TRNG I HC S PHM H NI KHOA toán -*** - Bùi thị nhuệ Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: hình học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà nội, 2012 LI CM N Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp cho em kiến thức, kinh nghiệm quý báu, động viên khích lệ em hoàn thành khóa luận với đề tài: Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Nhuệ LI CAM OAN Tôi xin cam đoan khóa luận không trùng với kết nghiên cứu công trình nghiên cứu nghiên cứu Trong trình tiến hành thực khóa luận, có tham khảo thành tựu nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu trước Các số liệu, cứ, kết nêu khóa luận trung thực Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Nhuệ Mục lục Nội dung Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương 1: Tham số hóa tự nhiên cung Cung En 1.1 Trường vectơ 1.2 Trường mục tiêu 1.3 Cung tham số 1.4 Cung E n , tham số hóa cung 10 1.5 Cung quy 11 1.6 Cung định hướng 12 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy 13 2.1 Độ dài cung 13 2.2 Tham số hóa tự nhiên cung quy 17 Chương 2: ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung 19 Độ cong cung En 19 1.1 Độ cong cung quy En 19 1.2 Cung song quy 19 ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung E3 20 2.1 Độ xoắn 20 2.2 Công thức Frénet 21 2.3 Định lí lí thuyết đường E 22 ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung E2 26 3.1 Công thức Frénet cung quy định hướng E 26 3.2 Đường tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai 27 3.3 Định lí lí thuyết đường E 29 Một số ví dụ 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong Toán học, môn hình học môn khó trừu tượng Hình học không gian đa dạng phong phú lại thực tiễn Nhờ có hình học mà từ hình đơn giản, vật xung quanh đời sống hàng ngày ta hiểu phần cấu tạo chúng có hình dạng không gian n chiều Trong đó, hình học vi phân môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu hình học đường mặt không gian E thông qua lọai độ cong gắn liền với đối tượng Trong hình vi phân, lí thuyết đường phần kiến thức quan trọng Qua trình học tập tìm hiểu thân, em nhận thấy tham số hóa tự nhiên cung có nhiều ứng dụng số dạng lí thuyết đường Vì vậy, em chọn đề tài ứng dụng Tham số hóa tự nhiên cung để nghiên cứu ứng dụng tham số hóa tự nhiên Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tham số hóa tự nhiên số ứng dụng nó, nhằm giải số tập hình học vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên cung Đối tượng nghiên cứu Cung E n , tham số hóa tự nhiên cung Các định lí lí thuyết đường Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu, lý luận Phương pháp phân tích tổng kết Chương Tham số hóa tự nhiên cung Cung En 1.1 Trường vectơ 1.1.1 Vectơ tiếp xúc Định nghĩa Mỗi phần tử ( p, ) TE n (TE n E n E n ) , viết p, gọi vectơ tiếp xúc E n p TE n gọi tập vectơ tiếp xúc E n (hay không gian vectơ tiếp xúc E n ) Mỗi phần tử kí hiệu Với p E n ta kí hiệu TpE n tập vectơ tiếp xúc E n p Ta có song ánh: E n TpE n , p Như vậy, ta đưa cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E n lên TpE n Ta gọi TpE n không gian vectơ tiếp xúc E n p Umở E n đặt: T U U E n gọi không gian vectơ tiếp xúc U Với p U : TpU TpE n gọi không gian vectơ tiếp xúc U p 1.1.2 Trường vectơ Định nghĩa X(p) Trường vectơ tập mở U En ánh xạ: p X : U TU p X ( p) Sao cho p U X p TpU H1 Trường vectơ Khi X vectơ trường vectơ X gọi trường vectơ song song 1.2 Trường mục tiêu Định nghĩa Trường mục tiêu (khả vi) tập mở U E n hệ n trường vectơ (khả vi) U1 ,U , , U n U cho: Với p U , U1 p ,U p , ,U n p sở TpU Khi đó, X Vec U viết cách dạng n X iU i với i F U i n n n i i Nếu Y iU i ( X Y ) ( i i )U i , X iU i v.v i Nếu với p U , U i p U j p ij (tức U i p sở trực chuẩn TpU ), viết U iU j ij , trường mục tiêu U i gọi trường mục tiêu trực chuẩn 1.3 Cung tham số Định nghĩa Mỗi ánh xạ : J E n từ khoảng J R vào E n gọi cung tham số (hay quỹ đạo) E n Nhận xét Lấy điểm O cố định E n cho cung tham số : J E n tương đương với cho hàm vectơ : J E n (t ) O (t ) ; (t ) gọi bán kính vectơ điểm (t ) (đối với gốc O) Khi khả vi lớp C k nói khả vi lớp C k , sau thường xét cung tham số khả vi lớp C k k Ví dụ 1) r : R E n ánh xạ hằng, r R O ; ảnh cung tham số tập có điểm O 2) : R E n , (t ) O tn ( n vectơ khác E n ) ; ảnh đường thẳng qua O với vectơ phương n 1.3.2 Vi phôi i) ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi Định nghĩa: U tập mở E m , V tập mở E n , f :U V p f ( p) ánh xạ khả vi (lớp C k ) với O E n , hàm vectơ U E n , p Of ( p) khả vi (lớp C k ) Lấy hệ tọa độ afin E n f p f p , f p , , f n p , f i : U R i 1, 2, , n hàm số U Khi đó, f p khả vi (lớp Ck) hàm số f i : U R i 1, 2, , n khả vi (lớp C k ) U Rõ ràng, tích ánh xạ khả vi ánh xạ khả vi Chẳng hạn, : J U , t (t ) , cung tham số (khả vi) U f : J V cung tham số (khả vi) V Định nghĩa Cho ánh xạ (khả vi) f : U V (Umở Em, Vmở En) Với p U có xác định bởi: p TpU , coi ánh xạ, kí hiệu Tp f : TpU T f ( p )V p t0 , : J U cung tham số Tp f ( p ) ( f )'(t0 ) Người ta dùng kí hiệu f*p thay cho Tpf, viết tắt Tf hay f* ánh xạ Tpf gọi ánh xạ tiếp xúc (hay ánh xạ vi phân) p f t0 p J p Tpf(p ) f U V Nếu Tpf đơn ánh, toàn ánh hay song ánh f nói theo thứ tự dìm, ngập hay trải p Nếu điều với p U nói f dìm, ngập hay trải ii) Vi phôi Định nghĩa: f vi phôi (lớp C k , k 1) f khả vi (lớp Ck) có ánh xạ ngược khả vi (lớp C k ) Mọi vi phôi (lớp C k , k 1) trải Nếu f : U V trải p U (U V tập mở E n ) có U mở U, p U mà f U V tập mở f |U : U ' V ' vi phôi Từ đồng phôi f (tức f song ánh liên tục mà ánh xạ ngược liên tục) vi phôi f trải 1.4 Định nghĩa cung En, tham số hóa cung T : J E khả vi lớp Cl+2 nên r khả vi lớp Cl+2 Do r ' s T s 1, s J nên r tham số hóa tự nhiên cung quy định hướng r ' s T s nên s T ( s) xác định trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc xác định hướng Ta có r " s T ' s k N ( s ), k s (do (*)) nên cung song quy s N ( s ) xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc s k ( s) xác định độ cong Vì T ( s ) N ( s ) B( s ) vói s J (do T ( s), N ( s ), B( s) sở trực chuẩn thuận) nên s B ( s ) xác định trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Từ đó, B '( s) N ( s) (xem (*)) suy s ( s) xác định độ xoắn Xét hai tham số hóa tự nhiên r , : J E hai cung song quy định hướng E có hướng nhận k, làm độ cong, độ xoắn trường mục tiêu Frénet T , N , B r t , n, b phải xác định hàm vectơ T , N , B, t , n, b nên J thỏa mãn hệ phương trình vi phân (*) Nếu T ( s0 ) T ( s0 ), N ( s0 ) n( s0 ), B ( s0 ) b( s0 ) T t , N n, B b Thêm vào đó, r s0 r s0 suy ra: s s r ( s) O T ( s)ds O t ( s)ds ( s), s J s0 s0 Vậy tổng quát, xét phép dời hình f E biến tam diện thuận ( s0 ), t ( s0 ), n(s0 ), b( s0 ) thành tam diện thuận r ( s0 )T (s0 ), N (s0 ), B(s0 ) rõ ràng r f thỏa mãn điều kiện vừa nói nên r f Ta chứng minh xong định lí 21 Định nghĩa Hệ phương trình , ( s), ( s) , s ( s ), s ( s ) hai hàm số (khả vi lớp C l , l ) cho trước khoảng J R gọi phương trình tự hàm (hay phương trình tự nhiên) cung song quy định hướng E với độ cong k, độ xoắn xác định tham số hóa r : J E (hay : J E ) nói ứng dụng tham số hóa tự nhiên E2 3.1 Công thức Frénet cung quy định hướng E 3.1.1 Định nghĩa Gọi T trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung quy định hướng E (xác định hướng đó) Giả sử E có hướng xác định trường vectơ dọc cho {T, N} trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc gọi trường mục tiêu Frénet dọc ; N gọi trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Như vậy, phương N điểm phương pháp tuyến điểm Với tham số hóa tự nhiên s r (s) , trường vectơ phụ thuộc tham số hóa T.T = 1, DT T = nên ta có ds DT = k.N ds k hàm số dọc gọi (hàm) độ cong Từ T.N = suy DT DN DN N + T = hay = -k.T ds ds ds 22 DT không ds Vậy ta có công thức DT = + kN ds DN = - kT ds Gọi công thức Frénet E i) Vì E có hướng nên nói đến độ cong E2 , không âm, k gọi độ cong đại số ; đổi hướng độ cong (đại số) đổi dấu 3.1.2 Công thức tính độ cong đại số cung định hướng E cung quy định hướng E xác định tham số hóa : J E , t (t ) Lấy tham số hóa tự nhiên r : I E , s r ( s) có phép đổi tham số : J I để r ( > 0) Gọi T s , N t trường mục tiêu Frénet dọc ; coi trường mục tiêu dọc cung tham số r , công thức Frénet cho T r, DT Dr ' kN ds ds Ta có: ' '(r ' ) '(T ) " "(T ) '2 (k )( N ) , từ k ".( N ) " 3.2 Đường tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai 3.2.1 Đường tròn mật tiếp Định nghĩa: Coi cung định hướng, song quy E cung E đường tròn mật tiếp cung E điểm đường tròn mật tiếp điểm Lấy tham số hóa tự nhiên s ( s ) E đường tròn mật tiếp điểm ứng với s0 đường tròn C mặt phẳng 23 d ( ( s), C ) , d ( (s ), C ) khoảng cách từ điểm (s) đến ( s s0 ) mà lim s s đường tròn C Đường tròn C có bán kính có tâm q ( s0 ) (bán kính cong s0) k ( s0 ) N ( s0 ) (gọi tâm cong hay khúc tâm tai s0), k ( s0 ) không phụ thuộc hướng 3.2.2 Cung túc bế cung thân khai cung E Định nghĩa Xét hai cung E xác định theo thứ tự tham số hóa : : J E , t (t ) r : J E , t r (t ) Nói cung túc bế hay cung thân khai cung tiếp tuyến t pháp tuyến t, với t J Cách tìm cung túc bế cung Giả sử r : J E , t r (t ) tham số hóa tự nhiên , với độ cong k, với trường mục tiêu Frénet (T, N) có tham số hóa : J E , t (t ) r (s) a( s).N ( s) với điều kiện: (s) phương với N ( s) , với s Nhưng '( s) T ( s) a( s)k ( s)T (s) a '(s) N (s) k nên điều kiện a( s)k ( s) a '( s) Vậy k ( ) ' (tức k 0) cung túc bế : J E , t (t ) r ( s) a( s).N ( s) tức quỹ đạo tâm cong Giả sử với s thuộc đoạn [ s0, s1] (s0 > s1), k(s) > độ dài cung túc s1 bế là: 1 k '(s) ds k (s0 ) k (s1) s tức hiệu số bán kính cong s0 s1 24 Cách tìm cung thân khai cung Giả sử s ( s) E tham số hóa tự nhiên có tham số hóa s r ( s) ( s) b( s) '( s) với điều kiện r '( s) r '( s). '( s) 0, s Nhưng r '(s) (1 b '(s)) '(s) b( s) "(s) nên điều kiện b s b(s) "(s) Vậy cung song quy có vô số cung thân khai nó, chúng có tham số hóa dạng s r ( s) ( s) (C s) '( s) , C số tùy ý, s không lấy giá trị C 3.3 Định lí lý thuyết đường E 3.3.1 Định lí Cho hai hàm số: k : J R, s k ( s) (khả vi lớp Cl, l 0) có tham số hóa tự nhiên r : J E (khả vi lớp Ci+2) cung quy định hướng E (có hướng) nhận k làm hàm độ cong hai cung tương đương dời hình (đẳng cấu afin bảo tồn hướng) Phương trình h = k(s) gọi phương trình tự hàm cung Giải phương trình tự hàm có nghĩa tìm cung thỏa mãn định lí 3.3.2 Cách giải phương trình tự hàm Trong mục tiêu trực chuẩn thuận, giả sử tham số hóa tự nhiên cần tìm s r ( s) ( x( s), y( s)) Ta có T ( s) r '( s) ( x '( s), y '( s)) (x(s))2 + (y(s))2 = x '( s ) cos ( s ) s s hàm khả vi y '( s ) sin ( s ) 25 T ' s ( sin ( s ), '( s );cos ( s ), '( s )) '( s )( sin ( s);cos ( s)) (1) Mà N s y ' s , x ' s sin s ,cos s T ' s k s N s (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy (s) = k(s) s k s ds x s cos s ds Vậy: s k s ds y s sin s ds Ví dụ Giải phương trình tự hàm: k(s) = a = const Giải Trước hết ta tính ( s) k (s )ds ads as Nếu a = r s ds, 0ds s, s0 (s0 = const) Vậy r cung thẳng có ảnh đường thẳng y s0 Nếu a r ( s ) cos as ds, sin as ds 1 sin as , cos as a a sin(as ), cos( as a Suy r có ảnh nằm đường tròn tâm O, bán kính 26 a Một số tập Bài Hãy xác định tham số hóa tự nhiên cung song quy E cho: a) Trường vectơ tiếp xúc đơn vị T thỏa mãn: T ( s) ae( s) bk (với a, b số khác 0, a b 1), e( s ) cos si sin s j , (i, j , k ) sở trực chuẩn E b) Trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị B thỏa mãn B ( s ) ae( s ) bk c) Trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị N thỏa mãn N ( s) e( s) Giải a) Trường vectơ tiếp xúc đơn vị T thỏa mãn: T ( s ) ae( s ) bk (với a, b số khác 0, a2 + b2 = 1), e(s) cos si sin s j , (i, j, k ) sở trực chuẩn E Tham số hóa : s ( s) , ta có: T ( s) ae( s) bk '( s) Suy '( s) T ( s)ds a(cos si sin s j ) bk ds a sin si a cos s j bsk C ae s bsk C Vậy : s ( s) ae s bsk C b) Trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị B thỏa mãn B( s ) ae(s ) bk 27 Ta có: B '( s) a.e s 0.k Mặt khác, theo công thức Frénet B ' N , suy N B ' ae s a Mà N ( s) a a Mặt khác ta lại có: B ' N aN N B ' ae s e s a a Mà T N B e s (ae(s) bk ) (ak e(s )b) (ak e( s)b) Suy '( s) T ( s)ds ak be( s) ds ask be s C Vậy : s ( s ) ask be s C c) Trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị N thỏa mãn N ( s) e( s) Ta có N (cos s,sin s,0) DN ( s) ( sin s,cos s,0) ds D2 N ( s) ( cos s, sin s,0) ds D N DN (0,0,0) N (0,0,1) N ds ds Ta lại có: N ' kT B 28 D2 N N" kT ' B' ds k k N N k N N k N k (cos s,sin s,0) k ( cos s, sin s,0) D N D2 N Do N suy N , phương ds ds D N N , hàm k2 + hàm k, hàm ds Ta lại có: DT kN k cos si k sin s j ) ds T k sin si k cos s j C1 C2 k (với C1, C2 số) Mà ta có: D ds T ( s) D T ( s)ds (k sin si k cos s j c)ds với c kC1 , kC2 (k cos s d1 )i (k sin s d ) j cs k cos si k sin s j d1 i d j cs Với d d1 , d k cos si k sin s j d cs Vậy : I E , s ( s) O ( s) Bài Viết phương trình tự hàm cung đinh ốc tròn E với tham số hóa tự nhiên r s (a cos s, a sin s, bs) (a > 0, b 0, a2 + b2 = 1) 29 Giải Ta có, r' s ( a sin s,a cos s, b) r ' s a b r'' s (a cos s, a sin s,0) , r ''' s (a sin s, a cos s,0) Do k s r " s a r ' r " r "' b r ' r " s Vậy cung đinh ốc tròn E với tham số hóa tự nhiên a 0, b 0, a r s (a cos s, a sin s, bs) b có phương trình tự hàm k s a, s b Bài áp dụng định lí lí thuyết đường E chứng minh cung song quy E có độ cong dương không đổi, độ xoắn không đổi cung đinh ốc tròn cung tròn Giải Giả sử cung song quy r : I E , s r ( s ) với tham số hóa tự nhiên, có đọ cong k(s) = a > 0, độ xoắn (s) = b (a, b số) Lấy cung đinh ốc tròn a bs cos s a b , sin s a b , 2 2 a b a b a b2 s a Ta có a b sin s a b , cos s a b , a b2 a b2 a b2 ' s a '' s a cos s a b2 , a sin s a b2 ,0 "' s a a b sin s a b2 , a a b2 cos s a b ,0 30 Vì ' s nên s tham số tự nhiên độ cong k , độ xoắn tính là: k " s a k s ' s " s . "' s b s ' s " s Theo định lí bản, r khác phép dời hình Dễ thấy phép dời hình biến cung đinh ốc tròn thành cung đinh ốc tròn Vậy r cung đinh ốc tròn Giả sử, r : I E , s r ( s ) có độ cong k(s) = a > 0, (s) = lấy cung tròn s cos as , sin as ,0 a a ' s sin as ,cos as ,0 " s a cos as , a sin as ,0 ' s Vậy s tham số tự nhiên Suy ra, độ cong k s ' s a k s , độ xoắn s s (vì cung phẳng) Theo định nghĩa bản, r khác phép dời hình nên r cung tròn Bài Tìm cung thân khai đường tròn E Giải Trong E cho hệ trực chuẩn Oxy Có thể cho tham số hóa tự nhiên đường tròn C tâm I(a, b) bán kính R dạng 31 r s R cos s s a, R sin b R R s s Ta có T s sin ,cos R R Do cung thân khai C có tham số hóa dạng s r s c s T s R cos s s s s c s sin a, R sin c s cos b R R R R (với s c, c số bất kì) Bài Giải phương trình tự hàm sau 1) k ( s) a s a2 2) k ( s) s.a Giải Ta có k ( s)ds a s ds arc tg c Lấy c = suy s a a s s x( s) cos(arc tg )ds , y ( s ) sin(arc tg ) ds a a Đặt t arc tg s s a sin t a , y ( s(t )) tgt ta có: x( s (t )) ln a a sin t cos t x ảnh đường dây xích y ach 2) Ta có: k (s)ds 1 ds ln s suy nghiệm phương trình tự sa a hàm là: x( s) cos ln s ds , y ( s) sin ln s ds a a 32 a.eat (a cos t sin t ) x( s (t )) a at Đặt s = e ta có: at y ( s (t )) a.e (a sin t cos t ) a2 ảnh cung đường xoắn ốc logarit 33 Kết luận Đề tài Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng chia hai chương: Chương 1: Tham số hóa tự nhiên Chương 2: Một số ứng dụng tham số hóa tự nhiên Chương trình bày lý thuyết đường E n , số tính chất dạng cung, công thức tính độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung Chương trình bày số ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung quy Một là, trình bày công thức tính độ cong độ xoắn, công thức Frénet E E Hai là, phương trình tự hàm cách giải phương trình tự hàm Ba là, cung túc bế cung thân khai cách tìm cung túc bế cung thân khai E Trong khóa luận giới thiệu số tập để người đọc hiểu rõ ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung Do thời gian nghiên cứu ngắn lực thân hạn chế nên khóa luận chắn nhiều vấn đề chưa đề cập đến không tránh khỏi sai xót Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến, bổ sung, phê bình thầy cô giáo bạn để đề tài hoàn thiện 34 Tài liệu tham khảo Văn Như Cương, Hình học Afin hình học ơcơlít, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Đoàn Quỳnh (2003), Giáo trình hình học vi phân, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội Phạm Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội 35 [...]... phép đổi tham số hóa của cung 1.5 Cung chính quy 1.5.1 Điểm chính quy và điểm kì dị Mỗi điểm của cung trong En được thể hiện trong mỗi tham số hóa của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa t (t ), u r (u ) , nó được thể hiện theo thứ tự bởi t0 và u0 thì u0 t0 , là phép đổi tham số t u (t ) ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng nhau và được gọi là ảnh của Tuy... Chương 2 ứng dụng của tham số hóa tự nhiên 1 Độ cong của cung trong E n 1.1 Độ cong của một cung chính quy trong E n Cho cung chính quy trong E n Xét một tham số hóa tự nhiên của nó, s r ( s ) thì mọi tham số hóa tự nhiên của nó có dạng r, = 1 Đặt T = r T là một trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc r, nhưng tức DT không phụ thuộc r, ds DT xác định một trường vectơ dọc vì trong tham số hóa tự nhiên ds... hướng của 3.2.2 Cung túc bế và cung thân khai của một cung trong E 2 Định nghĩa Xét hai cung và trong E 2 xác định theo thứ tự bởi các tham số hóa : : J E 2 , t (t ) và r : J E 2 , t r (t ) Nói là cung túc bế của hay là cung thân khai của cung nếu tiếp tuyến của tại t là pháp tuyến của tại t, với mọi t J Cách tìm cung túc bế của cung Giả sử r : J E 2 , t r (t ) là tham số hóa tự nhiên. .. hay một đối xứng ( nghịch biến) Ta thấy rằng, tham số hóa : J E n của cung chính quy định hướng là 13 một tham số hóa tự nhiên của khi và chỉ khi là vectơ tiếp xúc đơn vị T dọc (xác định hướng của ) Ví dụ 1 Cho cung đinh ốc tròn của E 3 : (t ) a cos t , a sin t , bt (a > 0, b 0) Ta biết nó là cung chính quy Hãy tìm một tham số hóa tự nhiên của nó Giải Có thể lấy tham số hóa tự nhiên t t s... thế r và còn là tương đương định hướng Vì = ro nên ' r ' ' do đó ' r ' ' r ' ' suy ra r ' 1 Vậy độ dài của cung đoạn xác định bởi r | s ,s ,( s s) là: s s r '(s) ds s s đây là ý nghĩa hình học của tham số s trong tham số hóa r của Định nghĩa Một tham số hóa r : I E n , s r ( s ) , của một cung chính quy gọi là một tham số hóa tự nhiên của nó nếu r ' 1 (còn gọi là tham số. .. khoảng J R và k có giá trị dương Khi đó có tham số hóa tự nhiên r : J E 3 (khả vi lớp Cl+2) của một cung song chính quy định hướng trong E 3 (có hướng) nhận k và làm hàm độ cong và hàm độ xoắn Nếu có hai tham số hóa r và của hai cung như thế thì có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f : E 3 E 3 sao cho r f (nói tắt f biến ảnh của cung thành ảnh của cung r) 18 Chứng minh... có thể nói đến độ cong của trong E2 , ở đây nó luôn không âm, k còn được gọi là độ cong đại số của ; khi đổi hướng của thì độ cong (đại số) đổi dấu 3.1.2 Công thức tính độ cong đại số của cung định hướng trong E 2 là cung chính quy định hướng trong E 2 xác định bởi tham số hóa : J E 2 , t (t ) Lấy một tham số hóa tự nhiên r : I E 2 , s r ( s) của thì có phép đổi tham số : J I để r (... tham số hóa độ dài cung) Như vậy mọi cung chính quy (kể cả chính quy định hướng) đều có tham số hóa tự nhiên Nếu : J E n , t (t ) và r : I E n , u r (u ) là hai tham số hóa tự nhiên của cùng một cung : J I , t (t ), r nên từ chính quy thì có ' 1, r ' 1 , suy ra vi phôi ' 1 , tức t t t0 (t0 là hằng số) , tức các tham số t và u t (cùng xác định một điểm của ) sai khác nhau... as , a sin as ,0 ' s 1 Vậy s là tham số tự nhiên của Suy ra, độ cong của là k s ' s a k s , độ xoắn của là s 0 s (vì là cung phẳng) Theo định nghĩa cơ bản, r và chỉ khác nhau phép dời hình nên r là một cung tròn Bài 4 Tìm cung thân khai của đường tròn trong E 2 Giải Trong E 2 cho hệ trực chuẩn Oxy Có thể cho tham số hóa tự nhiên của đường tròn C tâm I(a, b) bán kính R... 0 0 Do đó, ta được tham số hóa tự nhiên r ( s ) a cos s s bs , a sin , 2 2 2 2 a b a b a b2 2 của cung đinh ốc tròn đã cho 2 Cho cung có tham số hóa : 0,2 E n t t O r cos te1 r sin te2 0e3 0en Trong đó O E n , e1 , e2 , , en là cơ sở trực chuẩn của E n (r > 0) t Ta có '(t ) r vậy s t rdt rt s rt suy ra t o Do đó tham số hóa tự nhiên của cung là s r s r ... em nhận thấy tham số hóa tự nhiên cung có nhiều ứng dụng số dạng lí thuyết đường Vì vậy, em chọn đề tài ứng dụng Tham số hóa tự nhiên cung để nghiên cứu ứng dụng tham số hóa tự nhiên Mục đích... 1.6 Cung định hướng 12 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy 13 2.1 Độ dài cung 13 2.2 Tham số hóa tự nhiên cung quy 17 Chương 2: ứng dụng tham số hóa tự nhiên cung. .. Đề tài nghiên cứu tham số hóa tự nhiên số ứng dụng nó, nhằm giải số tập hình học vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên cung Đối tượng nghiên cứu Cung E n , tham số hóa tự nhiên cung Các định lí