BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Lê Vương Quốc NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : LL&PP dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn: Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học, động viên để có đủ niềm tin nghị lực suốt trình nghiên cứu thực luận văn này; Tất quý thầy cô tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt lĩnh hội kiến thức tảng, truyền cho hứng thú chuyên ngành Didactic Toán Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua dẫn, gợi mở định hướng đề tài luận văn cho Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Quý thầy cô em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường THPT Phan Văn Trị, em học sinh lớp (năm học 2012 – 2013) Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre nhiệt tình hỗ trợ giúp đỡ tiến hành thực nghiệm trường; Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn: Các bạn học lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đồng hành tôi, chia sẻ khó khăn kinh nghiệm giảng dạy suốt khóa học Tôi xin dành dòng cuối để cảm ơn động viên, chia sẻ tạo điều kiện tốt từ phía gia đình, đặc biệt cha mẹ tôi, giúp tự tin công việc, học tập nghiên cứu suốt năm học cao học Trần Lê Vương Quốc MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU T 2T Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát 1 T T T Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu T T T T T T Tổ chức luận văn T T Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu T T T T 2T Chương CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG T TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC T 1.1 Mục tiêu chương T T T 2T 1.2 Nghĩa hệ số góc đường thẳng phân môn toán học 11 T T T T 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp .11 T 2T 2T T 1.2.2 Trong Đại số - Giải tích 12 T 2T 2T T 1.2.3 Trong Hình học giải tích 19 T 2T 2T T 1.3 Nghĩa hệ số góc đường thẳng môn Kinh tế lượng 25 T T T T 1.4 Kết luận chương 27 T T T 2T Chương MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC T CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 29 2T 2.1 Mục tiêu chương 29 T T T 2T 2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy T T T – học toán bậc phổ thông 30 T 2.2.1 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THCS .30 T 2T 2T T 2.2.2 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THPT .45 T 2T 2T T 2.3 Kết luận chương 64 T T T 2T Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 66 T T 3.1 Mục tiêu chương 66 T T T 2T 3.2 Thực nghiệm học sinh THCS 66 T T T T 3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.2 Mục tiêu thực nghiệm 66 T 2T 2T T 3.2.3 Nội dung câu hỏi thực nghiệm .66 T 2T 2T T 3.2.4 Phân tích thực nghiệm 67 T 2T 2T T 3.2.5 Kết luận 80 T 2T 2T 2T 3.3 Thực nghiệm học sinh THPT 80 T T T T 3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 80 T 2T 2T T 3.3.2 Mục tiêu thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.3 Nội dung toán thực nghiệm .81 T 2T 2T T 3.3.4 Phân tích thực nghiệm 81 T 2T 2T T 3.3.5 Kết luận 92 T 2T 3.4 Kết luận chương 93 T T T 2T KẾT LUẬN 94 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 T 2T PHỤ LỤC 99 T 2T DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT Chữ viết đầy đủ Chữ viết tắt CL Chiến lược ĐS-GT Đại số - Giải tích GT Giả thuyết HH Hình học HHTH Hình học tổng hợp HHGT Hình học giải tích KNV Kiểu nhiệm vụ SGK Sách giáo khoa SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp tập SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp tập SBT9.T1 Sách tập toán lớp tập ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 tr.00 Trang 00 THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Hàm số khái niệm có ý nghĩa quan trọng toán học thực tiễn Trong toán học, chủ đề hàm số có mặt xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học Đại học Trong đó, hàm số bậc dạng hàm số tất dạng hàm số trường phổ thông Nó giữ vai trò tảng để học sinh nghiên cứu dạng hàm số khác phức tạp Khái niệm hàm số nói chung hàm số bậc nói riêng học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) đến lớp học sinh học hàm số bậc dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0) Ở lớp 7, bước đầu học sinh có hiểu biết sơ lược hàm số bậc đồ thị trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0) Việc cung cấp kiến thức hình dạng đồ thị hàm số y = ax đường thẳng làm tảng để xây dựng đồ thị hàm số bậc tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), hệ số a x chưa có tên gọi thức mà sau đến lớp hệ số a x gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 9, học sinh cung cấp đầy đủ đặc trưng hàm số bậc (tập xác định, tính biến thiên) đồ thị hàm số bậc nhất, đáng ý khái niệm “hệ số góc” đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” học sinh tiếp cận qua hai phân môn Đại số lẫn Hình học Ở phân môn Đại số, việc củng cố, nhắc lại kiến thức hàm số bậc mà học sinh học lớp tập xác định, đồ thị hàm số bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách nâng cao) bổ sung thêm bảng biến thiên hàm số bậc Chính hình ảnh trực quan làm bật tính biến thiên hàm số bậc Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 mở rộng trường hợp đặc biệt hàm số bậc trường hợp a = Hàm số có dạng y = b, gọi hàm số đồ thị đường thẳng Ở phân môn Hình học, phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng xây dựng cách hơn, tổng quát thông qua việc xây dựng “phương trình đường thẳng” Ở đây, khái niệm “hệ số góc” đường thẳng lần củng cố đặt mối liên hệ với góc tạo đường thẳng với trục Ox Nhưng tồn khác biệt so với cách tiếp cận bậc THCS, hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ vectơ phương đường thẳng Hơn nữa, đến lớp 11, lần học sinh tiếp cận khái niệm “hệ số góc” đường thẳng đặt mối liên hệ với phân môn toán học Giải tích Theo đó, qua toán tiếp tuyến đường cong, người ta hệ số góc đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm hàm số, khái niệm Giải tích: Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số tiếp điểm Từ đây, hệ số góc đường thẳng trở thành công cụ đắc lực toán học Nó giữ vai trò quan trọng việc giải toán xác định tính biến thiên hàm số, xác định tiếp tuyến với đường cong, … Trên sở đó, nhận thấy rằng: hệ số góc đường thẳng tồn nhiều phân môn toán học Đại số, Hình học Giải tích Với xuất đa dạng phạm vi khác làm lên mối liên hệ mật thiết phân môn toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại Số - Giải tích (h.1): Hình Sơ đồ mối liên hệ sinh thái hệ số góc đường thẳng mối liên hệ Hình học Đại số - Giải tích Xuất phát từ ghi nhận trên, tự hỏi tồn phong phú đa dạng hệ số góc đường thẳng mối liên hệ sinh thái phân môn toán học có nghĩa gì? với cách tiếp cận chương trình giảng dạy toán THCS THPT hành (gọi chung bậc phổ thông) học sinh hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Vì định chọn đề tài cho luận văn “Nghĩa hệ số góc đường thẳng dạy học toán trường phổ thông” Dưới góc độ toán học hai phạm vi Hình học Đại số - Giải tích mang nhiều kiến thức sâu rộng Vì khuôn khổ luận văn này, mục tiêu tìm nghĩa hệ số góc đường thẳng Để làm điều đó, không sâu phân tích mối liên hệ sinh thái Hình học Đại số - Giải tích Thay vào đó, tập trung nghiên cứu khái niệm hệ số góc đường thẳng, nghĩa hệ số góc đường thẳng với cách hiểu xuất tồn mối liên hệ với phân môn toán học, mối liên hệ với số đối tượng tri thức khác toán học liên môn (chẳng hạn môn Kinh tế lượng) Trong đó, 0F P P Liên môn hiểu phân môn khác lĩnh vực toán học có liên quan sử dụng đến kiến thức toán học tập trung nghĩa hệ số góc đường thẳng phạm vi HH ĐS-GT Đặc biệt, qua phân tích chương trình SGK bậc phổ thông hành Việt Nam, xuất hình thành nghĩa hệ số góc đường thẳng học sinh Cụ thể, nghiên cứu khởi đầu với câu hỏi sau đây: - Trong phân môn toán học liên môn, hệ số góc đường thẳng có nghĩa gì? nghĩa có mối liên hệ với đối tượng toán học nào? - Nghĩa hệ số góc đường thẳng chương trình sách giáo khoa phổ thông trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thông có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng? Học sinh phổ thông hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng? Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu Để có giải thích thỏa đáng cho vấn đề nêu điều quan trọng mà cần làm trước tiên tìm kiếm công cụ lý thuyết làm sở cho việc đưa câu trả lời cho câu hỏi Và tìm công cụ phạm vi Didactic toán “Didactic mang lại công cụ hữu hiệu lí giải tượng giảng dạy học tập” [1, tr.9] Nếu gọi đối tượng O hệ số góc đường thẳng; I thể chế dạy học hành trường phổ thông Việt Nam vấn đề mối quan hệ cách tiếp cận O phạm vi toán học, việc dạy học hệ số góc đường thẳng trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” Thuyết nhân học Chevallard (1998) đặt móng Câu hỏi “Học sinh phổ thông hiểu nghĩa hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm “quan hệ cá nhân” lý thuyết Cá nhân xét đối tượng học sinh học hệ số góc đường thẳng Câu hỏi “Nghĩa hệ số góc đường thẳng sách giáo khoa chương trình phổ thông trình bày nào? Chương trình sách giáo khoa phổ thông có mong muốn ràng buộc việc dạy học hệ số góc đường thẳng?” liên quan đến khái niệm 86 Suy tanα = a = u2 u1 Vậy α = 300 = P P Có thể khẳng định chiến lược S hsg_vt chiến lược làm bộc lộ rõ mối liên R R hệ góc tạo đường thẳng với trục Ox hệ số góc; mối liên hệ hệ số góc với tọa độ vectơ phương đường thẳng (nghĩa nghĩa 2) Nếu học sinh sử dụng tốt chiến lược này, đồng nghĩa với việc học sinh huy động tốt hệ thức tanα = a = u2 lời giải toán gọn nhanh chóng Tuy u1 nhiên, theo phân tích thể chế chương 2, dự đoán chiến lược không xuất kết thực nghiệm chiến lược mong đợi toán Vì cuối năm học lớp 10, em học sinh học kiến thức đường thẳng, vectơ phương, vectơ pháp tuyến, … nên với toán này, học sinh có đủ khả làm việc độc lập Vì vậy, phát cho học sinh 01 phiếu câu hỏi yêu cầu học sinh làm việc độc lập thời gian 20 phút 3.3.4.3 Phân tích hậu nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm 120 học sinh lớp 11 học chương trình Nâng cao (11A2, 11A3, 11A4), trường THPT Phan Văn Trị, Giồng P P P P P P Trôm, Bến Tre Kết thực nghiệm thống kê Bảng 3.3 cho thấy rõ chênh lệch lớn việc lựa chọn chiến lược giải toán học sinh 87 Bảng 3.3 Bảng thống kê kết trả lời Bài toán Tổng (Tỉ lệ) Các CL sử Số Cách giải thích học sinh lượng dụng Tỉ lệ Viết phương trình đường thẳng (∆); Vẽ đường thẳng (∆) mặt phẳng tọa độ; Gọi M tọa độ giao điểm (d ) R S ptđt R R (d ) Gọi N hình chiếu M R (HH) R 3,33% 112 93,34% 0% 0% 3,33% Ox; Trong ∆OMN vuông O có:  = tan α tan = MON Kiểm chứng 96,67(%) GT1 (116/120) MN → tìm α ON Phương trình đường thẳng ∆ có vectơ  phương u đường thẳng Ox  có vectơ phương i = (1;0) Khi đó: S goc_vt R  ( ) cos u;i =    u.i  ( ) → số đo góc u,i u i  ( ) → số đo góc (∆,Ox) = u,i  Vectơ phương u = (u1 ; u ) ; Tìm hệ số góc đường thẳng qua S hsg_vt R Không hệ thức a = u2 ; kiểm 3,33% u1 chứng (4/120) Tìm α qua hệ thức tanα = a GT1 S ptdt Viết phương trình đường thẳng ∆ theo R (ĐS) hệ số góc y = ax + b; Sử dụng hệ thức tanα = a ⇒ số đo α Không trả lời 88 Trong chiến lược S ptđt (HH), S ptđt (ĐS), S hsg_vt S goc_vt chiến lược R R R R R R R R R R S ptđt (ĐS) S hsg_vt không học sinh sử dụng để giải toán R R R R Trong đó, chiến lược S goc_vt đại đa số học sinh sử dụng để giải R R toán cho đáp án (112/120, tỉ lệ 93,34%) Chúng đơn cử lời giải học sinh 11A4_17 sau (h.3.14): P P Hình 3.14 Lời giải học sinh 11A4_17 đơn giản Lời giải toán tách biệt P P hoàn toàn với yếu tố hình vẽ Theo lời giải trên, học sinh chọn vectơ đơn vị  i = (1;0 ) làm vectơ phương trục Ox Tuy nhiên, học sinh 11A4_17 có P P nhầm lẫn áp dụng công thức tính góc tạo hai đường thẳng (∆) trục Ox Về mặt toán học, góc tạo hai đường thẳng bù với góc tạo hai vectơ phương (hoặc hai vectơ pháp tuyến) chúng Thế nên,  ( )  u.i học sinh áp dụng công thức cos(∆,Ox) = cos u; i =   từ tìm góc u i α = (∆,Ox) = 300 P P Thế đây, mặt phẳng định hướng Oxy, góc (∆,Ox) lại với  ( ) góc u; i Do đó, kết lời giải mà học sinh 11A4_17 tìm P P trùng hợp Ngoài ra, tìm thấy lời giải khác học sinh 11A2_26 P (h.3.15) P 89 Hình 3.15 Cũng với chiến lược S goc_vt , học sinh 11A2_26 chọn cách tính góc R R P P (∆,Ox) khác với học sinh 11A4_17 Theo đó, học sinh 11A2_26 vectơ pháp  tuyến đường thẳng ∆ n= 1; − chọn vectơ pháp tuyến trục Ox P P P P ( )    n ' = ( 0;1) từ tính góc ( n, n ') Từ kết luận góc (∆,Ox) cần tìm Ngoài ra, số học sinh sử dụng chiến lược S ptđt (HH) để giải toán khiêm R R tốn (4/120, tỉ lệ 3,33%) Trong lời giải học sinh mà thu hoạch được, đáng ý lời giải học sinh lớp 11A2_24 11A3_9 sau đây: P P P P Lời giải học sinh 11A2_24 (h.3.16): P P Học sinh vẽ hai đường thẳng (d ) (d ) mặt phẳng tọa độ R Oxy tìm tọa độ giao điểm I ( ) R R R 3;1 (d ) (d ) R R R R 90 Hình 3.16 Sau đó, học sinh viết phương trình đường thẳng (∆), vẽ đường thẳng (∆) kỹ thuật hình học, học sinh tìm số đo góc α = 300 P P 91 Hình 3.17 Trong lời giải trên, học sinh chưa nêu cách xác định điểm H, K; độ dài OH OK Mặc dù việc suy luận chứng tỏ tứ giác OHIK hình chữ nhật không cần thiết lập luận chưa hợp lí Tuy nhiên, lời giải cho ta thấy học sinh dùng kỹ thuật HH để giải toán Tuy lời giải dài dòng thể đậm nét kỹ thuật hình học Lời giải học sinh 11A3_9 (h.3.18): P P Hình 3.18 So với lời giải học sinh 11A2_24, lời giải có khác biệt: học P P 92 sinh 11A3_9 không trình bày hình vẽ đường thẳng mặt phẳng tọa độ Oxy P P Học sinh không đưa lời giải chi tiết phương pháp giải để đưa giá trị góc α Trong tình này, nhận thấy có khả học sinh dùng kỹ thuật HH để giải toán  3 Theo dự đoán chúng tôi, học sinh lấy điểm A 1;  thuộc   (∆) vẽ đường thẳng (∆), (d ) (d ) giấy nháp dựng tam giác R R R R vuông OAB (chẳng hạn) để tìm số đo góc α = 300 qua tỉ số lượng giác P OA tanα = tan  AOB = = OB 3 = P Kết phân tích cho phép khẳng định học sinh không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng vào toán thuộc KNV tính góc tạo đường thẳng trục Ox 3.3.5 Kết luận Khi đứng trước KNV tính góc tạo đường thẳng với trục Ox, chiến lược S goc_vt học sinh xem chiến lược tối ưu Trong đó, chiến lược S hsg_vt R R R chiến lược đắt giá nhất, chiến lược thể rõ mối liên hệ tanα = a = R u2 u1 không học sinh ưu tiên lựa chọn Ngoài ra, kỹ thuật HH xuất chiến lược S ptđt (HH) lựa chọn số học sinh giải R R toán Như chiến lược S goc_vt lấn át chiến lược lại lựa chọn R R cách giải toán học sinh Qua đó, hoàn toàn khẳng định rằng, học sinh THPT không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng để giải KNV tính góc tạo đường thẳng với trục Ox Tuy nhiên, khác với học sinh THCS, học sinh THPT không dựa vào yếu tố hình vẽ, không dùng kỹ thuật HH để giải KNV Thay vào đó, họ huy động vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng công thức tính góc hợp vectơ công cụ 93 thật hữu hiệu để giải KNV Và đó, giả thuyết hợp thức 3.4 Kết luận chương - Thực nghiệm học sinh THCS tiến hành 101 em học sinh, với câu hỏi Với câu hỏi này, kết thực nghiệm cho phép chứng thực giả thuyết giả thuyết đặt cuối chương học sinh THCS Câu hỏi b) cho phép hợp thức hóa giả thuyết “Nghĩa hệ số góc đường thẳng hình thành học sinh sau khái niệm tỉ số biến thiên hàm số học sinh tiếp cận Do đó,bằng cách lập bảng giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0), học sinh xác định giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) x tăng thêm đơn vị” Câu hỏi c) cho phép hợp thức giả thuyết 1“Đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng có phương trình y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, học sinh không huy động nghĩa hệ số góc (theo a = tanα, với α góc tạo đường thẳng trục Ox), họ sử dụng đồ thị giải kỹ thuật hình học” - Với học sinh THPT, tiến hành thực nghiệm 120 học sinh lớp 11 Kết thực nghiệm giúp hợp thức giả thuyết Khi đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng với trục Ox, học sinh THPT không huy động nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng (nghĩa a = tanα = u2 u1 ) Thế nhưng, họ biết huy động vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng công thức tính góc hợp hai vectơ để giải KNV Kết hợp hai thực nghiệm cho phép kết luận nghĩa hệ số góc đường thẳng chưa hình thành cách đầy đủ học sinh THCS THPT Chính vài KNV, học sinh chưa huy động nghĩa hệ số góc đường thẳng để tìm chiến lược giải tối ưu 94 KẾT LUẬN Việc phân tích nghĩa hệ số góc đường thẳng góc độ toán học với việc phân tích cách tiếp cận khái niệm hệ số góc đường thẳng thể chế dạy học toán hai cấp học THCS THPT, kết thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi đặt đầu luận văn Cụ thể, kết mà thu bao gồm: Trong chương 1, phân tích tính chất toán học đường thẳng hệ số góc đường thẳng góc độ toán học Việc phân tích tính chất giúp có nhìn rõ khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa mặt phẳng Theo đó, phân môn khác toán học, ngôn ngữ biểu đạt đường thẳng khác nghĩa hệ số góc đường thẳng mặt phẳng có cách thể khác nhau: Nghĩa 1: Trong phạm vi hình học tổng hợp, ta có nghĩa khái niệm hệ số góc Theo đó, hệ số góc đường thẳng tang góc tạo đường thẳng với trục Ox Nghĩa 2: Trong phạm vi HHGT, hệ số góc đường thẳng tỉ số tung độ hoành độ vectơ phương phương trình đường thẳng (nếu đường thẳng có hệ số góc) Nghĩa là, đường thẳng có phương trình Ax + By + C = (với B ≠ 0) vectơ phương đường thẳng  = u ( B; − A) Khi đó, hệ số góc đường thẳng k = −A B Ngược lại, hệ số góc đường thẳng cho phép ta xác định vectơ phương (hay vectơ pháp tuyến) đường thẳng Nghĩa là, đường thẳng có hệ số góc k (k ∈  ) tọa độ vectơ phương đường thẳng có dạng ( n; k n) , n số thực tùy ý khác Khi đó, với giá trị n khác 0, ta tìm vectơ phương đường thẳng Nghĩa 3: hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết tính đơn điệu hàm số y = ax + b  Ngoài ra, hệ số góc tiếp tuyến với đường cong xác định hàm số y = f(x) điểm x ∈ (a;b) cho biết tốc độ biến thiên 95 hàm số khoảng (a;b) (với (a;b) khoảng xác định hàm số y = f(x)) Nghĩa 4: Ngoài ra, nghĩa khác hệ số góc đường thẳng tìm thấy ứng dụng vào môn Kinh tế lượng, là: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Nếu x tăng thêm đơn vị y tăng thêm (nếu a > 0) hay giảm (nếu a < 0) a đơn vị Trong chương 2, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng hai cấp học THCS THPT Qua phân tích thể chế, nhận thấy vài tổ chức toán học, có KNV làm bộc lộ nghĩa hệ số góc đường thẳng, đồng thời có KNV không hình thành nghĩa hệ số góc đường thẳng học sinh Và đó, câu hỏi mà đặt đầu luận văn giải đáp Bảng 3.4 Sự hình thành nghĩa hệ số góc học sinh Nghĩa hệ số góc Sự xuất hệ số góc Hình thành đường thẳng phân môn học sinh Nghĩa Đại số - Giải tích X Nghĩa Hình học Nghĩa Đại số - Giải tích Nghĩa Đại số - Giải tích Không hình thành học sinh X X X - Ở bậc THCS (chủ yếu lớp 9), khái niệm hệ số góc đường thẳng nghĩa thể chế tiếp cận phân môn Đại số Ở đây, nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng thể chế tiếp cận lý thuyết tập Tuy nhiên, nghĩa tiếp cận cách rõ ràng đầy đủ nghĩa Nghĩa không hình thành học sinh - Ở bậc THPT (chủ yếu lớp 10), khái niệm đường thẳng, hệ số góc nghĩa tiếp cận ĐS HH Ở phân môn ĐS, nghĩa nghĩa hệ số góc thể chế tiếp cận cách mờ nhạt chưa đầy đủ lý thuyết lẫn tập Ở phân môn HH, nghĩa nghĩa hệ số góc thể chế tiếp cận cách rõ ràng đầy đủ lý thuyết nghĩa không 96 hình thành tập Từ đó, nêu lên giả thuyết nghiên cứu cuối chương 2: Giả thuyết 1: Đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo đường thẳng có phương trình y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, học sinh không huy động nghĩa hệ số góc (theo a = tanα, với α góc tạo đường thẳng trục Ox), họ sử dụng đồ thị giải kỹ thuật hình học Giả thuyết 2: Nghĩa hệ số góc đường thẳng hình thành học sinh sau khái niệm tỉ số biến thiên hàm số học sinh tiếp cận Do đó,bằng cách lập bảng giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0), học sinh xác định giá trị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) x tăng thêm đơn vị Trong chương 3, xây dựng hai thực nghiệm, thực nghiệm học sinh THCS (lớp 9) thực nghiệm học sinh THPT (đầu lớp 11) Kết thực nghiệm chứng thực giả thuyết nghiên cứu nêu Chúng mong muốn xây dựng tình dạy học cho phép hình thành nghĩa nghĩa hệ số góc đường thẳng hai cấp học THCS THPT Tuy nhiên hạn chế tư liệu thời gian, chưa thể thực mong muốn Đây hạn chế đề tài đồng thời hướng nghiên cứu gợi từ luận văn 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb ĐHQG Tp.Hồ Chí Minh Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho khối tài ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy – học hình học trường trung học phổ thông, Giáo trình lưu hành nội bộ, Nxb ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách giáo khoa Toán 9, Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách giáo viên Toán 9, Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Trần Hữu Nam (2007), Bài tập Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích phổ thông, lý thuyết thực hành tính toán, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội Nguyễn Huy Đoan – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2009), Bài tập Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb KH&KT Hà Nội 10 Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp, Nxb Đà Nẵng 98 11 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 12 Ngô Thúc Lanh – Đoàn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển toán học thông dụng, Nxb Giáo dục Việt Nam 13 Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ hình học tổng hợp giải tích dạy học hình học lớp 12 Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 14 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2009), Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 15 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2009), Sách giáo viên Đại số 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 16 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2007), Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 17 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2007), Sách giáo viên Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam 18 S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập 1, 2, Nxb Giáo dục 19 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán trường phổ thông (các tình dạy học điển hình), Nxb ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh 20 Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách tập Toán , Tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam 21 Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phương trình nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh PHỤ LỤC PHỤ LỤC (Phiếu thực nghiệm học sinh THCS) PHIẾU THỰC NGHIỆM U Trường: …………………………… Lớp: …… Các em thân mến! Phiếu thực nghiệm gồm 01 câu hỏi Các em có 30 phút để trình bày lời giải phần “Trả lời” Trong trình làm bài, em viết tính toán vào phần “Nháp”(không xóa phần viết nháp) Kết lời giải câu hỏi không nhằm đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học môn Toán Chân thành cám ơn cộng tác em! Câu hỏi Cho hàm số y = f(x) = 2x + a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến với x > ? Vì sao? b) Nếu x tăng thêm đơn vị giá trị hàm số thay đổi ? Giải thích câu trả lời em? c) Tính góc tạo đường thẳng y = 2x + trục Ox (làm tròn đến độ) Trả lời U U Nháp U PHỤ LỤC (Phiếu thực nghiệm học sinh THPT) PHIẾU THỰC NGHIỆM U Trường: …………………………… Lớp: …… Các em thân mến! Phiếu thực nghiệm gồm 01 toán Các em có 20 phút để độc lập suy nghĩ trình bày lời giải phần “Lời giải” Kết lời giải toán không nhằm đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học môn Toán Chân thành cám ơn cộng tác em! Bài toán  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi u = ( 3;1) vectơ phương đường thẳng (∆) Biết (∆) qua giao điểm hai đường thẳng (d1): x - y + = (d2): 3x - 2y - 1= Tính góc tạo đường thẳng (∆) với trục Ox Lời giải [...]... tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc phổ thông 2.2.1 Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS Hệ số góc của đường thẳng là một trong những khái niệm toán học luôn gắn liền với đối tượng đường thẳng trong dạy học hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất ở bậc THCS Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và các khái niệm liên quan được trình bày ở bài... chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên […] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng bất kỳ của đường thẳng [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22] Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó... về đường thẳng sẽ khác nhau và do đó nghĩa của hệ số góc của đường thẳng cũng có những cách thể hiện khác nhau - Nghĩa 1: Trong phạm vi HHTH, ta có nghĩa đầu tiên của khái niệm hệ số góc Theo đó, hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox - Nghĩa 2: Trong phạm vi của HHGT, hệ số góc của đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của một vectơ chỉ phương của đường. .. trò gì? và nghĩa của nó còn tồn tại hay không? ngoài mối liên hệ với tỉ số biến thiên của hàm số, liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox thì hệ số góc của đường thẳng còn liên hệ với những đối tượng nào khác trong toán học? • Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác 1.2.2.1 Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với đạo hàm Cho đường cong (C)... của toán học, thì một trong những đặc trưng quan trọng của đường thẳng là Hệ số góc Hệ số góc của đường thẳng trong ĐS-GT và Góc trong HHTH liên quan với nhau qua “Lượng giác” Tức là, thông qua “Lượng giác”, Góc được chuyển từ quan hệ hình học sang quan hệ đại số thành Hệ số góc Mối quan hệ đó được xác định bởi công thức a = tanα (trong đó a là hệ số góc của đường thẳng và α là góc tạo bởi... trình nghiên cứu đã có liên quan đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1) Câu hỏi đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường thẳng mang những ý nghĩa gì? Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình,... trên của hệ số góc của đường thẳng, ta có thể suy ra được các nghĩa còn lại Vậy trong chương trình phổ thông, việc dạy – học khái niệm đường thẳng và hệ số góc của nó được trình bày như thế nào? Những nghĩa nào của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện trong chương trình dạy – học môn toán ở bậc THCS, THPT và những nghĩa nào chưa được đề cập? Đó là những vấn đề mà chúng tôi sẽ quan tâm nghiên cứu trong. .. sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1 Chương 2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở trường phổ thông Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT hiện hành Qua... giữa đường thẳng y = kx + m và trục Ox có mối liên hệ với hệ số của x (tức hệ số k của hàm số y = kx + m) qua hệ thức tan(d,Ox) = k (k > 0) Mối liên hệ đó làm cho hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện 16 trong ĐS-GT bộc lộ thêm một nghĩa khác gắn liền với "Góc" qua "Lượng giác": hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox Chúng tôi gọi đó là "nghĩa. .. đường thẳng đó (nếu đường thẳng đó có hệ số góc) Nghĩa là, nếu đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 (với B ≠ 0) thì một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là  = u ( B; − A) Khi đó, hệ số góc của đường thẳng đó là k = −A B Ngược lại, hệ số góc của đường thẳng cho phép ta xác định được một vectơ chỉ phương (hay một vectơ pháp tuyến) của đường thẳng đó Nghĩa là, nếu đường thẳng có hệ số góc k ... thấy nghĩa hệ số góc đường thẳng 2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc phổ thông 2.2.1 Hệ số góc đường thẳng dạy – học toán bậc THCS Hệ số góc đường thẳng. .. phải chứng minh hệ số góc hai đoạn thẳng số đối hai tỉ lệ […] Định nghĩa [về hệ số góc đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc đường thẳng không thẳng đứng hệ số góc đoạn thẳng đường thẳng [Bùi... trục Ox hệ số góc đường thẳng liên hệ với đối tượng khác toán học? • Hệ số góc đường thẳng mối liên hệ với đối tượng toán học khác 1.2.2.1 Hệ số góc đường thẳng mối liên hệ với đạo hàm Cho đường