CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 Chuyªn ®Ị to¸n vÐc t¬ Dạng1:VECTƠ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vec tơ đoạn thẳng có hướng Để xác định vec tơ cần biết hai điều kiện * Điểm đầu điểm cuối vec tơ * Độ dài hướng → → Hai vec tơ a b gọi phương giá chúng song song trùng Nếu hai vec tơ phương chúng hướng ngược hướng Độ dài vec tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vec tơ → → → → → → a = b ⇔| a |= | b | a , b hướng B BÀI TẬP 1/ Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất vec tơ nhận đỉnh tâm hình vng làm điểm đầu điểm cuối 2/ Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh NP = MQ PQ = MN 3/ Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB AC So sánh độ dài hai vec tơ NM BC Vì nói hai vec tơ phương? uuur uuur uuur uuur 4/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh AB = DC ⇒ AD = BC → 5/ Cho hình bình hành ABCD Dựng AM = BA , MN = DA , NP = DC , PQ = BC Chứng minh AQ = D¹ng 2: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc vÐc t¬ A Ph¬ng ph¸p *C1: BiÕn ®ỉi mét vÕ chØ b»ng vÕ cßn l¹i *C2: BiÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng (§a §T cÇn chøng minh vỊ mét §T lu«n ®óng) *C3: Xt ph¶t tõ mét §T lu«n ®óng biÕn ®ỉi ®a vỊ §T cÇn chøng minh *C4: T¹o dùng h×nh phơ Dùa vµo c¸c quy t¾c ®· häc: - Quy t¾c ba ®iĨm - Quy t¾c h×nh b×nh hµnh - Quy t¾c trung ®iĨm -Quy tắc trọng tâm tam giác B Mét sè vÝ dơ VD1: Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD vµ O lµ trung ®iĨm cđa EF → → → CMR : AD + BC = EF ; r → → → → CMR : OA + OB + OC + OD = ; → → → → → CMR : MA + MB + MC + MD = MO (víi M tïy ý) → → → → VD2: Cho ∆ABC Trªn hai c¹nh AB, AC lÊy ®iĨm D vµ E cho AD = DB , CE = EA Gäi M lµ trung ®iĨm DE vµ I lµ trung ®iĨm BC CMR : → → → AM = AB + AC ; GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang1 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 → → → MI = + AB AC C Bµi tËp uuur uuur uuur uuur Bµi 1: Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng: AB + CD = AD + CB Bµi 2: Chouuu tam r gi¸c uuur ABC, uuur gäi r G lµ träng t©m cđa tam gi¸c vµ M lµ mét ®iĨm bÊt k× Chøng minh r»ng: GA + GB + GC = uuuur uuur uuur uuuur MA + MB + MC = 3MG Bµi 3: Cho ABC uuuurtamuuugi¸c r uu ur r Gäi M, N, P lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Chøng minh r»ng: AM + BN + CP = uuuur uuuur uuuur uuuur Bµi 4: Cho hai tam gi¸c ABC, A’B’C’ lÇn lỵt cã träng t©m lµ G, G’ CMR: AA ' + BB' + CC ' = 3GG ' Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi M lµ trung ®iĨm cđa AB vµ N lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC : NC=2NA Gäi K lµ trung ®iĨm cđa MN uuur uuur uuur CMR: AK = AB + AC ; uuur uuur uuur Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BC CMR: KD = AB + AC Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC, gäi G lµ träng t©m cđa tam gi¸c vµ H lµ ®iĨm ®èi xøng víi B qua G uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chøng minh r»ng: AH = AC − AB ; CH = − AB + AC 3 uuuur uuur uuur Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng: MH = AC − AB 6 Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iĨm trªn c¹nh BC cho 2CI = 3BI Gäi J lµ ®iĨm trªn ® êng BC kÐo dµi cho 5JB = 2JC uur uuur uuur uur uuur uuur Chøng minh r»ng: AI = AB + AC ; AJ = AB − AC 5 3 uuur 35 uur uur AI − AJ Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC Chøng minh: AG = 48 16 Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC, gäi O, G, H lÇn lỵt lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp, träng t©m, trùc t©m tam gi¸c ABC Gäi I lµ t©m ®êng trßn ®i trung ®iĨm uuuqua r uuu r uuu r cđa uuur3 c¹nh tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: HA + HB + HC = 2HO uuur uuur Chøng minh r»ng HG = HO Tõ ®ã suy H, G, O th¼ng hµng uuur 3uuur uuur uuur uuur Chøng minh r»ng: OA + OB + OC = OH = 3OG uuur uur Chøng minh r»ng: OH = 2OI uuur uuur uuur uuur r Bµi 9: Cho tø gi¸c ABCD.Chøng minh r»ng tån t¹i nhÊt ®iĨm G : GA + GB + GC + GD = (1) §iĨm G tho¶ m·n (1) gäi lµ träng t©m cđa tø gi¸c ABCD hay còng gäi lµ träng t©m cđa hƯ ®iĨm Bµi 10: Cho tam gi¸c ®Ịu ABC t©m O M lµ mét ®iĨm t ý bªn tam gi¸c uuuur uuur uuur uuuur ChiÕu M xng c¹nh cđa tam gi¸c thµnh D, E, F Chøng minh r»ng: MD + ME + MF = MO ( ) D¹ng 3: BiĨu diƠn vÐc t¬ A Ph¬ng ph¸p *C1: Tõ gi¶ thiÕt x¸c ®Þnh tÝnh chÊt h×nh häc, tõ ®ã khai triĨn vÐc t¬ cÇn biĨu diƠn b»ng ph¬ng ph¸p xen ®iĨm hc hiƯu *C2: Tõ gi¶ thiÕt thiÕt lËp mèi quan hƯ gi÷a c¸c ®èi tỵng, tõ ®ã khai triĨn biĨu thøc nµy Dùa vµo c¸c quy t¾c ®· häc: B Mét sè vÝ dơ - Quy t¾c ba ®iĨm; - Quy t¾c h×nh b×nh hµnh; - Quy t¾c trung ®iĨm -Quy tac tam tam giac GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang2 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 VD1: Cho tam gi¸c ABC, gäi M, N, P lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC, CA, AB H·y biĨu diƠn c¸c vÐc t¬ uuur uuur uuur uuur uuur AB, BC , CA theo hai vÐc t¬ BN , CP r r → → → → → → VD2: Cho ∆ABC, lÊy M, N, P cho MB = MC ; NA +3 NC = vµ PA + PB = H·y biĨu diƠn → → → → PM , PN theo hai vÐc t¬ AB vµ AC C Bµi tËp Bµi 1: Cho tam uuur gi¸c ABC, gäirG lµ träng t©m cđa tam gi¸c vµ B’ lµ ®iĨm ®èi B qua uuuur uuuu r xøng uuur rvíi uuu r G H·y biĨu diƠn c¸c vÐc t¬ CB ', AB ', MB ' (M lµ trung ®iĨm cđa BC) theo hai vÐc t¬ a = AB, b = BC Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iĨm trªn c¹nh BC cho 2CI = 3BI, gäi J lµ ®iĨm trªn BC kÐo dµi cho 5JB = 2JC uur uur uuur uuur BiĨu diƠn AI , AJ theo AB, AC ; uuur uur uuur Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC BiĨu diƠn AG theo AI vµ AJ Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iĨmuuu trªn c¹nh r uuu r BC kÐo dµi cho IB=3IC uur BiĨu diƠn AI theo hai vÐc t¬ AB, AC ; uuur Gäi J, K lÇn lỵt lµ c¸c ®iĨm thc c¹nh AC, AB cho JA=2JC, KB=3KA H·y biĨu diƠn JK uuur uuur theo AB, AC ; uuur uur uuur BiĨu diƠn BC theo AI , JK uur Bµi 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O H·y biĨu diƠn c¸c vÐc t¬ AI (I lµ trung ®iĨm BO), uuur uuur uuur BG (G lµ träng t©m cđa tam gi¸c OCD) theo hai vÐc t¬ AB, AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bµi 5: Cho lơc gi¸c ®Ịu ABCDEF H·y biĨu diƠn c¸c vÐc t¬ AC , AD, AF , EF theo hai vÐc t¬ AB, AE D¹ng 4: T×m ®iĨm M tho¶ m·n mét ®¼ng thøc vÐc t¬, ®é dµi A Ph¬ng ph¸p uuuur r uuuur r - BiÕn ®ỉi ®¼ng thøc vÐc t¬ ®· cho vỊ d¹ng OM = v hc d¹ng OM = v ®ã O lµ ®iĨm cè ®Þnh; r v lµ vÐc t¬ cè ®Þnh B Mét sè vÝ dơ VD: Cho tam gi¸c ABC, t×m c¸c ®iĨm I, J, K lÇn lỵt tho¶ m·n c¸c ®¼ng thøc vÐct¬ sau: uur uur r IA + IB = ; uur uur uuur JA + JB = CB ; uuur uuur uuur r KA + KB + 2KC = C Bµi tËp uuur uuur r Bµi 1: Cho hai ®iĨm A, B X¸c ®Þnh ®iĨm M tho¶ m·n: MA − 3MB = Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, gäi Muuu lµ cđa r trung uuur®iĨmuuu r AB r vµ N lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC cho NC=2NA X¸c ®Þnh K cho 3AB + 2AC − 12AK = ; uuur uuur uuur r X¸c ®Þnh D cho 3AB + 4AC − 12KD = Bµi 5: Cho ∆ ABC vµ mét ®iĨm M bÊt k× r uuuur uuur uuur Chøng minh r»ng v = 3MA − 5MB + 2MC kh«ng ®ỉi; uur uur uur r X¸c ®Þnh ®iĨm I tho¶ m·n 3IA − 2IB + IC = ; BÀI TẬP LÀM THÊM 1/cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; B ’ điểm đx với B qua uuuur uuuur uuur uuur O.Hãy so sánh vecto: AHvà B ,C; AB , & HC 2/ Cho HBH ABCD Hai uuu điểm trung điểm BC&AD r M&Nlà uuuur uuuu r uuu r uuu r uuur a/ Tìm tổng vecto: NC & MC ; AM & CDvà AD & NC GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang3 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 uuuur uuur uuur uuur b/ C/M : AM + AN = AB + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur r 3/ Cho lục giác ABCDEF tâm O C/M : OA + OB + OC + OD + OE + OF = 4/ Cho VABCuuuu Các trung :AB;AC;BC r điểm uuuur M,N,P uuuur uuuu r uuuurđiểm uuuu r uuur uuur a/ Tìm hiệu : AM − AN ; MN − NC ; MN − PN ; BP − CP uuuur uuur uuuur b/ Phân tích AM theo vecto : MN & MP uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5/Cho điểm :A,B,C,D,E,F CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD VABC Gọi M,N,Plà trung điểm AB;AC;BC.CMR với điểm O tùy ý ta có : 6/ uuur Cho uuur uuur uuuu r uuur uuur OA + OB + OC = OM + ON + OP uuur uuur uuur uuur uuur 7/ Cho ngũ giác ABCDE CMR AB + BC + CD = AE − DE 8/Cho VABC có G trọng tâm.Cho điểm D.E.F điểm I giao điểm uurtrung uuur uuu r uuuBC;CA;AB.Gọi r r uuur r uuur r uur AD&EF Đặt u = AE ; v = AF Hãy phân tích vecto AI ; AG; DE; DC theo vecto: uvà v ? uuur uuur uuur uuur 9/ Cho hbh ABCD cmr : AB + AC + AD = AC uuur uuur uuur uuur r 10/ Cho tứ giác ABCD Xác định điểm G cho: GA + GB + GC + GD = uuur uuur uuuur 11/Cho VABC có trung tuyến AM Phân tích AM theo vectơ AB & AC 12/Cho VABC Gọi M uuurtrung điểm AB N thuộc AC : NA=2NC gọi K trung điểm MN Phân tích uuur uuur AK theo vecto AB AC uuur uuur uuur 13/Cho VABC Điểm I cạnh AC cho CI= CA , Jlà điểm mà BJ = AC − AB uur uuur uuur a/ CM BI = AC − AB b/CM B,I,J thẳng hàng c/ Hãy dựng điểm thỏa ĐK tốn uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r 14/Cho VABC a/Tìm điểm K cho KA + KB = CB b/Tìm M: MA + MB + 2MC = 15/Cho VABC Gọi A’là điểm đối xứng với B qua A; B ’ điểm đối xứng với C qua B ;C ’là điểm đối xứng uuur uuur uuur uuur uuur uuuur vớiA qua C CMR với điểm O ta có : OA + OB + OC = OA' + OB ' + OC ' 16/Cho hình bình hành chung đỉnh A :ABCD vàAB’C’D’.CMR : uuur uuuur uuuur r a/ BB ' + CC ' + DD ' = b/ Hai tam giác ∆BC ' D ∆B 'CD ' có trọng tâm 17/Cho hinh binh hành ABCD tam O va M r → → → → a/ CMR : OA + OB + OC + OD = → → → → → b/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO 18/ Cho hinh binh hanh ABCD co tam O va M, N la trung điem BC, CD r → → → a/ CMR : OA + OM + ON = → → → b/ CMR : AM = ( AD + AB ) 19/Cho hinh binh hanh ABCD co O la tam Goi I la trung điem BC va G la tam VABC → → → a/ ChƯng minh : AI = AO + AB → → → → b/ ChƯng minh : DG = DA + DB + DC CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang4 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VÀ TRONG MẶT PHẲNG Trục tọa độ r • Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e r Kí hiệu ( O; e ) r r r • Toạ độ vectơ trục: u = (a) ⇔ u = a.e uuur r • Toạ độ điểm trục: M (k ) ⇔ OM = k e uuur • Độ dài đại số vectơ trục: AB = a ⇔ AB = a.er uuur r Chú ý:+ Nếu AB hướng với e AB = AB uuur r + Nếu AB ngược hướng với e AB = − AB + Nếu A(a), B(b) AB = b − a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB + BC = AC Hệ trục toạ độ r r • Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hồnh, Oy trục tung r r r r • Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u = ( x; y ) ⇔ u = x.i + y j uuur r r • Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y j r r • Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x′; y′ ), k ∈ R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) : r r  x = x′ r r r + a=b⇔ + a ± b = ( x ± x′ ; y ± y′ ) + ka = (kx; ky)  y = y′ v v v + =(0;0) + i = (1;0) + j = (0;1) +o(0;0) +M ∈ ox ⇔ M ( x;0) +M ∈ oy ⇔ M (0; y ) r x ′ y′ r r + b phương với a ≠ ⇔ ∃ k ∈ R: x′ = kx y′ = ky ⇔ (nếu x ≠ 0, y ≠ 0) = x y uuur + AB = ( xB − x A ; yB − y A ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI = + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG = x A + xB ; yI = x A + x B + xC y A + yB ; yG = y A + yB + yC x − kxB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x M = A ; yM = − k uuur uuur ( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB ) y A − kyB 1− k VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục tọa độ Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 uuur a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn uuu thẳng r AB uuur r c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + 5MB = d) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = −1 Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA − MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục tọa độ GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang5 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 r r r r r 1r r r r r a) a = 2i + j ; b = i − j ; c = 3i ; d = −2 j r r r r 3r r r r r 1r r r r b) a = i − j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i 2 r r r r Bài Viết dạng u = xi + yj biết toạ độ vectơ u là: r r r r r r r r a) u = (2; −3); u = (−1; 4); u = (2; 0); u = (0; −1) b) u = (1;3); u = (4; −1); u = (1; 0); u = (0; 0) r r Bài Cho a = (1; −2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: r r r r r r r 1r r r r r r r r r r a) x = a + b ; y = a − b ; z = 2a − 3b b) u = 3a − 2b; v = + b; w = 4a − b r  1 r r Bài Cho a = (2; 0), b =  −1; ÷, c = (4; −6)  2 r r r r r r r r a) Tìm toạ độ vectơ d = 2a − 3b + 5c b) Tìm số m, n cho: ma + b − nc = r r r c) Biểu diễn vectơ c theo a , b Bài Cho hai điểm A(3; −5), B(1; 0) uuur uuur a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC = −3 AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Bài Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Bài Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) uuur uuur uuur a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC , BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur r c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM = AB − AC d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + BN − 4CN = Bài Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Bài Cho hai đỉnh hình vng là: (1; 2) ; (3; 5) Tìm hai đỉnh lại hình vng Bài 10 Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0) Xác định điểm D cho ABCD hình thang cân đáy AB Bai11 Cho ∆ABC :A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 12 Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 13 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Bài 14 Tam giác ABC có A(1; 3) ; B(0; 1), trực tâm H ( ; ) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam 5 giác ABC Bài Viết tọa độ vectơ sau: ƠN TẬP: HÌNH HỌC CHƯƠNG I LỚP 10 ĐỀ 1: 1.Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AC BD CMR : uuur uuur uur AB + CD = IJ uuur uuur uuur uuur 2.Cho bốn điểm A,B,C, D tuỳ ý Chứng minh : AB + CD = AD + CB uuur uuur uuur Cho tam giác ABC Gọi G tâm tam giác CMR: AG = AB + AC 3 uuur uuur uuur 4.Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM = AB + AC 3 uuur uuur uuur uuur 5.Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB + AC + AD = AC ĐỀ 2: GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang6 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 uuur uur uur uuur uuur Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB Bài Cho ∆ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) uuur uuur uuur AB = − CM − BN 3 b) uuur uuur uuur AC = − CM − BN 3 c) Bài Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G uuuur uuur uuur MN = BN − CM 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AH = AC − AB CH = − ( AB + AC ) 3 uuuur uuur uuur b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH = AC − AB uuur r uuur r6 Bài Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân uur uuur r r tích vectơ BI , AG theo a , b a) Chứng minh: ĐỀ3: 1.Cho ∆ ABC điểm M thỏa hệ thức BM = 2MC uuuur a) CMR : AM = b) Gọi BN trung tuyến ∆ ABC I trung điểm BN CMR : i/ MB + MA + MC = 4MI ii/ AI + BM + CN = CI + 2.Cho ABC, dựng uuu cácrhìnhuuu bình uur u rhành r ACMN; BCQP; ABRS uur uuuu r uuu r a.)CMR: SR +PQ +MN =0 b) CMR: SN +MQ =RP 3.Cho ABC Gọi I, J điểm thoả AB + AC 3 BN + AM uur uur uur uur IA = 2.IB , JA = − JC G trọngTâm tam giác ABC uuur uuur uur uu r uuur uuu r a)CMR: IJ = AC −2AB b)Tính IG theo AB, AC c)CMR: IJ qua trọng tâm G 4.Cho hình bình hành ABCD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM = AB + AC + AD ĐỀ 4: Bài 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q Gọi E, F trung điểm MN PQ uuuu r uuuu r uuuur uuur uur 1) Chứng minh : M P + N Q = M Q + N P = 2EF uuuur uuuu r uuur uuur r 2) Xác định điểm G cho M G + N G + P G + Q G = ur r r ur : Cho a = (2;1), b = (3; - 4), c = (- 7; 2) Tìm tọa độ x Bài2 cho ur ur r r x + 2a = 5b - c Bài : Cho ba điểm A(-1;4), B(-3;-2), uuuC(2;3) r uuur 1) Tìm tọa độ vectơ uuur A B, C A, B C 2) 3) 4) 5) 6) Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Tìm tọa độ trung điểm I GA Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tọa độ điểm E nằm đường thẳng song song với trục tung cắt trục hồnh điểm có hồnh độ cho ba điểm B, C, E thẳng hàng ĐỀ 5: Bài Cho tam giác ABC có G trọng tâm, M trung điểm BC uuur uuur uuur uuur uuur uuuur a) Chứng minh GB + GC = 2GM b) Phân tích vecto AG theo AB, AC Bài Cho A(1; 1), B(2; –1), C(-5; 9) a) Tìm tọa độ đỉnh D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm E cho B điểm đối xứng E qua A Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a Chứng minh : AB + CD = AD − BC b Phân tích OA theo AB, AD Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G H trọng tâm trực tâm ∆ABC, Còn M trung điểm BC uuur uuuur a So sánh hai vec tơ HA, MO uuur uuur uuur uuur b Chứng minh : i) HA + HB + HC = HO c) Ba điểm O , H , G có thẳng hàng khơng ? uuur uuur uuur uuur ii) OA + OB + OC = OH ĐỀ 6: Gọi G trọng tâm tam giác ABC M, N, K trung điểm AB, AC, BC GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang7 uuur uuur uuur uuur iii) OA + OB + OC = 3OG CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur a Chứng minh : GM + GN + GK = GA + GB + GC b Biết A( -1 ; 0), B( ; 3), C(-6 ; 0) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành c Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 2.Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur a AB + CD = AD + CB uuur uuur uuur uuur b AB + CA + BD = AD − AC uuur uuur uuur uuur 3.Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC , NA = 3CN , uur uuur r PA + PB = a Tính uuur uuur PM , PN theo uuur uuur AB, AC b Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB ĐỀ 7: Bài 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh : OA + OB + OC + OD = c) Cho điểm P định bởi: b) Chứng minh : AO + AB = AI AP + AC = 11AB Chứng minh ba điểm B,P,C thẳng hàng Bài 2.Trong hệ trục tọa độ (O; i; j ) Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0) a) Tính tọa độ AB, AC b) Xác định tọa độ trung điểm I cạnh AC trọng tâm G tam giác ABC c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành d) Cho x = 2i + (2m − 1) j , ( m số thực).Tìm m để x AC phương Bài 3.Cho tam giác ABC có AB=c ,BC=a ,AC=b trọng tâm G Chứng minh : Nếu a GA + b GB + c GC = tam giác ABC Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(2;-3),C(-2;1) a)Tìm tọa dộ điểm N nằm đường thẳng y= 3x biết N thuộc đường thẳng AC uuur uuur uuur b)Tìm hai số m n thỏa hệ thức : m AB + n AC = BC Bài 5: Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh ĐỀ SỐ uuur uuur uuur uuur Bài Cho hình chữ nhật ABCD CMR : AB + AD = AB − AD Bài Cho ABC, dựng hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS uur uuur uuuur r uuur uuuur uuur a) CMR: SR + PQ + MN = b) CMR: SN + MQ = RP uur uuur uur Bài Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi I, J điểm thoả IB = BA , JA = − uur uuur uuur AC − AB a) CMR: IJ = uuur uuur uur b) Tính IG theo AB, AC uuur JC c) CMR : IJ qua trọng tâm G Bài 4: Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) uuur uuur uuur AB, AC , BC uuur uuur uuur c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM = AB − AC a) Tìm toạ độ vectơ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB uuur uuur uuur r =0 d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + BN − 4CN ĐỀ SỐ Bài Cho điểm A(1;2) ,B(3;–4) Tìm tọa độ điểm C biết C điểm đối xứng với A qua B Bài Cho A(–1;2), B(3;5), C(m;2m+1) Xác định m để A,B,C thẳng hàng Bài 3Cho A(3;7), B(1;0), C(–5;7) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài Cho ∆ABC uur uur uur r uuur uuur r a) Xác định điểm I cho: IA + 3IB − 2IC = b) Xác định điểm D cho: 3DB − DC = c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + 3MB − MC = MA − MB − MC Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho trung điểm MN Chứng minh: a) uuur uuur uuur AK = AB + AC b) uuur uuur uuur KD = AB + AC CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang8 uuur uuur CN = NA K CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang9 ... Toạ độ trục tọa độ Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 uuur a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn uuu thẳng r AB uuur r c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + 5MB = d) Tìm tọa độ. .. EM HỌC TẬP TỐT GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN Trang4 CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VÀ TRONG MẶT PHẲNG Trục tọa độ r • Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn... Tìm tọa độ điểm M cho: CM = AB − AC a) Tìm toạ độ vectơ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB uuur uuur uuur r =0 d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + BN − 4CN ĐỀ SỐ Bài Cho điểm A(1;2) ,B(3;–4) Tìm tọa