BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Long MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên, xin chân thành cảm ơn đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy hướng dẫn tận tình giúp hoàn thiện trình thực thi hoàn thành luận văn Tôi chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán Tin thuộc trường Đại Học Sư Phạm giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình đào tạo trường Tôi xin gởi lời cảm ơn đến bạn khóa Và cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình Do trình độ hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi sai sót, kính mong thông cảm góp ý quý thầy cô TP.HCM, Tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Long MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 17 2.1 ĐỊNH LÝ GOLDIE: 17 2.2 MORITA CONTEXT: 29 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC End ( M ) Vành tự đồng cấu nhóm cộng M EndM R Vành tự đồng cấu R-module phải M Hom ( M , N ) Nhóm đồng cấu module phải từ M đến N J ( R) Radical vành R Z ( R) Tâm vành R RS Vành thương phải vành R với tập nhân S l ( R),l (S ) Linh hóa tử trái, phải tập S Or ( I ) , Ol ( I ) Thứ tự phải thứ tự trái R-ideal phân thức phải u dim M chiều module M MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong lĩnh vực lý thuyết vành không giao hoán, ta biết việc xây dựng vành thương vành không giao hoán việc xây dựng trường thương miền nguyên việc xây dựng nên vành thương theo nghĩa Ore Goldie Việc xây dựng vành thương theo nghĩa Ore Goldie thiết phải có điều kiện mà ta gọi điều kiện Ore Goldie Ta muốn biết vành có chung tính chất Goldie Trong luận văn này, muốn đưa vào định nghĩa vành Morita Context tương đương Morita vành.Mục đích luận văn muốn giải số vành tương đương Morita có tính chất chung vành Đặc biệt tính chất Goldie vành giữ nguyên tương đương Morita Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương Chương 1: Những vấn đề lý thuyết vành không giao hoán Trong chương luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết vành không giao hoán có liên quan đặc biệt chương sau Luận văn phát biểu định lý,bổ đề, hệ không sâu vào chứng minh Chương 2: Chúng đưa định nghĩa vành Morita Context, dẫn mối quan hệ Morita Context lớp vành Noether.Tiếp theo đưa vào khái niệm Morita tương đương từ đưa tính chất bất biến Morita, đặc biệt tính chất Goldie nửa nguyên tố tính chất bất biến Morita CHƯƠNG I NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1 Định nghĩa nhóm: Cho tập hợp R khác rỗng R gọi nhóm R nửa nhóm đồng thời thỏa mãn điều kiện: i) ∃e ∈ R : ∀x ∈ R e.x=x;x.e=x ii) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x y= y.x= e e gọi phần tử đơn vị 1.2 Định nghĩa vành: Cho tập hợp R ≠ ∅ , R ta trang bị hai phép toán ký hiệu “+” “.” Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hoán ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.3 Định nghĩa vành con: Một phận A ≠ ∅ vành R với hai phép toán vành cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R 1.4 Định nghĩa ideal vành : Cho R vành, vành A R gọi ideal trái(phải) vành R thỏa điều kiện ∈ A ( ar ∈ A) , ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi ideal vành R A vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.4.1 Định nghĩa: Ideal A R gọi ideal tối tiểu A ≠ {0} , thỏa: ∀B ideal R, B ⊂ A, A ≠ B B = 1.4.2 Định nghĩa: Ideal A R gọi ideal tối đại A ≠ R , thỏa: ∀B ideal R, A ⊂ B, A ≠ B B = R 1.5 Định nghĩa: Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch ( phép nhân ) R gọi thể (hay vành chia) 1.6 Định nghĩa: Một thể giao hoán gọi trường 1.7 Định nghĩa: Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben.M gọi R-module phải tồn ánh xạ f : M × R → M , ( m, r )  mr thỏa: i) m ( a + b ) = ma + mb ii) ( m + n ) a =ma + na iii) ( ma ) b = m ( ab ) ∀m, n ∈ M ; a, b ∈ R Nếu R có chứa phần tử đơn vị m1 = m, ∀m ∈ M ta gọi M Rmodule Unitary r = M gọi R-module trung thành r ∈ R : M r = Điều có nghĩa r ≠ M r ≠ 1.7.1 Định nghĩa: • Giả sử: M R-module, đặt End ( M ) tập tự đồng cấu nhóm cộng M End ( M ) vành với hai phép toán + định nghĩa sau: ( g1 + g ) m = g1 g ) m (= g1 ( m ) + g ( m ) g1 ( g ( m ) ) , ∀m ∈ M , g1 , g ∈ End ( M ) • Khi M R-module ∀r ∈ R ,ánh xạ: TR : M → M m  mr , ∀m ∈ M tự đồng cấu nhóm M TR ∈ End ( M ), ∀r ∈ R Ánh xạ f ( r ) = TR xác định đồng cấu vành từ R vào End ( M ) Định nghĩa tương tự cho lớp ánh xạ bên trái LR ( m ) = rm 1.7.2 Định nghĩa : Cho M R-module, A(M) tập hợp phần tử R linh hóa toàn M A( M ) = 0} {r ∈ R M r = Bổ đề 1.7.1 A( M ) = 0} ideal hai phía R M R {r ∈ R M r = module trung thành A( M ) - M R- module trung thành ⇔ A ( M ) = 1.7.3 Định nghĩa module bất khả quy: M gọi R-module bất khả quy MR ≠ M module thực nào, tức M có module tầm thường M 1.7.4 Định nghĩa: Cho M R-module, ta gọi tâm M R tập hợp: C (M ) = Tr ρ } {ρ ∈ E ( M ) : ρ0Tr = Với Tr : M → M m  mTr = mr Định lý 1.7.2 (bổ đề Schur): Nếu M R-module bất khả quy C(M) thể ( hay vành chia) Chứng minh: Hiển nhiên C(M) vành E(M) Do C(M) vành Ta cần chứng minh ∀ϕ ∈ C ( M ) ϕ ≠ phần tử khả nghịch C(M) thật vậy, ϕ ≠ nên M ϕ ≠ M ϕ module M Theo giả thiết M R-module bất khả quy nên ta có: M ϕ = M suy ϕ toàn cấu Hơn ϕ đơn cấu, Kerϕ = thật vậy, giả sử Kerϕ ≠ M R-module bất khả quy nên Kerϕ = M ϕ = (mâu thuẫn) Tóm lại, ta có ϕ đẳng cấu Suy tồn đẳng cấu ngược ϕ −1 ∈ E ( M ) Khi ta có: 10 ϕ ∈ C ( M ) ⇔ ϕTr = Trϕ , r ∈ R ⇒ ϕ −1ϕT = ϕ −1Trϕ , r ∈ R ⇒ = Tr ϕ −1Trϕ , r ∈ R ⇒ Trϕ −1 = ϕ −1Tr , r ∈ R ⇒ ϕ −1 ∈ C ( M ) Bổ đề 1.7.3 Nếu M R-module bất khả quy M  R ρ với ρ ideal phải,tối đại R Hơn ∃a ∈ R : x − ax ∈ ρ , ∀x ∈ R , ρ gọi ideal phải quy Ngược lại, ρ ideal phải, tối đại quy Rmodule thương R ρ R-module bất khả quy Chứng minh: Giả sử : M R-module bất khả quy, MR ≠ Đặt: S =∈ 0} {m M mR = Dễ dàng kiểm tra S module M Nếu S ≠ ( ) S = M ( M module bất khả quy), Suy MR = ( ) ( mâu thuẫn) Do đó: S=(0) ,nghĩa ∀m ∈ M m ≠ mR ≠ Mặt khác: mR module M M module bất khả quy Do đó, m ∈ M m ≠ mR = M Lấy m ∈ M m ≠ ,xét ánh xạ: φ : R → M ; r  mr Dễ dàng kiểm tra, φ đồng cấu Hơn nữa, mR = M nên φ toàn cấu Theo định lý Noether, ta có đẳng cấu R kerφ ≅ M 32 Chứng minh: (i)Giả sử M R xạ ảnh M ⊕ K  R I với tập số I module KR Cho {ei } sở tự R I ,và e=i mi + ki , với mi ∈ M , ki ∈ K Xét g i ánh xạ tọa độ R I → R tương ứng với ei thu hẹp đến M Vậy {mi } , {g i } thỏa đòi hỏi ∑m g x = x i i Ngược lại, toàn cấu R I → R chuyển ei thành mi chẻ đồng cấu x  ∑ ei gi x Vậy M R xạ ảnh (ii)Nếu M R xạ ảnh hữu hạn sinh, lấy I hữu hạn {1, 2, , n} n ∑m g = i =1 i i ∈ MM * MM * = S Ngược lại, MM * = S= ,thì1 n ∑ m g ∈ S i =1 i i M = ∑ mi R Hệ 2.2.4.2 Cho R thứ tự phải vành thương Q cho M R-ideal phải phân thức Nếu M R xạ ảnh M R hữu hạn sinh Chứng minh: Do R thứ tự phải vành thương Q, ta đồng M với tập {q ∈ Q / qM ⊆ R} Bây giớ M chứa phần tử nghịch đảo x Áp dụng bổ đề 2.2.4.1 i) chứng tỏ g i ≠ với hữu hạn i n hay cho i=1,2, ,n suy M = ∑ mi R i =1 33 2.2.5 Định nghĩa: module M R gọi generator MM * = R  Theo bổ đề 2.2.4.1 generator đối ngẫu với xạ ảnh hữu hạn sinh Sự đối ngẫu làm rõ kết sau Bổ đề 2.2.5.1 i) M R xạ ảnh hữu hạn sinh M đẳng cấu với hạng tử R n với n ii) M R generator R đẳng cấu với hạng tử M n với n Chứng minh: i) Hiển nhiên từ n ii) Nếu M R generator = ∑ α i xi với α i ∈ M *, xi ∈ M i =1 Ánh xạ M n  R, cho ( m1 , m2 , , mn )  α i mi toàn cấu ánh xạ chẻ R R xạ ảnh Dễ dàng thấy nghịch đảo cho chiều ngược lại 2.2.6 Định nghĩa: Nếu M R module xạ ảnh generator, gọi progenerator  Hệ kết sau tính chất Morita Context đặc trưng progenerator Nó chứng tỏ có tính đối xứng hoàn toàn R S, M M* 34 Mệnh đề 2.2.6.1 R V  Giả sử rằng:   vành Morita Context VW=R, thì: W S  i) VS , S W xạ ảnh hữu hạn sinh ii) R iii) V  ( S W ) *, W  ( VS ) * iv) R  End ( VS ) , R  End ( S W ) v) µ:V ⊗ W → VW = R đẳng cấu R-song module V,WR generator Chứng minh: Tính đối xứng chứng tỏ đủ để chứng minh nửa đầu (i) đến (iv) n Vì VW=R nên có vi ∈ V , w i ∈ W cho = ∑ vi w i i =1 i)Xét S-đồng cấu sau: α : V → S n ; v  ( w1v, , w n v ) β : S n → V ; ( s1 , ,s n )  ∑ vi si Khi = βα ( v ) = vwv ∑ i i v nên βα = 1V Vậy VS xạ ảnh hữu hạn sinh ii)Xét R-đồng cấu V n → R cho ( v'1 , , v'n )  ∑ v 'i w i toàn ánh Vây RV generator (iii)Xét ( R,S)–đồng cấu song module sau: δ : V → ( S W ) * Với v ∈ V tác động phép nhân bên phải 35 n  n  = v w v vi ( w i v ) suy δ đơn xạ Vì v = ∑ i i  ∑ i =  i 1= * f ( w ) f= Và f ∈ ( S W )= ( ∑ wvi w i ) wv f ( w ) ∑= i i wv Với v = ∑ vi f ( w i ) δ toàn xạ Vậy V  ( S W ) * (iv)tương tự, với r ∈ R tác động VS phép nhân trái ,chứng tỏ R  End S W (v) giả sử: µ ( ∑ ( v' ⊗ w ' )) = j j ∑ ( v' j j ⊗ w '= j) j ∑ ( v' i, j j ⊗ w ' j ) vi w= i ∑ ( v' w ' i, j j j vi ⊗ w i ) w ) µ ( ∑ v' ⊗ w ' ) ( ∑ v ⊗ = w ) ( ∑ v' w ' ) ( ∑ v ⊗= = j j j i i i j j j i i i Khi µ đơn cấu µ đẳng cấu Hệ 2.2.6.2 R V  Giả sử:   vành Morita Context VW=R,WV=S Khi đó: W S  i) WR , S W,VS , RV progenerator ii) V  ( WR ) *  ( S W ) * W  ( RV ) *  ( VS ) * iii) S  End ( WR )  End ( RV ) R  End ( S W )  End ( VS ) Giả sử: M R progenerator với S  End ( M R ) thì: M progenerator với R  End S M i) S ii) M ⊗R M *  S , M * ⊗ S M  S 36 2.2.7 Định nghĩa: Hai vành R,S tương đương Morita có progenerator WR M cho S  EndWR , ta viết R  S Từ định nghĩa ta suy ra: • Hai vành R,S tương đương Morita có phạm trù tương đương phạm trù module phải chúng F : mod R → mod S Thật vậy, cho F F ( R ) S progenerator với F ( R ) S  R • Hai vành R,S tương đương Morita cho M R-S song module tồn N S-R song module thỏa mãn M ⊗ S N ≅ R N ⊗ R M ≅ S Quan hệ tương đương Morita xác định quan hệ tương đương vành Ví dụ: Cho W R module phải Đặt V = Hom ( W, R ) S = End R W Khi (R,V.W,S) MORITA CONTEXT với ánh xạ ϕ : V ⊗S W → R cho ϕ ( f ⊗ w) = f ( w ) ,và ψ : W ⊗R V → S cho ψ ( w ⊗ f )( w ') = wf ( w') M Đặc biệt, WR progenerator R  S Bổ đề 2.2.7.1 Nếu M R xạ ảnh hữu hạn sinh, có số nguyên n phần tử lũy đẳng e ∈ M n ( R ) Sao cho End ( M )  eM n ( R ) e Chứng minh: Vì M R xạ ảnh nên có module K R cho M ⊕ K  R n với n 37 ta đồng EndR n với M n ( R ) Cho e ∈ M n ( R ) với phép chiếu tương ứng R n → M → R n e = e End ( M )  eM n ( R ) e Định lý 2.2.7.2 Hai vành R,S tương đương Morita tồn số nguyên n phần tử lũy M n ( R ) eM n ( R ) = M n ( R ) đẳng e ∈ M n ( R ) cho S  eM n ( R ) e Chứng minh: Ta đồng R n với M n ( R ) e11 M Vì R  S S M R progenerator thích hợp ký hiệu bổ đề M đồng với eM n ( R ) e11 , R với e11M n ( R ) e11 M * với e11M n ( R ) e Khi R = M * M e11M n ( R ) e11 = ( e11M n ( R ) e ) ( eM n ( R ) e11 ) Từ suy M n ( R ) eM n ( R ) ideal M n ( R ) chứa e11 M n ( R ) eM n ( R ) = M n ( R ) Mệnh đề 2.2.7.3 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R i) Hàm tử N R  ( N ⊗ R M *) S cho phạm trù tương đương Rmodule phải End ( N R )  End ( ( N ⊗ M *) S ) ii) Hàm tử R NR  S ( M ⊗R N ⊗R M *)S cho phạm trù tương đương R-song module S-song module End ( R N R )  End ( S ( M ⊗ N ⊗ M *) S ) 38 Chứng minh: i) Hàm tử cho nghịch đảo hàm tử PS  ( P ⊗S M ) R ii) Chứng minh tương tự • Hàm tử cho suy phạm trù tương đương, nghĩa module N R ( N ⊗ R M *) S chia sẻ số tính chất • Các tính chất module giữ tương đương Morita tính chất bất biến Morita 2.2.8 Bất biến Morita Một tính chất P lớp vành gọi bất biến Morita vành R có tính chất P vành tương đương Morita với có tính chất P Bổ đề 2.2.8.1 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất Artin module bất biến Morita Chứng minh: Thật vậy, N R-module Artin ,xét dãy giảm module dừng N1 ⊃ N ⊃ ⊃ N n Khi đó: N1 ⊗ M * ⊃ N ⊗ M * ⊃ ⊃ N n ⊗ M * dãy giảm module dừng Vậy ( N ⊗ R M *)S module Artin Do tính đối xứng nên ta có điều cần chứng minh 39 Bổ đề 2.2.8.2 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất Noether module bất biến Morita Chứng minh: Thật vậy, N R-module Artin ,xét dãy tăng module dừng N1 ⊂ N ⊂ ⊂ N n Khi đó: N1 ⊗ M * ⊂ N ⊗ M * ⊂ ⊂ N n ⊗ M * dãy tăng module dừng Vậy ( N ⊗ R M *)S module Noether Do tính đối xứng nên ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.8.3 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất hữu hạn sinh module bất biến Morita Chứng minh: Thật vậy, N module hữu hạn sinh thấy ( N ⊗ M *) S module hữu hạn sinh Do tính đối xứng ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.8.4 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất xạ ảnh module bất biến Morita Chứng minh: Thật vậy, Giả sử N R xạ ảnh N ⊕ K  R I với tập số I module K R 40 Khi đó: ( N ⊗ M *) S ⊕ ( K ⊗ M *) S  ( R I ⊗ M *) S ( N ⊗ M *)S module xạ ảnh Do tính đối xứng ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.2.8.5 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất generator module bất biến Morita Bổ đề 2.2.8.6 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất progenerator module bất biến Morita Hiển nhiên từ bổ đề Bổ đề 2.2.8.7 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất chiều xạ ảnh module bất biến Morita Thật vậy, Giả sử → Pk → Pk −1 → → P0 → N → phép giải xạ ảnh N R → Pk ⊗ M * → Pk −1 ⊗ M * → → P0 ⊗ M * → N ⊗ M * → phép giải xạ ảnh N ⊗ M *S Điều chi pdN ⊗ M * ≤ pdN tính đối xứng hoàn thành chứng minh Định lý 2.2.8.8 Cho R,S vành Morita tương đương với progenerator S M R i) Ánh xạ: A  MAM * cho đẳng cấu nửa nhóm ideal R S M ii) Nếu A  R R / A  S / MAM * S / MAM * iii) Z ( R )  Z ( S ) 41 Chứng minh: (i) Thật vậy, A ideal R áp dụng đề 2.2.7.3 (ii)Cho V = M * / AM * W = M / MA Ta có = VW M * M / AM = * MA R= / ASA R / A = WV MM = * / MAAM * S / MAM * R/ A V    W S / MAM *  Do đó: áp dụng vào Morita Context  M Suy R / A  S / MAM * (iii)Nếu θ : R → R tự đồng cấu R-song module θ (= 1) r θ= ( r ) rθ (1) θ (1) ∈ Z ( R ) Từ suy Z ( R )  End ( R RR ) Z ( R )  Z ( S ) Mệnh đề 2.2.9.1 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất artin vành bất biến Morita Chứng minh tương tự module Mệnh đề 2.9.2 Cho R,S vành tương đương Morita với progenerator S M R Tính chất Noether vành bất biến Morita Chứng minh tương tự module Mệnh đề 2.9.3 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất nguyên tố vành bất biến Morita 42 Mệnh đề 2.2.9.4 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất nửa nguyên tố vành bất biến Morita Mệnh đề 2.2.9.5 Cho R,S vành tương đương Morita,với progenerator S M R Tính chất vành Goldie phải nửa nguyên tố bất biến Morita Để chứng minh mệnh đề 2.2.9.5.,Trước hết, ta cần đưa vào vài định nghĩa chứng minh số định lý xét R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Q từ sau 2.2.10 Định nghĩa: M S Trên vành S gọi xoắn cho ≠ m ∈ M tồn α ∈ M * = Hom ( M , S ) mà ≠ α ( m ) ∈ M Chú ý: Khi S=R M R gọi xoắn tự Định lý 2.2.10.1 Cho M R module xoắn, R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Q đó: i) M R xoắn tự u dim ( = M ) u dim ( M ⊗ Q = u dim ( M ⊗ QQ ) R) ii) Nếu M R hữu hạn sinh u dim ( M ) < ∞ iii) Nếu u dim ( M ) < ∞ M↪ R n với n Hệ quả2.2.10.2 Một module M R nhúng vào R n với n M xoắn u dim ( M ) < ∞ 43 Định lý 2.2.10.3 Cho M R xoắn có chiều hữu hạn module S = EndM i) Nếu N  M u dim ( N R ) = u dim ( NM *)S ii) Nếu I  S S u dim ( I S ) = u dim IM R iii) S ↪ End ( M ⊗ Q ) Chứng minh: Nếu I ≠ IM ≠ I ⊆ EndM Tương tự: NM * = ( M * N ) = Vì R nửa nguyên tố nên M * N = Tuy nhiên, M xoắn N=0 Suy ra: N I ⊕ N ⊕ ⊕ N k tổng trực tiếp module khác không N N I M * ⊕ N M * ⊕ ⊕ N k M * tổng trực tiếp ideal phải khác không S Vậy i) ii) chứng minh iii) Nếu α ∈ S α ⊗ 1∈ End ( M ⊗ Q ) mở rộng α Từ suy ra: M↪ ( M ⊗ Q ) S↪End(M⊗Q) cho α  α ⊗ Định lý 2.2.10.4 Nếu M R module xoắn có chiều hữu hạn S = EndM S vành Goldie phải nửa nguyên tố Chứng minh: Giả sử I  S I = Khi M * IMM * IM ⊆ M * I M = Suy ra: M * IM ideal lũy linh R Do đó: M * IM = nên IM=0 (vì M module xoắn) 44 Tuy nhiên, I ⊆ S nên I=0 Vậy S vành nửa nguyên tố Theo 2.2.10.3 i) ii) M xoắn có chiều hữu hạn nên S có chiều hữu hạn chiều M R Cũng theo 2.2.10.3 iii), S ↪ End ( M ⊗ Q ) nên ( M ⊗ Q )Q hữu hạn sinh nên End ( M ⊗ Q )Q vành Artin nửa đơn Do đó, vành S có dãy tăng linh hóa tử phải Vậy S vành Goldie phải nửa nguyên tố Chứng minh mệnh đề 2.2.9.5 Theo hệ 2.2.10.2, M progenerator vành Goldie phải nửa nguyên tố,là xoắn có chiều hữu hạn theo định lý 2.2.10.4 EndM vành Goldie phải nửa nguyên tố 45 KẾT LUẬN Luận văn đưa vào định nghĩa vành Morita Context Luận văn nêu điều kiện tương đương Morita vành Từ có khái niệm tính chất bất biến Morita vành ,đặc biệt tính chất Goldie phải nửa nguyên tố tính chất bất biến Morita 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.C Mc Connell and J.C.Robson(2001) Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [2] Michael Artin(1999) NONCOMMUTATIVE RINGS, Class note, Math 251, Berkeley [3].I.N HERSTEIN (1968) NONCOMMUTATIVE RINGS, The Mathematical Association of Amerian [4.] Jacobson(1956) STRUCTURE OF Mathematical,190 Hope Street, Society,Providence, R.I RINGS,American [...]... Morita của 2 vành và sự tương đương Morita của 2 vành thì có cùng một tính chất được giữ nguyên trên 2 vành tương đương Morita mà ta gọi là tính chất bất biến Morita Từ đó ta xét mối liên hệ của Morita Context với các vành không giao hoán Để chuẩn bị cho phần này, chúng tôi đưa vào một số định nghĩa và một vài tính chất có được mà không đi sâu vào chứng minh 2.1 ĐỊNH LÝ GOLDIE: 2.1.1 Định nghĩa: Một phần... của một ideal phải khác (0) của R phải bằng (0) b) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái khác (0) của R phải bằng (0) c) Nếu A,B là hai ideal của R và AB=(0) thì ta suy ra A=(0) hoặc B=(0) 2 Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố 17 CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về vành Morita Context và sự tương đương Morita. .. R-module bất khả quy và trung thành Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành J-nửa đơn 1.8.9 Định nghĩa vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và trong R không có ideal thực sự ngoài 0 và R 1.8.10 Định nghĩa vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R thì từ đẳng thức aRb = ( 0 ) , ta suy ra a=0 hay b=0 Nhận xét: 1 Vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các... là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau (Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái ρi của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau) Nhận xét: • Trường, thể là vành Artin • Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin • Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải(trái) là vành Artin • Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường... hay thể là vành Artin • Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin 15 1.8.7 Định nghĩa vành Noether: Một vành được gọi là vành Noether phải nếu bất kỳ tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử tối đại Hoặc: Vành R được gọi là vành Noether phải nếu mọi dãy tăng các ideal phải ρi của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau Định lý 1.8.7.1 Nếu R là vành Artin... ideal hai phía A của vành J-nửa đơn R đều là vành J-nửa đơn Định lý 1.8.5.4 J ( M n ( R ) ) = M n ( J ( R ) ) với M n ( R ) là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành không giao hoán R nào đó 1.8.6 Định nghĩa vành Artin Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu Hoặc: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải... Vì e và f = 1 − e là cặp lũy đẳng trực giao nên l = ( I ) l= ( e ) fQ và = eQ r= ( f ) r ( fQ ) Do đó bất kỳ ideal phải của Q đều là linh hóa tử phải Mà Q là vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.1.8.5 Q thỏa mãn điều kiện dãy giảm trên các hoán tử phải nên Q là vành Artin phải Vành Artin phải và nửa nguyên tố là vành nửa đơn 2.1.9 Định nghĩa: Cho R1 , R2 là 2 thứ tự phải của cùng một vành. .. S  trận 2x2, dùng θ và ψ trong định nghĩa phép nhân Nếu θ và ψ thỏa mãn điều kiện kết hợp đòi hỏi để T là 1 vành thì tập hợp ( R, S ,V , W,θ ,ψ ) được gọi là Morita Context, và T là vành Morita Context 2.2.4 Định nghĩa: M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M thỏa một trong các điều kiện sau: v i) Cho N ' → N là toàn cấu của R module phải, và với mọi đồng cấu φ φ' M → N tồn tại duy nhất một đồng cấu M → N '... Chú ý: Vành Noether phải là vành Goldie phải Định lý 2.1.8.1 (định lý Goldie) Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R có vành các thương bên phải Q là vành Artin nửa đơn Chứng minh: Để chứng minh định lý ta cần chứng minh một vài bổ để sau: Bổ đề 2.1.8.2 A là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải Nếu I và J là ideal phải của A, J ⊆ I và l ( I ) ≠ l ( J ) thì có... ta có: Q = ( I1 ⊕ P ) Q =⊕ Tồn tại một phần tử lũy đẳng e ∈ Q sao cho I = eQ Thật vậy, bất kỳ ideal phải nào của Q đều là chính quy Vì thế vành Q là vành Noether phải nên là vành Goldie phải Vì một ideal phải bất kỳ của Q đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng nên Q không có ideal lũy linh.( vì nếu e là một phần tử lũy đẳng khác 0 thì e n = e ≠ 0, ∀n ) Do đó Q là vành nửa nguyên tố 28 Lấy I là ideal ... B=(0) Mọi vành nguyên thủy vành nguyên tố 17 CHƯƠNG KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, trình bày khái niệm vành Morita Context tương đương Morita vành tương... nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.3 Định nghĩa vành con: Một phận A ≠ ∅ vành R với hai phép toán vành cảm sinh A thành vành ta nói A vành. .. LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 17 2.1 ĐỊNH LÝ GOLDIE: 17 2.2 MORITA CONTEXT: