Trường đại học sư phạm hà nội Khoa: toán ********** Nguyễn thị hảo Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Nguyễn văn vạn Hà nội - 201 LờI CảM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô bạn sinh viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy: Nguyễn Văn Vạn - người tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5, năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hảo LờI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp: Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian hoàn thành tận tình hướng dẫn giảng viên: Nguyễn Văn Vạn Tôi khẳng định rằng: Đây công trình nghiên cứu khoa học tôi, nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tài liệu tham khảo Sinh viên Nguyễn Thị Hảo Mục lục A Mở đầu.1 B Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận.3 1.1 Tổng quan phép biến hình3 1.1.1 Khái niệm phép biến hình 1.1.2 Phép biến hình tích 1.1.3 Phép biến hình đảo ngược 1.1.4 Phép biến hình afin.4 1.1.5 Phép biến hình đẳng cự 1.1.6 Điểm bất động Hình kép Hình bất động 1.2 Phép đồng dạng8 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất.8 1.2.3 Điều kiện xác định phép đồng dạng.8 1.2.4 Sự đồng dạng hình 1.2.5 Phép vị tự9 1.2.6 Phân loại phép đồng dạng. 1.2.7 Dạng tắc phép đồng dạng 10 Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải toán chứng minh 16 2.1 Giải toán chứng minh phép đồng dạng16 2.1.1 Khái niệm toán chứng minh 16 2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả toán chứng minh 16 2.2 Một số ví dụ 17 2.3 Bài tập luyện tập,,,,,.24 Chương 3: Hướng dẫn giải tập27 A Kết luận34 B Tài liệu tham khảo 35 a mở đầu lí chọn đề tài Trong sống nói chung trường Trung học phổ thông nói riêng, toán học môn học thiếu Trong không nhắc đến hình học môn học có tính chặt chẽ, tính logic tính trừu tượng hóa cao môn học khác toán học Mặt khác môn học hấp dẫn học sinh tính trực quan nó, đặc biệt có trợ giúp đắc lực máy tính phần mềm hỗ trợ Đứng trước toán hình học đưa nhiều cách giải khác nhau, cách giải tối ưu, dễ hiểu thể tính sáng tạo người giải Trong chương trình toán học bậc Trung học phổ thông có đưa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình Với công cụ này, học sinh vận dụng để giải toán quỹ tích, chứng minh, dựng hình hay tính toán Tuy nhiên toán đưa giải biến hình, hạn chế sử dụng phép biến hình để giải toán Bởi vậy, đòi hỏi học sinh sử dụng phép biến hình để giải toán cần có tư linh hoạt, sáng tạo, khả tư hóa, trừu tượng hóa cao Để tìm hiểu rõ vấn đề mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp thời gian nghiên cứu không nhiều nên tập trung xét ứng dụng phép đồng dạng phép biến hình để giải lớp toán, toán chứng minh không gian -1- Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm: Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tốt phép biến hình vào giải toán Tìm hiểu ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng toán chứng minh hình học không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận nội dung phép đồng dạng không gian Nghiên cứu ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Phương pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu liên quan Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán -2- B nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Tổng quan phép biến hình 1.1.1 Khái niệm phép biến hình - Giả sử cho tập hợp K khác rỗng, K gọi không gian, phần tử K điểm, tập khác rỗng K hình - Định nghĩa: Giả sử K không gian, song ánh f : K K gọi phép biến hình không gian K - Nếu M, N hai điểm K f(M), f(N) hai điểm phân biệt K Với điểm M K có điểm M thuộc K cho f(M) = M Điểm f(M) gọi ảnh M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm f(M) qua phép biến hình f nói Nếu H hình K ta xác định tập hợp f(H) = {f(M) / M H} Khi f(H) gọi ảnh hình H qua phép biến hình f hình H gọi tạo ảnh hình f(H) qua phép biến hình f Chú ý: Nếu phép biến hình f biến hình H thành hình G mà thỏa mãn điều kiện sau ta gọi phép biến hình đối một: Tạo ảnh f -1(M) điểm M thuộc hình G gồm có điểm M hình H Như ứng với điểm M hình H ta có điểm M hình G mà Ngược lại, ứng với điểm M hình G ta có điểm M hình H mà 1.1.2 Phép biến hình tích - Định nghĩa: Giả sử f g hai phép biến hình tập K cho, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh K vào K nên tích -3- phép biến hình K Ta gọi phép biến hình phép biến hình tích f g - Kí hiệu: f: K K M M g: K K M M Khi đó: g.f = h : K K M M Ta có: h(M) = (g.f)(M) = M =g(M) = g[f(M)] - Tích phép biến hình nói chung không giao hoán được, nghĩa g.f f.g Tích phép biến hình có tính chất kết hợp, tức là: (h.g).f = h.(g.f) 1.1.3 Phép biến hình đảo ngược - Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M Ta có f(M) = M Khi phép biến hình biến đổi M thành điểm M gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình cho - Kí hiệu: f -1 f -1(M) = M - Vậy phép biến hình f có phép biến hình đảo ngược f ta có f.f -1 -1 = f -1.f = e (phép đồng nhất) 1.1.4 Phép biến hình afin a, Định nghĩa: - Định nghĩa: Phép biến hình không gian Ơclit En (n=2, 3) biến đường thẳng thành đường thẳng gọi phép biến hình afin, gọi tắt phép afin - Phép afin không gian xác định hai tứ diện tương ứng Trong E2, hai tam giác ABC ABC gọi chiều vòng tròn ngoại tiếp chúng chiều quay từ A đến B, từ B đến C, từ C đến A chiều quay từ A đến B, từ B đến C, từ C đến A Trong không gian E3, hai tứ diện ABCD A'B'C'D' gọi chiều hai góc tam diện A.BCD A'.B'C'D' hướng -4- b, Định lí: Phép biến hình không gian En (n= 2,3) phép afin biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng c, Tính chất: - Phép afin E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng - Phép afin bảo tồn đoạn thẳng định hướng - Phép afin biến vectơ tổng thành tổng vectơ tương ứng - Phép afin bảo tồn tỉ số đơn ba điểm thẳng hàng d, Phân loại: + Phép biến hình afin En gọi phép biến hình loại xác định hai hình chiều + Ngược lại ta gọi phép biến hình loại 1.1.5 Phép biến hình đẳng cự (hay phép dời) a, Định nghĩa: Phép biến hình không gian En (n=2, 3) bảo tồn khoảng cách hai điểm gọi phép đẳng cự b, Tính chất: + Phép đẳng cự phép afin + Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn góc + Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn không gian biến mặt cầu thành mặt cầu Sự xác định phép đẳng cự: E3 phép đẳng cự xác định hai hình tứ diện c, Phân loại: có hai loại phép đẳng cự + Phép đẳng cự gọi phép dời hình phép afin loại + Phép đẳng cự gọi phép phản chiếu phép afin loại d, Định lí: -5- Tích hai phép dời hình phép dời hình Tích hai phép phản chiếu phép dời hình Tích hai phép dời hình phản chiếu theo thứ tự phép phản chiếu - Định nghĩa: Hai hình ảnh qua phép dời hình đượ gọi hai hình nhau.Hai hình ảnh qua phép phản chiếu gọi hai hình đối xứng e, Các phép đẳng cự đặc biệt: Phép đối xứng qua siêu phẳng: + Định nghĩa: Trong En (n= 2, 3) cho siêu phẳng P Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M xác định sau: MM vuông góc với siêu phẳng P MM cắt P O trung điểm Kí hiệu: ĐP + Tính chất: ĐP phép phản chiếu ĐP phép đối hợp P quỹ tích điểm bất động ĐP ĐP ĐP = TP Phép đối xứng qua tâm + Định nghĩa: Trong không gian En (n= 2, 3) cho điểm O Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M ' cho OM ' OM gọi phép đối xứng qua tâm O Kí hiệu: ĐO + Tính chất: Phép đối xứng E2 phép dời hình, E3 phép phản chiếu Phép đối xứng tâm phép đối hợp O điểm bất động ĐO -6- Dạng 2: Chứng minh tính chất hình học Nếu ta thiết lập mối quan hệ điểm đường cho giả thuyết A với điểm đường kết luận B toán thông thường qua phép đồng dạng, nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép đồng dạng ta nhận thông tin về: tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc hay liên thuộcđể qua đến khẳng định B Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 trọng tâm tam giác BCD, DCA, ABD, ABC Tịnh tiến tứ diện ABCD theo u O ta tứ diện tương ứng A2B2C2D2 Chứng minh đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 đồng quy Chứng minh: A G B D A1 C Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD - 22 - A1, B1, C1, D1 trọng tâm tam giác BCD, DCA, ABD, ABC nên ta có: GA 3GA1 , GB 3GB1 GC 3GC1 , GD 3GD1 Do đó: A1B1C1D1 G V ABCD Mặt khác theo giả thiết ta có ABCD Tu Vậy A1B1C1D1 A2B2C2D2 u VG T A2B2C2D2 Vì phép biến hình Tu VG phép vị tự nên đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 đồng quy điểm S phép vị tự VG xác định hệ thức vectơ sau: GS 1 u GS u (3) - 23 - Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA gọi K, I, J điểm đối xứng với D qua M, N, P Chứng minh AI, BJ, CK ba đường thẳng đồng quy Chứng minh: A K M R J P D B S Q N I C Ta gọi Q, R, S trung điểm cạnh CD, DA, DB Khi ta có: VD2 : Q C; R A; S B Theo giả thiết K, I, J điểm đối xứng với D qua M, N, P nên ta có : VD2 : M K; N I; P J Do đó: VD2 : QM CD; RN AI; SP BJ Mặt khác, tứ diện ABCD ta có QM, RN, SP đồng quy trọng tâm G tứ diện Do theo tính chất phép vị tự đường thẳng AI, BJ, CK đồng quy điểm G ảnh G qua phép vị tự V D - 24 - 2.3 Bài tập luyện tập Bài 1: Chứng minh hai hình vuông đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh chúng Bài 2: Chứng minh hai hình lập phương đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh hình lập phương Bài 3: Cho tứ diện ABCD với P, Q trung điểm AB CD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR = 2.RC S giao điểm cạnh AD với mặt phẳng (PQR) Chứng minh AS = 2.SD Bài 4: Cho hai hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Chứng minh đáy chúng đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh bên chúng, hai hình đồng dạng Bài 5: Chứng minh hai hình nón tròn xoay đồng dạng tỉ số diện tích xung quanh chúng bình phương tỉ số đồng dạng Bài 6: Chứng minh hai hình nón tròn xoay đồng dạng tỉ số thể tích chúng lập phương tỉ số đồng dạng Bài 7: Cho tứ diện ABCD Chứng minh bốn trọng tâm bốn mặt tứ diện đỉnh tứ diện đồng dạng với ABCD Bài 8: Chứng minh tỉ số thể tích hai hình đa diện đơn lập phương tỉ số đồng dạng - 25 - Bài 9: Chứng minh hai hình hộp đồng dạng tỉ số thể tích hai hình lập phương tỉ số đồng dạng Bài 10: Chứng minh hai hình chóp tam giác đồng dạng tỉ số thể tích chúng lập phương tỉ số đồng dạng - 26 - Chương 3: Hướng dẫn giải tập Bài 1: Chứng minh: Giả sử không gian cho hai hình vuông ABCD A'B'C'D' có tâm tương ứng H , H Trường hợp 1: Nếu ABCD A'B'C'D' nằm mặt phẳng theo kết phẳng ta có: Phép tịnh tiến T : H H ABCD A1 B1C1 D1 Phép quay quanh Q1 : A1 B1 A2 B2 , A B // A ' B ' Phép vị tự tâm H , tỉ số k A' B' Ta có A2 B2 V: A2 A' B2 B' C2 C ' D2 D' Như tồn phép đồng dạng Z = V Q T : ABCD A'B'C'D' Do ABCD A'B'C'D' đồng dạng với tỉ số k A' B ' A' B ' A2 B2 AB Trường hợp 2: Nếu ABCD A'B'C'D' nằm hai mặt phẳng song song Thực tịnh tiến T1 biến mặt phẳng chứa ABCD thành mặt phẳng chứa A'B'C'D' ABCD có ảnh A1'B1'C1'D1' - 27 - Tiếp theo thực bước trường hợp 1, cuối ta có phép đồng dạng Z = V Q1 T T1 : ABCD A'B'C'D' A' B ' AB Do ABCD A'B'C'D' đồng dạng với tỉ số k Trường hợp 3: Nếu ABCD A'B'C'D' nằm hai mặt phẳng cắt Thực phép quay Q2 biến mặt phẳng chứa ABCD thành mặt phẳng chứa A'B'C'D' ABCD có ảnh A''B''C''D'' Sau thực bước tương tự trường hợp 1, ta nhận phép đồng dạng Z = V Q1 T Q2 : ABCD A'B'C'D' A' B ' AB Do ABCD A'B'C'D' đồng dạng với tỉ số k Như từ ba trường hợp ta có điều phải chứng minh Bài 2: Chứng minh: B1 C1 B2 C B C2 A1 D2 D1 D A B2 B C C1 D2 D A A1 Giả sử cho C B1 A2 hai hình D1 lập phương ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' - 28 - Ta chứng minh tồn phép đồng dạng biến hình thành hình Thật vậy, tồn phép dời hình D biến hình vuông ABCD thành hình vuông A1B2C2D2 với B2 tia A1B1, D2 tia A1D1, C2 tia A1C1 AA' (ABCD ) nên A' có ảnh A'' tia A1A1' Suy D : A' A2 ' ' , A'' tia A1A1' B ' B2 ' ' , B'' tia A1B1' C ' C ' ' , C'' tia A1C1' D' D2 ' ' , D'' tia A1D1' k Phép vị tự V A1 : B2 B1 thì: VAk1 : A1B2C2D2 A2''B2''C2''D2'' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' Vậy phép đồng dạng Z= D V k A1 : ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' Bài 3: Chứng minh: A P S B D Q R C I - 29 - Trong mặt phẳng (ABC) ta có PR AC =I Gọi S = IQ AD, ta có S = AD (PQR) Có: V P1 : A B (do P trung điểm AB) VR : B C (do RC = RB) 1 Suy C ảnh A qua phép vị tự tỉ số (-1) = với tâm vị tự 2 nằm CA PR Do tâm phép vị tự I Vậy VI : A C (1) Lại có VQ1 : C (2) D (do Q trung điểm CD) Tương tự trên, từ (1) (2) suy VS2 : A D SD SA AS = 2SD Bài 4: Chứng minh: Giả sử có hai hình lăng trụ A1 B1C1 A1' B1' C1' A2 B2 C A2' B2' C 2' hai lăng trụ có đáy đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh bên chúng Vì đáy đồng dạng nên tồn phép dời hình: D: A1 B1C1 ABC ABC thuộc mặt phẳng chứa A2 B2 C A'1 B '1 C '1 A' B ' C ' Và phép vị tự: VOk : ABC A2 B2 C A' B' C ' A2' B2' C 2' Trong k A1 A1' O giao điểm AA1 , BB1 CC1 B B2' Vậy tồn phép đồng dạng Z = D VOk : A1 B1C1 A1' B1' C1' A2 B2 C A2' B2' C 2' (đpcm) - 30 - Bài 5: Chứng minh: Giả sử (N1), (N2) hai hình nón đồng dạng Khi tồn phép đồng dạng Z1 : (N1) (N2), Và phép dời hình F : (N1) (N), (N) có đỉnh trùng với đỉnh (N2) O Mỗi đường sinh (N) (N2) nằm tia Hơn diện tích xung quanh (N) (N1) k Phép vị tự VO : (N) (N2), k > Từ dựa vào công thức tính diện tích xung quanh ta suy điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh tương tự Bài Chứng minh: S G1 G4 M G2 B A G3 P N C Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm bốn mặt tứ diện SAB, SBC, ABC, SAC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, AC Xét tam giác SMN ta có: Ta lại có: G1G 2 MN MN AC - 31 - G1G2 MN MN AC Suy ra: G1G2 AC G G4 G1G AB BC (2) G G3 G1G3 G3G SA SC SB (3) Tương tự ta có: Dễ thấy: (1) Từ (1), (2), (3) ta thấy tứ diện SABC tứ diện G3G2G4G1 có cạnh tương ứng tỉ lệ Vậy hai tứ diện SABC tứ diện G3G2G4G1 đồng dạng với Bài8: Chứng minh: Trước hết ta chứng minh: tỉ số thể tích hai hình tứ diện đồng dạng lập phương tỉ số cạnh tương ứng chúng Dễ thấy đường cao hai tứ diện đồng dạng tỉ lệ với cạnh tương ứng Nếu tỉ số đồng dạng k tỉ số thể tích hai hình tứ diện đồng dạng là: V1 S h S1h1 : S h k k k V2 S h2 Hơn hai hình đa diện đồng dạng chia thành hình tứ diện đồng dạng tương ứng nên ta suy tỉ số thể tích hai hình đa diện đơn lập phương tỉ số đồng dạng Bài 9: Chứng minh: Giả sử cho hai hình hộp đồng dạng ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' theo định nghĩa tồn phép đồng dạng Z : ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' - 32 - Giả sử phép dời hình D : ABCD.A'B'C'D' A1B2C2D2.A2'B2'C2'D2' Với B2 A1B1, D2 A1D1, A2 A1 A1' Và thể tích V ABCD.A'B'C'D' VA1B1C1D1 A2 B2 C2 D2 (1) k k Gọi V A1 phép vị tự cho V A1 : B2 B1, suy VAk1 : A1B2C2D2.A2'B2'C2'D2' A1B1C1D1 Gọi S, h diện tích A1B2C2D2 đường cao hạ từ A2 S1, h1 diện tích A1B2C2D2 đường cao hạ từ A1 Ta có S : S1 = k2, h: h1= k3 VA1B1C1D1 A1B1C1D1 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Bài 10: Chứng minh: Giả sử có hai hình chóp đồng dạng S.ABC S'.A'B'C' Theo định nghĩa tồn phép đồng dạng Z : S.ABC S'.A'B'C' Gọi D phép dời hình cho D : S.ABC S'.A'B'C' Với A1 S'A', B1 S'B', C1 S'C' thể tích VS.ABC = VS'.A'B'C' (3) ' Phép vị tự V Sk' : A1 A1 , k V Sk' : S'.A1B1C1 S'.A'B'C' Gọi S, h diện tích A1B1C1 đường cao hạ từ S' xuống (A1B1C1), S1, h1 diện tích A'B'C' đường cao hạ từ S' xuống (A'B'C') Ta có S1: S.ABCD =k2 , h1 : h = k Suy VS'.A'B'C'= S1.h1 = k3.S.h= k3 VS ' A1B1C1 (4) Từ (3) (4) ta có điều phải chứng minh - 33 - C KếT LUậN Như vậy, luận văn củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng mặt phẳng, đặc biệt ứng dụng phép đồng dạng để giải lớp toán chứng minh hình học không gian ứng với lớp toán có nêu ví dụ minh họa tập luyện tập Cuối lần em xin chân thành cảm ơn bảo hướng dẫn tận tình thầy: Nguyễn Văn Vạn giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 5, năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hảo - 34 - D Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình Hình học sơ cấp Tập (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2) Đỗ Thanh Sơn (2008), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông: Phép biến hình không gian (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Đỗ Thanh Sơn (2009), Phương pháp giải toán hình học theo chủ đề 12 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khăc Ban, Tạ Mân (2010), Hình học 11 nâng cao (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Trần Văn Tấn (2010), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Võ Anh Dũng, Trần Đức Huyên (2011), Giải toán hình học 11 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Một số tài liệu khác: Mạng Internet Báo Toán học tuổi trẻ - 35 - - 36 - [...]... đường qua phép đồng dạng - 16 - Giải một bài toán chứng minh trong hình học nói chung cần sử dụng 3 bước: - Lựa chọn phép biến hình - Thực hiện phép biến hình, - Rút ra kết luận bài toán ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh ta phải tìm được phép đồng dạng thích hợp và thực hiện các bước trên Khi tìm ra được phép đồng dạng rồi, ta dựa vào định nghĩa, các tính chất cơ bản, các dạng chính... là phép đồng dạng thuận tỉ số k + Tất cả các phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k =1 + Phép đảo ngược của phép đồng dạng Zk là phép đồng dạng Z 1 ( k 0 ) k + Tích của hai phép đồng dạng Z k1 và Z k2 là phép đồng dạng Zk với tỉ số k k1 k 2 1.2.7 Dạng chính tắc của phép đồng dạng Định lí 1: a, Trong E3, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là một phép đồng dạng thuận, tích của một phép. .. của phép đồng dạng, trong một số trường hợp sẽ rút ra được ngay kết luận của bài toán hoặc có thể giảm bớt mức độ khó khăn của bài toán, chuyển sang bài toán dễ giải hơn - 17 - 2.2 Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Chứng minh hai hình đồng dạng Ta sử dụng định nghĩa sự đồng dạng của các hình: Nếu hình H ' là ảnh của hình H qua một phép đồng dạng Zk thì ta nói H đồng dạng với H ' theo tỉ số k Ví dụ 1: Chứng. .. - Trong E3 phép vị tự là phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự là dương hay âm - Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự Tích hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến 1.2.6 Phân loại phép đồng dạng - Phép đồng dạng là phép afin loại 1 được gọi là phép đồng dạng thuận - Phép đồng dạng là phép afin loại 2 được gọi là phép đồng dạng nghịch -9- Chú ý: + Phép. .. Tích phép quay điểm và phép vị tự giao hoán được khi và chỉ khi tâm quay và tâm vị tự trùng nhau - 14 - Tích phép đối xứng trục và phép vị tự giao hoán được khi và chỉ khi tâm vị tự nằm trên trục đối xứng Việc chứng minh trong E2 hoàn toàn tương tự trong E3 - 15 - Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giảI bài toán chứng minh 2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng 2.1.1 Khái niệm bài toán chứng. .. A'B'C'D' đồng dạng Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A, B, C, D tương ứng thành A', B', C', D' 1.2.4 Sự đồng dạng của các hình - Định nghĩa : Nếu hình H ' là ảnh của hình H qua một phép đồng dạng Zk thì ta nói H đồng dạng với H ' theo tỉ số k - Nhận xét: Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ các góc tương ứng bằng nhau 1.2.5 Phép vị tự a Định nghĩa -Trong không gian En... chứng minh - Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B là đúng Trong đó A là giả thiết, B là kết luận - Để giải các bài toán chứng minh thông thường người ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh đề đúng đã biết bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để dẫn đến kết luận 2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm và đường đã cho trong. .. giác Chứng minh rằng nếu đáy của chúng đồng dạng và tỉ số đồng dạng bằng tỉ số hai cạnh bên của chúng, thì hai hình đó đồng dạng Bài 5: Chứng minh rằng hai hình nón tròn xoay đồng dạng thì tỉ số diện tích xung quanh của chúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng Bài 6: Chứng minh rằng hai hình nón tròn xoay đồng dạng thì tỉ số thể tích của chúng bằng lập phương tỉ số đồng dạng Bài 7: Cho tứ diện ABCD Chứng. .. trước được gọi là phép đồng dạng tỉ số k - Kí hiệu: Zk k được gọi là tỉ số đồng dạng của Zk 1.2.2 Tính chất - Phép đồng dạng Zk là phép afin - Trong E3 phép đồng dạng biến một hình cầu thành mặt cầu - Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng 1.2.3 Điều kiện xác định của phép đồng dạng Trong E3 một phép đồng dạng được xác định bởi hai tứ diện có các cặp cạnh tướng ứng tỉ lệ -8- Tức là: trong E3, cho hai... tứ diện ABCD Chứng minh rằng bốn trọng tâm của bốn mặt tứ diện là đỉnh của một tứ diện đồng dạng với ABCD Bài 8: Chứng minh rằng tỉ số thể tích của hai hình đa diện đơn bằng lập phương tỉ số đồng dạng - 25 - Bài 9: Chứng minh rằng nếu hai hình hộp đồng dạng thì tỉ số thể tích của hai hình đó bằng lập phương tỉ số đồng dạng Bài 10: Chứng minh rằng nếu hai hình chóp tam giác đồng dạng thì tỉ số thể tích ... cứu: Phép đồng dạng toán chứng minh hình học không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận nội dung phép đồng dạng không gian Nghiên cứu ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học. .. 15 - Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giảI toán chứng minh 2.1 Giải toán chứng minh phép đồng dạng 2.1.1 Khái niệm toán chứng minh - Bài toán chứng minh toán cần mệnh đề A B Trong A giả thiết,... xác định phép đồng dạng. 8 1.2.4 Sự đồng dạng hình 1.2.5 Phép vị tự9 1.2.6 Phân loại phép đồng dạng. 1.2.7 Dạng tắc phép đồng dạng 10 Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải toán chứng minh 16