Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA: TOÁN PHẠM THỊ DIẾN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội, 2012 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 Phạm Thị Diến LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm” được trình bày hoàn toàn dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này. Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 Phạm Thị Diến MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 14 Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert 20 2.2. Định lý Lax - Milgram 22 2.3 Định lý về toán tử ẩn 29 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về các không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học. Giải tích hàm đã được đưa vào chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó nội dung của Giải tích hàm rất phong phú như: không gian vectơ lồi địa phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…), các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,… Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, cụ thể là định lý LaxMilgram và định lý về toán tử ẩn. Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu. Chương 2: Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 4 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương này đưa ra một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý toán tử ẩn. Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và trình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 5 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm BẢNG KÍ HIỆU đường thẳng thực n không gian Euclid n – chiều f :Y ánh xạ từ X vào Y V chuẩn trong không gian V inf f cận dưới đúng của ánh xạ f sup f cận trên đúng của ánh xạ f f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f x, y tích vô hướng của hai nhân tử x và y chứng minh hoàn thành Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 6 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT an pha bê ta , gamma (thường và hoa) đen ta ép si lon tê ta tô, tao , phi (thường và hoa) , psi (thường và hoa) rô Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 7 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các phần sau. 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực , kí hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiền đề sau đây: 1) x x 0, x x (kí hiệu phần tử không là ); 2) x x x ; 3) x, y x y x y Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là , Nếu trên chỉ trang bị một chuẩn ta có thể kí hiệu là Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm xn trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu: lim xn xm m , n Định nghĩa 1.1.3 Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 8 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Không gian định chuẩn gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong đều hội tụ. Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho không gian Banach V , một ánh xạ co T đi từ V vào nó, nghĩa tồn số, M thỏa mãn: Tv1 Tv2 M v1 v2 , v1 , v2 V Khi đó, tồn điểm u thuộc V sao cho u Tu Định nghĩa 1.1.4 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện: 1) x, x ' x x ' x x ' ; 2) x x x Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì toán tử A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C sao cho: x C x , x Định nghĩa 1.1.6 Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 9 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Ax, y x, Ay , x, y H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử tự đối xứng. Định lý 1.2.5 Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào nó, thì: su p x , x x 1 Định nghĩa 1.2.9 Cho không gian Hilbert H. Tập K H gọi là tập compact yếu trong không gian H, nếu mọi dãy vô hạn xn K đều chứa dãy con hội tụ yếu trong không gian H. Định lý 1.2.6 Nếu tập K bị chặn không gian Hilbert H, thì K là tập compact yếu không gian H. Định lý 1.2.7 Cho H không gian Hilbert, K tập con, lồi, đóng khác rỗng của H, a(·,·) : H H dạng song tuyến tính cho tồn số C và thỏa mãn: a u, v C u v a u, u u u, v H, u H Khi đó, với mọi y H, tồn vector x K cho: a x, x ' x y, x ' x x ' Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 19 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert biểu diễn dạng: f x x, a , x H (2.1) đó, phần tử a H xác định phiếm hàm f và: f a (2.2) Chứng minh: Giả sử a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H. Nhờ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức: f x x, a ,xH xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H. Bây giờ giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H. Kí hiệu: x : f x 0 Ta thấy H là không gian tuyến tính con của không gian H, vì x, y H , a, b P ta có: f ( ax by ) af x bf y ax by H Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H. Thật vậy, nếu dãy điểm xn hội tụ tới điểm x H, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có: Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 20 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm f x lim f xn x f x lim f xn n n do đó H0 là một không gian con của không gian H. Nếu H H, chọn phần tử a , ta nhận được biểu diễn (2.1): f x x, , x H Giả sử H H, nhờ định lý về hình chiếu lên không gian con, tồn tại phần tử x0 H H , do đó x0 và f x0 Với mỗi phần tử x H ta đặt: y xf x0 x0 f x , thì: f y f x0 f x f x f x0 y từ đó suy ra: y, x0 f x0 x, x0 f x x0 , x0 f x f ( x0 ) f ( x0 ) x0 x, a , trong đó a x0 H x0 , x0 x0 , x0 Do đó phiếm hàm f có dạng (2.1). Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn: f x x, a x, a ' x, a a ' , xH x H a a ', nghĩa là phần tử a trong biểu diễn (2.1) được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f Cuối cùng ta chứng minh hệ thức (2.2). Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta có: f x x, a x a , x f a Mặt khác, f a a, a a a f a Vì vậy, f a Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 21 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Định lý được chứng minh. Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a H Tương ứng này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm f H* với phần tử a H, nghĩa là H* H, nói một cách khác, không gian Hilbert H là tự liên hợp. 2.2 Định lý Lax - Milgram Định lý 2.2.1 Với là hàm song tuyến trên E, và với là dạng toàn phương tương ứng với Khi đó: 4 x, y x y x y i x iy i x iy x, y E (2.1) Chứng minh: Với , bất kì, ta có: x y x y, x y 2 x x, y y, x y Sử dụng kết quả này tương tự cho 1, và 1, và i , và i ta được: x y x x, y y , x y , x y x x, y y, x y , i x iy i x x, y y, x i y , i x iy i x x, y y, x i y Bổ sung tương tự ta được (2.1) Hệ 2.2 Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 22 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Với 1 và 2 là các hàm song tuyến tính trên E. Nếu 1 x, x x, x x E mà 1 thì 1 x, y 2 x, y , x, y E Tương tự, nếu A và B là các toán tử trên E mà x, x x, x , x E , thì A B Chứng minh: Nếu 1 x, x x, x , x E thì các dạng toàn phương 1 và tương ứng với 1 và 2 , theo tứ tự đó, bằng nhau, và do đó từ (2.1), các hàm 1 và 2 là bằng nhau. Chứng minh cho các toán tử ta nhận được: 1 x, y x, y và x, y x, y Định lý 2.2.2 Một hàm song tuyến E đối xứng dạng toàn phương tương ứng thực. Chứng minh: Nếu x, y y, x x, y E Khi đó: x x, x x, x x x E và do đó thực. Bây giờ giả sử x x x E Định nghĩa một hàm song tuyến tính trên E bởi x, y y, x Khi đó cho dạng toàn phương tương ứng ta có: x x, x x x Do đó, x, y x, y x, y E Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 23 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Hiển nhiên giá trị trung bình ở đây là x, y y, x x, y E Định lý 2.2.3 Một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E bị chặn dạng toàn phương tương ứng bị chặn. Hơn nữa, ta có: (2.2) Chứng minh: Từ su p x su p x , x su p x , y , x 1 x 1 x y 1 nếu bị chặn thì bị chặn và bất đẳng thức đầu được chứng minh. Bây giờ ta giả sử rằng bị chặn, thấy rằng từ (2.1), ta có: x, y x y x y i x iy i x iy x y 2 x y x iy x iy Do đó, theo quy tắc hình bình hành: x, y x y Vì vậy, s u p x , y s u p x y 1 x y 1 x y Do đó, nếu bị chặn thì bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được chứng minh. Định lý 2.2.4 Với là một hàm song tuyến tính không gian định chuẩn E và với là dạng toàn phương tương ứng Nếu đối xứng bị chặn thì Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 24 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chứng minh: Theo định lý 2.2.3, Ta có thể thấy bất đẳng thức đảo đúng. Từ đối xứng, thực, do định lý 2.2.2. Do đó, từ định lý 2.1.1 ta có: Re x, y x y x y , và do đó: Re x, y x y x 2 x y y 2 , theo quy tắc hình bình hành. Với x và y là các phần tử tùy ý cho trước của E thì x y , và với là một số thực thì và x, y x, y Khi đó: x, y x, y x, y Re x, y x y và do đó: sup x , y x y 1 Định lý 2.2.5 Với A toán tử bị chặn không gian Hilbert H. Khi hàm tuyến tính định nghĩa bởi x, y x, y bị chặn và Chứng minh: Cho x, y H, theo bất đẳng thức Schwarzs, ta có: Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 25 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm x , y x , y x y x y Do đó, bị chặn và Nói cách khác, ta có: x x, x x, x x x Do đó, cho Ax 0, ta có: x x Từ bất đẳng thức trên nếu Ax 0, ta được Thành ra mọi hàm tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert đều được xét ở định lý trên. Chú ý rằng sự tồn tại định lý đúng nếu x, y x, y được thể hiện bởi x, y x, y Định lý 2.2.6 Với hàm song tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H. Tồn toán tử bị chặn A trên H mà: x, y x, y với mọi x, y H Chứng minh: Cho y H cố định, x, y là một hàm tuyến tính trên H. Do đó từ định lý Riesz về dạng tổng quát, có duy nhất một phần tử Ay H mà x, y x, y với mọi x H Ta có thể chứng tỏ rằng sự tương ứng y Ay là một toán tử bị chặn trên E. Thật vậy, cho bất kì x, y1 , y2 và , ta có: x , y1 y2 x, y1 y2 x , y1 x , y x , y y Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 26 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm và do đó: y1 y2 y1 y2 Bây giờ ta thấy rằng A bị chặn. Từ bị chặn ta có: x, y x, y k x y Với k và với mọi x, y H Cụ thể, cho x y ta được: y y, y y, y k y y Do đó, nếu Ay ta được: y k y , mà kết quả tầm thường thỏa mãn nếu Ay Từ chứng minh này thấy rằng A bị chặn. Để chứng minh tính duy nhất chú ý rằng: x, y x, y với mọi x, y H (với ẩn ý A B ) Định nghĩa 2.2 (Hàm bức) Một hàm song tuyến tính trên một không gian định chuẩn E được gọi là bức (hay eliptic) nếu ở đó có duy nhất một số dương K không đổi mà: x, x x với mọi x E Ví dụ 2.2 Nếu z là một hàm liên tục giá trị thực trên 0,1 mà z t khi đó t 0,1 hàm song tuyến tính được định nghĩa trên L2 0,1 bởi: x, y x t y t z t d t thì bức. Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 27 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Thật vậy, ta có: 2 x, x x t z t dt x ở đây z t t 0,1 Định lý dưới đây được chứng minh bởi P.Lax và A.N Milgram năm 1954, là mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục. Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram) Với là hàm song tuyến tính, bị chặn, không gian Hilbert H. Với hàm tuyến tính bị chặn f trên H, ở tồn nhất x f H mà f x x, x f , x H Chứng minh: Từ định lý 2.2.6, ở đó tồn tại duy nhất một toán tử A bị chặn mà x, y x, y x, y H Từ bức, ta có: x x, x x, x x x , và do đó: x x , x H với x1 , x2 H Nếu Ax1 Ax2 , khi đó A( x1 x2 ) và vì vậy: x1 x2 Phạm Thị Diến K34D SP Toán x1 x2 , - 28 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm ở đó ngầm hiểu x1 x2 Do đó, A là một đối một (11). Chứng tỏ tập A là A Với xn là một dãy liên tục các phần tử của H. Nếu xn y với mọi y H Khi đó: xn xm xn xm , m, n Do đó xn là một dãy Cauchy trong H. Do H đầy, nên tồn x H mà xn x Do đó xn x , vì A liên tục. Vậy thì Ax y, và do đó y A Điều này chứng tỏ A là một không gian con đóng trong H. Ta sẽ chứng minh A H Giả sử A là một không gian con riêng của H. Khi đó tồn tại một số x 0, x H, mà nó trực giao với A , tức là: x, y với mọi y H Cụ thể, ta có: x, x x, x x , Điều này mâu thuẫn với giả thiết x 2.3 Định lý toán tử ẩn Định lý 2.3 Với E, 1 và là không gian Banach, giả sử phản xạ. (a) Ta giả sử rằng: : 2 1 toán tử tuyến tính liên hợp Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục: 1 , Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 29 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm a Ta thấy với mỗi v 2 ta có: v Tau v ,u a (2.3.1) (b) Trái lại, lấy: 1 , a Ta (2.3.2) tuyến tính liên tục, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục liên hợp: : 2 1 Thấy rằng, với mỗi v 2 ta có: v Ta u v ,u a (2.3.3) Chứng minh: (a) Ta thấy rằng cho a và u cố định, hàm: v 2 v ,u a (2.3.4) phi tuyến tính; hơn nữa, sự liên tục của v ,u và trên và 2 1 theo đó ta có: v ,u a v ,u a C a v ,u C1 a v 2 u 1 (2.3.5), bởi thế ánh xạ (2.3.4) thuộc , từ đó phản xạ. Ở đó tồn tại duy nhất w mà: v ,u a v w , từ đó phần tử w phụ thuộc vào a và u, đặt Ta u w ta được (2.3.1). Ta hiển nhiên là một ánh xạ tuyến tính, sự liên tục của nó thấy từ (2.3.1) và (2.3.5); đó là: Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 30 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Ta 1 , C1 a (b) Từ (2.3.3) ta trực tiếp suy ra là tuyến tính trong v và phi tuyến tính trong u và a. Hơn nữa từ tính liên tục của v trong , Ta trên 1 và (2.3.2) trên ta nhận được: v ,u a v Tau C v 2 Tau 2 C1 v 2 a u 1 Bởi thế, với mỗi u cố định thuộc 1 ; v 2 ta có v ,u và: v ,u C1 v 2 u 1 điều đó chứng tỏ tồn tại. Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 31 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm KẾT LUẬN Như đã nói trong phần mở đầu, mục đích của khóa luận này là nghiên cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Để thực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert,…Ngoài ra, trong khóa luận còn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Đó cũng chính là nội dung chính của khóa luận, được trình bày ở chương 2. Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Diến K34D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật, Hà Nội. [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục. [3] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Lokenath Debnath (2005), “Hilbert Spaces with Applications”, ELSEVIER ACADEMIC PRESS. [5] Paolo Boggiatto, Giuseppe De Donno, Alessandro Oliaro (2007), “A Unified Point of View on Time – Frequency Representations and Pseudo – Differential Operators”, Fields Institute Communications, pp. 383 - 399. Phạm Thị Diến K34D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp [...]... nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chương 2 ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: ... nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Thật vậy, ta có: 1 2 2 x, x x t z t dt x 0 ở đây min z t t 0,1 Định lý dưới đây được chứng minh bởi P.Lax và A.N Milgram năm 1954, là mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục. Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram) Với là một hàm song... nghiên cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Để thực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert,…Ngoài ra, trong khóa luận còn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Đó cũng chính là nội dung chính của khóa luận, được trình bày ở chương 2. ... nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Định lý được chứng minh. Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a H Tương ứng này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm f... Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi: sup x x 1 Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 17 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chú ý rằng một dạng toàn phương bị chặn trên một không gian định 2 chuẩn ta có x x Một hàm song tuyến tính và một dạng toàn phương tương ứng có tính chất tương tự với một tích vô hướng .. .Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là , được xác định bởi: inf C 0 x C x , x Định lý 1.1.2 (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y... bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được chứng minh. Định lý 2.2.4 Với là một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E và với là dạng toàn phương tương ứng Nếu đối xứng và bị chặn thì Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 24 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chứng minh: Theo định lý 2.2.3, Ta có thể thấy bất đẳng thức đảo đúng. Từ ... 13 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Định lý 1.1.7 Cho không gian định chuẩn Dãy điểm xn X hội tụ yếu tới điểm x khi và chỉ khi f xn f x với mọi f Định lý 1.1.8 Cho không gian định chuẩn Nếu dãy điểm xn X hội tụ yếu thì dãy đó bị chặn Định lý 1.1.9 Dãy f n * hội tụ yếu tới ... 2.3 Định lý về toán tử ẩn Định lý 2.3 Với E, 1 và 2 là các không gian Banach, ở đó giả sử 2 phản xạ. (a) Ta giả sử rằng: : 2 1 là một toán tử tuyến tính liên hợp Khi đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục: 1 , 2 Phạm Thị Diến K34D SP Toán - 29 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm ... 15 - Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm 1) là không gian tiền Hilbert; 2) là không gian Banach với chuẩn x x, x , x Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert là không gian Hilbert con của không gian Định nghĩa 1.2.4 (Hàm song tuyến tính) Một hàm được gọi là hàm song tuyến tính trên không gian phức E, với ... nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên ... Giải tích hàm, em đã chọn đề tài Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm . Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, ... nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm KẾT LUẬN Như đã nói trong phần mở đầu, mục đích của khóa luận này là nghiên cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Để
Ngày đăng: 30/11/2015, 09:23
Xem thêm: Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm , Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm , 1 Không gian định chuẩn, không gian Banach, 3 Định lý về toán tử ẩn