BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Chu Thùy Giang MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Chu Thùy Giang MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Chun ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi nhiều suốt q trình nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Lê Thị Hồi Châu, thầy Lê Văn Tiến, thầy Trần Lương Công Khanh, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, người tận tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh, anh chị chuyên viên phòng sau đại học tạo thuận lợi cho chúng tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cảm ơn tất bạn khóa Didactic 21 giúp đỡ, chia khó khăn, kinh nghiệm thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi hết lịng cảm ơn gia đình quan tâm động viên suốt trình học tập Chu Thùy Giang MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU .1 Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Chương NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC .4 1.1 Bất đẳng thức chương trình Tốn phổ thơng .4 1.2 Bất đẳng thức giai đoạn ngầm ẩn 1.3 Bất đẳng thức giai đoạn tường minh 24 1.3.1 SGK lớp 24 1.3.2 SGK lớp 33 1.3.3 Bất đẳng thức SGK10 .36 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 50 2.1 Mục tiêu thực nghiệm 50 2.2 Đối tượng hình thức thực nghiệm 50 2.3 Phân tích tiên nghiệm (a priori) 51 2.3.1 Các toán thực nghiệm 51 2.3.2 Phân tích chi tiết toán .51 KẾT LUẬN .64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập HS : Học sinh GV : Giáo viên THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học sở MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Bất đẳng thức xuất chương trình tốn phổ thơng xun suốt từ bậc tiểu học, trung học sở đến trung học phổ thơng, với vị trí đặc biệt quan trọng Bất đẳng thức mảng kiến thức khó chương trình Tốn phổ thơng Bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức có vai trị giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, xét mối liên hệ yếu tố tam giác Các toán chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh đại học Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn, sai lầm thao tác đối tượng bất đẳng thức Chẳng hạn: 1) Khi so sánh −3 HS trình bày sau: a a Ta có: > - (*) Nhân vế (*) với −3 ta có: > (!) a a a Sai lầm lời giải HS nhân vế (*) với số mà chưa biết số âm hay dương 2) Khi chứng minh bất đẳng thức (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2, với a, b, c HS trình bày sau: Với x, y ta có: x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 ≥ ⇒ x + y ≥ 2xy Do : 2 a2 + b2 ≥ 2ab b2 + c2 ≥ 2bc c2 + a2 ≥ 2ca Suy (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 (!) Sai lầm lời giải nhân vế theo vế bất đẳng thức chiều mà không kiểm tra điều kiện vế không âm Tại học sinh mắc phải sai lầm này? Còn sai lầm khác gắn liền với khái niệm không? Từ ghi nhận trên, chọn chủ đề “Một nghiên cứu didactic khái niệm bất đẳng chương trình phổ thơng” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ Luận văn trả lời cho câu hỏi sau đây: CH1’ Khái niệm bất đẳng thức đưa vào chương trình phổ thông nào? Được định nghĩa sao? Gồm tính chất gì? Các dạng tốn liên quan đến bất đẳng thức? Chúng tiến triển qua khối lớp, bậc học? CH2’ Học sinh thường có sai lầm giải toán gắn liền với bất đẳng thức? Những sai lầm nảy sinh từ đâu? Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu đặt phạm vi didactic toán, với việc vận dụng yếu tố lý thuyết sau: - Lý thuyết nhân chủng học Cụ thể, sử dụng khái niệm "quan hệ thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học" - Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) phân tích hậu nghiệm (a posteriori) - Ngồi ra, chúng tơi cịn sử dụng khái niệm chướng ngại, sai lầm, quy tắc hành động, hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Chúng tơi xác định khái niệm: - Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I thể chế dạy học phổ thơng mơn Tốn hành Việt Nam, O đối tượng bất đẳng thức - Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X người học (HS) người dạy (GV) Chúng giới hạn lại đề tài với việc nghiên cứu đối tượng bất đẳng thức phương diện đối tượng chương trình tốn đại số phổ thơng Chúng tơi nghiên cứu bất đẳng thức “sơ cấp” (không đề cập đến việc huy động công cụ giải tích để giải kiểu nhiệm vụ liên quan đến bất đẳng thức) Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi mà việc tìm kiếm số yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn này: CH1 Đối tượng bất đẳng thức xây dựng tiến triển thể chế dạy học Toán phổ thơng hành? Có tổ chức tốn học liên quan đến đối tượng bất đẳng thức? Các tổ chức tốn h ọc có đặc trưng tiến triển qua khối lớp? CH2 Những ràng buộc thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS với đối tượng bất đẳng thức? Khi giải kiểu nhiệm vụ so sánh chứng minh bất đẳng thức học sinh mắc phải sai lầm nào? Những quy tắc hành động nào, quan niệm dẫn đến sai lầm đó? Phương pháp nghiên cứu Để tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt ra, tiến hành nghiên cứu theo bước sau: - Nghiên cứu mối quan hệ thể chế R(I,O) thông qua việc phân tích chương trình SGK Tốn phổ thơng hành Chúng cố gắng làm rõ cách xây dựng đối tượng trên, TCTH với tiến triển chúng qua khối lớp Những kết thu cho phép trả lời cho câu hỏi CH1, trình bày chương 1: "Mối quan hệ thể chế với khái niệm bất đẳng thức trường phổ thông" - Từ kết phân tích trên, chúng tơi hình thành nên giả thuyết nghiên cứu Chúng kiểm chứng giả thuyết cách xây dựng tiến hành thực nghiệm HS phiếu câu hỏi Qua đó, thực nghiệm làm rõ mối quan hệ cá nhân R(X,O) Các kết nhận cho phép đưa câu trả lời cho câu hỏi CH2 trình bày chương 2: “Nghiên cứu thực nghiệm” Chương NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu chương tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: CH1 Đối tượng bất đẳng thức xây dựng tiến triển thể chế dạy học Tốn phổ thơng hành? Có tổ chức tốn học liên quan đến đối tượng bất đẳng thức? Các tổ chức toán học có đặc trưng tiến triển qua khối lớp? Để đạt mục tiêu trên, chúng tơi tiến hành phân tích chương trình tốn phổ thơng sách giáo khoa tốn từ lớp đến lớp 10 hành Hiện nay, chương trình mơn Tốn lớp 10 có sách: sách sách nâng cao Trong luận văn này, xem xét đến sách Đại số 10 nâng cao Để thuận tiện dùng kí hiệu sau đây: SGKi, SGVi, SBTi (i = 1,…,10), tương ứng sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập lớp 1,2, ,10 1.1 Bất đẳng thức chương trình Tốn phổ thơng Đối tượng bất đẳng thức gắn liền với dạy học so sánh tập số Nội dung dạy học so sánh tập số xuất xun suốt chương trình Tốn phổ thông với mở rộng tập số qua khối lớp Nội dung học tập tập số phổ quy định trong Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2006) ([1], tr 8) sau: Mạch nội dung Chủ đề Số tự nhiên Số học Lớp * * * * * * Số nguyên 10 11 12 * Số hữu tỉ - Phân số + + - Số thập phân * * * * * * - Số hữu tỉ * Số thực * * Số phức * Bảng 1.1: Nội dung học tập tập số phổ thông Ghi + : Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị * : Học thức Từ bảng 1.1, nhận thấy nội dung dạy học so sánh tập số xuất liên tục từ lớp đến lớp hoàn thiện lớp Nội dung dạy học so sánh tập số quy định [1] sau: Lớp 1: - So sánh số tự nhiên đến 10 (tr 12); - So sánh số tự nhiên đến 100 (tr 12) Lớp 2: - So sánh số phạm vi 1000 (tr.13) Lớp 4: - So sánh số tự nhiên đến lớp triệu hệ thống hóa số tự nhiên hệ thập phân (tr 15); - So sánh hai phân số (tr 16) Lớp 5: - So sánh số thập phân (tr 17) Lớp 6: - Ôn tập bổ túc số tự nhiên (tr 18); - Biểu diễn số nguyên trục số; thứ tự (tr 18) 53 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a b , ta có: b a 4a b 4a b + ≥ ⇒ + + ≥ nên (*) b a b a 1 1 Vậy ( 4a + b )  +  ≥ a b Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a b, ta có: 4a + b ≥ ab (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 1 , ta có: a b 1 (2) + ≥ a b ab Do vế (1) (2) không âm nên nhân vế theo vế (1) (2) ta có ( 4a + b )  1a + b1  ≥   Cái quan sát cho câu b Câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: Theo câu a) ta có: A ≥ nên GTNN A Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2 : ( 4a + b )  1a + b1  ≥  ⇔ 5+  4a b + ≥ 8(*) b a Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a b , ta có: b a 4a b 4a b + ≥ ⇒ + + ≥ nên (*) b a b a Dấu “=” xẩy khi: b2 = 4a2 ⇔ b = 2a (vì a, b > 0) Vậy GTNN A = 54 • Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược: Như phân tích chương 1, thể chế tồn cách viết bất đẳng thức không ngặt mà khơng có giá trị biến để dấu xẩy Tuy nhiên thể chế không ưu tiên cách viết Trong câu a) toán chúng tơi lựa chọn giá trị biến V1: khơng có điều kiện biến để dấu “=” xẩy bất đẳng thức khơng ngặt, câu b) V2: có bất đẳng thức f(x) ≥ m Với cách chọn nhằn kiểm tra giả thuyết tồn quy tắc hợp đồng sau : R1: Khi chứng minh bất đẳng thức khơng nghiêm ngặt, HS khơng có trách nhiệm kiểm tra điều kiện biến để dấu “=” xẩy Từ quy tắc hợp đồng thể qua sai lầm câu b Bài : a) So sánh: c 3.c? b) Cho m < n So sánh m(-a)+ n(-a) + 3? • Mục đích: - Kiểm tra tồn quy tắc hành động : R2: a < b ⇒ a.c < b.c a < b ⇒ a.(-c) > b.(-c) Phạm vi hợp thức R2: c > • Các biến didactic giá trị nó: V1: Vai trị chữ bất đẳng thức Hai giá trị biến + Biến + Đại diện cho số cụ thể + Ẩn V2: Hệ số Hai giá trị biến + Giống + Khác 55 • Các chiến lược: S1 : Chiến lược “Không chia trường hợp biến” HS xem a số dương - a số âm áp dụng tính chất mối liên hệ thứ tự với phép nhân Chiến lược cho kết sai S2 : Chiến lược “Chia trường hợp biến” HS chia hai trường hợp: c > 0, c < áp dụng tính chất mối liên hệ thứ tự với phép nhân Chiến lược cho kết S3 : Chiến lược “So sánh định nghĩa” Để so sánh A B, HS chuyển so sánh hiệu A – B với • Cái quan sát: - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: a) Ta có < ⇒ c < 3.c b) Ta có m < n ⇒ m(-a) > n(-a) ⇒ m(-a) + > n(-a) + - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2 : a) TH: c > Ta có < ⇒ c < 3.c TH: c < Ta có: < ⇒ c > 3.c b) TH: a > Ta có m < n ⇒ m(-a) > n(-a) ⇒ m(-a) + > n(-a) + TH: a < m < n ⇒ m(-a) < n(-a) ⇒ m(-a) + < n(-a) + - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S3 : a) Ta có: 3c – c = 2c 2c > ⇔ c > 0: Khi 3c > c 2c < ⇔ c < 0: Khi 3c < c b) Ta có: [m(-a)+ 3] – [n(-a) + 3] = (m – n)(-a) = (n – m).a Vì n – m < nên: (n – m)a > ⇔ a < 0: Khi m(-a) + > n(-a) + 56 (n – m)a < ⇔ a > 0: Khi m(-a) + < n(-a) + • Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược: Trong tốn chúng tơi lựa chọn giá trị biến V1: vai trò chữ biến V2: Có hệ số giống Với cách chọn chiến lược S2, S3 chiến lược tối ưu, cịn chiến lược S1 ln cho kết sai Từ chúng tơi kiểm chứng tồn quy tắc hành động R2 Bài : Chứng minh x ≥ y > • x-x ≥ y - y Mục đích: - Kiểm tra tồn quy tắc hành động : R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b c < d ⇒ a – c < b – d • Các biến didactic giá trị nó: V1: Tính “đối xứng” bất đẳng thức (đối xứng có nghĩa là: thay x y vào biểu thức vế trái vế trái giống vế phải ngược lại) Hai giá trị biến + Có + Khơng V2: Căn bậc hai vế bất đẳng thức Hai giá trị biến + Có + Khơng V3: Dấu hai biểu thức cần so sánh Hai giá trị biến + Không âm + Âm 57 • Các chiến lược: S1: Chiến lược “Bình phương” HS quan sát thấy vế bất đẳng thức có chứa nên thường nghĩ tới phương án bình phương vế bất đẳng thức đưa bất đẳng thức Chiến lược cho kết S2: Chiến lược “Trừ vế theo vế” Nhận xét thấy tính chất đối xứng bất đẳng thức trừ vế theo vế hai bất đẳng thức chiều Chiến lược cho kết sai S3: Chiến lược “Dùng đẳng thức” Dùng đẳng thức biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức Chiến lược cho kết S4: Chiến lược “Đánh giá trực tiếp” Từ giả thiết biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh • Cái quan sát: - Câu trả tương ứng với chiến lược S1 : x ≥ y- x- y ⇔ x+ y ≥ y+ x ( ⇔ x+ y ) ≥(y+ x) 2 ⇔ x2 + x y + y ≥ y + y x + x ⇔ ( x − y ) + xy ( ⇔( ⇔ )( )( x− y   x− y   ( ) x − y − ( x − y) ≥ ) ( x + y ) + xy − ( x + y ) ≥ y ) ( x + y − 1) + xy  ≥ 0(*)  x+ y x+ Vì x ≥ y > nên (*) Vậy x - Câu trả tương ứng với chiến lược S2 : Vì x ≥ y > nên x≥ Ta có: x ≥ y Và x≥ Suy ra: x - y x ≥ y- y y x ≥ y- y 58 - Câu trả tương ứng với chiến lược S3 : x- x ≥ y- y ⇔ x − y − ( x − y) ≥ ( ⇔( ⇔ )( y )( ) ( x − y)≥0 y − 1) ≥ 0(*) x+ y x− y − x− x+ Vì x ≥ y > nên (*) Vậy x - x ≥ y- y - Câu trả tương ứng với chiến lược S4 : Ta có x ≥ y >1 ⇒ x −1 ≥ Và y −1 > x≥ y>0 ⇒ x ( x − 1) ≥ y ( y − 1) ⇒ x− x ≥ y− y • Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược: Trong tốn này, chúng tơi lựa chọn biến V1 với giá trị “Bất đẳng thức có tính đối xứng” V2 với giá trị “Hai vế bất đẳng thức có chứa căn” Với cách chọn này, việc bình phương, khai triển đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức đánh giá trực tiếp quen thuộc dễ dàng HS Chiến lược S1, S3, S4 tỏ tối ưu Tuy nhiên, dự đốn xẩy chiến lược S2 Từ giúp chúng tơi tìm hiểu HS có sử dụng quy tắc trừ vế theo vế hai bất đẳng thức chiều hay không? Đồng thời, lựa chọn V3 với giá trị “Hai vế bất đẳng thức âm” Cách chọn giúp kiểm chứng tồn R3: a 2x x2 + • Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược: Trong này, chọn biến V1: Số mũ biến thấp, V2: Dấu biểu thức mẫu dương Với cách chọn này, việc thực biến đổi bất đẳng thức ban đầu tương đương với bất đẳng thức dễ dàng học sinh Chiến lược S1 tỏ tối ưu Tuy nhiên, chúng tơi dự đốn xuất chiến lược S2, từ hợp thức R5 2.4 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) : Bài Chúng làm thực nghiệm 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng Bảng 2.1 Thống kê câu trả lời 1b) học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “sử dụng kết câu a)” 50 60,97% S2: Chiến lược “làm mới” 25 30,48% S2:Chiến lược khác 8,53% Tổng cộng 82 100% Có 60,97% học sinh sử dụng kết câu a) để kết luận giá trị nhỏ biểu thức Trong đó, có 15 HS thực chiến lược S1 “Biến đổi tương đương – Bất đẳng thức Cô - si” câu a) Khi thực chiến lược S1 câu a) dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ A Tuy nhiên, làm 15 HS kết luận giá trị nhỏ A = Rõ ràng HS tin tưởng tồn giá trị biến để dấu “=” bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà đề nêu xẩy ra, HS khơng có trách nhiệm kiểm tra điều Như phần kiểm chứng 61 giả thuyết H1 Bài Chúng làm thực nghiệm 85 học sinh lớp (2 lớp) trường THCS Quảng Hiệp – Đức Trọng – Lâm Đồng Bảng 2.2 Thống kê câu trả lời 2a học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1a: Chiến lược “không chia trường hợp biến” 57 67,06% S2a: Chiến lược “chia trường hợp biến” 20 23,53% Chiến lược khác 9.41% Tổng cộng 85 100% Có 60,06% HS khơng chia trường hợp biến so sánh xem c số dương dẫn đến sai lầm Trong số đó, có 11 HS thử c với giá trị cụ thể, chẳng hạn: HSa) c = 1: 3c > c c = - 1: 3c < c Ta có > ⇒ 3c > c (Nhân vế với c) Mặc dù, HS thử c với giá trị cụ thể cho kết so sánh khác Tuy nhiên, kết luận cuối 3c > c Như chúng tơi phân tích chương 1, HS thường xuyên áp dụng tính chất mối liên hệ thứ tự với phép cộng phép nhân số cụ thể nên HS cho c số dương Từ đó, gây khó khăn cho HS c đóng vai trị biến HS áp dụng tính chất a < b ⇒ a.c < b.c ngồi phạm vi hợp thức Như tồn quy tắc R2 Bảng 2.3 Thống kê câu trả lời 2b học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1b: Chiến lược “không chia trường hợp biến” 55 64,71% S2b: Chiến lược “chia trường hợp biến” 15 16,65% Chiến lược khác 15 16,65% Tổng cộng 85 100% 62 Có 64,71% HS khơng chia trường hợp biến so sánh xem - c số dương dẫn đến sai lầm HS áp dụng tính chất a < b ⇒ a.(-c) > b.(-c) ngồi phạm vi hợp thức Như có tồn quy tắc R3 Bài Chúng làm thực nghiệm 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng Bảng 4.1 Thống kê câu trả lời học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “bình phương” 27 32,93% S2: Chiến lược “trừ vế theo vế” 30 36,59% S3: Chiến lược “dùng đẳng thức” 13 15,85% S4: Chiến lược “đánh giá trực tiếp” 2,44% Chiến lược khác 10 12,20% Tổng cộng 82 100% Trong này, bất đẳng thức có chứa bậc hai, việc bình phương vế dùng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) dễ dàng quen thuộc HS Tuy nhiên, chiến lược S2 lại chiếm đến 36,59% HS trừ vế theo vế hai bất đẳng thức chiều Từ chúng tơi khẳng định tồn quy tắc hành động R4 Trong chiến lược “bình phương” : có 17/27 HS bình phương vế bất đẳng thức âm mà không đổi chiều bất đẳng thức, chẳng hạn: HSb) x−x≥ ⇔ ( x−x y−y ) ≥( y−y ) ⇔ (!) Như phân tích chương 1, điều kiện hai vế khơng âm bình phương hai vế bất đẳng thức SGK nêu rõ ràng, tập thuộc kiểu nhiệm vụ T CM , T SS SGK cho sẵn điều kiện nên nhiệm vụ HS bình phương Do đó, HS mắc phải sai lầm Như vậy, tồn quy tắc hành động R3 63 Bài Chúng làm thực nghiệm 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng Bảng 4.1 Thống kê câu trả lời học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “biến đổi tương đương” 15 18,07% S2: Chiến lược “chia vế theo vế” 63 75,9% Chiến lược khác 6,02% Tổng cộng 83 100% Đây toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản Bất đẳng thức gồm có biến, số mũ x bất đẳng thức thấp, biểu thức mẫu vế trái không âm Với đặc trưng vậy, việc quy đồng biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức dễ dàng HS, chiến lược S1 tỏ tối ưu Tuy nhiên, Chiến lược S2 chiếm đến 75,9% Ở đây, HS chia vế theo vế hai bất đẳng thức chiều Như vậy, tồn quy tắc hành động R5 64 KẾT LUẬN Qua phân tích thể chế với đối tượng bất đẳng thức lớp tiểu học, trung học sở lớp 10 thu kết sau: - Về định nghĩa: Từ lớp đến lớp 7, bất đẳng thức chưa định nghĩa gọi tên mà thể ngầm ẩn qua quan hệ thứ tự hai số Đến lớp 8, bất đẳng thức định nghĩa dựa vào quan hệ thứ tự hai số thực Đặc biệt lớp 10, bất đẳng thức định nghĩa theo ngôn ngữ mệnh đề - Về tính chất: Từ lớp đến lớp 7, tính chất bất đẳng thức chưa đưa vào cách tường minh mà ngầm ẩn thông qua kĩ thuật so sánh hai biểu thức số Đến lớp 8, SGK đưa vào tính chất mối liên hệ thứ tự với phép cộng phép nhân Sang lớp 9, SGK giới thiệu tính chất mối liên hệ thứ tự bậc hai Đặc biệt lớp 10 ôn tập bổ sung tính chất bất đẳng thức, phát biểu bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, cho ba số không âm Đối với kiểu nhiệm vụ “so sánh” “chứng minh bất đẳng thức” nghiên cứu gắn kết câu trả lời sai học sinh lớp học sinh lớp 10 với quy tắc hành động : R2: a < b ⇒ a.c < b.c a < b ⇒ a.(-c) > b.(-c) R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b c < d ⇒ a – c < b – d R5:0< a < b 0