm bất động khác ( ) Hệ 3.3.4 Cho X không gian Fréchet với d mêtric X r1, r2 ∈ 0; +∞ , ( ) { } r = max r1, r2 Cho T : B 0, r  K → 2K nửa liên tục trên, cô đặc, K nón ( ) {} cho K  −K = Giả sử T thỏa mãn: ( ) ( ) iii) T x − x ⊂ K x ∈ ∂ K B 0; r1 ( ) ( iv) x − T x ⊂ K x ∈ ∂ K B 0; r2 ) Khi tồn nửa chuẩn liên tục p , không triệt tiêu K cho (I − T ) (B ( 0, r )  K ) { } ( ) p − bị chặn T có điểm bất động x o thỏa mãn { } r1, r2 ≤ d x o , ≤ max r1, r2 Chứng minh: Ta chứng minh iii) suy i), iv) suy ii) 38 ( ) ( ) {} Thật chọn w ∈ K cho p w ≠ Khi từ K  −K = , i) dễ dàng suy từ ii) với cách chọn w ( ) ( ) ( ) Mặt khác x ∈ ∂ K B 0; r2 λx ∈ T x với λ > , λx = y , với y ∈ T x , ( ) ta có x − y = − λ x ∈ K điều kiện iv) ( ( ) {} ) Do K nón nên λ − x ∈ K , K  −K = nên x = ( ) Mà d x ; 0= r2 > , mâu thuẫn Vậy điều kiện ii) thỏa mãn Theo định lý 3.3.3, T có điểm bất động x o thỏa mãn: { } ( ) { } r1, r2 ≤ d x o , ≤ max r1, r2 { } Bổ đề 3.3.5 Cho X không gian Fréchet với pn họ nửa chuẩn tăng xác định tôpô X Cho d mêtric X định bởi: ∞ ( ) ∑2 d x, y = −n ( pn x − y ( ) + pn x − y n =1 ) , với x , y ∈ X ( ) ( ) Cho r ∈ 0;1 K nón cho ∂ K B 0; r ≠ ∅ ( ) Khi T : B 0, r  K → 2K nửa liên tục trên, cô đặc tồn nửa chuẩn ( pn cho I − T ) (B ( 0, r )  K ) p n − bị chặn Chứng minh: { ( ) } ( Đặt j i | pi K ≠ Ta chứng minh I − T = ) (B ( 0, r )  K ) p j − bị chặn ( ) phản chứng Giả sử ngược lại, ta chọn dãy x n ⊂ B 0; r  K ( ) ( yn ⊂ K cho yn ∈ T x n với n ∈  p j x n − yn ) → +∞ 39 Ta có x n không compact tương đối không T ( dãy p j x n − yn ) ( ( )) ≤ γ ( Vì p j x n − yn ) j n bị chặn ( ( x )) < Φ ( x ) , đặc biệt: ( x ) χ (T ( x )) ≤ χ ( x ) Do T cô đặc nên Φ T γ j T xn ( x ) compact tương đối n n j n n ( ) → +∞ nên p j x n j n ( ) không bị chặn Ta giả sử p j x n ( { } Do pn họ nửa chuẩn tăng từ định nghĩa d , ta có d x n ; ) → +∞ → 2− j ( ) Hơn nữa, cách chọn j ∂ K B 0; r ≠ ∅ nên r < 2− j ( ) Mà d x n ; ≤ r , ∀n , mâu thuẫn Ta có đpcm Từ bổ đề 3.3.5 kết hợp với định lý 3.3.3 hệ 3.3.4, ta có hệ sau: ( ) Hệ 3.3.6 Cho d mêtric bổ đề 3.3.5 Cho r1, r2 ∈ 0;1 , { } r = max r1, r2 ( ) T : B 0, r  K → 2K nửa liên tục trên, cô đặc Giả sử ( ) ∂ K B 0; r ≠ ∅ Khi đó, T thỏa mãn điều kiện i) ii), điều kiện iii) iv) ( ) {} với điều kiện K  −K = T có điểm bất động x o thỏa mãn { } ( ) { } r1, r2 ≤ d x o , ≤ max r1, r2 ( ) { } Hệ 3.3.7 Cho X không gian Banach r1, r2 ∈ 0; +∞ , r = max r1, r2 ( ) T : B 0, r  K → 2K nửa liên tục trên, cô đặc Giả sử tồn w ∈ K cho 40 ( ) ( ) w ≠ x ∉ Tx + tw với t > , x ∈ ∂ K B 0, r1 , đồng thời λx ∉ T x với ( λ > , x ∈ ∂ K B 0, r2 ) { } { } Khi T có điểm bất động x o thỏa mãn r1, r2 ≤ x o ≤ max r1, r2 Chứng minh: X không gian Fréchet với tôpô sinh chuẩn • ( ( )) = r γ (B ( 0; r )) = 2r Lại T cô đặc nên ( I − T ) ( B ( 0, r )  K ) bị chặn theo chuẩn Do χ B 0; r Theo định lý 3.3.3, ta có đpcm 41 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiếtcác phương pháp nghiên cứu tồn nghiệm bao hàm thức không gian có thứ tự mà trường hợp riêng điểm bất động ánh xạ đa trị Đó phương pháp sử dụng nguyên lý tập có thứ tự nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ qui; phương pháp lát cắt, phương pháp bậc tôpô Các kết trình bày luận văn tiếp tục phát triển Ví dụ, tìm thêm định lý tồn lát cắt đơn điệu với điều kiện nhẹ giới thiệu ứng dụng cho lớp phương trình vi phân, tích phân Qua trình làm luận văn, hiểu sâu kiến thức học chương trình Cao học, thấy mối liên hệ chặt chẽ chúng vận dụng chúng để học tập vấn đề Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu, làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, mong học hỏi từ đóng góp bảo Quý Thầy Cô Hội Đồng 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Đức Dũng (2012), Hàm chọn số lớp ánh xạ đa trị ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Thu Hà (2009), Một số phương pháp nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ tăng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Phạm Thị Bé Hiền (2004), Một số nguyên lý tổng quát tập có thứ tự ứng dụng vào toán điểm bất động, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Thăng (2010), Điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nxb Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh K.Deimling (1984), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag L.Gasinskii, N.S.Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis, Chapman & Hall / RCR Nikolai S.Kukushkin (2009), On the existence of monotone selections, Russian Academy of Sciences, Dorodnicyn Computing Center Nguyen Bich Huy (2002), Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Analysis, 51(4), Pages 637 – 678 10 P.M.Fitzpatrick and W.V.Petryshyn (1974), Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones, J London Math Soc (2), Pages 75 – 85 43 11 S.Carl, S.Heikkila (2010), Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications, Springer Verlag [...]... sau: (C): Tập hợp C được sắp thứ tự tốt của những dãy tăng, hội tụ trong X chứa một dãy tăng hội tụ về supC Ta kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức Lu ∈ Nu Mệnh đề 1.2.5 { } Cho F : P ⊂ X → 2P \ ∅ thỏa mãn các giả thiết sau: { } i) Tập Po = u ∈ P | u ≤ v, v ∈ Fu không rỗng ( ) ( ) ii) Nếu un ≤ vn ∈ Fun , n ∈  và vn là dãy tăng thì vn có giới hạn trong Po Khi đó F có điểm bất động cực đại và... Đặt D = ∅  W ⊂ Po | W được sắp thứ tự tốt và có chặn trên trong Po ( ) } ( ) tử v f W ∈ F u , u ≤ v , f : D → X , ứng mỗi tập W trong D với phần = trong đó u là một chặn trên đúng của W trong Po Hiển nhiên ∅ ∈ D Theo mệnh đề 1.2.4, tồn tại tập sắp tốt C trong X thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) ( ) ( ) Nếu vn là một dãy tăng trong C thì theo định nghĩa của f , tồn tại dãy un trong Po thỏa mãn un ≤ vn ∈ Fun... là hàm tăng nên là hàm chọn đơn điệu của F 2.3 Ứng dụng cho bài toán điểm bất động Định nghĩa 2.3.1 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K Nón K được gọi là nón minihedral mạnh nếu mỗi tập khác rỗng và bị chặn trên thì có cận trên đúng Định lý 2.3.2 (Định lý Tarskii) Giả sử X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón minihedral mạnh K và f : u; v → u; v là ánh xạ tăng Khi đó f có điểm... đều có tính chất bắc cầu, trong đó các thứ tự ≥inf và ≥sup là phản xạ Ngoài ra khi Y là một dàn, ta định nghĩa thứ tự trên các tập con của Y như sau: ( )) ( B ⇔ ( ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ (a ∨ b ∈ A) ) B ⇔ ( A ≥ B và A ≥ B ) B ⇔ ( A ≥ B hoặc A ≥ B ) A ≥ ∧ B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ∧ b ∈ B A ≥∨ A ≥ Vt A ≥ wV ∧ ∧ ∨ ∨ Định nghĩa 2.1.4 Cho ≥* biểu thị một trong số các quan hệ được định nghĩa ở trên và { } X là một. .. kiện (1.2.4.1) và ta có đpcm ( ) ii) Nếu C ∈ D , đặt a = F C Giả sử a là cận trên đúng của C , nghĩa là x < a, ∀x ∈ C ( ) ( ) C F C a , suy ra a ∈ C , mâu thuẫn Khi đó C = C a , suy= ra a F= ( ) Vậy F C không phải là một cận trên đúng của C ( ) Cho X , ≤ là một không gian topo có thứ tự, W là một tập hợp khác rỗng, L : W → X là toán tử đơn trị và N : W → 2X \ {∅} Ta thừa nhận X có tính chất sau: (C):... trong X thỏa mãn (1.2.4.1) ( ) ( ) Nếu vn là một dãy tăng trong C thì theo định nghĩa của f , tồn tại dãy un ( ) trong Po thỏa mãn un ≤ vn ∈ Fun ,(n ∈ ) Theo giả thiết iii), ta suy ra vn là dãy trong Po ( ) ( ) ( ) Mặt khác, un , vn là các dãy tăng trong M o , vn ∈ Fun thì vn hội tụ trong P (theo giả thiết ii)) Đặt v = lim vn n →∞ ( ) Theo giả thiết iv), vn có chặn trên vo = sup vn trong M o Ta có. .. Fx, z > y} F −x := {y ∈ Fx : ∃z ∈ Fx, z < y} Định nghĩa 2.1.3 { } Một quan hệ hai ngôi ≥* trên 2Y \ ∅ được gọi là một thứ tự mở rộng của ≥ từ Y { } {} {} lên 2Y \ ∅ nếu nó thỏa mãn: y ≥* z ⇔ y ≥ z , ∀y, z ∈ Y { } Một số thứ tự mở rộng từ Y lên 2Y \ ∅ : ( { } ) Cho Y , ≥ là tập hợp được sắp bộ phận và A, B ∈ 2Y \ ∅ Xét các quan hệ thứ tự mở rộng sau: ( ) ( ) A ≥Dn B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ∃b ′ ∈ B : a ≥... Nếu u ∈Wo và Lu ≤ x ∈ Nu thì x ∈ L Wo ( ) ( ) iv) Mỗi dãy tăng và hội tụ của L Wo có một chặn trên trong L Wo Khi đó bao hàm thức Lu ∈ Nu có nghiệm Chứng minh: Ta định nghĩa hai toán tử đa trị ( ) Wo L−1 : L Wo → 2 { } ( ) { } \ ∅ và F : L Wo → 2X \ ∅ bởi { } L−1x ; Fx N= L−1x = u ∈Wo | Lu = x=   Nu u∈L−1x Nếu x là một điểm bất động của F và u ∈ L−1x thì x ∈ Fx , Lu = x nên x và Lu ∈ Fx =  Nu Do... tồn tại hàm chọn đơn điệu f của F Do K là nón minihedral mạnh nên theo định lý 2.3.2, f có điểm bất động trong u; v Do đó F có điểm bất động trong u; v 32 Chương 3 SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 3.1 Các định nghĩa { } Cho X là không gian Fréchet với pn | n ∈  là một họ nửa chuẩn xác định tôpô trên X Định nghĩa 3.1.1 Với mỗi n ∈  và Q ⊂ X , ta định nghĩa γ n= (Q ) inf {d > 0 | Q được phủ bởi hữu hạn tập hợp có pn... Mo ( ) ( ) • Cuối cùng, ta chứng minh nếu x n ⊂ M o là một dãy tăng, hội tụ thì x n có chặn trên trong M o ( ) ( ) Thật vậy, do x n ⊂ M o nên x n = Lun ( n ∈  ) với un ⊂ Wo Theo giả thiết iv), ∃u ∈Wo : Lun ≤ Lu Điều này tương đương với điều x n ≤ x , với = x Lu ∈ M o Vậy F có điểm bất động, hay bao hàm thức Lu ∈ Nu có nghiệm Định lý 1.2.8 21 Cho L, N là hai toán tử thỏa mãn các giả thiết i), ii), iv) ... thù không gian có thứ tự sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý dãy lặp suy rộng, … Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết phương pháp nghiên cứu bao hàm thức không gian có thứ tự Đó phương pháp. .. thứ tự nghiên cứu phương pháp khác Một mặt, ta áp dụng phương pháp tổng quát phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với tính chất thứ tự không gian Mặt khác, ta áp dụng phương pháp. .. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI