2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: Bùi Tường Trí Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN  Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PSG.TS Bùi Tường Trí, người hết lòng hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học cao học làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh quý thầy cô môn Toán học tạo điều kiện học tập nhiệt tình giảng dạy thời gian học cao học, qua có kiến thức bổ ích để làm đề tài luận văn Xin cảm ơn tập thể lớp Đại số khóa 21 động viên giúp đỡ thời gian thực luận văn Cuối xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân bên cạnh động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Học viên thực Nguyễn Quế Thanh MỤC LỤC    LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN 1.2 CĂN NGUYÊN TỐ 14 1.3.CĂN JACOBSON 17 Chương : MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 22 2.1 MA TRẬN 23 2.2 VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG 32 2.3 ĐẠI SỐ WEYL 38 2.4 CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT 45 2.5 VÀNH NHÓM 47 KẾT LUẬN 54 BẢNG KÝ HIỆU  MR M R – môđun phải End(M R ) vành tự đồng cấu M R M n (R) vành ma trận n x n vành R N(R) nguyên tố vành R Spec(R) tập tất iđêan nguyên tố R J(R) Jacobson vành R SMR M song môđun, M S – môđun trái R – môđun phải L(R) tập môđun R II(A) vành iđêan hóa A với A iđêan phải R A n (K) đại số Weyl thứ n K MỞ ĐẦU  Trong học phần Đại số giao hoán chương trình Cao học làm quen với hình ảnh ví dụ lớp vành Noether giao hoán Như lớp vành Noether không giao hoán có hình ảnh nào? Trong luận văn tìm hiểu sâu số vành Noether không giao hoán bắt nguồn hoàn cảnh đặc biệt đồng thời hệ thống hóa trường hợp nêu ví dụ số hình ảnh cụ thể Nội dung luận văn gồm phần sau: Chương 1: Kiến thức Trình bày lại khái niệm, chứng minh lại số định lý, bổ đề dùng luận văn Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể vành Noether không giao hoán Trong chương xây dựng lớp vành Noether không giao hoán dựa vật liệu chính: Ma trận Vành đa thức không đối xứng Đại số Weyl Chuỗi lũy thừa không đối xứng đa thức Laurent Vành nhóm Vẫn số trường hợp để xây dựng lớp vành Noether không giao hoán, luận văn khai thác số trường hợp mức độ định Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương nhắc lại số vấn đề kết làm tảng vững cho phần chương sau Chương gồm bài: Điều kiện dây chuyền, Căn nguyên tố Căn Jacobson 1.1 ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN 1.1.1 Định nghĩa: Cho R vành có đơn vị  M gọi R - môđun đơn (hay gọi R - môđun bất khả quy) M R ≠ M có hai môđun M  Môđun tổng trực tiếp môđun đơn gọi môđun nửa đơn Trong đó, môđun đơn đẳng cấu đôi với môđun gọi môđun isotypic  Tập thứ tự M gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay gọi điều kiện cực tiểu) điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập khác rỗng M có phần tử tối tiểu ii) Bất kỳ dây chuyền giảm: M1 > M2 > … > Mn > … với M i phần tử M (i ∈ {1,2,…,n,…}), dừng sau hữu hạn bước  Tập thứ tự M gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay gọi điều kiện cực đại) điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập khác rỗng M có phần tử tối đại ii) Bất kỳ dây chuyền tăng: M1 < M2 < … < Mn < … với M i phần tử M (i ∈ {1,2,…,n,…}), dừng sau hữu hạn bước  Nếu tập môđun môđun M R với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói M R môđun Noether (Artin)  Nếu tập iđêan phải (trái) vành A với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói A vành Noether (Artin) phải (trái) 1.1.2 Chú ý: Nếu N  M M Noether hay Artin N M/N Noether hay Artin Do N  M nên ta có đồng cấu nhúng i : N → M đồng cấu chiếu p : M → M / N tạo thành dãy khớp ngắn: 0→ N →M →M /N →0 Suy M Noether (Artin) N M/N Noether (Artin) 1.1.3 Định lý Jordan – Holder: a) Môđun M R thỏa hai điều kiện dây chuyền tăng dây chuyền giảm chiều dài dãy môđun M giới hạn cận n b) Nếu (a) thỏa mãn dãy môđun M làm mịn đến dãy có độ dài n: M = M0 ⊃ M1 ⊃ … ⊃ Mn = (*)  Với i = 0,1,…, n – 1, M i+1 môđun tầm thường M i , môđun thương M i /M i+1 đơn  Các môđun thương: M /M , M /M , …, M n-1 /M n gọi môđun thương hợp thành M dãy (*) gọi dãy hợp thành M  Cho: M = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = M = K0 ⊃ K1 ⊃ … ⊃ Kt = hai dãy hợp thành M s = t môđun thương hợp thành tương ứng đẳng cấu với nhau, tức là: Kj K j +1 ≅ Hi H i +1 1.1.4 Mệnh đề: Các điều kiện sau môđun nửa đơn M R tương đương: i) M R thỏa điều kiện dây chuyền tăng ii) M R thỏa điều kiện dây chuyền giảm iii) M R có độ dài hữu hạn 1.1.5 Mệnh đề: Các điều kiện sau môđun M R tương đương: i) M R Noether (Artin) ii) Mỗi môđun M R hữu hạn sinh iii) Mọi tập khác rỗng môđun M R có phần tử tối đại (tối tiểu) 1.1.6 Định nghĩa:  Nếu R R Noether (Artin) R vành Noether (Artin) phải  Nếu R R Noether (Artin) R vành Noether (Artin) trái  Nếu R vừa vành Noether (Artin) phải vừa vành Noether (Artin) trái R vành Noether (Artin) 1.1.7 Hệ quả: Các điều kiện sau vành R tương đương: i) R vành Noether phải ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng iđêan phải iii) Mỗi iđêan phải R hữu hạn sinh iv) Mỗi tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử tối đại Chứng minh: (i) ⇒ (ii) Do định nghĩa (ii) ⇒ (iii) R thỏa điều kiện (ii) suy R vành Noether phải (do định nghĩa) Do mệnh đề 1.1.5 suy iđêan phải R hữu hạn sinh (iii) ⇒ (iv) Do mệnh đề 1.1.5 (iv) ⇒ (i) Do mệnh đề 1.1.5 1.1.8 Định nghĩa:  Khi iđêan phải (trái) R iđêan (hay cyclic) R gọi vành iđêan bên phải (trái) hay gọi pri-ring (pli-ring)  Khi R vừa pri-ring vừa pli-ring R gọi vành iđêan 1.1.9 Bổ đề Schur: Nếu M R đơn End(M R ) vành chia (End(M R ): vành tự đồng cấu M R ) Chứng minh: Ta cần chứng minh End(M R ) vành có đơn vị khác phần tử khác End(M R ) khả nghịch End(M R )  Ta có: End(M R ) vành (do định nghĩa) có đơn vị Id M ≠ R  ∀ θ ∈ End(M R )  Ta chứng minh nhận xét: M R = M R θ θ toàn ánh Thật vậy: θ :M → M a  θ (a ) = aθ Khi đó: ∀b ∈ M, M R = M R θ nên ∃b ∈ M: b = b θ = θ(b ) hay θ toàn ánh  Đặt W = M R θ Do θ ≠ nên W ≠ Wr M= ∀r ∈ R := Rθ r ( M R r )θ ⊂ M= Rθ W Suy W môđun khác M R Do W = M R (do M R môđun đơn) Vậy M R = M R θ hay θ toàn ánh (1)  Ker θ môđun M R mà θ ≠ nên Ker θ ≠ M R ⇒ Ker θ = (do M R môđun đơn) Suy θ đơn ánh (2) Từ (1) (2) suy θ song ánh Do θ tự đồng cấu M R nên θ tự đẳng cấu Suy θ -1 ∈ End(M R ) Vậy phần tử khác End(M R ) khả nghịch End(M R ) Kết luận: End(M R ) vành chia 42 (i) Nếu R Noether phải hay miền nguyên A n (R) Noether phải hay miền nguyên (ii) Nếu R vành chia có đặc số A n (R) đơn Chứng minh: (i) Ta có A n (K) ≅ R n (do 2.3.2) với R o = R , R i+1 = R i [ y i+1 ; ∂/∂x i+1 ]  Nếu R miền nguyên R miền nguyên (do 2.2.9(i)) Suy R n miền nguyên (quy nạp theo n) Vậy A n (K) miền nguyên  Nếu R Noether phải R Noether phải (do 2.2.9(iv)) Suy R n Noether (quy nạp theo n) Vậy A n (K) Noether phải (ii) Giả sử I  An ( R) I ≠ Ta chứng minh I = A n (R) Với c ∈ I c ≠ ta có ∂c/∂x i ∈ I ∂c/∂y i ∈ I, ∀i =1, n (do 2.3.4) = Trong c ∑ aαβ yα x β , aαβ ∈ K (do c ∈ I  A n ( K ) 2.3.3) Suy qa αβ ∈ I hay a αβ ∈ I Do ∈ A n (K) nên = ∑ aαβ yα x β Suy ∈ I (do a αβ ∈ I) hay A n (K) Vậy A n (K) đơn 2.3.11 Định nghĩa:  R = K(x ,…x n ) trường đa thức hữu tỷ, ∂/∂x i ánh xạ tuyến tính: ∂ / ∂xi : K ( x1 , , xn ) → K ( x1 , , xn ) f  ∂f ∂xi Ta có dãy vành với điều kiện: R o = R , R i+1 = R i [ y i+1 ; ∂/∂x i+1 ] Khi vành R n thu B n (K)  Do K[x ,…,x n ] ⊂ K(x ,…x n ) nên ta có phép nhúng: A n (K) → B n (K) 2.3.12 Định lý: (i) B n (K) miền nguyên Noether, K có đặc số Bn (K) đơn (ii) B (K) miền iđêan phải trái Chứng minh: I= 43 (i) B n (K) miền nguyên Noether nên An (K) miền nguyên Noether Giả sử I  Bn ( K ) I ≠ Ta chứng minh I = B n (K) Tương tự 2.3.5 ta c ∈ I  Bn ( K ) nên: = c ∑ aαβ yα x β , aαβ ∈ K Trong ∂c/∂x i , ∂c/∂y i có hệ số qa αβ ∈ I Do a αβ ∈ I, suy = ∑ aαβ yα x β ∈ I hay I = B n (K) Vậy B n (K) đơn (ii) Ta có R o = K(x ,…,x n ), R = R o [y ;∂/∂x ] suy B (K) ≅ R (do định lý 2.3.2) Do R o = K(x ,…,x n ) vành chia nên R miền iđêan bên phải (trái) (do 2.2.9(iii)) Suy R miền iđêan phải trái Vậy B (K) miền iđêan phải trái 2.3.13 Ví dụ: Nếu K trường có đặc số vành: S = K + xA (K) miền nguyên Noether có ba iđêan 0, xA (K) S Chứng minh:  ∀r ∈ A (K), ta có r = p + xs với s ∈ A , p ∈ K[y], xp – px = dp/dy  Giả sử p + xs ∈ II(xA ), với II(xA )={ r ∈ A / rxA ⊆ xA } xA iđêan phải vành A Khi ( p + xs ) xA1 ⊆ xA1 nên pxA1 ⊆ xA1 Suy px = xp hay dp / dy = Vậy p ∈ K Giả sử p ∈ K , ta dp / dy = Suy p + xs ∈ II(xA ) Vậy p + xs ∈ II(xA ) p ∈ K Suy II(xA ) = K + xA (K) = S  Ta có xA iđêan phải tối đại A Do K trường có đặc số nên A (K) miền nguyên Noether phải (do 2.3.5) Suy II(xA ) miền nguyên Noether phải (do 2.1.13) Vậy S miền nguyên Noether phải (do cmt) (1)  Ta có A x iđêan trái tối đại A Tương tự ta có II(A x) = K + A x nên II(A x) miền nguyên Noether trái (do 2.3.5 2.1.13) Suy K + A x miền nguyên Noether trái 44  Ta có tự đẳng cấu: B1 ( K ) → B1 ( K ) b  x −1bx Suy đẳng cấu: K + xA → K + A x Hay K + xA ≅ K + A x Do K + xA miền nguyên Noether trái Vậy S miền nguyên Noether trái (2) Từ (1) (2) suy S miền nguyên Noether  Giả sử I  S I ≠ Ta có I ⊇ xA IxA Do A đơn, A1 IxA1  A1 A IxA ≠ nên A IxA = A Vậy I ⊇ xA Ta có xA ⊂ I ⊂ S Do S = K + xA (K) nên S/xA ≅ K Suy S/xA trường xA iđêan tối đại S Do I = xA S (do xA ⊂ I ⊂ S) Vậy S có ba iđêan 0, xA (K) S 2.3.14 Chú ý: Trái lại, xét vành đa thức giao hoán K[x,y] Vành R = K + xK[x,y] tương tự không Noether, với R tác động K xK[x,y]/x2K[x,y] vô hạn chiều K 45 2.4 CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT 2.4.1 Định nghĩa: Cho vành R tự đồng cấu σ : R → R S vành sinh R x Mọi phần tử S chuỗi lũy thừa có dạng: ∞ ∑x a i i i =0 , ∈ R , ax = xσ(a) thỏa hệ thức: Khi S gọi vành chuỗi lũy thừa không đối xứng Ký hiệu: S = R[[x;σ]] 2.4.2 Chú ý Cho vành R, tự đồng cấu σ σ - đạo hàm δ, ta có chuỗi lũy thừa: ∞ ∑ xi i =0 ∞ ∑xb i i i =0 , , bi ∈ R Khi phép nhân hai chuỗi lũy thừa thu tổng vô hạn phần tử R hệ số xi 2.4.3 Định nghĩa:  Cho vành R tự đẳng cấu σ S vành sinh R, x x-1 Mọi phần tử S đa thức có dạng: ∑x a i i∈Z i , ∈ R Trong có hữu hạn hệ số a i = thỏa hệ thức: ax = xσ(a) Khi S gọi vành đa thức Laurent không đối xứng Ký hiệu: S = R  x, x −1 ;σ  2.4.4 Định nghĩa: Cho vành R tự đẳng cấu σ S vành sinh R, x x-1 Mọi phần tử S có dạng: 46 ∑x a i i∈Z i Với hữu hạn n ∈ N: a -n = thỏa hệ thức: ax = xσ(a) Khi S gọi vành chuỗi lũy thừa Laurent không đối xứng Ký hiệu: S = R[[ x, x -1; σ ]] 2.4.5 Định lý: Cho R vành với tự đẳng cấu σ , cho S = R[x,x-1,σ] R[[x;σ]] R[[x,x-1;σ]] ta có: i) Nếu σ đơn ánh R miền nguyên S miền nguyên ii) Nếu σ đơn ánh R vành chia S miền iđêan bên phải iii) Nếu σ tự đẳng cấu R vành nguyên tố S vành nguyên tố iv) Nếu σ tự đẳng cấu R vành Noether phải (trái) S vành Noether phải (trái) Chứng minh: Định lý suy từ định lý 2.2.9 định lý quan trọng 47 2.5 VÀNH NHÓM 2.5.1 Định nghĩa:  Cho vành R nhóm G Vành nhóm RG định nghĩa R – môđun phải tự với sở phần tử G, có hai phép toán cộng nhân phép nhân định nghĩa: (g r )(g r ) = (g g )(r r ) , g i ∈ G, r i ∈ R, tính chất song tuyến tính: ( g1r1 + g r2= )r  Ta có: Với = x n ∑g r i =0 i i g1 ( r1r ) + g ( r2 r ) , ∀g1 , g ∈ G, ∀r1 , r2 , r ∈ R n   RG = x =∑ gi ri , gi ∈ G, ri ∈ R  i =0   y ∈ RG = m ∑g r j =1 ' ' j j ∈ RG , ta có:  n  m ' '  = xy = g r g j rj  ∑ i i   ∑ =  i 1= j1  ∑ ( g g )( r r ) i ' j ' i j i, j 2.5.2 Tính chất:  Tồn phép nhúng: G → RG R → RG  RG có tính chất phổ dụng sau: Cho vành S, ta có đồng cấu vành: ψ : R → S Gọi L nhóm chứa phần tử đơn vị S, ta có đồng cấu nhóm: χ : G → L, cho: ψ(r)χ(g) = χ(g)ψ(r) , r ∈ R, g ∈ G Khi tồn đồng cấu vành: ξ : RG → S, cho: ξ(r) = ψ(r) ξ(g) = χ(g) 48 2.5.3 Ví dụ: (i) Cho G nhóm Hensenberg rời rạc: G = x, y, z với hệ thức: xyx-1y-1 = z z tâm Khi đó: RG ≅ R  y, y −1   z , z −1   x, x −1 ; σ  , với σ(y) = z-1y σ(z) = z (ii) Cho G nhóm nhị diện vô hạn: G = x, y với hệ thức: x2 = = (xy)2 Khi đó: RG ≅ R  y, y −1  [ x; σ ] / ( x − 1) , với σ(y) = y -1 (vì x – iđêan sinh phần tử tâm x – 1) 2.5.4 Định nghĩa:  Cho vành R, nhóm G AutR nhóm tự đẳng cấu vành R Đồng cấu: ϕ : G → AutR g  ϕ(g) Với: ϕ ( g ) :R → R r  ϕ ( g )( r ) = r g  R - môđun phải tự có sở phần tử G phép nhân định nghĩa: (hr)(gs) = (hg)(rgs) với g, h ∈ G r, s ∈ R , gọi vành nhóm không đối xứng Ký hiệu: S = R # G  Mỗi phần tử R # G có dạng: ∑ gr g g∈G với r g = 0, ∀g ∈ G hữu hạn Ngoài phần tử R # G biểu diễn dạng: ∑s g∈G g g với s g = 0, ∀g ∈ G hữu hạn 49  G nhóm nhóm có phần tử đơn vị R # G R vành R # G Vành nhóm thông thường thu ϕ (g) = 1, ∀g 2.5.5 Ví dụ: (i) Nếu G = {xn / n ∈ Z} ≅ Z ϕ(x) = σ Khi đó: R # G = R[ x,x-1;σ ], với R[ x,x-1;σ ] vành đa thức Laurent không đối xứng (ii) Cho trường k, K trường k Nhóm K – tự đẳng cấu gọi nhóm Galois k K, ký hiệu G Khi ta có K # G vành nhóm không đối xứng 2.5.6 Tính chất:  R # G có tính chất phổ dụng: Cho vành S, ta có đồng cấu vành: ψ : R → S Gọi L nhóm chứa phần tử đơn vị S, ta có đồng cấu nhóm: χ:G→L, cho: ψ(r)χ(g) = χ(g)ψ(rg) , ∀r ∈ R, g ∈ G Khi tồn đồng cấu vành: ξ : RG → S , cho: ξ(r) = ψ(rg) ξ(g) = χ(g)  Nếu S = EndR+ , ta có: ξ : R # G → S = EndR+ , cho: ξ(g) = ϕ (g) ξ(r) = T r Trong đó: Tr : R + → R + x  xTr = xr 50  ξ đơn ánh bị thu hẹp đến R R # G xem vành phép toán tự đẳng cấu 2.5.7 Chú ý:  Cho N, H nhóm Ta có đồng cấu nhóm: ϕ : H → AutN h  ϕ (h) với: ϕ (h) : N → N n  ϕ ( h )( n ) = n h Tích nửa trực tiếp G HxN với phép nhân: (f,n)(h,m) = ( fh , nhm ) ,∀f, h ∈ H, n, m ∈ N  G tích trực tiếp N H tồn dãy khớp ngắn chẻ: → N → G → H → Khi đó, ϕ mở rộng: ϕ : H → AutRN Vành nhóm RG đồng với RN # H 2.5.8 Định nghĩa:  Cho vành R nhóm G Vành S chứa R chứa tập hợp có phần tử đơn vị = G {g / g ∈ G} đẳng cấu với tập G cho: (i) S R - môđun phải tự với G sở 1G = 1S (ii) ∀g , g ∈ G, ta có: g1 R = Rg1 g1 g R = g1 g R Khi S gọi tích chéo R G Ký hiệu: R*G  Từ (ii) ta có: S R - môđun trái tự Nếu phép cộng có tính chất: g1r = r g1 ,∀r ∈ R, g ∈ G Khi S gọi vành nhóm xoắn  Nếu N nhóm G R*N nhóm R*G 51 2.5.9 Bổ đề: (i) Cho X ⊆ G tập lớp đại diện G - môđun N Khi R*G R*N môđun tự sinh X (ii) Nếu N nhóm tầm thường G H = G/N R*G ≅ (R*N)*H Chứng minh: (i) R vành, G nhóm X ⊆ G Ta có= X {x / x ∈ X } Vành R*G chứa R*N X Từ định nghĩa suy R*G R*N - môđun tự sinh X (ii) Ta có H = G/N (R*N)*G/N = R*G (hiển nhiên) Dãy khớp ngắn chẻ: → N → G → H → Khi ϕ mở rộng: ϕ : H → AutRN Suy RG ≅ RN*H (do (ii)) Do R*G ≅ (R*N)*H Hơn nữa, ta được: R # G ≅ (R # N)*H 2.5.10 Ví dụ: (i) Cho G nhóm Heisenberg rời rạc: G = x, y, z với hệ thức: xyx-1y-1 = z z tâm Nếu N = z H = G/N ≅ Z Từ bổ đề 2.5.9 suy ra: KG ≅ K z * Z Khi đó: xmyn ∈ KG với (m,n) ∈ Z n (ii) Cho số nguyên dương n, chọn   phần tử λ ij ∈ K λ ij ≠  2 λii 1,= λ ji λij−1 Với ≤ i < j ≤ n, ta có: = Xét K - đại số S = K  x1 , x1−1 , , xn , xn−1  với hệ thức: x i x j = λ ij x j x i Khi S = K*Zn x1m xnm ∈ S với (m ,…,m n ) ∈ Zn Ngoài ra, S xem n vành đa thức Laurent không đối xứng lặp n lần K: 52 S = K  x1 , x1−1   x2 , x2−1 ; σ   xn , xn−1 ; σ n  2.5.11 Bổ đề: Cho vành R, nhóm G nhóm N có số hữu hạn Nếu R*N vành Noether phải R*G vành Noether phải Chứng minh: Từ 2.5.9 suy R*G R*N - môđun tự Do N nhóm G nên R*N vành R*G Do N có số hữu hạn nên R*G hữu hạn sinh Ngoài R*N vành Noether phải nên R*G vành Noether phải (do 2.1.3) 2.5.12 Mệnh đề: Cho R vành, G nhóm nhóm N cho G/N cyclic vô hạn Khi đó: (i) R*G ≅ (R*N)[x,x-1;σ] với tự đẳng cấu σ R*N (ii) Nếu R*N vành Noether phải R*G vành Noether phải Chứng minh: (i) Chọn x ∈ G cho xN sinh G/N R*G có sở = G {g / g ∈ G} Ta có: G → R *G xx { n n } Do 2.5.8(ii) nên = x R x n R , ∀n Do 2.5.9(i) nên x / n ∈ Z sinh R*G R*G R*N - môđun tự Vì xN = Nx nên từ 2.5.8(ii) suy x ( R * N ) = ( R * N ) x Đặt tự đẳng cấu: σ : R*N → R*N () y  σ ( y) = x () R * G ≅ ( R * N )  x, x  Khi đó: −1 −1 yx ;σ   (ii) Do 2.4.5(iv) nên σ tự đẳng cấu R*N vành Noether phải Suy ( R * N )  x, ( x ) ;σ  vành Noether phải Ngoài −1   () R * G ≅ ( R * N )  x, x  −1 ;σ   53 Vậy R*G vành Noether phải 2.5.13 Định nghĩa:  Nhóm đa cyclic hữu hạn nhóm G với dãy hữu hạn: = G= G o  G1   Gn Trong G i nhóm G i+1 G i+1 /G i cyclic vô hạn (phần tử cuối G n /G n-1 ) 2.5.14 Định lý: Nếu R vành Noether phải G nhóm đa cyclic hữu hạn R*G vành Noether phải Chứng minh:  Do G nhóm đa cylic hữu hạn nên G có dãy hữu hạn: = G= G o  G1   Gn Do G o nhóm G nên R*G o nhóm R*G Ta có G /G o cylic vô hạn (do định nghĩa) suy R*G vành Noether phải (do R*G o = R vành Noether phải) (mệnh đề 2.5.12(ii))  Thực quy nạp ta được: R*G n-1 nhóm R*G n , G n /G n-1 cylic vô hạn , R*G n-1 vành Noether phải Vậy R*G n = R*G vành Noether phải (mệnh đề 2.5.12(ii)) Chú ý: Trong trường hợp đặc biệt ZG Noether suy G đa cyclic hữu hạn 54 KẾT LUẬN  Bằng vật liệu là: ma trận, đa thức biến nhiều biến, vành nhóm xây dựng số hình ảnh ví dụ cụ thể vể lớp vành Noether không giao hoán, có số kết sau: - Vành ma trận cấp n x n R, M n (R) Noether phải R vành Noether phải - Nếu R vành S, với S R vành R – mô đun, S R hữu hạn sinh R vành Noether phải S vành Noether phải - R vành Noether phải, S vành sinh R phần tử x cho: Rx + R = xR + R Khi S vành Noether phải - K trường có đặc số đại số Weyl A n (K) miền nguyên Noether đơn - Nếu K trường có đặc số vành S = K + xA (K) miền nguyên Noether có ba iđêan 0, xA (K) S - Cho R vành với tự đẳng cấu σ cho S = R[ x;σ,δ ] S = R[x, x1 ;σ] R[[x;σ]] R[[x,x-1;σ]] ta có: i)Nếu σ đơn ánh R miền nguyên S miền nguyên ii)Nếu σ đơn ánh R vành chia S miền iđêan bên phải iii)Nếu σ tự đẳng cấu R vành nguyên tố S vành nguyên tố iv)Nếu σ tự đẳng cấu R vành Noether phải (trái) S vành Noether phải (trái) - Cho vành R, nhóm G nhóm N có số hữu hạn Nếu R*N vành Noether phải R*G vành Noether phải 55 - Cho R vành, G nhóm nhóm N cho G/N cyclic vô hạn Khi đó: i)R*G ≅ (R*N)[x,x-1;σ] với tự đẳng cấu σ R*N ii) Nếu R*N vành Noether phải R*G vành Noether phải Các kết lớp vành Noether không giao hoán luận văn kết ban đầu Do nhiều vấn đề lớp vành Noether không giao hoán chưa khai phá, nghiên cứu Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu theo hướng thời gian tới 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tiếng việt: [1] Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội [2] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng đều, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh [3] Đậu Thế Cấp (2003), Cấu trúc đại số, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Tiếng anh: [4] J.C.McConnell and J.C.Robson (2000), Noncommutative Noether Rings, American Mathmatical Society, Providence,Rhode Island [5] I.N.Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association of America, United States of America [6] I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, Cambridge, Massachusetts [7] David Cock (2004), The Weyl Algebras, School of Mathematics, The University of New South Wales [...]... KHÔNG GIAO HOÁN    Lớp các vành Noether giao hoán là lớp các vành rất quen thuộc mà chúng ta đã được làm quen trong chương trình đại số giao hoán Trong đó, ta có định lý cơ bản của Hilbert: “ Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A[x] là Noether ”, đã giúp xây dựng nên các hình ảnh và ví dụ về vành Noether giao hoán Nhưng đối với vành Noether không giao hoán thì những hình ảnh và ví dụ cụ thể không. .. Mục đích của chương này là đi tìm những hình ảnh cụ thể, những ví dụ cụ thể về lớp các vành Noether không giao hoán Vật liệu chính dùng để xây dựng nên lớp các vành Noether không giao hoán là: ma trận, đa thức một biến và nhiều biến không giao hoán, vành nhóm Sau đây chúng ta sẽ đi và xây dựng lớp các vành Noether không giao hoán bằng vật liệu thứ nhất là ma trận 23 2.1 MA TRẬN  Trong đại số tuyến... Z và Q Q là các Noether phải nên T là Noether phải (do mệnh đề 2.1.8)  Ta có Z Z là Noether trái, nhưng Z Q không là Noether trái, do Z Q không là hữu hạn sinh nên T không là Noether trái  Căn lũy linh của T là tập tất cả các phần tử lũy linh của T (hay còn gọi là căn nguyên tố) Ta có: 0 Q  0 0  ∈ N (T )   và không là Noether trái do Q không là Z – môđun trái Vì vậy N(T) không là Noether 2.1.11... ngặt các iđêan phải của S Vậy S là Noether phải 2.1.4 Ví dụ: Vành các ma trận n × n trên R là M n (R) có vành con là vành: T n (R) = { (a ij ) / a ij ∈ R, a ij = 0 với i > j } T n (R) là vành của tất cả các ma trận tam giác trên 2.1.5 Hệ quả: 25 Nếu R ⊆ S ⊆ M n (R) là các vành thì S là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải Chứng minh: (⇒) Giả sử S là Noether phải Do S ⊆ M n (R) nên M n (R) là Noether. .. là các iđêan tối đại của R Ta được M ⊂ M ρ Cho a 1 ,…,a n là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của M Ta có an ∈ M suy ra an ∈ M ρ Do đó an= a1 ρ1 + + an ρ n với ρ i ∈ ρ Nên an (1 − ρ n )= a1 ρ1 + + an −1 ρ n −1 Do ρ n ∈ J ( R ) nên 1 − ρ n khả nghịch trong R Suy ra a n là môđun con của M sinh bởi a 1 ,…,a n-1 , mâu thuẫn Vậy M ≠ MJ(R) 22 Chương 2: MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG... T = R   R Trong đó II(A) II(A) , RR , A R là các vành Noether phải Do R là Noether phải nên II(A) là Noether phải (do 1.1.13(iii)) Vậy T là Noether phải (do 2.1.7)  T là iđêan hóa của iđêan phải tối đại:  A A  R R  của M 2 (R)   32 2.2 VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG 2.2.1 Định nghĩa:  Cho R là vành không giao hoán Đa thức f(x) của ẩn x trên vành R có sự biểu diễn duy nhất dưới dạng: f ( x=... =⊕ Ai với A i là các vành Artin đơn i =0 1.1.14 Định nghĩa:  Căn của vành Artin phải R là giao của các iđêan tối đại của R Ký hiệu: N(R) Ta có: N(R) = ∩ρ với ρ là các iđêan tối đại của R  R được gọi là nửa đơn nếu N(R) = 0 Suy ra: ∩ρ = 0 với ρ là các iđêan phải tối đại của R Từ đó ta chứng minh được (ii) ⇒ (v) của định lý 1.11 như sau: Ta có N(R) = ∩ρ , ρ là các iđêan phải tối đại của R R là nửa đơn... R(aRb)R ≠ 0 ⇔ aRb ≠ 0 15 Khi đó vành R được gọi là vành nguyên tố 1.2.4 Định nghĩa:  Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu: a = 0 ∀a, b ∈ R , aRb =0 ⇒  b = 0  Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/A là vành nguyên tố Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu: Spec(R) 1.2.5 Định nghĩa:  Căn nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R Ký hiệu: N(R)  Nếu R... Ví dụ: Vành: Q R   0 R   là Artin phải nhưng không là Artin trái do Q R không là Artin trái 2.1.12 Định nghĩa:  Với A là iđêan phải của vành R, ta có:  II ( A) T=   R A R  cùng với các phép toán của ma trận 2 × 2 và II(A) = { r ∈ R / rA ⊆ A} là vành Morita context 29  Vành II(A) được gọi là iđêan hóa của A và là vành con lớn nhất của R chứa A A là iđêan hai chiều của II(A)  Vành II(A)/A... tiếp hữu hạn các vành Artin đơn ii) R R là nửa đơn iii) Mọi R môđun phải là nửa đơn iv) R là Artin phải và không có iđêan lũy linh v) R là Artin phải và giao của các iđêan tối đại của R là 0 Chứng minh: (i)⇒(ii) Hiển nhiên do định nghĩa ii)⇒i) Giả sử R R là vành nửa đơn Gọi A là iđêan tối tiểu của vành R  Ta chứng minh A là vành đơn Giả sử B là iđêan của vành A, B ≠ 0 Suy ra ABA là iđêan của R và ABA ... MJ(R) 22 Chương 2: MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN    Lớp vành Noether giao hoán lớp vành quen thuộc mà làm quen chương trình đại số giao hoán Trong đó, ta có... lý Hilbert: “ Nếu A vành Noether vành đa thức A[x] Noether ”, giúp xây dựng nên hình ảnh ví dụ vành Noether giao hoán Nhưng vành Noether không giao hoán hình ảnh ví dụ cụ thể không phong phú Mục... chương tìm hình ảnh cụ thể, ví dụ cụ thể lớp vành Noether không giao hoán Vật liệu dùng để xây dựng nên lớp vành Noether không giao hoán là: ma trận, đa thức biến nhiều biến không giao hoán, vành nhóm