Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Kiến thức liên quan 1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng 1.2 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ 1.3 Phép toán vec tơ 1.4 Các công thức 1.5 Khái niệm hệ tọa độ không gian 13 1.6 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ 13 1.7 Các phép toán vectơ 14 Một số dạng toán giải phương pháp tọa độ 2.1 19 Các toán hình học chứng minh, tính toán 19 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.1.1 Phương pháp giải 19 2.1.2 Các ví dụ 20 Bài toán chứng minh đường qua điểm cố định 23 2.2.1 Phương pháp 23 2.2.2 Các ví dụ 23 Bài toán quỹ tích 25 2.3.1 Phương pháp giải 25 2.3.2 Các ví dụ 26 Bài toán dựng hình 28 2.4.1 Phương pháp giải 28 2.4.2 Các ví dụ 28 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình 30 2.5.1 Phương pháp giải 30 2.5.2 Các ví dụ 30 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình 33 2.6.1 Phương pháp giải 33 2.6.2 Các ví dụ 34 Bài toán chứng minh bất đẳng thức 36 2.7.1 Phương pháp giải 36 2.7.2 Các ví dụ 36 Bài toán cực trị 39 2.8.1 Phương pháp giải 39 2.8.2 Các ví dụ 40 Một số tập vận dụng 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Quốc Tuấn- người tận tình hướng dẫn em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giảng dạy em bốn năm qua, kiến thức mà em tiếp thu giảng đường Đại học hành trang giúp em vững bước tương lai Em muốn gửi lời cảm ơn đến anh chị khóa trước giúp đỡ cho em lời khuyên chuyên môn trình thực khóa luận Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến tất bạn bè, gia đình, người kịp thời động viên giúp đỡ em vượt qua khó khăn sống Em xin chân thành cám ơn! Sinh viên Bùi Thị Mãnh GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Phần I: MỞ ĐẦU Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" I Lí chọn đề tài Bằng thực tiễn toán học, lý luận khẳng định kiến thức vectơ, tọa độ môn học hình học giải tích cần thiết có hiệu giải số dạng toán sơ cấp Chính vậy, việc hiểu nắm vững môn học cần thiết Hình học giải tích đươc sáng lập hai nhà bác học người Pháp: Descartes (1596 − 1650) Ferma(1601 − 1655) Cốt lõi phương pháp xác lập tương ứng cặp số thực có thứ tự với vectơ, điểm mặt phẳng hay không gian; nhờ đó, xếp tương ứng kiện cố định toán giúp cho việc giải toán hình học chuyển sang tính toán cách định lượng Gần đây, nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay tạp chí toán học có nhiều toán không liên quan đến hình học giải phương pháp tọa độ Đó toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hay toán chứng minh bất đẳng thức, toán cực trị Với lí gợi cho em đề xuất đề tài "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Qua việc nghiên cứu nội dung này, em có điều kiện củng cố lại kiến thức học, bổ sung thêm nhiều điều bổ ích II Mục đích nghiên cứu Với lý em chọn đề tài nhằm mục đích sau: - Hệ thống hóa cách chi tiết vấn đề lý thuyết phương pháp tọa độ - Xây dựng hệ thống tập vận dụng, để từ thấy dược tầm quan trọng tính thiết thực lý thuyết phương pháp tọa độ dạng toán GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ số toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán sơ cấp IV Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ để rút số dạng toán phương pháp giải toán liên quan ứng dụng phương pháp tọa độ V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng phương pháp tọa độ để phân dạng hệ thống hóa toán - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân bạn bè, anh chị để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, kết hợp với đưa vào ví dụ minh họa chi tiết - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Phần II: NỘI DUNG Chương Kiến thức liên quan A HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG 1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng Hệ tọa độ afin (O; i; j) có sở (i; j) gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với gọi hệ tọa độ trực chuẩn (hay gọi hệ tọa độ Descartes vuông góc) Kí hiệu: Oxy 1.2 Tọa độ điểm Tọa độ vectơ Trong hệ trục tọa độ (O; i; j) Nếu a vectơ có a = xi + y j cặp số (x, y) gọi tọa độ a Kí hiệu: a = (x, y) −−→ Nếu điểm M mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OM = xi + y j tọa độ điểm M M(x, y) Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" 1.3 Phép toán vec tơ Trong mặt  phẳng Descartes cho vectơ: a = (a1 , a2 ); b = (b1 , b2 ) Ta có:  a =b 1 a = b⇔ a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 )  a =b 2 a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) | a |= ka = (ka1 , ka2 ) a21 + a22  a//b⇔ a = kb hay  a1 a2 b1 b2 Nếu a, b = thì: cos(a, b) =  =0 a ⊥ b⇔ a1 b1 + a2 b2 = a1 b1 + a2 b2 a21 + a22 b21 + b22 − → Trong mặt phẳng Oxy với A(xA , yA ), B(xB , yB ) tọa độ vectơ AB − → AB = (xB − xA , yB − yA ) 1.4 Các công thức Công thức trung điểm, trọng tâm   xI = xA + xB Điểm I trung điểm đoạn AB ⇔ y + yB A y = I 2  xG = xA + xB + xC Điểm G trọng tâm tam giác ABC ⇔  y = yA + yB + yC G 3 xA − kxB   x = M −→ −→ 1−k Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = ⇔ MA = kMB⇔ y − kyB   yM = A 1−k GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Phương trình đường thẳng hệ tọa độ Oxy Đường thẳng d qua M(x0 , y0 ) nhận u(a, b) làm vectơ phương có phương trình tham số là:   x = x + at ,  y = y + bt t ∈R x − x0 y − y0 = , (a, b = 0) a b Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) là: x − xA y − yA = (Quy ước mẫu tử 0) xB − xA yB − yA Phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng Oxy có dạng: có phương trình tắc là: Ax + By +C = 0, A2 + B2 = Từ phương trình tổng quát ta có vectơ phương đường thẳng u = (−B, A) vectơ pháp tuyến n = (A, B) Đường thẳng d qua M(x0 , y0 ) có hệ số góc k cho trước là: y = k(x − x0 ) + y0 Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) (A, B = O(0; 0)) có phương trình: x y + = ( gọi phương trình đoạn chắn) a b Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax + By +C = y = kx + m + Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax + By + M = y = kx + n + Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx − Ay + N = y = − x + q, (k = 0) k GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 10 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" I trung điểm MH:    xI = x0  x =x y0 I ⇒ ⇒ ) ⇒ I(x ; y  yI =  y = 2yI 2 xI2 y2I Thay vào (1) hay ⇒ + = R R x y2 Chứng tỏ quỹ tích I elip (E): + = độ dài trục lớn R, (R)2 R ⇒ xI2 + 4y2I = R2 trục bé R Bài Cho ∆ABC, M điểm di động cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuông góc song song với AB(N ∈ AB, Q ∈ BC) Gọi P hình chiếu Q AB, I tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I M chạy cạnh AB Hướng dẫn: - Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB - Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho A ∈ Ox, Oy qua BC - Tìm tọa độ N, Q, I theo tọa độ điểm A, B, C, M - Tìm mối liên hệ tung độ hoành độ điểm I( ý điều kiện điểm M) Lời giải: - Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB - Chọn hệ trục tọa độ Oxy ( hình vẽ) GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 54 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Giả sử tọa độ đỉnh A, B, C: A(a; 0), B(b; 0),C(0; h)(h > 0) Phương trình x y + = đường thẳng AC theo đoạn chắn: a h x y Phương trình đường thẳng BC theo đoạn chắn: + =1 b h Giả sử MQ có phương trình: y = m(0 ≤ m ≤ h) Tọa độ hệ phương trình:   điểm Q nghiệm   y=m y=m a ⇔ ⇒ Q (h − m); m a x y  x = (h − m)  + =1 h a h h a b (h − m); m Tọa độ điểm P P (h − m); Tương tự ta có: M h h Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Suy I trung điểm MP Khi đó:    xI = (xM + xP ) = (a + b)(h − m) (1) xI yI 2h ⇒ + = (∗) a+b h   yI = (yM + yP ) = m (2) 2 2 2x1 Từ (1) suy m = h − a+b Từ (2) suy m  = 2y1  2x    ≤ h 1−  ≤ x1 ≤ a − b ≤h a+b Vì ≤ m ≤ h nên ⇔ (∗∗) c     ≤ y1 ≤ ≤ 2y1 ≤ h Từ (*) (**) suy quỹ tích tâm I hình chữ nhật MNPQ đoạn KH, K, H trung điểm OC AB (đpcm) GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 55 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Chú ý: Mọi lập luận toán không phụ thuộc vào hình dáng ∆ABC Bài Dựng góc α, biết tan α = Lời giải: + Cách dựng: - Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy ta lấy điểm A(2; 0), điểm B(0; 5) - Vẽ tam giác OAB Khi đó: OBA góc cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh + Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Bài 10 Cho điểm A cố định đường thẳng a cho trước, đường tròn tâm O’ bán kính r cho trước Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn tâm O’ tiếp xúc với đường thẳng a A GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 56 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Lời giải: + Cách dựng: Chọn hệ tọa độ Đêcác vuông sau: Trục Ax ≡ a, trục Ay đường thẳng vuông góc với a A - Lấy điểm I(0; −r) - Nối IO’ - Dựng đường trung trực (d) O’I - O = (d) Ay - Đường tròn tâm O”, bán kính R đường tròn cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có: - (O”, R) tiếp xúc với Ax A - O I = O O = O A + AI = R + r ⇒ (O”) tiếp xúc (O’) + Biện luận: - Với điểm I (0, r) với cách dựng tương tự ta có thêm nghiệm hình Vậy toán có hai nghiệm hình GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 57 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Bài 11 Biện luận hệ phương trình sau theo giá trị a:   x + y = 2a − (1)  x2 + y2 = a2 + 2a − (2) Lời giải: Điều kiện: a2 + 2a − ≥ ⇔ a ≤ −3 a ≥ (3) Phương trình (1) phương trình đường thẳng (∆): x + y + − 2a = Phương trình (2) phương trình đường tròn có tâm O(0; 0) có bán kính √ R = a2 + 2a − Để hệ có nghiệm khi: (∆) (C) = ∅ ⇔ d(O, ∆) ≤ R |1 − 2a| √ ⇔ d(O, ∆) = √ ≤ a + 2a − ⇔ 4a2 − 4a + ≤ 2(a2 + 2a√− 3) √ 2 − + ⇔ 2a2 − 8a + ≤ ⇔ ≤a≤ 2 √ √ 4− 4+ Vậy theo diều kiện giá trị a ≤a≤ hệ có nghiệm 2 √ √ 4− 4+ Hệ có nghiệm ⇔ a = a = √ √ 4− 4+ Hệ có nghiệm ⇔ 2 Bài 12 √ Biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: − x2 = mx + − m GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 58 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Lời giải: Ta xét đường cong y = √ − x2 (1) (x ∈ [−2; 2]) đường thẳng y = mx + − m (2) √ − x2 ⇔   y≥0 (I)  x + y2 = ⇒ (I) nửa phía trục Ox đường tròn O(0; 0) bán kính R = có Đường cong: y = phương trình: x2 + y2 = Xét: y = mx + − m (2) đường thẳng (∆) có hệ số góc k = m với giá trị m đường thẳng (∆) qua điểm A(1; 2) Vậy phương trình cho có nghiệm đường thẳng (∆) : y = mx + − m cắt nửa đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = với y Xét (d) tiếp tuyến qua A(1; 2), đó:  m=− |2 − m| d(O, (d)) = ⇔ √ =2⇔ m +1 m=0 Gọi điểm B(−2; 0) C(2; 0), hệ số góc đường thẳng AB: kAB = , hệ số góc đường thẳng AC: kAC = −2 Vậy: Phương trình có hai nghiệm < m ; −2 m < − 3 −4 Phương trình có nghiệm < m ∨ m < −2 ∨ m = ∨ m = 3 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 59 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Bài 13 √ √ √ Giải bất phương trình: x + + 2x − + 50 − 3x ≤ 12 Lời giải: 50 ; Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz chọn: √ √ √ √ √ u = ( x + 1; 2x − 3; 50 − 3x) ⇒ |u| = 48 = √ v = (1; 1; 1) ⇒ |v| = √ √ √ u.v = x + + 2x − + 50 − 3x Tập xác định: T = |u|.|v| = 12 Kết hợp giả thiết toán, ta có kết toán 50 Vậy bất phương trình thỏa mãn với ∀x ∈ ; Bài 14 Cho a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn 2n số tùy ý Chứng minh: n ∑ n a2k + b2k ≥ k=1 ∑ ak n + k=1 ∑ bk k=1 Lời giải: Đặt O(0; 0), Mk (ak ; bk ), k = 1, n Ta có: ∑nk=1 OMk có tọa độ (a1 + + an ; b1 + + bn ) Theo tính chất vectơ, ta có: n n −−→ ∑ OMk ∑ | OMk | k=1 k=1 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 60 −−→ SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" hay n ∑ ak n + k=1 n ∑ bk ∑ k=1 k=1 a2k + b2k Bài 15 Cho ∆ABC có góc A, B, C Chứng minh: cos A + cos B + cosC ≤ Dấu "=" xảy ∆ABC Lời giải: Chọn e1 , e2 , e3 vectơ đơn vị hướng với vectơ AB, BC, CA Ta có: (e1 , e2 , e3 )2 ≥ e1 + e2 + e3 + 2(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) ≥ hay e1 = e2 = e3 = e1 e2 = cos(π − B) = − cos B e2 e3 = cos(π −C) = − cosC e3 e1 = cos(π − A) = − cos A Vậy: − 2(cos A + cos B + cosC) ≥ hay cos A + cos B + cosC ≤ Dấu "=" xảy e1 + e2 + e3 = tức ∆ABC Bài 16 Chứng minh ∀x ∈ R thì: x2 − 4x + 13 + √ 34 x2 + 2x + ≥ Lời giải: Ta biến đổi: √ √ √ x2 − 4x + 13 + x2 + 2x + ≥ 34 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 61 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" ⇔ (x − 2)2 + 32 + (x + 1)2 + 22 ≥ √ 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u = (−x + 2; 3) ⇒ |u| = (x − 2)2 + 32 (x + 1)2 + 22 √ u + v = (3; 5) ⇒ |u + v| = 34 v = (x + 1; 2) ⇒ |v| = Áp dụng bđt: |u| + |v| ≥ |u + v| ⇒ (x − 2)2 + 32 + (x + 1)2 + 22 ≥ √ 34 (đpcm) Bài 17 Cho x ∈ 0, π , chứng minh: cos x + sin 2x + sin x − cos x − sin 2x + sin x sin x Lời giải: Ta biến đổi biểu thức vế trái bất đẳng thức, ta được: √ √ cos x + sin 2x + sin x = cos x + sin x + sin x 2 √ cos x − sin 2x + sin x = cos x − sin x 2 + √ sin x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: √ u = cos x + sin x; sin x ⇒ | u |= 2 cos x + sin x 2 √ v = cos x − sin x; sin x ⇒ | u |= 2 cos x − sin x 2 2 + √ sin x 2 + √ sin x u − v = (sin x, 0) ⇒ | u − v |= sin x | u | − | v | | u − v | ⇒Bất đẳng thức chứng minh GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 62 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Bài 18 Cho x, y ∈ [0; 1], chứng minh: (1 + x)(1 + y) + (1 − x)(1 − y) ≤ Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: √ √ √ u = ( + x; − x) ⇒ |u| = √ √ √ v = ( + y; − y) ⇒ |v| = u.v ≤ |u|.|v|√ ⇔ (1 + √ x)(1 + y) + (1 − x)(1 − y) ≤ 1+x 1−x =√ (1) Dấu "=" xảy ra: √ 1+y √ 1−y √ Xét y = ⇒ u = ( + x; − x); √ √ v = ( + y − y); √ √ ⇒ u.v = + x ≤ √ √ 2 = 2(đpcm) Dấu "=" xảy ⇔ x = Xét y = −1 tương tự x = −1 Xét y = ±1 x = y Vậy đẳng thức xảy ⇔ x = y Bài 20 Cho x2 + y2 = √ √ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x + y + y + x Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u = (x, y) ⇒ | u |= x2 + y2 = √ √ v= + y, + x √ √ ⇒ | v |= x + y + 2(x2 + y2 ) + = + √ √ √ √ A = u.v = x + y + y + x | u | | v |= x + y + 2 + GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 63 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" √ x y Dấu "=" xảy √ =√ ⇔x=y= 1+y 1+x √ √ Vậy Amax = + x = y = Bài 20 Cho góc tam diện vuông Oxyz Điểm N cố định nằm góc tam diện, mặt phẳng (P) qua N cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ N đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, theo giả thiết ta có: N(a, b, c) Khi phương trình (P) qua N có dạng: (P) : m(x − a) + n(y − b) + k(z − c) = ( với m, n, k > 0) Theo giả thiết giao điểm (P) với Ox, Oy, Oz A, B, C Ta có: GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 64 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" ma + nb + kc −→ ma + nb + kc ; 0; ⇒ OA = m m ma + nb + kc −→ ma + nb + kc A 0; ; ⇒ OB = n n ma + nb + kc −→ ma + nb + kc ⇒ OC = A 0; 0; k k 1 (ma + nb + kc)3 Ta có: VOABC = OA.OB.OC = 6 m.n.k A √ √ (ma + nb + kc) 3 m.a.n.b.k.c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ≥ = 3 a.b.c m.n.k m.n.k ⇒ (ma + nb + kc)3 27 ≥ a.b.c = a.b.c m.n.k Vậy MinVOABC = a.b.c m.a = n.b = k.c, đó: ma + nb + kc ma + nb + kc ma + nb + kc OA = = 3a; OB = = 3b; OC = = 3c m n k Theo ta có: ma + nb + kc ma + nb + kc ma + nb + kc OA + OB + OC = + + m n k nb ma kc ma kc nb = a+b+c+ + + + + + m n m k n k Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: √ √ √ √ √ √ OA + OB + OC ≥ a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c)  nb ma   =   n  m kc ma Dấu "=" xảy khi: ⇒ b.n2 = a.m2 = c.k2 =  m k   kc nb   + n k √ √ ma + nb + kc a a Khi đó: OA = = 3a = a + b + c = a + ab + ac, b√ c √ m√ √ tương tự OB = b + ba + bc; OC = c + ca + cb √ √ √ √ √ Vậy Min(OA+OB+OC) = ( a+ b+ c)2 OA = a+ ab+ ac; OB = √ √ √ √ b + ba + bc; OC = c + ca + cb MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 65 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Bài 1.Cho tam giác ABC đường tròn đường kính BC cắt AB, Ac DG Chứng minh AM ⊥ BC Bài Cho ∆ABC, AB = c, AC = b M nằm cạnh BC cho BAM = α bc Chứng minh AM = c cos α + b sin α Bài 3.Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a xác định tính độ dài đường vuông góc AH DB Bài 4(TSĐH- khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài Cho ∆ABC không cân có hai đỉnh B C cố định đỉnh A di động Qua b dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AI tam giác ABC K Gọi H trục tâm ∆ABC Chứng minh IH//KC điểm A di động đường cố định Bài Cho ba số dương a, b, c ( cho trước) ba số dương x, y, z a b c thỏa mãn + + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + z x y z   x + my − m = m tham số Bài Cho hệ phương trình  x2 + y2 − x = Giải hệ m = Khi hệ có hai nghiệm (x1 , y1 ); (x2 , y2 ), tìm M để A = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 đạt giá trị lớn Bài Tùy theo m, biện luận số nghiệm phương trình: logm2 +2 (1 − x2 − m2 ) = logm2 +2 [2(1 + x + m)] √ √ √ Bài Cho a, b, c ≥ Chứng minh: a3 +b3 +c3 ≥ a2 bc + b2 ca + c2 ab (a + b)(1 − ab) ≤ Bài 10 Với ∀ a, b∈ R, chứng minh rằng: (1 + a2 )(1 + b2 ) GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 66 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua toán trên, đủ để thấy hết ưu điểm, nhược điểm phương pháp tọa độ Và tất nhiên, vừa đủ để thấy việc chọn hệ tọa độ thích hợp Muốn giải toán phương pháp tọa độ, ta cần chọn hệ trục tọa độ cho hình vẽ cũ hình vẽ dễ quan sát tốt hệ trục đó, việc tính toán đơn giản Để chọn hệ trục tọa độ tốt, cần vào yếu tố cố định toán cho Tuy nhiên, chọn hệ trục tọa độ tốt rồi, cần phải có phương pháp tính kĩ tính tốt, việc giải toán hình học phương pháp tọa độ trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn Thông qua khóa luận chứng tỏ điều rằng:" phương pháp tọa độ làm vẻ đẹp hình học, mà phương pháp tọa độ làm tăng thêm vẻ quyến rũ hình học" Do trình độ hạn chế thời gian nghiên cứu làm khóa luận nên viết không tránh khỏi sơ suất thiếu sót mong thầy cô bạn thông cảm, đóng góp ý kiến Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Quốc Tuấn thầy cô khoa Toán - Tin trường Đại Học Quảng Bình tận tình hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận dạy dỗ em suốt thời gian học tập GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 67 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số toán sơ cấp" TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy( Chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, (2006), Hình học 10, Hình học 12, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo( Chủ biên), Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam Duy Lê, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thành, (2002), Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học giải tích, NXB Giáo Dục Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Trần Đình Thì,(2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ,, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Đức trí, (2010), Phương pháp giải toán hình học giải tích không gian, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Đức Trí, (2012), Phương pháp giải toán hình học mặt phẳng, NXB Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, (12 − 2008), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội Nguyễn Văn Lộc, (5 − 2008), Phương pháp vectơ giải toán hình học không gian, NXB Giáo Dục Nguyễn Phương Thảo, (2009), Một số ứng dụng phương pháp tọa độ việc giải toán trường THPT, khóa luận tốt nghiệp trường ĐH Hùng Vương 10 Các trang web: vnmath.com.vn; vuptnk.tk; pdanghai.wordpress.com; ; diễn đàn toán học.v.v GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 68 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 [...]... đi qua một điểm cố định Hướng dẫn - Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện khi ta đại số hóa bằng phương pháp tọa độ - Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 23 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" Lời giải: -... hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp B2 Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn Tìm phương trình đường, mặt, các đường và các mặt đã cho B3 Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải 19 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" ... định 2.3 Bài toán quỹ tích 2.3.1 Phương pháp giải I( 1−b b−1 ; ) 2 2 B1 Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết B2 Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 25 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" 2.3.2... đối xứng với B qua Oy - Dựng D đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với B qua Ox ⇒ ABCD là hình chữ nhật cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh + Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi p > GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 29 8R2 − p2 hay p > 2R SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" 2.5 Bài toán giải. .. Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" Ví dụ 6.(Chọn đội tuyển trường Phổ Thông Năng Khiếu 2008) Cho góc Ixy và điểm P nằm bên trong góc Đường tròn thay đổi qua I và P cắt hai tia Ix, Iy lần lượt tại A, B Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác IAB Lời giải: Bài toán này rất ít bạn có thể nghĩ tới phương pháp tọa độ khi... K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" +Viết phương trình mặt phẳng α chứa ∆ và song song với ∆ +Lấy một điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) tùy ý trên ∆ Khoảng cách giữa ∆ và ∆ chính là khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng α: GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 18 d(∆, ∆ ) = d(M0 , α) SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Chương 2 Một số dạng bài toán giải bằng phương. .. Nguyễn Quốc Tuấn 28 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" Lời giải: + Cách dựng: Chọn hệ tọa độ như sau: Gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn Trục hoành, trục tung lần lượt là hai đường kính vuông góc của đường tròn Giả sử hình chữ nhật cần dựng có các cạnh có độ dài lần lượt là: a, b thỏa mãn: a + b = p(a >... a ∧ b = −(b ∧ a) a và b cùng phương ⇔ a ∧ b = 0 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 14 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" (a ∧ b) ⊥ a và (a ∧ b) ⊥ b | a ∧ b |=| a | | b | sin(a, b) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ (a ∧ b).c = 0 Ứng dụng của các phép toán và các công thức liên quan Ứng dụng của tích vectơ − → −→ Gọi SABCD... giữa các đường, các mặt trong mặt phẳng để tìm nghiệm của hệ bất phương trình GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 33 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" 2.6.2 Các ví dụ Ví dụ 11 √ 2 x2 + 1 √ √ Giải bất phương trình: x x + 1 + 3 − x Lời giải: Tập xác định: −1 x 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: √ u = (x; 1) ⇒ | u |= x2... x = 3−x 2 5 7 Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 GVHD: ThS Nguyễn Quốc Tuấn 30 SVTH: Bùi Thị Mãnh Lớp ĐHSP Toán- Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp" Ví dụ 9 Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất   x2 + y2 − x − 6y + 8 = 0 (1)  x2 + y2 − 2mx − 1 = 0 (2) Lời giải: 5 1 ; 3 , R1 = 2 4 Phương trình (2) là phương trình đường tròn ... kết kinh nghiệm thân bạn bè, anh chị để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, kết hợp với đưa vào ví dụ minh họa chi tiết - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý