Khóa luận tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  -VŨ THỊ VUI [ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN  BÀI TOÁN QUỸ TÍCH  BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG  BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2012 SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Bùi Văn Bình với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” toán hay gặp đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào trường chuyên, trường ĐH, CĐ,…một đề tài làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho người học yêu thích môn hình học Không thể phủ nhận ý nghĩa tác dụng toán quỹ tích việc rèn luyện tư toán học nói riêng việc rèn luyện tư linh hoạt nói chung, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Đây phần kiến thức khó học sinh việc tiếp nhận kiến thức phương pháp, khó việc vận dụng kiến thức phương pháp việc giải tập Có nhiều phương pháp để giải toán hình học phương pháp vectơ phương pháp có hiệu Nó cho ta lời giải cách xác tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp phương pháp tổng hợp phương tiện hiệu để giải toán hình học Xuất phát từ say mê giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình em chọ đề tài: “Vectơ mặt phẳng toán” Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức vectơ Chương Phương pháp vectơ để giải toán quỹ tích Chương Sử dụng tích vô hướng giải toán định lượng-định SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học tính Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung ví dụ minh họa Giúp học sinh bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ giải toán, coi công cụ nhằm giải toán cách có hiệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với khuôn khổ, phạm vi khóa luận, tác giả tập trung sâu tìm hiểu phương pháp vectơ để giải toán quỹ tích sử dụng tích vô hướng giải toán định lượng- định tính SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 VECTƠ 1.1.1 Định nghĩa Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Vectơ đoạn thẳng có hướng  Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu AB đọc “vectơ AB ” B A   Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng AA , BB ,… gọi vectơ-không 1.1.2 Hai vectơ phương, hướng Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng   Hai vectơ phương AB CD gọi hướng, chiều   từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu AB  CD SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học   Hai vectơ phương AB RS gọi ngược hướng,   chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S Kí hiệu AB  RS Như vậy, hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng B A R S D C Chú ý : + Ta quy ước vectơ-không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ-không hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm   cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB   Như vậy, vectơ AB , PQ ,… ta có:   AB  AB  BA , PQ  PQ  QP ,… Theo đó, độ dài vectơ-không 1.1.4 Hai vectơ Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học     Nếu hai vectơ AB CD ta viết AB  CD Chú ý: + Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương   kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như: a , b ,…  + Mọi vectơ-không kí hiệu chung  + Khi cho trước vectơ a điểm O , ta tìm điểm A   cho OA  a 1.1.5 Góc hai vectơ    Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O đó, ta vẽ     vectơ OA  a OB  b Khi góc AOB với số đo từ 00 đến 1800   gọi góc hai vectơ a b     Ta kí hiệu góc hai vectơ a b là: a, b   A  a  b O B     Nếu a, b  900 ta nói a b vuông góc với nhau, kí hiệu     a  b b  a   Nhận xét :     + a, b  00  a b hướng     +  a, b   180    a b ngược hướng SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.2 Các phép toán vectơ 1.2.1 Phép cộng vectơ 1.2.1.1 Định nghĩa   Cho hai vectơ a b Lấy điểm A xác định điểm      B C cho AB  a , BC  b Khi vectơ AC gọi tổng hai   vectơ a b    Kí hiệu : AC  a  b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ  a B  b C A Chú ý :    + Nếu tổng hai vectơ a b vec tơ không ta nói a vectơ    đối b b vectơ đối a   Vectơ đối vectơ a kí hiệu a   + Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a có    độ dài với vectơ a Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 1.2.1.2 Các tính chất    Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có:     Tính chất giao hoán : a  b  b  a       Tính chất kết hợp : a  b  c  a  b  c  SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán    Khóa luận tốt nghiệp đại học     Tính chất vectơ không : a    a 1.2.1.3 Các quy tắc cần nhớ Từ định nghĩa tổng hai vectơ ta suy hai quy tắc sau : a Quy tắc ba điểm    Với ba điểm M , N , P ta có : MN  NP  MP M N b Quy tắc hình bình hành P    Nếu OABC hình bình hành ta có: OA  OC  OB O A B C 1.2.2 Hiệu hai vectơ 1.2.2.1 Định nghĩa      Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a  b tổng vectơ a      vectơ đối vectơ b , tức : a  b  a  b   Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ  b   a b  a  a  b SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học  Nếu m  quỹ tích điểm M đường tròn tâm O bán kính 1  m với m   k   OA2  OB  OC   3  2.2.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M cho:     MA.MB  MA.MC  a  MB  MC với a  BC Hướng dẫn:     - Gọi G trọng tâm ABC , ta có MA  MB  MC  3MG   a - Biến đổi biểu thức ban đầu dạng MG.CB  - Gọi M , G0 hình chiếu vuông góc điểm M , G lên BC - Quỹ tích điểm M đường thẳng vuông góc với BC M Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:     a MA  MB MA  MC         b MA  MB  CA  CB  Hướng dẫn: a - Gọi E , F theo thứ tư trung điểm AB , AC - M thuộc đường tròn đường kính EF b - Gọi I trung điểm AB   - Dựng IJ  CI - M thuộc đường thẳng qua J vuông góc với AB SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 29 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tập 3: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho:     MA.MC  AC MB  Bài tập 4: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: MA2  MB  k , k số cho trước Hướng dẫn: - Gọi I trung điểm AB - Gọi M hình chiếu vuông góc M lên AB - Điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với AB M 2.3 Lớp toán tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức độ dài 2.3.1 Phương pháp chung Ở dạng sử dụng kết quả: 2    a  a.a  a 2.3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh 2a Tìm tập hợp điểm M cho: MA2  MB  MC  8a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi ta có: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp đại học MA2  MB  MC  8a     MA  MB  MC  8a      MG  GA  MG  GB       MG  GC     8a       3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC  8a      3MG  3GA  8a (vì ABC nên GA  GB  GC )   3MG  ma2  8a   MG  a   MG  a Ta thấy vế phải số dương, không đổi nên M thuộc đường tròn tâm G bán kính R  a Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm G bán kính R  a Ví dụ Cho tam giác ABC có góc A nhọn trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho AB AH  AC AK  AI (trong H , K theo thứ tự hình chiếu vuông góc M lên AB AC ) Lời giải Từ giả thiết ta có:       AB AM  AB AM cos AB, AM  AB AM cos BAM  AB AH         AB AH  AB AH cos  AB, AH   AB AH cos    AB AH SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 31 Khóa luận tốt nghiệp đại học     Suy ra: AB AM  AB AH  AB AH Kết hợp với giả thiết ta có:           AI  AB AM  AC AM  AM AB  AC  AM AI   Gọi M hình chiếu vuông góc M AI tương tự ta có:     AM AI  AM AI  AM AI Khi ta có: AI  AI AM  AM  AI  M trung điểm AI Vậy quỹ tích điểm M đoạn trung trực AI nằm góc BAC Ví dụ 3: Cho điểm cố định A , B Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:  MA2   MB  k 1 ( k số không đổi cho trước) trường hợp sau: i     ii     Lời giải i     SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 32 Khóa luận tốt nghiệp đại học M A M0 I B Gọi I trung điểm AB ta biến đổi 1 dạng:     k   MA   MB   MA  MB        MA  MB MA  MB        2 BA.MI (vì     )   k  BA.MI  2 Đặt m  k Gọi M hình chiếu vuông góc M AB ta có: 2     m m  MI BA  M I BA  M I BA  M I  BA Ta thấy vế phải số không đổi, I cố định nên M xác định Vậy quỹ tích M đường thẳng vuông góc với AB M ii     Gọi I điểm thỏa mãn hệ thức:     IA   IB        IB  BA   IB    SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 33 Khóa luận tốt nghiệp đại học         IB   BA    IB      AB Khi ta tìm điểm I tồn       Từ 1 ta có k   MA   MB   MI  IA   MI  IB                MI   IA   IB  2MI  IA   IB        MI   IA2   IB  MI  Đặt m   k   IA2   IB        k   IA2   IB   ta có kết luận sau:      Nếu m  quỹ tích điểm M tập rỗng  Nếu m  quỹ tích điểm M điểm điểm M  Nếu m  quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kính m Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:  MA2   MB   MC  k 1 ( k số không đổi cho trước) trường hợp sau: i       ii       Lời giải i       Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 34 Khóa luận tốt nghiệp đại học      MA2  MA  MO  OA  MO  OA2  2MO.OA      MB  MB  MO  OB      MC  MC  MO  OC      MO  OB  MO.OB    MO  OC  MO.OC Thay lên 1 ta có:     k        MO2  .OA2   OB2   OC  2MO  OA   OB   OC               R  2MO  OA    OA  AB     OA  AC        2MO  OA         AB   AC      2MO   AB   AC      Dựng vectơ v   AB   AC gọi M , O0 theo thứ tự hình chiếu  vuông góc M , O lên đường thẳng chứa vectơ v ta được:   k k  2MO.v  M 0O0 v  M 0O0  2v Do A , B , C cố định nên vế phải có giá trị không đổi O0 cố định nên M SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học cố định  Vậy M thuộc đường thẳng qua M vuông góc với v ii       Gọi I điểm thỏa mãn:      IA   IB   IC          IA   IA  IB   IA  AC            IA   BA   CA     BA   CA  IA          Do A , B , C cố định  ,  ,  số cho trước nên ta tìm I Ta biến đổi 1 dạng:    k   MA   MB   MC       MI  IA   MI  IB         MI  IC                  MI   IA   IB   IC  2MI  IA   IB   IC          MI   IA2   IB   IC  MI  Đặt m   k   IA2   IB   IC          k   IA2   IB   IC   ta có nhận xét sau:        Nếu m  quỹ tích điểm M tập rỗng  Nếu m  quỹ tích điểm M điểm I  Nếu m  quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kính SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 36 Khóa luận tốt nghiệp đại học m 2.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a 3MA2  2MB  MC  2l b MA2  MB  MC  AB  BC Hướng dẫn: a - Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    - Dựng vectơ v  AB  AC - Gọi M , O0 theo thứ tự hình chiếu vuông góc M , O lên  đường thẳng chứa vectơ v  - M thuộc đường thẳng qua M vuông góc với v Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho: AB AK  AC AH  AI với K , H hình chiếu M lên AB AC SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 37 Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG – ĐỊNH TÍNH 3.1 Phương pháp chung a, với toán định lượng, ta sử dụng kết sau:   - Gọi  góc a b , ta có:  a.b cos    a.b    - Để tính độ dài đoạn AB , ta thực hiện: AB  AB  AB AB thực  phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp vectơ sở Lưu ý: + Việc tính góc hai đường thẳng ta quy tính góc hai vectơ phương hai đường thẳng + Việc tính góc hai mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng + Việc tính góc đường thẳng mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng b, Với toán định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu   a  b thức tích vô hướng, từ dẫn tới:     a / / b từ đưa lời kết luận cho toán 3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân A Tính góc trung tuyến BE , SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp đại học CF Giải Gọi  ( 00    900 ) góc BE CF , ta có:   BE.CF cos    BE CF 1 A E F B C Trong đó:               BE.CF  BA  AE CA  AF  BA.CA  BA.AF  AE.CA  AE.AF        AB AC  AC   AB  BA.AF  AE.CA   AB 2   AB BE  CF  AB  AE  AB   AB 4  2  3 Thay   ,  3 vào 1 , ta được: AB cos   AB Vậy góc hai đường trung tuyến BE CF  ( 00    900 ) thỏa mãn: cos  Ví dụ 2: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 39 Khóa luận tốt nghiệp đại học Cho hình bình hành ABCD , biết với điểm M có: MA2  MC  MB  MD 1 Chứng minh rằng: ABCD hình chữ nhật Giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo AB BD , ta được:      MO  MA  MC  MB  MD  2 Bình phương vế   ta được:      MA  MC    MB  MD           MA  MC  2MA.MC  MB  MD  2MB.MD      MA.MC  MB.MD          MO  OA MO  OC  MO  OB MO  OD                 MO  OA  MO  OA    MO  OB  MO  OB   OA2  OB  OA  OB  AC  BD  ABCD hình chữ nhật 3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC vuông, có cạnh huyền BC  a , M trung điểm BC ,   a biết rằng: AM BC  Tính độ dài AB AC Hướng dẫn: - Từ giả thiết, ta SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán AB  AC  a 40 (1) Khóa luận tốt nghiệp đại học - Theo định lý Pitago ta AB  AC  3a - (2) Giải phương trình (1) (2) ta độ dài AB AC Bài tập 2:   Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB Biết rằng: AB AC  ,     CA.CB  , CB.CD  a Tính độ dài cạnh hình thang b Gọi EF đường trung bình hình thang Tính độ dài hình chiếu EF lên BD Hướng dẫn: b Gọi E1 , F1 hình chiếu E , F lên BD E1F1  Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD , biết:        AB AD  BA.BC  CB.CD  DC.DA  Chứng minh ABCD hình bình hành Hướng dẫn:     - Ta biến đổi đẳng thức dạng AB  DC AD  BC   - Từ suy ABCD hình bình hành SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 41   Khóa luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh số kiến thức mới, cách nhìn Toán học Nó giúp phát triển tư toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước toán hình thành cho hướng tư đắn phù hợp để giải toán Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh cách nhìn hình học nói chung vectơ nói riêng Luận văn đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung ví dụ minh họa dạng toán bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ, coi công cụ nhằm giải toán cách có hiệu SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2002), Các phương pháp giải toán hình học giải tích mặt phẳng, NXBHN Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán vectơ, NXBHN Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (2006), Hình học 11, NXBGD SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 43 [...]... Cho ba vectơ a , b , c trong mặt phẳng ( a không cùng phương với     b ) khi đó ta luôn tìm được cặp số thực m , n duy nhất sao cho : c  na  mb 1.5 Một số bài toán cơ bản Bài toán 1 1) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh rằng SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp đại học    MA  MB  0 2) Chứng minh rằng điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ... một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hoặc phép nhân số với vectơ) 1.2.3.2 Các tính chất của phép nhân vectơ với số   Với hai vectơ bất kỳ a , b và mọi số thực k , l ta có :   1) k l.a   kl  a    2)  k  l  a  k a  la         3) k a  b  k a  kb , k a  b  k a  kb     4) k a  0 khi và chỉ khi k  0 hoặc a  0       1.3 Tích vô hướng của hai vectơ. .. 1.2.2.2 Quy tắc về hiệu hai vectơ  Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có :    MN  ON  OM 1.2.3 Tích của một vectơ với một số 1.2.3.1 Định nghĩa   Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là : k a được xác định như sau :   1 Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a   Nếu k  0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a   2 Độ dài k a... với cạnh BC 2.1.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:    a k MA  MB  k MC , k  R     b MA  1  k  MB  k MC  0 , k  R Hướng dẫn: a Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua B và song song với AC b Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC Quỹ tích điểm M là đường trung bình EF của tam giác ABC Bài tập 2: Trong mặt phẳng cho tam giác... A và I Vậy trọng tâm của tam giác ABC 2 Do G là trọng tâm ABC nên ta có:     GA  GB  GC  0         GO  OA  GO  OB  GO  OC  0 , với O là điểm bất kỳ      OA  OB  OC  3OG , với O là điểm bất kỳ SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 14 Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 2.1 Lớp bài toán. .. 1  2  2 a.b  a b  a b 4     - Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ đêcac vuông góc Oxy cho vectơ    a  x, y  và b  x, y  Khi đó : a.b  x.x  y y       - Dạng hình chiếu : a.b  a.b , trong đó b là hình chiếu của b trên  đường thẳng chứa vectơ a 1.3.2 Tính chất của tích vô hướng    Với ba vectơ a , b , c tùy ý và mọi số thực k , ta có :   1) Tính chất giao hoán...  3MI (1) Mặt khác:    MB  MC  CB (2) Thay (1), (2) vào hệ thức của câu b ta suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I , bán kính bằng 1 BC 3 Bài tập 3: Cho tam giác ABC , các điểm M , N , P di động trên các cạnh BC , CA và AB sao cho MB PA NC Dựng hình bình hành MNPQ Tìm quỹ tích   MC PB NA những điểm Q Hướng dẫn: - Dựng hình bình hành ABCD - Quỹ tích của Q là đoạn BD Bài tập 4:... - Quỹ tích của Q là đoạn BD Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD có AB  CD Các điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh AB và CD sao cho AM DN Gọi I là điểm chia MN theo tỉ số k  AB DC Tìm tập hợp I khi M , N thay đổi Hướng dẫn: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 22 Khóa luận tốt nghiệp đại học Gọi I1 , I 2 là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC sao cho     I1 A  k I1 D , I 2 B... của hai vectơ 1.3.1 Định nghĩa    Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác      định bởi : a.b  a b cos a, b   Lưu ý : SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp đại học    a.b + Công thức tính góc giữa hai vectơ : cos a, b    a b   + Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau :   1   2 2  2 - Dạng... MM  0 Mặt khác, vì M là trung   điểm của AB nên AM  MB Vậy    MA  MB  0 2 Với điểm M bất kỳ, ta có :    MA  MI  IA    MB  MI  IB      Như vậy MA  MB  2MI  IA  IB    Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi IA  IB  0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh Bài toán 2 1) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi ... Ta quy ước vect - không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vect - không hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ... hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ  a B  b C A Chú ý :    + Nếu tổng hai vectơ a b vec tơ không ta nói a vectơ    đối b b vectơ đối a   Vectơ đối vectơ a kí hiệu a   + Vectơ đối vectơ. .. hiệu a   + Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a có    độ dài với vectơ a Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 1.2.1.2 Các tính chất    Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có:  