KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THANH HÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình Học Người hướng dẫn khóa luận: Th.s: Nguyễn Văn Vạn HÀ NỘI _2011 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -1- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Hình học tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu trường Đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Nguyễn Văn Vạn_ người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Vũ Thanh Hà SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -2- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận thân tự nghiên cứu, tóm tắt trích dẫn trung thực từ tài liệu khoa học Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Vũ Thanh Hà SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -3- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………….………………….……………………………… PHẦN 1: NỘI DUNG Chương Kiến thức chuẩn bị Bài 1: Một số khái niệm 1.1 Đường thẳng định hướng 1.2 Mặt phẳng định hướng 1.3 Góc định hướng tia 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Hệ thức Salơ 1.4 Góc định hướng đường thẳng mặt phẳng: 1.5 Đường phân giác: 10 1.5.1 Tia phân giác: 10 1.5.2 Đường phân giác: 10 Bài 2: phép biến hình 11 2.1 Khái niệm phép biến hình: 11 2.1.1 Định nghĩa: 11 2.1.2 Một số khái niệm liên quan: 11 2.2 Tích phép biến hình: 11 Bài 3: Phép quay quanh điểm mặt phẳng 12 3.1 Định nghĩa: 12 3.2 Tính chất: 12 3.3 Biểu thức tọa độ: 13 3.4 Tích phép quay: 13 3.4.1 Định nghĩa: 13 3.4.2 Cách xác định: 13 3.5 Dạng tắc phép dời hình mặt phẳng: 14 3.5.1 Định lý 1: 14 3.5.2 Định lý 2: 14 3.5.3 Định lý 3: 14 3.5.4 Định lý 4: 15 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG 16 Bài toán chứng minh 16 Giải toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay 16 Bài tập: 17 3.1 Dạng 1: Xác định yếu tố phép biến hình 17 3.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức: 18 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -4- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 3.3 Dạng : chứng minh đồng quy, thẳng hàng 28 3.4 Dạng 4: chứng minh hệ thức lượng 34 3.5 Dạng 5: Chứng minh qua điểm cố định 35 PHẦN 2: KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………46 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -5- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn khó học sinh Bởi hình học có tính chặt chẽ tính logic trừu tượng cao môn học khác toán học Trong chương trình toán học bậc THPT có đưa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung phép quay nói riêng thể tính ưu việt rõ rệt giải toán Là giáo viên phải tùy vào trình độ họ sinh mà đưa toán phù hợp, mà giáo viên cần biết cách xây dựng toán Sử dụng phép biến hình nói chung phép quay nói riêng ta xây dựng sáng tạo toán Chính khóa luận em xin trình bày phần nhỏ ứng dụng phép quay: ‘‘ứng dụng phép quay toán chứng minh mặt phẳng” Nhiệm vụ, nghiên cứu - Xây dựng đưa sở lý thuyết phép quay - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng phép quay để giải - Xây dựng, sáng tạo toán cách sử dụng phép quay Phƣơng pháp nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lý thuyết phép quay để đưa hệ thống tập phù hợp SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -6- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN PHẦN 1: NỘI DUNG Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Bài 1: Một số khái niệm 1.1 Đƣờng thẳng định hƣớng e o r Cho đường thẳng a, điểm O vectơ đơn vị e Khi a có r chiều: chiều chiều với e gọi chiều dương, ngược lại gọi chiều âm Khi ta nói đường thẳng a định hướng gọi trục 1.2 Mặt phẳng định hƣớng o Trong mặt phẳng cho điểm O tùy ý, xung quanh O có chiều: chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều kim đồng hồ chiều âm Khi ta nói định hướng mặt phẳng SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -7- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 1.3 Góc định hƣớng tia 1.3.1 Định nghĩa o y Trong mặt phẳng định hướng cho tia chung gốc O: Ox, Oy Góc định hướng tia Ox Oy hình gồm tia Ox Oy mội hai tập hợp tia phân hoạch mặt phẳng ra, đồng thời tia Ox Oy ta quy ước tia tia gốc ( tia đầu ), tia tia cuối Kí hiệu (Ox, Oy) hay (Ox,Oy) Dễ thấy với tia Ox Oy có góc định hướng tạo tia Nhận xét: Giá trị góc định hướng nhất, ta quy ước giá trị âm hay dương tùy theo chiều quay chiều âm hay chiều dương mặt phẳng Ta gọi giá trị đầu góc định hướng, giá trị thu quay tia đầu tới trùng với tia cuối theo góc hình học nhỏ Nếu khác là: giá trị góc định hướng tia Ox, Oy giá trị ' k (k Z) 1.3.2 Hệ thức Salơ Trong mặt phẳng định hướng, cho tia chung gốc: Ox, Oy, Oz Hệ thức Salơ: (Ox, Oy) (Oy, Oz) (Ox, Oz) Mở rộng cho n tia: SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -8- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Trong mặt phẳng định hướng, chọn n tia chung gốc O: OA1 , OA2 , , OAn Hệ thức Salơ: (OA1 , OA2 ) (OA2 , OA3 ) (OAn , OAn ) (OA1 , OAn ) 1.4 Góc định hƣớng đƣờng thẳng mặt phẳng: a b2 b o a b1 a2 Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a b Nếu a b đường thẳng bị O chia làm tia ta định nghĩa: Góc định hướng đường thẳng a b góc định hướng tia bi (i=1,2), kí hiệu (a,b) Nếu a b a b (a,b)= k (k Z) Nhận xét: Nếu b giá trị giá trị góc định hướng đường thẳng a ' có dạng: ' k (k Z) Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a1 , a2 , , an cắt O Khi ta có: (a1 , a2 ) (a2 , a3 ) (an , an ) (a1 , an ) k SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN -9- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 1.5 Đƣờng phân giác: 1.5.1 Tia phân giác: Cho tia Ox, Oy mặt phẳng (P) định hướng Tia Oz thuộc mặt phẳng (P) gọi tia phân giác góc định hướng tia Ox, Oy nếu: A (Ox, Oz ) (Oz, Oy) k (Ox, Oz ) (Oz, Oy ) 2(Oz, Oy ) k (Ox, Oy) 2(Oz, Oy) k (Oz , Oy ) (Ox, Oy) k /2 Nhận xét: Oz1 , Oz2 thẳng hàng 1.5.2 Đường phân giác: Trong mặt phẳng (P) định hướng, cho đường thẳng a, b cắt O Đường thẳng t qua O mặt phẳng (P) gọi đường phân giác góc định hướng đường thẳng a b cắt O A nếu: (a, t ) (t , b) k (a, t ) (t , b) 2(t , b) k (a, b) 2(t , b) k k (t , b) ( a, b) 2 /2 t2 Nhận xét: Ot1 Ot2 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN t1 t - 10 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN a, chứng minh AM A1A2 , MA= A1A Lấy B2 đối xứng với B qua A 90 Xét QA : B2 a A1 C a A2 A1 A2 Xét B2C A1 A2 B2C (1) BCB2 có AM đường trung bình nên AM // CB2 AM = Từ (1) (2) suy AM CB2 (2) A1A2 MA= A1A 2 b, chứng minh AH, CB1 , BC2 đồng quy tương tự câu a, ta có AN BC hay AN qua H xét phép quay: QO1 90 : B1 a B Ba A C a C’ Theo tính chất phép quay ta có CB CB1 BC ' nên C’ AN, AC’ = BC, CB1 Xét phép quay: QO 900 AC’, CB = AC’, BC ' (3) : C2 a C Ca A B a B’ Theo tính chất phép quay ta có B’ AN, AB’ = BC, BC2 (4) Từ (3) (4) có B ' C ' gọi điểm P Xét PBC có PH BC, CB1 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN BP, BC2 - 32 - CP CB ' KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN PH, CB1 , BC2 đường thẳng chứa đường cao VPBC PH, CB1 , BC2 đồng quy hay AH, CB1 , BC2 đồng quy c, Tứ giác O1MO2 N hình vuông 90 xét QA : A1 a B C a A2 CA1 BA2 CA1 BA2 (5) Xét tam giác BCA1 , A2 CA1 , CBA2 , A1 BA2 có đường trung bình O1M , O2 N , O2 M , O1 N nên có: O1M / /CA1 , O1M CA1 (6) O2 N / /CA1 , O2 N CA1 O2 M / / BA2 , O2 M BA2 (8) O1 N / / BA2 , O1 N BA2 Từ (5), (6), (7), (8), (9) d, chứng minh AO3 (7) (9) O1MO2 N hình vuông O1O2 , AO3 O1O2 gọi Q, R trung điểm AB, C3C2 tương tự phần c, ta chứng minh O2QO3 R hình vuông dễ có QO2O3 vuông cân Q QAO1 vuông cân Q 90 xét phép quay: Q0 : A a O1 , O3 a O2 AO3 O1O2 , AO3 O1O2 nhận xét: Nếu ta dựng hình vuông vào phía kết SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 33 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 3.4 Dạng 4: chứng minh hệ thức lƣợng Bài toán 1: Cho (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm thuộc AB, BC, CA I, J, K Chứng minh: OA.sin A OB sin B OC sin C A I' I' I K' J' B J C Giải: Ta có: AO IK ( tính chất tiếp tuyến xuất phát từ điểm) Tứ giác AIOK nội tiếp (O) đường kính AO, đường tròn (AKI) Theo định lý hàm số sin có IK = OA.sinA 900 : I I’ J J’ K K’ IK I’K’ IK = I’K’ IK I’K’ Do AO IK nên AO // I’K’ Do K ' I ' sin A.OA (1) I ' J ' sin B.OB (2) J ' K ' sin C.OC (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) I ' J ' J ' K ' K ' I ' nên OA.sin A OB sin B OC sin C (đpcm) Nhận xét: Theo định lý hàm số sin có a.OA b.OB c.OC Điểm O gọi tâm tỉ cự ba (A, B, C) với số (a, b, c) Xét QO SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 34 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 3.5 Dạng 5: Chứng minh qua điểm cố định Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(a;b) cố định (a >0,b >0) Đường thẳng di động quay quanh điểm A cắt trục hoành điểm M cắt trục tung điểm N Đường thẳng qua M song song với đường thẳng y = x cắt Oy M’, đường thẳng qua N song song với đường thẳng y = x cắt Ox N’ Chứng minh M’N’ qua điểm cố định y= x Y N d A(a,b) O N' M X y= -x d' M' Giải: Goi d đường thẳng qua M song song với đường thẳng y = x d Oy = M’, OM = OM’ Gọi d’ đường thẳng qua N song song với đường thẳng y = -x d Ox = N’, ON = ON’ 900 :M M’ N N’ MN M’N’ Xét QO Vì A MN nên gọi A’ = QO Vì A cố định A’ cố định Vậy M’N’ qua A’ cố định 900 SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN (A) A’ - 35 - M’N’ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân A, M chuyển động cạnh đáy BC Qua M dựng đường thẳng song song với AB, AC cắt AC D, AB E chứng minh: a, Đường trung trực DE qua điểm cố định b, Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định A D E O B C M Giải: a, chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định Ta chứng minh có phép quay biến E thành D đường trung trực DE qua tâm quay Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử góc AOB Xét QO : B A A C BA AC Vì AE = AD QO : E D Vậy M chuyển động cạnh đáy BC D ảnh E qua phép quay QO Do trung trực DE qua O cố định ( tam giác ABC cố định) b, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định Theo phần a, có QO : E D EOD = α Kéo dài BA thành tia Ax Vì QO : BA Mà xAC + EAD = 180 EOD + EAD = 180 tứ giác AEOD nội tiếp (ADE) qua điểm cố định A O SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 36 - AC nên xAC = α KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Bài tập đề nghị Bài 1: Cho trục x’Ox y’Oy vuông góc O Gọi C điểm phân giác góc xOy, vòng tròn tâm I di động qua C O cắt Ox’, Oy M, N a, chứng minh OM ON k không đổi b, giả sử vòng tròn tâm I’ qua C O cắt O’x, Oy A, B AM BN Bài 2: Cho hình vuông ABCD, M thuộc BC, N thuộc CD cho góc MAN = 45 Chứng minh CM +CB + MN không phụ thuộc vào vị trí M, N BC, CD Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABMN, BCPQ có tâm K, H Gọi I, R trung điểm AC, MQ Chứng minh KIMR hình vuông Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự tâm hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA dựng phía tứ giác Chứng minh trung điểm đường chéo tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vuông Bài 5: Gọi r độ dài dây cung AB, CD EF điểm chung hình tròn bán kính R Các điểm P, R, S điểm nằm dây cung BC, DE, FA Chứng minh tam giác PSR tam giác Bài 6:Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB CD phía ta dựng tam giác ABM, CDP Trên cạnh lại phía tứ giác ta dựng tam giác BCN ADK Chứng minh MN = PK uuur uuur Bài 7:Cho tam giác ABC có góc định hướng đỉnh A ( AB, AC ) Về phía tam giác ABC người ta dựng tam giác vuông cân ABO, SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 37 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN ACO’ đỉnh O O’ Gọi M trung điểm BC Hãy chứng minh tam giác OMO’ vuông cân M Hƣớng dẫn giải Bài 1: y N O' I C M x' O x y' a, thực phép quay: QO 90 : Ox a Oy Ta có Mà NMC MNC MOC » ) 450 ( góc nội tiếp chắn cung NC 1800 450 MOC MNC NOC 450 (2) Từ (1), (2) suy MCN 900 hay tam giác MCN vuông cân C QC 90 : N a M SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 38 - (1) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 90 Giả sử QC : O ' a O ta tam giác COO’ vuông cân C O’ Oy Do OO’ = OC Ta có OM ON OM ON O ' N ON k (không đổi) OO" OC b, theo hệ thức Salo AM BN AO OM BO ON (OM ON ) (OA OB) ( theo a, ta có OM ON k , OA OB k k k (k OC 2) ) Bài 2: A B 45 M M' N D C a, thực phép quay QA 900 : Ba D M a M’ BM = DM’ M’ thuộc tia đối tia DC AMN = AM’N (c.g.c) SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN MN = M’N = DM’ + DN = BM + DN - 39 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN MN + CM + CN = BM + DN + CM + CN = ( BM + CM ) + ( DN + CN ) = BC + DC = 2BC (đpcm) Bài 3: N A K I M C B R H Q P Theo kết toán phần nhận xét ví dụ ta có: IK = IH IK IH (1) Xét MBQ ta có BMNA, BCPQ hình vuông dựng phía tam giác nên theo kết ta có RK = RH RK Từ (1), (2) suy KIHR hình vuông SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 40 - RH (2) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Bài 4: E B A F I H M N K D C G Gọi I, M, K, N trung điểm BD, HF, AC, EG Vì K trung điểm AC nên áp dụng kết tam giác ACD, ABC ta có: KH = KG, KH KG KE = KF, KE KF 90 Do QK : F a E , H a G QK 90 ( M ) N KM = KN KM KN (1) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh IM = IN IM Từ (1), (2) suy IMKN hình vuông SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 41 - IN (2) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Bài S F A I M E B R P D C Theo giả thiết AB = CD = EF = r OAB, OCD, OEF tam giác sđ AB = sd ED = sđ CD = sđ EF = 600 (1) ( AC , BD) 600 = ( DF, EC) = ( FB, AE) Gọi I, M trung điểm AB, AD Từ (1) ta suy BCDA, DEFC, FABE hình thang cân AC = BD, DF = EC, FB = AE IM // BD IM = IM = IP 1 BD, IP // AC IP = AC 2 ( IM, IP) = ( AC, BD) IMP tam giác 60 Xét QP : I a M Mặt khác: IS // FB IS = MR // AE MR = FB, FB = AE (2) AE SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN (3) - 42 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Từ (2) (3) suy IS = MR (IS, MR) = Q (IS) = MR PS = PR PS = PR (FB, AE) = 60 Q(S) = R (PS, PR) = 60 SPR = 60 tam giác PRS Bài 6: K C M B P A D N Xét phép quay: QB 60 : M a A Na C Theo tính chất phép quay MN = AC (1) Xét phép quay: QD 60 : P a C Ka A Theo tính chất phép quay KP = AC (2) Từ (1), (2) suy MN = KP SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 43 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Bài 7: O' A O M B C uuur uuur Ta có: (OB, OA) 900 uuuur uuuur (O ' A, O ' C) 900 Xét phép quay Q1 (O,900 ) : B a A Q2 (O ',900 ) : A a C Vậy tích phép quay Q2 Q1 phép quay Q biến điểm B thành điểm C có góc quay 900 900 1800 Tâm phép quay Q trung điểm BC Do tâm quay điểm M Mặt khác ta biết tích phép quay Q1 (O, ), Q2 (O ', ') có tâm M uuuur uuuur (OM ,OO') uuuur uuuuur (OO', O ' M ) ' Vậy ta suy tam giác OMO’ vuông cân M OM CO’ ( theo tính chất phép quay ) SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 44 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN PHẦN 2: KẾT LUẬN Phép biến hình vấn đề hay khó Việc áp dụng phép biến hình vào giải toán lại khó Vì cần phải nắm thật khái niệm hiểu rõ chất vấn đề Đưa phép biến hình vào chương trình phổ thông giúp cho học sinh hiểu rõ mối quan hệ hình nhờ vào định nghĩa phép biến hình dựa theo ánh xạ 1_1 Cũng nhờ vậy, học sinh hiểu rõ khái niệm hình theo nghĩa tập hợp khái niệm giao, hợp Đây công cụ hữu hiệu để giải toán hình học phẳng qua góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh Do hạn chế lực thời gian nên khóa luận chắn không tránh khỏi thiếu xót Em mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 45 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993) Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình (1994) Bài tập hình học sơ cấp tập ĐHSP Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) Hình học 11 NXBGD_07 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương(chủ biên) Hình học nâng cao 11 NXBGD_07 Văn Như Cương (chủ biên) Bài tập hình học 11 NXBGD_07 Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng NXBGD_07 Đỗ Thanh Sơn Phép biến hình mặt phẳng SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN NXBGD_06 - 46 - [...]... bài toán chứng minh trong hình học phẳng Trên cơ sở tư tưởng đó, tôi đi vào minh họa việc ứng dụng phép quay vào việc giải các bài toán chứng minh của hình học phẳng SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 15 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Chƣơng 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG 1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh có dạng A B , trong đó A: là giả thiết (các yếu... lớn của góc B: là kết luận, cần khẳng định và ta cần đi từ A suy ra B bằng những suy luận hợp logic trên cơ sở định nghĩa, định lý và từ các giả thiết đã cho 2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay Giải một bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay gồm có 3 bước sau: - Lựa chọn phép quay ( với tâm và góc quay ) thích hợp - Thực hiện phép quay - Rút ra kết luận của bài toán Ứng dụng của phép quay. .. 3: Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc α là một phép quay góc α Định lý 4: Tích của hai phép quay có tâm quay khác nhau là một phép quay với góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là một phép tịnh tiến nếu hai góc quay là đối nhau Trên đây là một số kiến thức liên quan và tư tưởng chung của việc vận dụng phép quay vào giải quyết các bài toán chứng minh trong hình... 2,3) Tích của 1 phép tịnh tiến và 1 phép đối xứng qua siêu phẳng có vectơ tịnh tiến vuông góc với siêu phẳng đối xứng là 1 phép đối xứng qua siêu phẳng Ta chứng minh trong E2 Giả sử Tar T , Sd r trong E2 sao cho a S là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đã cho d Xét d ' Tar (d ) Theo định lý: Tích của 2 phép đối xứng qua siêu phẳng có 2 siêu phẳng đối xứng song song nhau là 1 phép tịnh tiến nên... - Tích của 2 phép quay là 1 phép tịnh tiến hoặc là 1 phép quay 3.3 Biểu thức tọa độ: Cho phép quay tâm O (a, b), góc quay Ta có: x = xcos - ysin +a y = xsin - ycos +b biến M(x, y) thành M’(x’, y’) 3.4 Tích của 2 phép quay: 3.4.1 Định nghĩa: Tích của 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là 1 phép quay bằng tổng 2 góc quay của 2 phép quay đã cho hay đặc biệt là 1 phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã... Q(O; ) sao cho Chú ý: Khi góc quay hoặc thì phép quay Q0 là phép đối xứng tâm O Khi k2 thì phép quay Q0 là phép đồng nhất 3.2 Tính chất: - Phép quay Q0 là phép dời hình k 2 , k Z) có 1 điểm bất động duy nhất và là - Phép quay Q0 ( phép biến đổi 1-1 - Phép quay Q0 biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng Chứng minh: SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 12 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP... Q1 là phép quay tâm O3 , góc quay SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN - 13 - 3 2 1 k2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 3.5 Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng: 3.5.1 Định lý 1: Phép đẳng cự trong En (n 2,3) sẽ được phân tích thành tích không quá (n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng Hệ quả 1: phép phản chiếu trong E 2 có điểm bất động là phép đối xứng trục Hệ quả 2: Trong E2 tích của phép. .. phép quay vào giải bào toán chứng minh là ta phải tìm được phép quay f thích hợp và làm theo các bước trên Nhưng ở đây ta có thể thay cả bài toán hoặc một bộ phận bài toán bằng một bài toán khác dựa trên công cụ phép biến hình Sau đây là một số trường hợp có thể vận dụng: - Dùng trực tiếp định nghĩa và tính chất của phép quay để suy ra kết quả - Có thể chuyển một bộ phận của bài toán (A) sang (A’), nếu... HÀ_K33A SP TOÁN - 11 - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN 3 Bài 3: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng 3.1 Định nghĩa: M' Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho 1 điểm O cố định và 1 góc định hướng Một phép quay tâm O với góc quay là 1 phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành M’ sao cho uuuur uuuuur OM = OM’ và (OM , OM ') Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay Ta... HÀ_K33A SP TOÁN - 14 - Tar KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Ta suy ra T S Tar Sd = Sd ' Sd Sd = S d ' 3.5.4 Định lý 4: Phép phản chiếu trong E 2 (đẳng cự loại II) được biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép đối xứng trượt Dạng chính tắc của tích hai phép đẳng cự trong E 2 Các phép đẳng cự trong E2 : - Đối xứng trục: Đ d - Đối xứng tâm: ĐO - Tịnh tiến: Ta - Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng: ... KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh có dạng A B , A: giả thiết (các yếu tố cho)... Giải toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay Giải toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay gồm có bước sau: - Lựa chọn phép quay ( với tâm góc quay ) thích hợp - Thực phép quay - Rút kết luận toán Ứng. .. BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG 16 Bài toán chứng minh 16 Giải toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay 16 Bài tập: 17 3.1 Dạng 1: Xác định yếu tố phép biến