PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ **** I Một số kiến thức cần nhớ: I.1 Một số đẳng thức hay sử dụng: + x  y   x  y  x  y  + x  y   x  y   x  xy  y  + x  y   x  y  x  y   x  y  … + x n  y n   x  y   x n 1  x n  y   xy n   y n 1  Sử dụng đẳng thức này, ta quy phương trình vô tỉ ban đầu dạng phương trình tích việc làm xuất nhân tử chung Từ ta dễ dàng giải tiếp! Thường toán sử dụng phương pháp ý tưởng tổng quát ta sau: - Giả sử ta có phương trình dạng F  x   với F  x  xác định miền D ta nhẩm nghiệm x = a phương trình ta biến đổi phương trình cho lại thành  x  a  G  x   Đến ta việc xử lí phương trình G(x) = ổn! (Việc xử lí phương trình G(x)= sử dụng công cụ đạo hàm bất đẳng thức) II Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng ý tưởng phương pháp, mời bạn thử sức với ví dụ sau: II.1 Các toán mở đầu Các bạn thử sức với toán trước nhé! Bài toán 1: Giải phương trình sau: x   x   x   x  16  x  100 Bài toán 2: Giải phương trình sau: a) x  x   b) x   x  c) x   x  3x   d)   x   3x   x  II Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x  x    x  15 (1) Giải: Ta dự đoán nghiệm x  1 , ta viết lại phương trình sau: 1   x  1     x  1 x4  x2     x2    x2 1 x2    x  15  x2 1 x  15    x2    1    x  x  x2   Mặt khác, ta có: x  15  x  15  x   x  15   x    x  15   x2   Nên phương trình thức hai vô nghiệm Vậy (1) có nghiệm x  1, x  1 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 3x  x   x    x  x  1  x  3x  (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x  nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử  x   Ta có nhận xét rằng:  3x  x  1   x  x  3  2  x    x     x  x     x   Ta đến lời giải sau: (2)  x  x    x  x  1  x   x  x   2 x  3x  x    x  x  1  3x  x   x  3x     0   x  2  2  3x  x   x  x    x   x  3x    Mặt khác, ta có:  > với x x   x  3x  3x  x    x  x  1 Vậy phương trình (2) có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình x  x  10  x  x  12 x  20 (3) Giải: Cũng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình (3) dạng phương trình tích xuất nhân tử  x  1 Ta viết lại sau:  3   x  x  10   x  1    x  12 x  20   x    (4) x  x  10   x  1  nhân liên hợp hai vế (4) ta có: 18  x  1 16  x  1  x  x  10  x  x  12 x  20  x  Để ý hai phương trình x  12 x  20   x    vô nghiệm nên x      x  x  10  x  x  12 x  20  x  2 (*) Pt (*)  x  x  10  x  12 x  20  x  10 Đến ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau 8 x  x  10  x  12 x  20  x  10  2 x  x  10  x  12 x  20  x Lấy phương trình thứ trừ lần phương trình thứ hai, ta thu được:  15  5 x  x  x  10  x    x  x  15 x  25   15  5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  1, x  2 Ví dụ 4: Giải phương trình 162 x3   27 x  x   Giải: Phương trình cho tương đương với:  162 x  162 x  3     162 x   3 162 x      3x  1     27 x  x    3x  1  x  3x  1   162x   x  x  1   0 3x  3x  1 27 x  x   0    0 2 3 3 27 x  x   162 x   162 x      x  3x  1 3x  Xét phương trình:   x  3x  1 162 x      162x   3  x  x  1 162 x     162 x   3 3x 27 x  x    0 3x 162 x  Ta đặt a  162 x3  suy ra: a a    x   1  a    x       x   x  3x  a 3x a  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 5: (Olympic 30/4 Đề nghị) Giải phương trình sau: Giải: x  12   3x  x  5 Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng  x   Q  x   ! Phương trình cho tương đương với: Đk: x  x  12   3x   x   x2  x2    3 x  2  x  12  x2     x2 x2   x  2    3  x2     x  12  x   x2 x2     0(*)  x  12  x2   1 x2 x2     nên pt (*) vô nghiệm Do x  12  x2   x  12  x2   Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 6: Giải phương trình 3x  x   x   3x  x   x  3x  Giải: Phương trình cho tương đương với 3x  x   3x  x   x   x  3x   Bằng cách nhân liên hợp, ta có:     x  2    x   x  3x    3x  x   3x  x  3  Do nên phương trình có nghiệm x = 2 3x  x   3x  x  x   x  3x  Ví dụ 7: Giải phương trình x    x  x  3x  Giải: ĐK: x  Phương trình cho tương đương với: x     x   x  3x  5  x  1 1 x     x  1 x   3 5x   9 x 2 9 x 4      0    x  1  x    5x    x  23  x  4     5x    0   x  1 x     3 5x    x   x        Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 8: Giải phương trình x3  3x    3x Giải: 6 , x 3 Ở này, khó chỗ ta nhẩm nghiệm phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với hỗ trợ đắc lực công nghệ máy tính Casio fx570 Es chuyện dễ dàng hơn! Thật vậy, ta dùng chức Shift Solve để tìm nghiệm phương trình là: x1  0, 6180339887 ; x2  1, 618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B Bây ta thử tìm xem A B có mối quan hệ với hay không cách tình A + B AB, ta thu kết “đẹp” sau: A  B  1, AB  1 Đk:  Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình: X  X   Và từ đây, ta dự đoán x  x  nhân tử pt!  Ta viết pt cho lại thành: x  x    px  q    x  px  q   x  x    px  q    x   p  3  px  q  p x 1 q   8  3x   x  px  q   2  3 x  pqx  q  8  3x  px  q   0   Đến đây, để xuất nhân tử x  x  p  x  pqx  q    x  x  với  hệ số Chọn  = ta cặp (p, q) thỏa mãn (p, q) = (-1; 2) Khi (2) trở thành: x2  x 1 x3  x   0  3x   x     x  x  1  x   0  3x   x   Xét f  x    x   x ta có: f '  x    f '( x )   3 x  3x Ta có bảng biến thiên:  f  x  1 x   3 x  3x 1 64 64 6   f  x  kết hợp với x  3 4  1 0 f  x 64  3x   x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x   x 1  x 1 Ví dụ 9: Giải phương trình x2  x 1   x  2 x2  2x  Giải: Cũng cách làm Ví dụ , ta phân tích sau: x2  x    x  2   x  2 x2  x      x2  2x    x  2  x2  2x      x  2x  7       x  1  0 x  2x      x  1 x  1   x   Ta giải thích theo cách khác lại tìm lượng x  x  sau: Do x = -2 không nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta được: x2  x   x2  x 1 Giả sử ta cần thêm vào hai vế phương trình lượng x2 có: x2  x 1 x  x    Ax  B     Ax  B  x2 Ax  B , ta 1  A  x  2  1  AB  x   B x  x    Ax  B  Khi đó, ta cần chọn A, B cho  A  x  1  A  B  x   B   x2  A2 1  AB  B    Từ ta có: A = 0, B =  A A  B  2B  Ví dụ 10: Giải phương trình  x   x  x3  x  x   x  x  Giải: ĐK: 2  x  Phương trình cho tương đương với:     x  x 1     x  x  x3  x  x   x2  x   x2  x     x   x  1 x    x  x 1 2 x  x   1    x  x  1     x    2 x  x   x  x    x  1  x  - Với này, việc xuất thêm đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng gây cho ta thêm khó khăn việc giải Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, toán giải nhanh chóng! Khi ấy, ta cần chuyển lượng vị trí sử dụng pp nhân liên hợp đủ Sau số toán khác: Ví dụ 11: Giải phương trình x2 1  x   x   x  x3 5 x2  Giải: Đk: x  Phương trình cho tương đương với:   x3 2 x2  x2 1  x 1 15  x  x   x3    x  3  x2  x   x2 1    x 1  x2 1   x     x     x  3    x   x  3 x   x  5  x 3   x 3  1  x 3  0 x  x   x2 1   x 1      x  III Bài tập Giải phương trình sau: x   x  3x   (1) ĐS: x  1, x   Hướng dẫn: pt  x    x  x   , trục thức làm xuất nhân tử chung x –   11  x    x   x   , sau trục thức làm xuất nhân tử (2)  x   x  x  Hướng dẫn: pt   ĐS: x  3; x   chung x –  x 2x  x2  x  x2 (3) Hướng dẫn: pt  (4)  ĐS: x  1 x 2x  x2 1   , trục thức làm xuất nhân tử chung x  x  x2  x   3x   x  Hướng dẫn: pt   ĐS: x   x     3x   x  (5) x    x  x  x  ĐS: x  Hướng dẫn: pt  x     x   x  x  , trục thức làm xuất nhân tử chung x – (6) x   3x   x3 ĐS: x  Hướng dẫn: pt  x     x   x3  sau trục thức làm xuất nhân tử chung x – (7) x  16 x  18  x   x  ĐS: x  1; x  32  513 Hướng dân: pt  x  16 x  18   x    x   , trục thức làm xuất nhân tử chung x2 1 ... khăn việc giải Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, toán giải nhanh chóng! Khi ấy, ta cần chuyển lượng vị trí sử dụng pp nhân liên hợp đủ Sau số toán khác: Ví dụ 11: Giải phương trình...        Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 8: Giải phương trình x3  3x    3x Giải: 6 , x 3 Ở này, khó chỗ ta nhẩm nghiệm phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với hỗ... Vậy phương trình (2) có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình x  x  10  x  x  12 x  20 (3) Giải: Cũng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình (3) dạng phương