BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Cao Cường MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Cao Cường MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học viết luận văn này, nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp hoàn thành luận văn thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo suốt trình học tập Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải tận tình dạy bảo cho nhiều kiến thức Đại Số kiến thức học tập Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Khóa 22 bạn bè người thân động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình Gia đình nguồn động viên tinh thần to lớn giúp hoàn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 NGUYỄN CAO CƯỜNG MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa bổ đề 1.2 Bao nội xạ phép giải nội xạ tối tiểu 1.3 Chiều độ sâu 1.4 Hàm tử dẫn xuất phải 10 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương 10 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 12 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 15 2.1 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 15 2.2 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 21 2.3 Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 24 2.4 Tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 31 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 BẢNG KÍ HIỆU Spec( R ) Tập iđêan nguyên tố R Supp ( M ) Giá M Ass ( M ) Tập iđêan nguyên tố liên kết M Ann ( M ) Linh hóa tử M dim ( M ) Chiều Krull M depth ( I , M ) Độ sâu M I H Ii ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương H Ii , J ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan µi ( p, M ) Số Bass thứ i M theo p MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương lý thuyết tối cần thiết công cụ quan trọng đại số giao hoán hình học đại số Luận văn trình bày số kết môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan (I, J), khái niệm tổng quát khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Cho R vành Noether giáo hoán có đơn vị I , J hai iđêan vành R , ta định nghĩa hàm tử (I, J)-xoắn Γ I , J : Mod R  → Mod R mở rộng hàm tử I-xoắn Γ I Hơn tính khớp trái hàm tử Γ I , J , với số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i Γ I , J H Ii , J - hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i cho cặp iđêan (I, J) Các khái niệm đưa ba nhà toán học người Nhật Ryo Takahashi, Yuji Yoshino Takeshi Yoshizawa [16] Luận văn trình bày thành hai chương Chương trình bày mà không chứng minh số kiến thức đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương cho iđêan đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Chương hai phần luận văn, trình bày tính chất môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Cụ thể sau: Trong phần (2.1) chương hai trình bày tính Artin môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  (định lý 2.1.1) Từ có đẳng thức: inf {i | H Ii , J ( M= ) không Artin} inf {depthM p | p ∈ W ( I , J ) \ {m}} Phần (2.2) trình bày tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Đặt cd ( I , J , M )  sup i | H Ii , J  M   0 , gọi chiều đối đồng điều địa phương R  môđun M theo cặp iđêan  I , J  đó: cd ( I , J , M ) = inf {i | H Ii , J ( R / p) = 0; ∀p ∈ SuppR M } − Phần (2.1) (2.2) chủ yếu trình bày lại từ kết hai tác giả Lizhong Chu Qing Wang báo [4] Đến phần (2.3) giới thiệu môđun  I , J   cofinite Từ chứng minh t số nguyên mà môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan không  I , J   cofinite môđun HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh (đinh lý 2.3.3) Đồng thời phần nghiên cứu tính hữu hạn sinh môđun Ext Ri ( R / I , H It , J ( M ) ) ; i = 1, (định lý 2.3.4 2.3.5) Các kết phần trình bày lại từ báo [17] hai tác giả Tehranian Pour Eshmanan Talemi Cuối phần (2.4) dùng công cụ môđun minimax để nghiên cứu tính hữu hạn sinh môđun HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) (định lý 2.4.4); đồng thời nghiên cứu tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan (định lý 2.4.8) Từ có đẳng thức: { } inf {i |= H Ii , J ( M ) không Artin} inf i | SuppR ( H Ii , J ( M ) ) ⊄ {m} Các kết phần 2.4 trình bày phần báo [12] hai tác giả Payrovi Lotfi Parsa Mặc dù có nhiều cố gắng trình làm luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên luận văn nhiều sai sót, mong nhận xét phản hồi quý thầy cô bạn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa bổ đề Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Ta định nghĩa tập hợp tập Spec( R) iđêan nguyên tố R sau: Supp M = {p ∈ Spec( R ) | M p ≠ 0} Ass M = {p ∈ Spec( R ) | ∃x ∈ M : p = Ann( x)} Min M = {p ∈ SuppM | ∀q ∈ SuppM : q ⊆ p ⇒ q = p} Tập Supp M gọi giá M, tập Ass M gọi tập iđêan nguyên tố liên kết M Tập Min M tập hợp phần tử tối tiểu tập Supp M Mệnh đề 1.1.2 Với R -môđun M có bao hàm thức : Min M ⊆ Ass M ⊆ Supp M Định nghĩa 1.1.3 Cho I iđêan R Ta đặt: V (I ) = {p ∈ Spec( R ) | I ⊆ p} Mệnh đề 1.1.4 [10, 9.3.17] Cho M R − môđun hữu hạn sinh Khi với R − môđun N ta có: Ass ( HomR= ( M , N ) ) Supp ( M ) ∩ Ass ( N ) Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp R - môđun : → L → M → N → Khi M môđun Artin L, N môđun Artin Mệnh đề 1.1.6 [10, 7.4.12] Cho M R − môđun Khi M có độ dài hữu hạn M hữu hạn sinh Artin Mệnh đề 1.1.7 [10, 9.3.14] Cho M R − môđun hữu hạn sinh Khi điều sau tương đương: (i) M có độ dài hữu hạn (ii) Supp M chứa iđêan tối đại (iii) Ass M chứa iđêan tối đại (iv) Supp M = Ass M Mệnh đề 1.1.8 [10, 7.3.9] Cho M , N R − môđun với M hữu hạn sinh N Artin Khi M ⊗ R N Artin Mệnh đề 1.1.9 [10, 3.4.3] Cho I ⊂ R iđêan Khi với R -môđun M ta có đẳng cấu: M R R / I  M / IM xaI  ax  IM Định lý 1.1.10 (Gruson) Cho M R − môđun Khi R − môđun N tồn lọc môđun con:  N  N1    N t  N thỏa môđun thương N j / N j −1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn M , với j  1, 2,, t 1.2 Bao nội xạ phép giải nội xạ tối tiểu Định nghĩa 1.2.1 Cho ≠ M ⊆ N R-môđun Môđun N gọi mở rộng cốt yếu M với môđun ≠ N ' ⊆ N ta có: N '∩ M ≠ Định lý-Định nghĩa 1.2.2 Cho M R-môđun Khi tồn (sai khác đẳng cấu) R-môđun nội xạ E mở rộng cốt yếu M Ta gọi E bao nội xạ M ký hiệu E = E ( M ) Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M ≠ gọi môđun không phân tích M không tổng trực tiếp hai môđun thực Định lý 1.2.4 (Matlis) Cho E R-môđun nội xạ ta có: i Tồn cách phân tích: E = ⊕ Ei Ei môđun nội xạ không phân i∈I tích ii Nếu E môđun nội xạ không phân tích tồn p ∈ Spec( R ) cho E = E ( R / p) Ngược lại E ( R / p) môđun nội xạ không phân tích với p ∈ Spec( R ) Mệnh đề 1.2.5 Cho vành R, p iđêan nguyên tố R, M R-môđun Khi ta có: i E ( R / p) hạng tử trực tiếp E ( M ) p ∈ Ass( M ) ii Ass ( E ( R / p)) = {p} Định nghĩa 1.2.6 Cho M R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu M phép giải nội xạ M: ε d d → M  → E  → E1  → E  →  = ( M ), E1 E (coker = ε ), E E (coker d ), E E= Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu (sai khác đẳng cấu) Theo định lý phân tích môđun nội xạ ta có: i E= ⊕ p∈Spec ( R ) E ( R / p) µi ( p,M ) Trong µi (p, M ) số E ( R / p) tổng trực tiếp, ta gọi µi (p, M ) số Bass thứ i M theo p Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p ∈ Spec( R ) , k (p) = Rp pRp M R-môđun hữu hạn sinh Khi i = = dim k ( p) (Ext iR ( R / p, M )) p ta có: µi (p, M ) dim k ( p) Ext Rp ( k ( p), M p ) Hệ 1.2.8 M R-môđun hữu hạn sinh Khi µi (p, M ) hữu hạn với p ∈ Spec( R ) i 1.3 Chiều độ sâu Định nghĩa 1.3.1 Cho vành R Số chiều R, ký hiệu dim(R) supremum độ dài dây chuyền (nghiêm ngặt) iđêan nguyên tố R: dim = R sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi ∈ Spec( R= ) ∀i 0,1, , n} Cho M R-môđun số chiều M supremum độ dài dây chuyền (nghiêm ngặt) iđêan nguyên tố Supp(M): dim = M sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn , pi ∈ Supp(M), = ∀i 0,1, , n} 2.3 Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Định nghĩa 2.3.1 Một R − môđun M gọi ( I , J ) − cofinite SuppM ⊆ W ( I , J ) Ext Ri ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh với i ≥ Bổ đề 2.3.2 Cho M R − môđun E bao nội xạ R − môđun M / Γ I , J ( M ) Đặt = L E / ( M / Γ I , J ( M ) ) Khi ta có đẳng cấu sau: Ext Ri ( R / I , L ) ≅ Ext Ri +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) , H Ii , J ( L ) ≅ H Ii +, J1 ( M ) với i ≥ Chứng minh Do M / Γ I , J ( M ) ( I , J ) − xoắn tự nên Ass ( M / Γ I , J ( M ) ) ∩ W ( I , J ) = ∅ Khi Ass ( HomR ( R / I , E ) ) = V ( I ) ∩ Ass ( E ) ⊆ W ( I , J ) ∩ Ass ( M / Γ I , J ( M ) ) = ∅ Suy HomR ( R / I , E ) = → M / Γ I ,J ( M ) → E → L → , tác Γ I ,J ( E ) = Từ động hàm tử dãy khớp ngắn HomR ( R / I , − ) ta có Ext Ri ( R / I , L ) ≅ Ext Ri +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) , đồng thời tác động hàm tử Γ I , J ( − ) ta có H Ii , J ( L ) ≅ H Ii +, J1 ( M ) với i ≥  Định lý 2.3.3 Cho t số không âm, M R − môđun cho Ext Rt ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i < t Nếu N ⊆ H It , J ( M ) cho Ext1R ( R / I , N ) hữu hạn sinh, HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) R − môđun hữu hạn sinh Chứng minh Trường hợp 1: giả sử N = Ta chứng minh định lý phép quy nạp theo t Với t = , ta chứng minh HomR ( R / I , Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Từ dãy khớp → ΓI ,J ( M ) → M → M / ΓI ,J ( M ) → ta có dãy khớp trái sau → Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Hom ( R / I , M ) → Hom ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) Vì M / Γ I , J ( M ) 24 ( I , J ) − xoắn tự nên I − xoắn tự Khi từ dãy khớp trái ta có Suy điều phải Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) ≅ Hom ( R / I , M ) Hom ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) = chứng minh Hom ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh Với t > trường hợp t − định lý Từ giả thiết ta có Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite nên Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh với i Sử dụng dãy khớp ngắn → Γ I , J ( M ) → M → M / Γ I , J ( M ) → , Ext Rt ( R / I , M ) Ext Rt ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh nên Ext Rt ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Từ bổ đề 2.3.2 ta có R − môđun Ext Rt ( R / I , L ) hữu hạn sinh H Ii , J ( L ) ( I , J ) − cofinite với i < t − Do đó, theo giả thiết quy nạp HomR ( R / I , H It −, J1 ( L ) ) hữu hạn sinh Cũng theo bổ đề 2.3.2 HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Trường hợp 2: giả sử N ≠ Từ dãy khớp ngắn → N → H It , J ( M ) → H It , J ( M ) / N → tác động hàm tử HomR ( R / I , − ) ta thu dãy khớp dài  → HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) → HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) → Ext1R ( R / I , N ) →  Từ giả thiết Ext1R ( R / I , N ) hữu hạn sinh HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh, nên HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) hữu hạn sinh  Định lý 2.3.4 Cho t số không âm M R − môđun cho H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i < t Khi đó, Ext Rt +1 ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh, Ext1R ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Với t  , từ dãy khớp → Γ I , J ( M ) → M → M / Γ I , J ( M ) → (*) ta có dãy khớp dài sau 25 R  môđun → Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Hom ( R / I , M ) → Hom ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) → Ext1R ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Ext1R ( R / I , M ) → Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) →  , kết hợp với giả thiết Theo chứng minh định lý 2.3.3 HomR ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) = Ext1R ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh, Ext1R ( R / I , Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Với t > trường hợp t − định lý Từ dãy khớp ngắn (*) ta có dãy khớp dài  → Ext Rt +1 ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Ext Rt +1 ( R / I , M ) → Ext Rt +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) → Ext Rt + ( R / I , Γ I , J ( M ) ) →  Do Ext Rt +1 ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh kết hợp từ giả thiết ta có Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite nên Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i , nên Ext Rt +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Tiếp tục dùng bổ đề 2.3.2, ta có Ext Rt ( R / I , L ) R − môđun hữu hạn sinh H Ii , J ( L ) ( I , J ) − cofinite với i < t − Như theo giả thiết quy nạp Ext1R ( R / I , H It −, J1 ( L ) ) hữu hạn sinh, Ext1R ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu  hạn sinh Định lý 2.3.5 Cho t số không âm M R − môđun cho H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i < t Khi đó, Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≥ , HomR ( R / I , H It +, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Ext R2 ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh Chứng minh ( ⇒ ) Ta chứng minh quy nạp theo t Với t = , từ dãy khớp ngắn → Γ I , J ( M ) → M → M / Γ I , J ( M ) → (*) ta thu dãy khớp dài sau  → Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) → Ext R2 ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Ext R2 ( R / I , M ) →  Để chứng minh Ext R2 ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh, cần chứng minh thêm Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Tác động hàm tử HomR ( R / I , − ) vào dãy khớp 26 → ΓI ,J ( L ) → L → L / ΓI ,J ( L ) → ta có dãy khớp trái → Hom ( R / I , Γ I , J ( L ) ) → Hom ( R / I , L ) → Hom ( R / I , L / Γ I , J ( L ) ) Do L / Γ I ,J ( L ) ( I , J ) − xoắn tự nên I − xoắn tự do, suy HomR ( R / I , L / Γ I , J ( L ) ) = Khi Hom ( R / I , Γ I , J ( L ) ) ≅ Hom ( R / I , L ) Theo bổ đề 2.3.2 thì: Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) ≅ HomR ( R / I , L ) ≅ HomR ( R / I , Γ I , J ( L ) ) ≅ HomR ( R / I , H I1, J ( M ) ) Vậy với t = định lý Giả sử t > trường hợp t − định lý Ta chứng minh Ext R2 ( R / I , H It , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Do Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite nên Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i Sử dụng dãy khớp ngắn (*) , Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh nên Ext Ri ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh với i Theo bổ đề 2.3.2, Ext Ri ( R / I , L ) R − môđun hữu hạn sinh với i HomR ( R / I , H It , J ( L ) ) ≅ HomR ( R / I , H It +, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Do từ giả thiết quy nạp dãy khớp R − môđun Ext R2 ( R / I , H It −, J1 ( L ) ) ≅ Ext R2 ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh ( ⇐ ) Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo t Với t = 0, từ dãy khớp ngắn ( *) ta dài sau  → Ext1R ( R / I , M ) → Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) → Ext R2 ( R / I , Γ I , J ( M ) ) →  Do Ext1R ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Theo bổ đề 2.3.2 HomR ( R / I , L ) hữu hạn sinh, Hom ( R / I , Γ I , J ( L ) ) ≅ Hom ( R / I , L ) hữu hạn sinh Suy HomR ( R / I , H I1, J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh 27 Giả sử định lý với t − 1, ta chứng minh với t > R − môđun HomR ( R / I , H It +, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Theo bổ đề 2.3.2 R − môđun Ext R2 ( R / I , H It −, J1 ( L ) ) Ext Ri ( R / I , L ) hữu hạn sinh với i Bởi giả thiết quy nạp nên R − môđun HomR ( R / I , H It , J ( L ) ) hữu hạn sinh, HomR ( R / I , H It +, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh  hạn sinh t inf {i | H Ii , J ( M ) ≠ 0} Khi Hệ 2.3.6 Cho M R − môđun hữu= i Ext1R ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh ii Ext R2 ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh HomR ( R / I , H It +, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Chứng minh i Ta chứng minh quy nạp theo t Với t = Ext1R ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh R / I Γ I , J ( M ) ⊆ M R − môđun hữu hạn sinh Với t > H Ii , J ( M ) = với i < t nên áp dụng định lý 2.3.4 với H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i H Ii , J ( M ) = với i < t nên áp dụng định lý 2.3.5 với giả thiết H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i < t Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i  ta có điều cần  chứng minh Nhận xét: Cho M R − môđun hữu hạn sinh, đặt t inf {i | H Ii , J ( M ) ≠ 0} N ⊆ H It , J ( M ) = cho Ext1R ( R / I , N ) hữu hạn sinh Nếu H It , J ( M ) / N I -xoắn theo định lý 2.3.3 28 H It , J ( M ) / N có tập iđêan nguyên tố liên kết hữu hạn Đặc biệt AssH It , J ( M ) hữu hạn AssN hữu hạn Định lý 2.3.7 Cho t ∈  , H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i < t Khi Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i < t Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Với t = , ta chứng minh HomR ( R / I , M ) hữu hạn sinh Thật vậy, Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite nên Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) , ∀i ≥ hữu hạn sinh Do HomR ( R / I , M ) ≅ HomR ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Với t ≥ trường hợp t − 1, định lý ta chứng minh Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i < t Từ dãy khớp → Γ I , J ( M ) → M → M / Γ I , J ( M ) → , ta thu dãy khớp dài sau:  → Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Ext Ri ( R / I , M ) → Ext Ri ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) →  Theo giả thiết Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh với i ≥ , nên ta cần chứng minh Ext Ri ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i < t Vẫn dùng kí hiệu kết ý 2.3.2 H Ii , J ( L ) ( I , J ) − cofinite với i < t − , theo giả thiết quy nạp Ext Ri ( R / I , L ) R − môđun hữu hạn sinh với i < t − Khi Ext Ri +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) ≅ Ext Ri ( R / I , L ) nên Ext Ri ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i < t  Hệ 2.3.8 H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i ≥ Khi Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≥ Chứng minh Chứng minh quy nạp theo i tương tự định lý 2.3.7  29 Định lý 2.3.9 Cho M R − môđun cho Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≥ Với t ∈  cho H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i ≠ t Khi H It , J ( M ) ( I , J ) − cofinite Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Với t = , SuppR ( Γ I , J ( M ) ) ⊆ W ( I , J ) nên để chứng minh Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite ta cần Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i ≥ Với kí hiệu kết ý 2.3.2 H Ii +, J1 ( M ) ≅ H Ii , J ( L ) ( I , J ) − cofinite với i ≠ t − , nên Ext Ri ( R / I , L ) hữu hạn sinh với i ≠ t − (hệ 2.3.8) Khi Ext Ri ( R / I , L ) ≅ Ext Ri +1 ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Từ dãy khớp  → Ext Ri ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) → Ext Ri +1 ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Ext Ri +1 ( R / I , M ) → kết hợp với giả thiết Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với i ≥ nên R − môđun Ext Ri ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh với i ≥ Giả sử định lý với t − 1, ta chứng minh H It , J ( M ) ( I , J ) − cofinite Vì H Ii +, J1 ( M ) ≅ H Ii , J ( L ) ( I , J ) − cofinite với i ≠ t − , nên theo giả thiết quy nạp H It −, J1 ( L ) ( I , J ) − cofinite Mà H It −, J1 ( L ) ≅ H It , J ( M ) nên H It , J ( M ) ( I , J ) − cofinite  Định lý 2.3.10 Cho M R − môđun hữu hạn sinh Nếu cd ( I , J , M ) ≤ , H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i ≥ Chứng minh Với i = , hiển nhiên H I0, J ( M ) = Γ I , J ( M ) ( I , J ) − cofinite Γ I , J ( M ) R − môđun hữu hạn sinh Với i ≥ , cd ( I , J , M ) ≤ nên H Ii , J ( M ) = Do H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i ≥ Với i = , áp dụng định lý 2.3.9 Ext Ri ( R / I , M ) hữu hạn sinh với 30 i ≥ , thỏa H Ii , J ( M ) ( I , J ) − cofinite với i ≠ , H I1, J ( M ) ( I , J ) − cofinite  2.4 Tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Định nghĩa 2.4.1 Một R − môđun M gọi môđun minimax có môđun hữu hạn sinh N M cho môđun thương M / N Artin Nhận xét: Môđun Artin môđun hữu hạn sinh môđun minimax Bổ đề 2.4.2 ([8, Định lý 5.3, trang 299]) Cho M R -môđun cho tồn môđun Noether N thỏa mãn M / N hợp môđun Artin Nếu phần tử a1 , a2 ,, as ∈ R sinh iđêan I , cho :M I hữu hạn sinh H i ( a1 ,, as ; M ) Noether với i Bổ đề 2.4.3 ([9, Định lý 2.1, trang 651]) Cho I = ( a1 ,, as ) iđêan R M R − môđun Khi điều sau tương đương với nhau: i Ext Ri ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh với i ii Tori R ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh với i iii Môđun đối đồng điều Koszul H i ( a1 ,, as ; M ) R − môđun hữu hạn sinh với i = 0,, n Định lý 2.4.4 Cho M R − môđun cho Hom ( R / I , M / L ) hữu hạn sinh với môđun L M Nếu H Ii , J ( M ) minimax với i < t , Hom ( R / I , H It , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh quy nạo theo t Với t = , ta chứng minh Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) hữu hạn sinh Từ dãy khớp → Γ I , J ( M ) → M → M / Γ I , J ( M ) → ta có dãy khớp trái sau → Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) → Hom ( R / I , M ) → Hom ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) Vì M / Γ I , J ( M ) ( I , J ) − xoắn tự nên I − xoắn tự Khi từ dãy khớp trái ta có 31 Hom ( R / I , Γ I , J ( M ) ) ≅ Hom ( R / I , M ) Hom ( R / I , M / Γ I , J ( M ) ) = Suy điều phải chứng minh Hom ( R / I , M ) R − môđun hữu hạn sinh Với t > , ta giả sử M ( I , J ) − xoắn Γ I ,J ( M / Γ I ,J ( M )) = H Ii , J ( M / Γ I , J ( M ) ) ≅ H Ii , J ( M ) với i ≥ Khi M I − xoắn tự do, suy tồn phần tử a∈I không ước a → M  → M  → M / aM → không ta thu M Từ dãy dãy khớp ngắn dài sau khớp a  → H Ii , J ( M )  → H Ii , J ( M )  → H Ii , J ( M / aM )  → H Ii +, J1 ( M ) →  Do giả thiết H Ii , J ( M ) minimax với i < t , nên từ dãy khớp H Ii , J ( M / aM ) minimax với i < t − Khi theo giả thiết quy nạp HomR ( R / I , H It −, J1 ( M / aM ) ) hữu hạn sinh Mặt khác từ dãy khớp → H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) → H It −, J1 ( M / aM ) → :H t I ,J (M ) a → , ta thu dãy khớp dài : → HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) → HomR ( R / I , H It −, J1 ( M / aM ) ) ( → HomR R / I ,0 :H t I ,J (M ) ) a → Ext1R ( R / I , H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) →  Do H It −, J1 ( M ) môđun minimax nên H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) minimax, theo dãy khớp HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Bây áp dụng bổ đề 2.4.2 ta có HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) ≅ :H t −1 ( M )/ aH t −1 ( M ) I I ,J hữu hạn sinh, nên I ,J H i ( a1 ,, as ; H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) Noether nên hữu hạn sinh Lại áp dụng bổ đề 2.4.3 Ext Ri ( R / I , H It −, J1 ( M ) / aH It −, J1 ( M ) ) hữu hạn sinh Do từ dãy khớp dài ( HomR R / I ,0 :H t I ,J (M ) ) a hữu hạn sinh Mặt khác ta lại có: 32 ( HomR R / I ,0 :H t I ,J (M ) ) ( a ≅ HomR R / I , HomR ( R / aR, H It , J ( M ) ) ) ≅ HomR ( R / I ⊗ R / aR, H It , J ( M ) )  ≅ HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) Hệ 2.4.5 Cho M R − môđun cho HomR ( R / I , M / L ) hữu hạn sinh với môđun L M Nếu H Ii , J ( M ) minimax với i < t , HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) R − môđun hữu hạn sinh với N môđun minimax H It , J ( M ) Chứng minh Từ dãy khớp ngắn → N → H It , J ( M ) → H It , J ( M ) / N → , ta có dãy khớp dài sau → HomR ( R / I , N ) → HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) → HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) → Ext1R ( R / I , N ) →  Theo định lý 2.4.4 HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh, nên từ dãy khớp dài HomR ( R / I , N ) ≅ :N I hữu hạn sinh Lại áp dụng bổ đề 2.4.2 2.4.3 Ext1R ( R / I , N ) hữu hạn sinh Do HomR ( R / I , H It , J ( M ) / N ) R − môđun hữu hạn sinh  Hệ 2.4.6 Cho M R − môđun cho HomR ( R / I , M / L ) hữu hạn sinh với môđun L M Nếu H Ii , J ( M ) minimax với i < t , Ext Rj ( R / I , H Ii , J ( M ) ) hữu hạn sinh với j ≥ i < t Chứng minh Áp dụng định lý 2.4.4 HomR ( R / I , H Ii , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh với i < t Bây lại áp dụng bổ đề 2.4.2 2.4.3 Ext Rj ( R / I , H Ii , J ( M ) ) hữu hạn sinh với j ≥ i < t  33 Hệ 2.4.7 Cho M môđun minimax t số nguyên dương cho H Ii , J ( M ) minimax với i < t Khi HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) R − môđun hữu hạn sinh Chứng minh Cho N môđun hữu hạn sinh M L = M / N Artin Từ dãy khớp ngắn → N → M → L → , ta có dãy khớp dài sau: α → Γ I , J ( N ) → Γ I , J ( M ) → Γ I , J ( L )  → H I1, J ( N ) → H I1, J ( M ) → H I1, J ( L ) →  Do môđun L Artin nên dim L = , H Ii , J ( L ) = với i > dim L = Khi từ dãy khớp dài H Ii , J ( M ) ≅ H Ii , J ( N ) với i > Áp dụng định lý 2.4.4 với N môđun hữu hạn sinh thỏa HomR ( R / I , N / Q ) hữu hạn sinh với môđun Q N ; đồng thời H Ii , J ( N ) minimax với i < t Khi HomR ( R / I , H It , J ( N ) ) hữu hạn sinh Nếu t > HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) ≅ HomR ( R / I , H It , J ( N ) ) hữu hạn sinh Nếu t = , ta có dãy khớp ngắn → Im α → H I1, J ( N ) → H I1, J ( M ) → cảm sinh dãy khớp dài → HomR ( R / I , Im α ) → HomR ( R / I , H I1, J ( N ) ) → HomR ( R / I , H I1, J ( M ) ) → Ext1R ( R / I , Im α ) →  Vì HomR ( R / I , Im α ) hữu hạn sinh Im α minimax nên theo bổ đề 2.4.2 2.4.3 Ext1R ( R / I , Im α ) hữu hạn sinh Do từ dãy khớp R − môđun HomR ( R / I , H I1, J ( M ) ) hữu hạn sinh Định lý 2.4.8 Giả sử  ( R, m ) vành địa phương M môđun minimax Nếu SuppR ( H Ii , J ( M ) ) ⊆ {m} với i < t , H Ii , J ( M ) Artin với i < t Chứng minh Do SuppR ( H Ii , J ( M ) ) ⊆ {m} ⊆ V ( I ) nên H Ii , J ( M ) I − xoắn với i < t Ta chứng minh quy nạp theo t Với t = , ta có SuppR ( Γ I , J ( M ) ) ⊆ {m} theo giả thiết Vì Γ I , J ( M ) môđun minimax nên có dãy khớp → K → Γ I , J ( M ) → Γ I , J ( M ) / K → , với K môđun hữu 34 hạn sinh Γ I , J ( M ) Γ I , J ( M ) / K Artin Do SuppR K ⊆ SuppR ( Γ I , J ( M ) ) ⊆ {m} K hữu hạn sinh nên K Artin Khi từ dãy khớp ta có Γ I , J ( M ) môđun Artin Ta cần chứng minh mệnh đề với t > Từ giả thiết quy nạp ta cần chứng minh thêm H It −, J1 ( M ) Artin Do môđun Artin môđun minimax nên áp dụng hệ 2.4.7 ta có HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) ) ( hữu hạn sinh Mặt khác ) SuppR HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) ) ⊂ SuppR ( R / I ) ∩ SuppR ( H It −, J1 ( M ) ) ⊆ V ( I ) nên HomR ( R / I , H It −, J1 ( M ) ) I − xoắn Artin Do H It −, J1 ( M ) Artin  Hệ 2.4.9 Nếu ( R, m ) vành địa phương M môđun minimax, { } inf {i |= H Ii , J ( M ) không Artin} inf i | SuppR ( H Ii , J ( M ) ) ⊄ {m} Hệ 2.4.10 Giả sử ( R, m ) vành địa phương M R − môđun hữu hạn sinh Nếu SuppR H Ii , J ( M ) ⊆ {m} với i < t , H Ii , J ( M ) ≅ H mi ( M ) với i < t Chứng minh { } Theo định lý 2.1.6 ta có inf {i | H Ii , J ( M= ) không Artin} inf i | H Ii , J ( M ) ≅ H mi ( M ) , kết suy từ kết hệ 2.1.9  35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết có liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan: • Nghiên cứu tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan, nêu số điều kiện đề môđun H It , J  M  / JH It , J  M  Artin Đồng thời đẳng thức : inf {i | H Ii , J ( M= ) không Artin} inf {depthM p | p ∈ W ( I , J ) \ {m}} • Tìm hiểu thêm triệt tiêu không triệt tiêu môđun H Ii , J  M  , qua chứng minh đặc trưng chiều đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan  I , J  cd ( I , J , M ) = inf {i | H Ii , J ( R / p) = 0; ∀p ∈ SuppR M } − • Đưa định nghĩa môđun  I , J  - cofinite, chứng minh định lý tính hữu hạn sinh môđun : HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) Ext Ri ( R / I , H It , J ( M ) ) ; i = 1, • Sử dụng công cụ môđun minimax để nghiên cứu thêm tính hữu hạn sinh tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cho căp iđêan Ngoài nhiều tính chất môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan tổng quát hóa phạm trù Serre, tính chất liên quan đến môđun  I , J  -minimax, kết tập iđêan nguyên tố gắn kết Att R  H Ii , J  M  … 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Amoli Kh A and Saddeghi M Y (2012), On the local cohomology modules definied by a pair of ideals and Serre subcategories, Cornell University Library Brodman M P and Sharp R Y (1998), Local cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Application, Cambridge University Press, Cambridge Chu L (2011), “Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals”, Proc Amer Math Soc, 139, pp 777-782 Chu L and Wang Q (2009), “Some results on local cohomology modules defined by a pair of ideals” , J Math Kyoto Univ 49 ,No 1, pp.59-72 Eisenbud D (1995), Comutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer Press Grothendieck A (1967), Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics 41, Springer Matsumura H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press Melkersson L (1995), “Some applications of criterion for artinianness of a module”, J Pure Appl Algebra 101, pp 291-303 Melkersson L (2005), “Modules cofinite with respect to an ideal”, Journal of Algebra 285, pp 649-668 10 Nielsen H A (2005), Elementary commutative algebra, Lecture Notes University of Aarhus 11 Northcott D G (1960), An introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, Cambridge 12 Payrovi Sh and Parsa M L (2013), “Finiteness of local cohomology modules defined by a pair of ideals”, Communications in Algebra 41, pp 627-637 13 Payrovi Sh and Parsa M L (2012), “Artinianness of local cohomology modules defined by a pair of ideals”, Bull Malys Math Sci Soc 35(4), pp 877-883 14 Rotman J J (2009), An introduction to Homological Algebra, Springer Press 15 Strooker J R (1990), Homological question in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge 37 16 Takahashi R , Yoshino Y and Yoshizawa T (2009), “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J Pure Appl Algebra 213, pp 582-600 17 Tehranian A and Talemi A P E (2010), “Cofiniteness of local cohomology based on a non-closed support definied by a pair of ideals”, Bulletin of the Iranian Math Soc Vol 36 No 2, pp 145-155 38 [...]... sinh I , J là các iđêan của vành R Khi đó ta có: i H Ii , J ( M ) = 0 với mọi số nguyên thỏa i > dim M ii H Ii , J ( M ) = 0 với mọi số nguyên thỏa i > dim M / JM + 1 14 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 2.1 Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.1.1 Giả sử ( R, m ) là vành địa phương Cho M là một R − môđun hữu hạn sinh... sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định nghĩa 2.4.1 Một R − môđun M được gọi là môđun minimax nếu có một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho môđun thương M / N là Artin Nhận xét: Môđun Artin và môđun hữu hạn sinh cũng là môđun minimax Bổ đề 2.4.2 ([8, Định lý 5.3, trang 299]) Cho M là R -môđun sao cho tồn tại một môđun con Noether N thỏa mãn M / N là hợp của các môđun con... R -môđun ta định nghĩa H Ii , J ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo (I,J) Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ I ,0 ≡ Γ I do đó H Ii ,0 ≡ H Ii , hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc Mệnh đề 1.6.5 [16, 1.4] Cho I, J là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và M là một R -môđun Ta có: H Ii + J , J ( M ) = H... 1.5.11 Cho I là một iđêan của vành R , M là một R − môđun Khi đó sup {n ∈  | H In ( M ) ≠ 0} được gọi là chiều đối đồng điều địa phương của M theo cd R ( I , M ) = iđêan I Mệnh đề 1.5.12 Cho I là một iđêan của vành R , M , N là các R − môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có: cd R ( I , M ) = cd R ( I , R / Ann ( M ) ) Nếu SuppN ⊆ SuppM thì cd R ( I , N ) ≤ cd R ( I , M ) 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương cho. .. 7.1.3] Cho ( R, m ) là một vành địa phương, M là một R -môđun hữu hạn sinh Khi đó R − môđun H mi ( M ) là Artin với mọi i ∈  0 Định lý 1.5.9 [2, 7.1.6] Cho ( R, m ) là một vành địa phương, I là iđêan của R M là một Rmôđun hữu hạn sinh có dim M = n Khi đó R − môđun H In ( M ) là Artin Định lý 1.5.10 Cho ( R, m ) là một vành địa phương M là một R -môđun hữu hạn sinh có dim M = n Khi đó R − môđun H... Hệ quả 2.2.4 Cho M là R − môđun hữu hạn sinh, khi đó ta có đẳng thức cd ( I , J , M ) = inf {i | H Ii , J ( R / p) = 0; ∀p ∈ SuppM } − 1 23  sau: 2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định nghĩa 2.3.1 Một R − môđun M được gọi là ( I , J ) − cofinite nếu SuppM ⊆ W ( I , J ) và Ext Ri ( R / I , M ) là R − môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 Bổ đề 2.3.2 Cho M là R − môđun. .. tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.2.1 Cho r ≥ 0 là số nguyên sao cho H Ir, J ( R / p) = 0 với mọi p ∈ SuppR M Khi đó H Ir, J ( N ) = 0 với bất kỳ R − môđun N thỏa mãn SuppN ⊆ SuppM Đặc biệt H Ir, J ( M ) = 0 Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh H Ir, J ( M ) = 0 Do M là R − môđun hữu hạn sinh nên có một lọc các môđun con của M 0  M 0  M 1    M s  M sao cho M j... đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I M ⇔ Supp(M ) ⊆ V ( I ) Mệnh đề 1.5.2 Cho M là một R -môđun Ta có Γ I (M ) = Định lý 1.5.3 Cho M là một R -môđun, I là một iđêan của R Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi i  0 : H Ii  M   lim Ext Ri  R / I n , M    n Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck Định lý 1.5.4 (Grothendieck) Cho M là một R -môđun, I là một iđêan. .. nói M là môđun (I, J)-xoắn, Γ I , J ( M ) = do Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ I , J ≡ Γ I là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối đồng điều địa phương Bổ đề 1.6.3 Hàm tử (I,J)-xoắn Γ I , J (−) là hàm tử khớp trái Định nghĩa 1.6.4 Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I , J là H Ii , J : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan (I,J) Với M là một R -môđun ta... thì H Id, J ( R / p) = 0 là Artin  Nhận xét: Định lý này chính là sự mở rộng của định lý 1.5.9 tương ứng với môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.1.2 Giả sử ( R, m ) là vành địa phương Cho I , J là hai iđêan của vành R sao cho I+J = m , M là R − môđun hữu hạn sinh Nếu với số nguyên t mà H Ii , J ( M ) là Artin với mọi i > t thì khi đó H It , J ( M ) / JH It , J ( M ) là Artin Chứng ... 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan 12 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 15 2.1 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương. .. ( M ) = với số nguyên thỏa i > dim M / JM + 14 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 2.1 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Định lý... minh số kiến thức đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương cho iđêan đối đồng điều địa phương cho cặp iđêan Chương hai phần luận văn, trình bày tính chất môđun đối đồng điều địa phương theo cặp