MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ 1.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu: Giả sử n số đơn vị loại hàng mà cửa hàng bán năm, h chi phí lưu kho cho đơn vị hàng năm, p chi phí cho chuyến đặt hàng, Q kích thước chuyến đặt hàng ( kích thước lô hàng ) Ta xem n, h, p số, Q biến số, lúc tổng chi phí năm cửa hàng loại hàng hóa hàm số C ( Q ) bao gồm loại chi phí: chi phí lưu kho chi phí cho chuyến hàng Q h ■ Chi phí lưu kho: n p ■ Chi phí cho chuyến hàng: Q Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 tivi năm Chi phí gởi kho $ 10 năm Để đặt hàng, chi phí cố định $20, cộng thêm $9 Cửa hàng nên đặt hàng lần năm lần đặt để chi phí hàng tồn kho nhỏ ? Giải Ta có: n = 2500, h = 10 Gọi Q số tivi mà cửa hàng đặt hàng lần Khi đó: Q ∈ [ 1;2500 ] Q Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi kho Do đó, chi phí lưu kho Q năm 10 = 5Q (1) 2500 Số lần đặt hàng năm là: Do đó, chi phí đặt hàng năm là: Q 2500 50000 (20 + 9Q) = + 22500 (2) Q Q Từ (1) (2) suy chi phí cửa hàng là: 50000 C(Q) = 5Q + + 22500 Q 50000 Ta có : C′ ( Q ) = − Q2  Q = 100 C′ ( Q ) = ⇔ 5Q = 50000 ⇔ Q = 10000 ⇔   Q = −100 Vì Q∈ [ 1;2500 ] nên ta loại Q = - 100 100000 C ( Q ) = C ( 100 ) = 23500 C′′ ( Q ) = > với Q>0 nên Q∈min 1;2500] [ Q 2500 = 25 Khi đó, số lần đặt hàng năm 100 Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ cửa hàng nên đặt hàng 25 lần năm lần đặt 100 tivi Ví dụ: Số hàng hóa cửa hàng bán năm n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho đơn vị hàng hóa $2, chi phí cho chuyến đặt hàng $10 Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí cửa hàng nhỏ 1.2 Ý nghĩa đạo hàm: Giả sử hai biến x y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x giá loại hàng hóa y số lượng hàng bán ) Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên biến y x x thay đổi lượng nhỏ ∆x Lượng thay đổi y x thay đổi lượng ∆x là: ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) Tốc độ thay đổi trung bình y theo x khoảng từ x0 đến x0 + ∆x là: ∆y ∆x Tốc độ thay đổi tức thời y theo x điểm x0 là: f (x + ∆x) − f (x ) ∆y lim = lim = f ′( x ) ∆x → ∆x ∆x →0 ∆x ∆y ≈ f ′ ( x ) hay ∆y ≈ f ′ ( x ) ∆x Khi ∆x nhỏ ∆x Vậy x thay đổi lượng ∆x y thay đổi lượng xấp xỉ f ′ ( x ) ∆x ( chẳng hạn giá thay đổi lượng ∆x số hàng bán thay đổi lượng f ′ ( x ) ∆x ) Ví dụ: Hàm cầu loại sản phẩm P = 50 − Q Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi Q = ? Giải Tốc độ thay đổi giá P theo Q là: P′ = −2Q Do đó: P′(1) = −2.1 = −2 Điều có nghĩa lượng cầu tăng thêm đơn vị sản phẩm giá giảm đơn vị sản phẩm đơn vị tiền Ý nghĩa vấn đề: Khi giá sản phẩm cao nhu cầu mua sản phẩm giảm, ngược lại giá sản phẩm xuống thấp nhu cầu mua sản phẩm tăng lên Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 1,25% / tháng có nhiều người mua đất cất nhà Đến tháng năm 2008 lãi suất ngân hàng 1,75% / tháng số người mua đất cất nhà giảm 1.3 Giá trị cận biên: Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi lượng nhỏ gọi giá trị cận biên y x, ký hiệu: My(x) dy Từ định nghĩa đạo hàm ta có: My ( x ) = y′ ( x ) = dx Ta thường chọn xấp xỉ My ( x ) ≈ ∆y tức My(x) gần lượng thay đổi ∆y y x tăng lên đơn vị ( ∆x = 1) 1.3.1 Giá trị cận biên chi phí: Cho hàm chi phí C = C(Q) Khi ta gọi MC(Q) giá trị cận biên chi phí Giá trị coi lượng thay đổi chi phí Q tăng lên đơn vị Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm là: 500 C = 0,0001Q − 0,02Q + + Q Tìm giá trị cận biên chi phí Q sản phẩm Áp dụng Q = 50 Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C = Q.C = 0,0001Q3 − 0,02Q + 5Q + 500 dC = 0,0003Q − 0,04Q + Giá trị cận biên chi phí là: MC(Q) = dQ Khi Q = 50 thì: dC = 0,0003(50) − 0,04(50) + = 0,75 − + = 3,75 dQ Như Q tăng lên đơn vị từ 50 lên 51 chi phí tăng lên 3,75 đơn vị MC(50) = 1.3.2 Giá trị cận biên doanh thu: Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi ta gọi MR(Q) giá trị cận biên doanh thu Ví dụ: Số vé bán Q giá vé P hãng xe bus có quan hệ Q = 10000 − 125P Tìm doanh thu cận biên P = 30, P = 42 Giải − Theo giả thiết: Q = 10000 125P (1) 10000 − Q ⇔ 125P = 10000 − Q ⇔ P = (2) 125 Ta có doanh thu: R = Q.P (3) 10000Q − Q ) Thế (2) vào (3) ⇒ R = Q.P = ( 125 ( 10000 − 2Q ) Nên MR(Q) = (4) 125 ■ Khi P = 30 Từ (1) ⇒ Q = 10000 − 125.30 = 10000 − 3750 = 6250 2500 = −20 ( 10000 − 2.6250 ) = − Từ (4) ⇒ MR(6250) = 125 125 ■ Khi P = 42 Từ (1) ⇒ Q = 10000 − 125.42 = 10000 − 5250 = 4750 500 =4 ( 10000 − 2.4750 ) = Từ (4) ⇒ MR(4750) = 125 125 1.4 Hàm cầu tính co giãn cầu: Ta gọi P giá bán sản phẩm Q số lượng sản phẩm bán ( hay nhu cầu loại sản phẩm ) Khi ta coi Q hàm số với biến số P, nhìn chung hàm số nghịch biến giá bán cao nhu cầu thấp ngược lại Khi ta có hàm cầu: Q = f(P) ⇒ P = g(Q) Hàm tổng doanh thu: R = PQ = g(Q).Q Ta lấy đạo hàm R theo biến Q gọi hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR Hệ số co giãn đại lượng Q theo đại lượng P A Marshall đặt là: P dQ P η=− = − Q′(P) ( η đọc eta) η gọi độ co giãn Q dP Q cầu Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 − 4P − P Tìm hệ số co giãn cầu P = Giải Hệ số co giãn cầu là: P P 4P + 2P ′ η = −Q (P) = − ( −4 − 2P ) = Q 30 − 4P − P 30 − 4P − P 30 ≈ 3,3 Tại P = 3, η = 1.5 Lựa chọn tối ưu kinh tế: Nhiều toán kinh tế đưa tìm cực trị hàm y = f(x) Ta gọi P đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C Trong kinh tế ta thường gặp toán sau: ■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại) ■ Tìm P Q để doanh thu R đạt tối đa ■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Giả sử hàm cầu theo giá bán đơn vị thời gian Q = Qd = Q(P) hàm tổng chi phí là: C = C(Q) Tìm sản lượng Q đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp bán với giá P cho Q = Q(P) ⇔ P = P(Q) Từ doanh thu xí nghiệp R(Q) = P(Q).Q lợi nhuận xí nghiệp là: N = R – C Sản lượng Q muốn tìm Q > để N đạt giá trị lớn Q = 300 − P Ví dụ: Cho hàm cầu hàm C = Q − 19Q + 333Q + 10 Tìm Q để lợi nhuận lớn chi phí Giải Ta có: P = 300 − Q Doanh thu: R = PQ = (300 − Q)Q = 300Q − Q Lợi nhuận: N = R − C = 300Q − Q − ( Q − 19Q + 333Q + 10 ) ⇔ N = −Q3 + 18Q − 33Q − 10 Q = N′ = −3Q + 36Q − 33 = ⇔  Q = 11 Q N’ N −∞ − + 11 474 -10 -26 − +∞ −∞ Vậy lợi nhuận lớn Q = 11 1.6 Định mức đánh thuế doanh thu: Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu đơn vị thời gian Q = Q(P) hàm chi phí sản xuất đơn vị thời gian C = C(Q) Xác định mức thuế đơn vị sản phẩm xí nghiệp để thu nhiều thuế Phương pháp giải: Giả sử mức thuế đơn vị sản phẩm t > Ta có: Q = Q(P) ⇔ P = P(Q) Lợi nhuận xí nghiệp là: N = P(Q).Q − C(Q) − Qt Xí nghiệp sản xuất mức Q = Q(t) để N đạt max Do thuế thu T = Q(t).t Ta cần xác định t để T m a x Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí: C = Q + 100Q + 10 a) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận tổng thuế phủ thu đạt giá trị cực đại b) Muốn xí nghiệp sản xuất 40 sản phẩm mức thuế thu đơn vị sản phẩm bao nhiêu? Giải a) Ta có: Q = 300 – P ⇔ P = 300 – Q Doanh thu xí nghiệp là: R = P Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2 Thuế xí nghiệp là: Q.t Lợi nhuận xí nghiệp là: 2 N = 300 Q – Q2 – ( Q + 100Q + 10 ) – Q.t = −2Q + (200 − t)Q − 10 200 − t N′ = −4Q + 200 − t = ⇔ Q = Vậy để có lợi nhuận lớn xí nghiệp phải sản xuất mức: 200 − t Q= 200 − t t2 t = − + 50t Do thuế thu là: T = Q.t = 4 t T′ = − + 50 = ⇔ t = 100 Vậy để Tmax ta chọn mức thuế t = 100 Với mức thuế t = 100 xí nghiệp sản xuất mức: 200 − 100 = 25 sản phẩm đơn vị thời gian Q= b) Muốn xí nghiệp sản xuất 40 sản phẩm thì: 200 − t Q= ≥ 40 ⇔ t ≤ 40 Nghĩa cần chọn mức thuế tối đa 40 cho đơn vị sản phẩm Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền loại sản phẩm biết hàm tổng P chi phí C = Q + 1000Q + 100 hàm cầu Q = 4100 − a) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận tổng thuế phủ thu đạt giá trị cực đại b) Muốn công ty sản xuất 200 sản phẩm mức thuế thu đơn vị sản phẩm bao nhiêu? Bài tập: Tìm giá trị cận biên: a) C = 0,1Q + 3Q + Q = 3 b) C = 0,04Q − 0,5Q + 4,4Q + 7500 Q = c) R = 250Q + 45Q − Q3 Q = 60 + ln ( 65 − P ) Cho hàm cầu Q = P a) Xác định hệ số co dãn P = b) Nếu giá giảm 2% ( từ giảm 3,92) lượng bán thay đổi phần trăm? Doanh thu loại sản phẩm cho R = 240Q + 57Q − Q Tìm Q để doanh thu đạt tối đa Cho hàm cầu loại sản phẩm là: P = -5Q + 30 Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q hàm chi phí trung bình 200 C = 2Q − 36Q + 210 − Q a) Tìm mức sản xuất Q, ≤ Q ≤ 10 để có chi phí tối thiểu b) Tìm mức sản xuất Q, ≤ Q ≤ 10 để có chi phí tối thiểu Hàm cầu loại sản phẩm độc quyền P = 600 - 2Q tổng chi phí là: C = 0,2Q + 28Q + 200 a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa Tìm mức giá P lợi nhuận lúc b) Chính quyền thành phố đặt thuế 22 đơn vị tiền cho đơn vị sản phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá lợi nhuận trường hợp Xác định lợi nhuận tối đa, biết hàm tổng doanh thu R tổng chi phí C a) R = 1400 − 6Q , C = 1500 − 60Q b) R = 4000 − 33Q , C = 2Q − 3Q + 400Q + 500 c) R = 4350 − 13Q , C = Q − 5,5Q + 150Q + 675 Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, biết hàm tổng chi phí là: a) C = Q − 5Q + 60Q b) C = Q − 21Q + 500Q ... cầu P = Giải Hệ số co giãn cầu là: P P 4P + 2P ′ η = −Q (P) = − ( −4 − 2P ) = Q 30 − 4P − P 30 − 4P − P 30 ≈ 3,3 Tại P = 3, η = 1.5 Lựa chọn tối ưu kinh tế: Nhiều toán kinh tế đưa tìm cực trị... tính co giãn cầu: Ta gọi P giá bán sản phẩm Q số lượng sản phẩm bán ( hay nhu cầu loại sản phẩm ) Khi ta coi Q hàm số với biến số P, nhìn chung hàm số nghịch biến giá bán cao nhu cầu thấp ngược... đất cất nhà Đến tháng năm 2008 lãi suất ngân hàng 1,75% / tháng số người mua đất cất nhà giảm 1.3 Giá trị cận biên: Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi biến phụ thuộc y biến độc lập x