LỜI CẢM ƠN Học tập nghiên cứu khoa học nhiệm vụ quan trọng sinh viên bước vào giảng đường đại học Và biết đường nghiên cứu khoa học, nghiên cứu tri thức nhân loại có nhiều khó khăn, gian khổ Từ mà sinh viên bắt đầu nghiên cứu cần đến giúp đỡ đắc lực người thầy trình nghiên cứu khoa học, thân em nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy Bùi Văn Bình thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Nhâm i LỜI CAM ĐOAN Đề tài thực tháng 10 năm 2012 đến tháng năm 2013, trường ĐHSP Hà Nội Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu mình, không chép, tùng lặp với kết tác giả Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Nhâm ii MỤC LỤC: LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: Các đường cônic Chương 2: Phương trình tắc đường bậc hai Chương 3: Đường kính liên hợp Chương 4: Tiếp tuyến đường bậc hai KẾT LUẬN TÀI LIÊU THAM KHẢO iii iv MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Hình học phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic trừu tượng hóa cao so với phân môn khác Toán học Có thể nói, hình học môn học thú vị lại tương đối khó với nhiều học sinh Đường bậc hai(hay gọi đường cong) xuất nhiều chương trình toán học đặc biệt giai đoạn THPT Các toán đưa với nhiều phương pháp lựa chọn phương pháp giải khác Tuy nhiên, tùy theo khả nhận thức kiện đề mà ta đưa nhiều lời giải khác Để từ học sinh nhận biết tính chất, dấu hiệu loại đường cong có mặt phẳng tọa độ Đồng thời, phát huy học sinh tính tư cao, sáng tạo làm việc Bắt nguồn từ lòng hăng say toán học, với giúp đỡ nhiệt tình thầy Bùi Văn Bình Em chọn nghiên cứu đề tài: “đường bậc hai mặt phẳng tọa độ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Qua đề tài này, học sinh nắm kiến thức có liên quan đến đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Lấy làm tảng để giải tập cách đơn giản 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm sáng tỏ số vấn đề đường bậc hai mặt phẳng tọa độ như: đặc điểm, tính chất… Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất toán chứng minh, tìm quỹ tích hình học giải tích Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo giảng có liên quan đến đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 5.1 Ý nghĩa khoa học Nghiên cứu sâu vấn đề có liên quan tới đường bậc hai mặt phẳng tọa độ, ví dụ như: phưoưng trình tắc, đường conic, đường kính liên hợp, tiếp tuyến 5.2 Ý nghĩa thực tiễn Cung cấp cho giáo viên học sinh số tài liệu tham khảo bổ ích, phục vụ cho mục đích giảng dạy học tập môn hình học, đặc biệt phần nội dung có liên quan đến phương trình bậc hai mặt phẳng tọa độ NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC ĐƯỜNG CÔNIC I LÍ THUYẾT CHUNG Giả sử cho hai đường thẳng a b không vuông góc với cắt S, quay đường thẳng b quanh đường thẳng a góc 2π, ta nhận mặt nón tròn xoay Đường thẳng a, trục đối xứng mặt nón gọi trục mặt nón S đỉnh mặt nón Mỗi đường thẳng nằm mặt nón gọi đường sinh thẳng đường sinh thẳng mặt nón qua đỉnh Mặt nón gồm hai phận, phận gọi tầng mặt nón  Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng vuông góc với trục không qua đỉnh ta giao tuyến đường tròn  Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng cắt tất đường sinh thẳng ta giao tuyến đường elip  Nếu cắt mặt phảng nón tròn xoay mặt phẳng song song với hai đường sinh thẳng ta giao tuyến đường hypebol  Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng song song với đường sinh thẳng ta giao tuyến đường parabol Từ nhận xét mà ta thường gọi hình elip, hypebol, parabol ba đường Conic Phương trình tắc ba đường Conic phương tính bậc hai x,y trường hợp riêng phương trình: Ax2+ By2+ 2Cx+ D = (1) A, B không đồng thời PARAPOL a) Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm F đường thẳng tập hợp tất điểm M cách F đường thẳng F gọi tiêu điểm không qua F , gọi parabol gọi đường chuẩn parabol y P O F x b) Lập phương trình parabol Trong hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc = ; với Oxy , gọi p khoảng cách từ f tới : P F Giả sử M(x,y) điểm parabol thì: MF = Gọi d khoảng cách từ M đến : d= Ta có: Bình phương hai vế rút gọn ta được: parabol tọa độ (2) Như điểm M nằm (x;y) thỏa mãn (2) Ngược lại tọa độ (x;y) điểm M thỏa mãn phương trình (2) điểm M nằm parabol Phương trình đường kính (P) : với không phương tiệm cận Tọa độ giao điểm đường kính (P) nghiệm hệ: Phương trình tiếp tuyến (P) nghiệm: (P) có A = 0, B= 0, C =1 Từ Ta có : 0.1.1+ hai phương liên hợp Xét elip (E) : Tâm I(0, 0); phương trình qua tâm (E) là: 50 : y = kx Phương đường kính Tọa độ giao điểm (E) ( là: Phương trình tiếp tuyến (E) ( ): Phương tiếp tuyến: Hay A Vậy tiếp tuyến đầu mút đường kính (E) có phương liên hợp với phương đường kính 51 Xét hypebol (H) : Có tâm I(0;0) Phương trình đường kính qua tâm Khác với phương tiệm cận với Phương trình tiếp tuyến ( Với ) (H) nghiệm hệ : Phương trình tiếp tuyến là: Phương đường kính: 52 Điều Vậy tiếp tuyến đầu mút đường kính của(H) có phương liên hợp với phương đường kính CHƯƠNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI I LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa: Cho đường bậc hai Và đường có phương trình: thẳng 53 có phương trình: Đường thẳng gọi tiếp tuyến đường bậc hai ( ) cắt ( ) hai điểm trùng hoàn toàn nằm ( ), điểm chung ( ) gọi tiếp điểm Thiết lập phương trình tiếp tuyến Ta thiết lập phương trình tiếp tuyến đường bậc hai ( ) điểm nó: Vì tiếp tuyến qua nên phương trình có dạng: Giao điểm tiếp tuyến với ( ) xác định sau: Ta thay giá trị x,y (2) vào (1) để phương trình t: Rút gọn ta được: Trong đó: Vì B +C nằm ( ) nên R=0 Vậy ta có phương trình: 54 a) Nếu P = 0, Q = 0, Q ≠ phương trình có nghiệm b) Nếu P ≠ phương trình có nghiệm t = nghiệm thứ hai phải 0, Q = Vậy trường hợp ta đến Q = tức là: Đẳng thức viết là: Nếu hai giá trị và không chọn tùy ý đường thẳng qua tiếp tuyến đường bậc hai ( ) điểm Nếu hai giá trị không đồng thời ta lấy.: phương trình tiếp tuyến viết dạng: hay Đó phương trình tiếp tuyến ( ) tiếp điểm  Đối với elip : , phương trình tiếp tuyến (*) có dạng: 55 Hay Vì nên cuối ta có: Đối với hypebol , phương trình tiếp tuyến (*) có Hay dạng: : Vì nên cuối ta có:  Đối với parabol , phương trình (*) điểm có dạng : Hay Vì nên cuối ta có: Điều kiện để đường thẳng tiếp tuyến elip, hypebol, parabol 56 tiếp tuyến của: a) Elip khi: b) Parabol khi: c) Hypebol khi: a (C≠0) Lời giải: a) Tìm giao hai đường thẳng: elip:  Nếu B ≠ Đường thẳng tiếp tuyến elip khi:  Nếu B= phương trình đường thẳng là: hay điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với elip là: điều kiện (*) thỏa mãn b) Tương tự hypebol ta có kết quả: c) Tìm giao điểm đường thẳng  Nếu A ≠ 57 với parabol đường thẳng tiếp xúc với parabol tức là: II Bài tập Bài 1: Người ta gọi điểm M nhìn đường bậc hai góc vuông hai tiếp tuyến đường bậc hai qua M vuông góc với Tìm quỹ tích điểm nhìn a) Elip : góc vuông b) Hypebol : góc vuông c) Parabol góc vuông Lời giải: a) Gọi phương trình tiếp tuyến (E) : qua là: Trường hợp 1: ta có Mà đặt ( ) Các tiếp tuyến vuông góc với nên k,k’= -1 mà: 58 Vậy quỹ tích điểm nhìn elip góc vuông đường tròn Trường hợp 2: B=0 ta có: Mà 1= Hai đường thẳng có phương trình song song với mà theo đầu hai tiếp tuyến vuông góc với nên điểm M thỏa mãn b) Gọi phương trình tiếp tuyến (H) qua là: Tương tự elip:  Trường hợp B ≠ ta có quỹ tích điểm nhìn hypebol góc vuông đường  Trường hợp B= điểm M thỏa mãn c) Đối với parabol: 59 tròn: Các tiếp tuyến từ (X; Y) có dạng : Mà Điều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc là: Quỹ tích đường chuẩn parabol Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (H) : qua M(12;9) Lời giải: Phương trình tiếp tuyến có dạng: Điều kiện tiếp xúc:  Với ta chọn B= - A = Vậy phương trình tiếp tuyến là: 60  Với ta chọn B= - 16 A = 15 Vậy phương trình tiếp tuyến là: Bài tập tham khảo: Bài 1: Tính chất quang học ba đường cônic: a Chứng minh tiếp tuyến M:  Của elip phân giác góc  Của hypebol phân giác góc ( hai tiêu điểm)  Của parabol tạo với trục đối xứng parabol tạo với đường thẳng FM(F tiêu điểm góc nhau) b Chứng minh tích khoảng cách từ tiêu điểm elip hay hypebol đến tiếp tuyến tùy ý không đổi c Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc tiêu điểm parabol xuống tiếp tuyến d Chúng minh diện tích tam giác tạo hia đường tiệm cận hypebol với tiếp tuyến tùy ý không đổi Bài 2: Cho elip đường thẳng Tìm giao điểm hai tiếp tuyến xuất phát từ hai giao điểm elip đường thẳng cho Bài 3:Viết phương trình tiếp tuyến elip : 61 qua điểm M(12; - 3) KẾT LUẬN Trên khóa luận tốt nghiệp “ đường bậc hai mặt phẳng tọa độ” 62 Trong trình thực khóa luận em cố gắng nhiều Nhưng thời gian kiến thức hạn chế tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy cô bạn góp ý để khóa luận em hoàn thiện Qua đề tài này, em mong muốn giúp bạn có thêm tài liệu tham khảo để giảm bớt khó khăn trình học tập, đặc biệt việc giải toán về: “ đường bậc hai mặt phẳng tọa độ” TÀI LIỆU THAM KHẢO Ts Vũ Thế Hựu” toán nâng cao lớp 10” tập 2, NXB ĐH quốc gia Hà Nội 63 Đỗ Thanh Sơn, Trần Hữu Nam “phương pháp giải toán hình học theo chủ đề” NXB GD Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính “ đại số tuyến tính hình học giải tích, tập 1” NXB GD Trần Phương, Lê Hồng Đức “ tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán”- NXB Hà Nội 64 [...]... CHÍNH TẮC I LÍ THUYẾT CHUNG Trong một hệ trục tọa độ đecac vuông góc Oxy, ta xét một đường bậc hai có phương trình tổng quát: Các hệ số A,B,C không đồng thời bằng 0 Sau đây ta tìm tất cả các đường bậc hai dạng chính tắc cho bởi (1) Dùng phép quay tọa độ Oxy một góc để thành hệ , theo công thức đổi tọa độ: Khi đó M(x;y) đối với hệ tọa độ cũ Oxy sẽ có tọa độ( độ mới O ) đối với hệ tọa , ta thay (2) vào (1)... một đường thẳng cắt một hypebol tại hai điểm A và B, và cắt hai đường tiệm cận của nó tại hai điểm P,Q thì AP=BQ Lời giải: Xét hai trường hợp: * AB Ox  AB không vuông góc với Ox Trường hợp 1: AB vuông góc với Ox hay AB song song với Oy phương trình dạng: Do Ox là trục đối xứng của (H) Tọa độ của A là: khi đó: , 16 Đường thẳng AB có Tọa độ của điểm B là: Tọa độ P là nghiệm của hệ phương trình: Tọa độ. .. phương trình của đường bậc hai đã cho trong hệ tọa độ mới nó có dạng: Trong đó: Nếu B≠0 ta có thể chọn để B’=0 bằng cách: 31 Vậy nếu trong phương trình (1), B≠0 thì bằng cách quy hệ tọa độ góc thỏa mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (4) về dạng: Xét các trường hợp trong phương trình (5) 1) Nếu A’≠0, C’≠0 khi đó (5) được viết lại như sau: Hay Dùng phép tịnh tiến: Vậy trong hệ tọa độ O’xy phương trình... hợp 2 : Giả sử phương trình đường cắt(H) tại A,B là Tọa độ A,B là nghiệm của hệ: Áp dụng định lí viet ta có: 17 Đường cắt đường tiệm cận tại P nên tọa độ điểm P là nghiệm của hệ: Đường cắt đường tiệm cận tại Q, nên tọa độ của điểm Q là nghiệm của hệ: Có trung điểm của AB trùng với trung điểm của PQ Bài 2: Chứng minh rằng: Tích số khoảng cách từ một điểm của hypebol tới hai đường tiệm cận là một số không... tại hai điểm M , N thuộc hai nhánh khác nhau của (H)( b Gọi là tiêu điểm trái và là tiêu điểm phải của (H) Xác định m để Bài 3: Cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 0) và đường thẳng : 20 a Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB= 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên b Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích hệ số góc bằng 2 3.Elip a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai. .. M của mặt phẳng đó sao cho (a cố định, a>c) gọi là 1 đường elip gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách c gọi là tiêu cự của elip b, Lập phương trình elip trong hệ tọa độ đêcac vuông góc Chọn trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng đường thẳng đi qua và theo hướng từ Giả sử M(x;y) thuộc elip thì Hay 21 đến , còn trục Ox nằm trên khi đó Bình phương hai vế và rút gọn ta được: , tiếp tục bình phương hai vế... thay đổi II HYPEBOL a, Định nghĩa Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định, những điểm M của mặt phẳng đó sao cho =2c (c ) tập hợp tất cả (trong đó a là một số dương không đổi,a ... đến đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 5.1 Ý nghĩa khoa học Nghiên cứu sâu vấn đề có liên quan tới đường bậc hai mặt phẳng tọa độ, ví dụ như: phưoưng trình tắc, đường. .. cứu đề tài: đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Qua đề tài này, học sinh nắm kiến thức có liên quan đến đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Lấy làm... đường bậc hai dạng tắc cho (1) Dùng phép quay tọa độ Oxy góc để thành hệ , theo công thức đổi tọa độ: Khi M(x;y) hệ tọa độ cũ Oxy có tọa độ( độ O ) hệ tọa , ta thay (2) vào (1) phương trình đường