MUC LUC Trang Mò dau Chircmg Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he phirang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot LL Bài toàn thàc trien doi vai nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot, he so hàng va càc ù'ng dung cùa nò L2 Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng vai he so hàm Chircmg Bài toàn thàc trien va toàn Cousin doi vai hàm chinh quy nhan già tri dai so Quaternion 2.0 Mot so khài niem va ti'nh chat ca bàn ve dai so Quaternion 2.1 Bài toàn thàc trién doi vói hàm chinh quy 2.2 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc diéu hòa vào tham so 2.3 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy 11 11 39 52 52 56 65 76 C h u a n g Bài toàn thàc trién va toàn Cousin doi vói hàm chinh quy nhan già tri dai so Clifford 85 3.L Bài toàn thàc trién doi vói hàm da chinh quy 86 3.2 Bài toàn kieu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thirc vào tham so 101 3.3 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc chinh hình vào t h a m so 115 K e t luàn Càc bào co lién quaji den luan n 123 124 Tài liéu t h a m khào 126 CAC KY HIEU D U N G T R O N G L U A N A N Rank D - hang cùa ma tran D det D - dinh thuc cùa ma tran D A - toàn Laplace H - dai so Quaternion A - dai so Clifford (thuc) Cm - dai so Clifford (phuc) i?(fì, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già tri thuc, dièu hòa fi 7?-(fì,IHI) - t i p tàt cà càc hàm chinh quy fi, nhan già tri H T^H{^I X Q2Ì U) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, dièu hòa Q2, nhan già tri H TZHÌ^I X f)2, H) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) fìi, dièu hòa 0.2-, nhan già tri H 7?,s(fi, H) - tap tàt cà càc hàm song chinh quy fi, nhan già tri H Co°(fi,IHI) - tap tàt cà càc hàm thuoc lóp C°° co già tri compact fi, nhan già tri H ujm+i - dien tich mat càu don vi S'^ khòng gian ]R"^~^-^ 7^^(fii X fi2, vA) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, giài tich thuc fi2, nhan già tri A TZA{^I X fi2, ^ ) - tap tàt cà càc hàm chmh quy (co ky di) fii, giài tich thuc fi2, nhan già tri A 7^-^(fii X fi2, C) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, chinh hình fi2, nhan già tri phùc 7è>^(fii X 0.2^^) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) fi^, chinh hình fi2, nhàn già tri phùc 7^(fi, C) t a p tàt cà càc hàm chinh hình fi >l(fi, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già thuc, giài tich t h y c fi Dq, - càc dang vi phàn dai so Quaternion dau, du - càc dang vi phàn dai so Clifford A (hoac C ^ ) MODÀU Tu hai thàp ky gàn day, viéc nghién cuoi toàn tu Cauchy- Riemann suy róng va toàn tu Dirac dà tra thành de tài trung tàm cùa nhiéu ngành toàn hoc hien dai Mot mat, nhiéu toàn toàn cuc duoc nghién culi co lién quan chat che vói càc tinh chat cùa hai toàn tu trén càc da tap Mat khàc, viéc nghién cuu càc tình chat dia phuang cùa nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann suy róng va toàn tu Dirac dàn dèh mot vàn de mói me ly thuyét hàm giài tich Qifford ([6]-[10], [13]-[15]) Giài tich Qifford su ma róng cùa giài tich phùc cho lóp hàm nhan già tri mot dai so' két bop, khóng giao hoàn, bao hàm nhùng dai so' quan trong ùng dung cùa vàt ly ly thuyét, ly thuyét hat ca bàn va ly thuyét truòng luang tu nhu: Dai so Quartemion, Dai so' Dirac, Dai so Pauli, Nhùng két qua cùa F Brackx, R Delanghe, R Gilbert, B Goldschmidt, V P Palamodov, D Partici, W Pincket, G B Rizza, J Ryan, F Sommen, Le Hung Son, D C Struppa, cho thày nhiéu tinh chat quan cùa hàm chinh hình mot va nhiéu bién phùc, nhu hàm giài tich suy róng (theo nghia I N Vekua) dà duac ma róng cho càc hàm chinh quy va chinh quy suy róng, nhan già tri mot dai so Qifford Y nghla to lón cùa huóng nghién cuu ma róng pham vi ùng dung cùa giài tich phùc cho mot lóp róng han càc he phuang trình dao hàm riéng, bao góm nhùng he phuang trình quan nhà't vàt ly ly thuyét, ca hoc luang tu, ly thuyét truòng va ùng dung ky thuat nhu : he Maxwell, he Riesze, he phuang trình biéu dién Sohton, he biéu dién càc truòng Gauge va Yang ~ Mills, ly thuyét chuyén pha va khào sàt phàn bó cùa nhùng hat Quard (hat siéu vàt chat) Nò ma nhùng phuang phàp mói giùp cho viéc giài càc toàn bién cùa he phuang trình dao hàm riéng nhiéu bién vò'n truóc day gap nhiéu khó khan nhu toàn bién cùa hàm chinh hình nhiéu bién phùc tra nén de dàng hon Tuy nhién, viéc nghién cùu ly thuyét hàm nhàn già tri mot dai so aifford co nhùng han che tinh chat qua tóng quàt cùa nò Trong mot so nàm gàn day, nhiéu nhà toàn hoc nhu R Delanghe, Gentili, D Penici, F Sommen, Le Hung Son, V Soucek, A Sudbery, dà bàt dàu xày dung ly thuyét hàm nhàn già tri mot dai so hep han dai so' Qifford nhung dù ma róng cho càc dai so' quan nhu dai so' Quaternion, dai so' Pauli va dac biét su ma róng cùa càc nhóm quay va nhóm Spin, thuòng gap càc ùng dung vat ly va ky thuat Dò nói dung ca bàn cùa huóng nghién cùu mang tén "Hình hoc va giài tich Spinor" Day huóng nghién cùu mói dai, ké thùa nhùng dó'i tuong va phuang phàp cùa nhiéu llnh vuc nghién cùu quan khàc cùa toàn hoc hién dai nhu giài tich phùc mot va nhiéu bién, giài tich diéu hoà, giài tich Oifford, ly thuyét dóng diéu, hình hoc Yang - Mills, Ly thuyét hàm trén truòng Quaternion duac nghién cùu dàu tién boi Hamilton ([29]) vào cuòi théky 19 Bàn thàn Hamilton va nhùng nguòi kétuc chinh cùa óng Tait ([71]) va Jolly ([33]) chi phàt trién ly thuyét hàm mot bién Quaternion bang càc phuang phàp chung cùa ly thuyét hàm so Nàm 1935, R Fueter ([19]-[22]) dà dua khài niem hàm chinh quy, nghiem cùa he phuang trình tuong tu he Cauchy - Riemann Òng chi ràng, hàm chinh quy co nhùng tinh chat tuang tu hàm chinh hình nhu dinh ly Cauchy, cóng thùc tich phàn Cauchy, su khai trién Laurent, dinh ly nhà't Muòi hai nàm sau, Fueter va càc cóng su dà phàt trién càc két qua trén va xày dung ly thuyét giài tich Quaternion va dà dat duac nhiéu két qua sau sàc Tuy nhién, co mot so' diém khóng tron ven ly thuyét Nhiéu dinh ly nói trén hoac khòng tóng quàt, hoac khóng dugc chùng minh chat che nhu càc chuàn mire thóng thuòng ve su trình bay ma giài tich phùc dòi hòi Nhùng nàm gàn day, giài tich Quaternion dà co nhùng buóc phàt trién mói nhò càc cóng trình nghién cùu cùa W W Adams, C A Berenstein, P Loustaunau, I Sabadini, D C Struppa ([l]-[2]), S Adler ([4]), Deavours ([16]), V R Palamodov ([42]), D Penici ([43]), Salamon ([50]-[51]), Le Hùng San ([57]) A Sudber\' ([68]), Nàm 1978, A Sudbery dà bó sung mot so' két qua mói ve hàm chinh quy mot bién Quatemion dugc dinh nghia bòi R Fueter Su dung phép tinh vi phàn ngoài, A.Sudbery dà dua nhùng càch chùng mmh mói va don giàn cho hàu hét càc dinh ly co bàn va co thè xàc dinh dugc rò ràng mói quan he giùa giài tich Quatemion va giài tich phùc Gàn day, D Pertici ([43]) dà nghién cùu ly thuyét hàm chinh quy nhiéu bién Quatemion va khài quàt mot so dinh ly tu giài tich phùc nhiéu bién cho lóp hàm nhu cóng thùc Bochner - Matinelli, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, Mot dang dac biét cùa hàm chinh quy nhan già tri dai so Qifford hàm song chinh quy dugc nghién cùu boi F Brackx, W Pincket va Le Hùng San Trong ([55]), Le Hùng San dà dua khài niem hàm da chinh quy Dò su tóng quàt cùa hàm chinh quy khóng gian nhiéu chiéu Ben canh dò, khài niém hàm song chinh quy suy róng dugc xét ([55]) Mot so két qua quan cùa lóp hàm nhu cóng thùc tich phàn Cauchy, dinh ly nhàt, nguyèn ly modul cuc dai, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, dà dugc chùng minh ([55]) Mot nhùng vàn de quan cùa huóng nghién cùu toàn thàc trién va toàn Cousin dó'i vói càc lóp hàm nói trén Càc két qua chù yéu dugc the hién càc cóng trình cùa Le Hùng San ([54]-[67]) Mot huóng nghién cùu khàc ma róng toàn tu Cauchy-Riemann dà dugc mot so tàc già quan tàm Nàm 1986 Dang Vàn Khài xét toàn tu dò £; = ± 1, càc vecta e^ thòa man diéu kién Uén hgp e-A^^A, + eA^eA, = 2^ij-eo, i,j = L ,/c va nhàn dugc két qua: mgi hình chinh quy theo nghia Tf-0 co nhùng tinh chat tuong tu nhu hàm chinh quy theo nghia cùa R Delanghe ([9]) hay cùa F Sommen ([53]) Nàm 1994, Tran Quyé't Thàng dà xét phuang trình dang dò D^ toàn tu Cauchy-Riemann, J:^-> ^ toàn tu myén tinh va dà ma róng mot so két qua cùa ly thuyét L N Vekua ve hàm giài tich suy róng mot bién phùc cho lóp nghiem cùa phuang trình nói trén Ngoài ra, tàc già dà chùng minh dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs truòng hgp W{x, t) hàm chinh quy phài theo tham so' t va giài toàn kiéu Cousin cho lóp hàm nói trén Tiép theo, nàm 1996, Nguyèn Cành Luang dà chi diéu kién càn va dù de tón tai he vecta thoà man diéu kién lién hgp cùa toàn tu Tlà k (3.21) day càn phài su dung ky thuàt hoàn toàn mói viéc chùng minh càc bó de, dinh ly co quan, tu dò thu dugc dinh ly kiéu Hartogs Muc nghién cùu toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so De phuc vu cho muc dich này, phài chùng minh dinh ly kiéu Runge dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so Vi vay, càn xày dung càc hàm xà'p xì ma dinh ly Runge dòi hòi Càch làm a day hoàn toàn khàc vói ky thuat dà su dung Chuang Bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc chinh hình vào tham so, nhan già tri dai so Cliffford phùc dugc xét Muc 3.3 Chù y ràng, khài niém hàm chinh quy dugc nói dén a day hiéu theo nghia cùa F Sommen, gàn lién vói toàn tu Dirac, khòng hoàn toàn gióng nhu khài niém hàm chinh quy theo nghia cùa R Delanghe, nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann 10 Phàn cuòi Chuang giói thiéu hai toàn ma dai so Quatemion va dai so Qifford Càc kél qua chinh cùa luàn àn dà dugc dang va nhàn dàng [1-5] va dà dugc bào cao tai càc hgi nghi khoa hoc va càc xemina sau: - Hói nghi quoc té thù "Finite or infinite dimensionai complex analysis and apphcations"tai Nhàt Bàn, 8-1999 PGS TSKH Le Hùng San trình bay - Hòi nghi quóc té thù "Finite or infinite dimensionai complex analysis and applications" tai Ha Nói, 8-2001 - Hói nghi phuang trình dao hàm riéng va ùng dung, Vién Toàn hoc, 12-1999 - Hòi nghi vàt ly ly thuyét toàn quóc thù 24, - 1999 - Hòi nghi vat ly ly thuyét toàn quóc thù 26, - 2001 - Xemina phuang trình dao hàm riéng lién truòng Dai hoc Bach khoa Ha Nói va Dai hoc Khoa hoc Tu nhién - Xemina giài tich - dai so Khoa Toàn - Ca - Tin hoc, Dai hoc Khoa hoc Tu nhién, Dai hoc Quóc già Ha Nói - Hòi nghi khoa hoc ky niém 50 nàm thành lap Dai hoc Su pham Ha Nói 1,9-2001 - Hói nghi khoa hoc ky niém 45 nàm thành làp Dai hoc Bach khoa Ha Nói - Hòi nghi ùng dung toàn hoc toàn quóc thù nhàt, 12-1999 118 (3.83) Dàt ^(z) = ^ / X ' ( z ) e A vói/X^(2) chinh hình Q2 {() Theo dinh ly Runge doi vói hàm chinh hình ([49]), ton tai hàm Q]^ € l f ( C " X ) cho •{() W r;'{z)-Q^;'{z K, < (3.84) 2^"+! 2(+^\\Pe{x)\\K, ,(^) Ky hiéu Qe{z) = E Q À e^- Tù (3.83), (3.84) suy \\fe{^)-Qe{z)\\K, = \\j2ifA^^^^-QAH^)yA K2 m ^(t/a,C^) co tinh chat fa-ff3^T^n{UanUpXm)- Nhò Dinh ly 3.15 chùng minh tuong tu nhu Dinh ly 3.9, ta co két qua sau 122 Dinh ly 3.17 Ton tai hàm f e nn{^i x ^ , ^ ^ ) thóa man f-faenn{UaXm) Vo G / Ket thùc luan àn, ta dua hai toàn mó Hy vong rang, co the nhan dugc nhùng két qua tuong tu nhu dà trình bay Chuong Chuong Cho n mièn cùa M" cho càc hàm //, G G'=^(fi,H) vói fc > 2, n > 2, /i = , ,n Xét he ^ = fh /i-L ,n (*) Bài t o n I Tìm dièu kién tuong thich cùa he (*) Khi dièu kién tuong thich sé dù de he (*) giài dugc He (*) sé giài dugc cho nhirng loai mièn Ap dung càc két qua 1, de giài toàn kiéu Cousin co ky di dia phuong cho truóc Già su A dai so Clifford thuc, dugc xày dung trén khóng gian W^ Cho fi mièn cùa khòng gian Euchdean jjmi+i X X R^-+^ ^ R^, mj < m, rrih m > Q Xét càc toàn tù Cauchy Riemann D^(h) = J2 —7h) ' i=o dxi Cho ckchkm fh eC^{fl,A), k>2, /i^l, ,n Xét he D^i^)g = fn /i = 1, ,n (**) Bài toàn II dugc dat nhu Bài toàn L Ngoài ra, ta co toàn tuong tu toàn II, thay dai so Clifford thuc A bang dai so Clifford phùc C^ Luu y ràng, truòng hgp này, càc toàn tù Cauchy - Riemann dugc thay bang càc toàn tù Dirac rrih Q i=i dx) ^ 123 KÉT LUAN Luan àn de càp dén toàn thàc trién toàn kiéu Cousin (mó rong dinh ly Mittag-Leffler) mot so truòng hgp khàc Càc két qua chinh cùa luan àn co thè dugc tòm tat nhu sau: Su dung tiéu chuan ma tran de chùmg minh mot so dinh ly thàc trién dói vói nghiem cùa he Maxwell, he Riesz, he Moisil-Theodorescu he Vinogradov Mó rong dinh ly thàc trien Hartogs dói vói nghiem cùa he phuong trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot tong quàt vói he so hàm Chùng minh dinh ly thàc trién dói vói hàm chinh quy nhan già tri dai so Quaternion, truòng hgp dac biét ta nhan dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs Dua càch giài toàn kiéu Cousin dói vói hàm chinh quy phu thuòc diéu hòa vào tham so hàm song chinh quy nhan già tri dai so Quaternion Chùng minh dinh ly thàc trién Hartogs dói vói hàm da chinh quy nhan già tri dai so Clifford De cap dén toàn kiéu Cousin dói vói hàm chinh quy phu thuòc giài tich thuc vào tham so, nhan già tri dai so Clifford (thuc) hàm chinh quy phu thuòc chinh hình vào tham so, nhan già tri dai so Chfford (phùc) 124 CÀC BÀI BÀO CO LIÈN QUAN DÈN LUÀN ÀN A CÀC BÀI DÀ DÀNG VÀ NHÀN DÀNG [1] Le Hung Son and Nguyèn Thanh Van (2000), "Matrix Criteria for the Extension of Solutions of The General Lmear System of Partial Differential Equations With Function Coefficients", Finite or Infinite Dimensionai Complex Analysis, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York Basel, 214, 267-281 [2] Nguyèn Thanh Van (2000), "The Extension Problem for the Maxwell System With Additional Conditions", Finite or Infinite Dimensionai Complex Analysis, Lecture Notes in Pure and Applied mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York Basel, 214, 363-371 [3] Nguyèn Thanh Van (2000), "Application of Extension Theorem of the Solution of a First Order General Linear System of Partial Differential Equations", Finite or Infinite Dimensionai Complex Analysis, Lecture Notes in Pure and Applied mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York Basel, 214, 373-388 [4] Nguyèn Thanh Van (2001), "The Inhomogeneous Generalized Cauchy— Riemann Systems in a Clifford Algebra", Vietnam Journal of Mathematics (Accepted Pubhcation) [5] Le Hung Son and Nguyèn Thanh Van (2002), "Some Extension Theorems for Regular Functions bf Several Quatemionic Variables", Complex Variables: Theory and Applications 47, No 3, 259-269 [6] Nguyèn Thanh Van (2002), "Cousin Problem for Regular Functions Taking Values m a Quaternionic Algebra", SEAMS Bull Mathematics (Accepted Pubhcation) 125 B CÀC BÀI BÀO DÀ GÙl [7] Le Hung Son and Nguyèn Tlianh Van (2001), "Cousm Problem for Regular Functions With Parameter Taking Values m a Chfford Algebra", Applicable Analysic, [8] Nguyèn Thanh Van (2001), "Cousm Problem for Bkegular Functions With Values in a Quatemionic Algebra", Vietnam Journal of Mathematics [9] Le Hung Son and Nguyèn Thanh Van (2001), "The Hartogs Extension Theorem for the Multi - regular Functions Taking Values in a Qifford Algebra", The 9''' International Conference on Finite or Infinite Dimensionai Complex Analysis and Applications, Hanoi, August, 2001 [10] Nguyèn Thanh Van (2001), "Some Extension Theorems for Regular Functions Taking Values in a Clifford Algebra", Vietnam Journal of Mathematics [11] Nguyèn Thanh Van (2001), "Some Properties of The Inhomogeneous Generalized Cauchy-Riemann Systems in Quatemionic Analysis and Its Applications", The 9''' International Conference on Finite or Infinite Dimensionai August, 2001 Complex Analysis and Applications, Hanoi, 126 TÀI LIEU THAM KHÀO [1] Adams W W., Berenstein C A., Loustaunau P., Sabadmi L, Stmppa D C (1997), Regular Functions of Several Quaternionic Variables and The Cauchy - Fueter Complex, m Corso di Stampa su J Geom Anal [2] Adams W W., Berenstein C A., Loustaunau P., Sabadmi L, Struppa D C (1996), "On Compact Singularities for Regular Functions of One Quatemionic Variables", Complex Variables 31, 259-270, [3] Adams W W., Brenstem C A., Palamodov V P., Stmppa D C (1997), "Hartog's Phenomenon and Projective Dùnension of Related Modules", to appear in Ann Inst Fourier, [4] Adler S (1995), Quaternionic Quantum Field Theoij, Princeton Univ Press [5] Bochner and S., Martini W T (1948), Several Complex Variables, Princeton University Press [6] Brackx F and Pmcket W (1985), "The Biregular Functions of Clifford Analysis", Applications Some Special Topics, in Mathematical Clifford Physics, Algebra and NATO ASI Their Series C, Mathematical and Physical Sciences 183, 159-166 [7] Brackx F and Pincket W (1984), "A Bochner- Martinelli Formula for The Biregular Functions of Qifford Analysis", Complex Variables 4, 39-48 [8] Brackx F and Pincket W (1985), "Two Hartogs Theorems for NuUsolution of Overdetermined System in Euchdian Space", Complex Variables 5, 205-222 [9] Brackx F., Delanghe R and Sommen F.(1982), Clifford Analysis, Research Notes in Mathematics 76, Pitman Books Ltd., London 127 [10] Brackx F., Delanghe R and Sommen F (1979), "The Exponential Function of a Quatemion Variables", Appi Anal 8, 265-278 [11] Chavalley C (1954), The Algebraic Theory of Spmors, Columbia University Press, New York [12] Columbo F., Laustaunau F., Sabadmi L, Struppa D C (1996), Regular Functions of Biquaternionic Variables and Maxwell' Equations, Preprint [13] Delanghe R., Sommen F and Soucek V (1992), Clifford Algebra and Spinor Valued Functions- A Function Theory for The Dirac Operator, Kluwer Academic Pubhsher [14] Delanghe R (1970), "On Regular- Analytic Functions With Values m a Clifford Algebra", Math Ann 185, 91-111 [15] Delanghe R (1972), "On The Singularities of Functions With Values in a Qifford Algebra'\ Math Ann 196, 293-319 [16] Devours C A (1973), "The Quatemion Calculus", Amer Math Monthly, [17] 80,995-1008 Ehrenpreis L (1961), "A New Proof and An Extension of Hartogs Theorem", Bull Amer Math Soc 67, 507 -509 [18] Fabiano A., Gentih G., Struppa D C (1994), "Sheaves of Quatemionic Hyperfunctions and Microfunctions", Complex Variables 24, 161-184 [19] Fueter R (1935), "Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen Au = und AA u = mit Vier Reelen Variablen", Comment Math Helv 1, 307-330 [20] Fueter R (1937), "Die Singularitaeten der Eindeutigen Regulaeren Funktionen Liner Quatemionenvariablen", Comment Math Helv 9, 320-335 128 [21] Fueter R (1942), "Uber Eme Hartogs' Schen Satz", Comm Math Helv 12, 394-400 [22] Fueter R (1936), "Uber die Analytische Darstellung der Regularen Funktionen Liner Qualemionen Variablen", Comment, Math Helv 8, 371-378 [23] Gentih C , Mariconda and Taralle M (1990), Quaternionic Regular Maps and 5- Type Operators, Sissa 9M [24] Gilbert R P and Buchanan J L (1983), First Order Elliptic Systems: A Function Theoretic Approach, Math In Science and Engmeering 163, Academic Press, New York [25] Goldschmitd B (1989), "Qifford Analysis", Functional Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Equations, World Scientific, Singapore New Jersey London Hong Kong, 237248 [26] Goldschmitd B (1982), "A Theorem About The Representation of Linear Combinations in Qifford Algebra", Beitraege zur Algebra und Geometrie 13, 21-24 [27] Gunnmg R and Magomedov G A (1978), " Generahzed Analytic Functions on Several Variables", Math Sb 106, 515-543 [28] Guniùng R and Rossi H (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Englewood Qiffs N J [29] Hamilton W R (1866 ), Elements ofQuaternions, London, Longmans Green [30] Hòrmander L (1973), An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland PubUshmg Co., Amsterdam 129 [31] Hòrmander L (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators 2, Springer -Veriag, Berhn -Heidelberg-New -York -Tokyo [32] Hòrmander L (1994), Notions of Convexity, Bùkhaeuser, Boston Basel - Berlin [33] Joly C J (1905), A Manual ofQuaternions, London - Macmilan [34] Kravchenko V., Shapù-o V (1996), Integrai Representation for Spatial Models of Mathematical Physics, Centro de Investigation y de, Estudious Avanzados, Mexico [35] Nguyèn Canh Luong and Nguyèn Van Mau, "On Invertibihty of Lmear Subspace Generatmg Qifford Algebra", Vietnam Journal of Mathematics (to appear ) [36] Moisil G (1931), "Sur ler Quatemions Monogenes", Bull Sci Math Paris 55 (2), 169-194 [37] Moisil G., Theodorescu N (1931), "Functions Holomorphes Dans V espace" Mathematica (CluJ) 5,142-159 [38] Morrey C B., Nkenberg J L, (1957), "On the Analyticity of The Solutions of Linear Elliptic Systems of Partial Differential Equations", Comm On Pure and Applied Math 10, 271- 290 [39] Nono K (1985), "On the Quatemion Linearization of Laplacian A", Bull Fukuoka Univ Educ Nat Sci 35, 5-10 [40] Palamodov V.P (1970), Linear Differential Operators with Constant Coefficients, Springer, Berlin [41] Palamodov V P and Magomedov G A (1978), "Generahzed Analytic Funcdons on Several Complex Variables", Math Sb 106(148), 515543 [42] Palamodov V P (1996), Holomorphic Systems of Monogenie Functions of Several Quaternionic Variables, (in Russian ), Preprint 130 [43] Pertici D (1988), "Funzioni Regolari di Più Variabih Quatemioniche", Ann Math Pura e Appi 5, 39-65 [44] Protter M H., Overdetermined First Order Elliptic Systems, (Prived Commurùcatìon) [45] Rizza G B (1956), "Funzioni Regolari Nelle Algebre di Chfford", Rend Di Math 15, 1-27 [46] RyanJ (1993), Clifford Algebras in Analysis and Related Topics, Stud Adv Math, [47] Sabadmi L, Struppa D C (1996), "Topologies on Quatemionic Hyperfunctions and Duality Theorems", Complex Variables, 30, 19-34 [48] Sabadiiù L, Stmppa D C, Some Open Problems on The Analysis ofThe Cauchy — Fueter System in Several Variables, (Prived Communication 2001) [49] Sabat B V (1969), Introduction to Complex Analysis, Nauka, Moscow (in Russian) [50] Salamon S M (1982), "Quatemionic Manifolds", Symp Math 26, 139151 [51] Salamon S M (1982), "Quatemionic Kaehler Manifolds Invent" Math 67,143-171 [52] Schuler B (1937), "Zur Theorie der Regulaeren Funktionen Liner Quatemionenvariablen", Comment Math Helv 10, 327-342 [53] Sommen F (1989), "Power Series Expansions for Monogenie Functions", Complex Variables 11, 215-22 [54] Le Hung Son and Tran Quyet Thang (1992), "Some Properties of Generalized Bnegular Functions with Values in a Qifford Algebra", Preprint ICTC (to Appear in Math Nachr) [55] Le Hung Son ( 2000), "Some New Results of Clifford Analysis m Higher Dimensionai Complex Analysis", Lecture Notes in Pure and 131 Applied Mathematics 214, 245-265, Macel-Dekker, Inc New York Basel [56] Le Hung Son (1981), Cousinsches Problem Bezueglich des Belchamischen Differentialgleichungssystems Mehrerer Komplexer Variabler, Beitraege zur Analysis 17, 49-55 [57] Le Hung Son (1999), "Some Remarks on Functions of Several Quatemionic Variables", Proceedings of The Fifth Vietnamese Mathematical Conference, Science and Technich Pubhshmg House, 169-177 [58] Le Hung Son (1989), "An Introduction to the Theory of Analytic Function m Several Complex Variables", Functional Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Equations, World Scientific, Singapore New Jersey London Hong Kong, 195-214 [59] Le Hung Son (1989), "Extension Problem m Generahzed Complex Analysis", Functional Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Equations, World Scientific, Singapore New Jersey London Hong Kong, 215-229 [60] Le Hung Son (1989), "Cousin Problem in Generalized Complex Analysis", Functional Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Equations, World Scientific, Singapore New Jersey London Hong Kong, 230-236 [61] Le Hung Son (1990), "Matrix Criterions for The Extension of Solutions of a General Linear System of Partial Differential Equations", Complex Variables 15, 75-86 [62] Le Hung Son (1992), "An Extension Problem for the Solutions of Partial Differential Equations in IR"", Complex Variables 18 (1& 2), 126-135 132 [63] Le Hung Son (1990 ), "Extension Problem for Functions with Values in a Clifford Algebra", Arch Math 155, 146-150 [64] Le Hung Son (1992), "Cousm Problems for Bnegular Functions with Values m a Qifford Algebra", Complex Variables 20, 255-263 [65] Le Hung Son (1990), "The Cousin Problems in the Viewpoint of Partial Differential Equations", Univ degli Studi di Bologna, Seminari di Geometria, 64-77 [66] Le Hung Son (1980), "Extension of the Solutions of the System of Partial Differential Equations of Several Complex Variables", Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 35 Functions Series Operators, Budapest (Hungary), 767-772 [67] Le Hung Son (1990), "Extension Problem for Functions with Values in a Clifford Algebra", Archiv Fuer Mathematik 55, 146-150 [68] Sudbery A (1979), "Quatemionic Analysis", Math Proc Camb Phil Soc 85, 199-225 [69] Soucek V (1982), "Holomorphicity m Quatemionic Analysis", Seminari di Geometria, Bologna [70] Stmppa D C (1987), " The Ernst Eighty Years of Hartogs' Theorem", Seminari di Geometria, 117-211 [71] Tait P G., An Elementary Treatise on Quatemions, Cambridge Univ Press [72] Tutschke W (1977), Patielle Komplexe Differentialgleichungen, VEB Deutsche Veriag d., Berlm [...]... róng trong muc 1.2 1.1 BÀI TOÀN THÀC TRIEN DOI VÓI NGHIEM CÙA HE PHUONG TRÌNH DAO HÀM RIÉNG TUYEN TÌNH GAP MOT, HE SO HÀNG VA GAG ÙNG DUNG CÙA NO Xét he phuang trình dao hàm riéng TU n rj L(^)(n) = 5 : 5 : a i 5 ) | ^ = /(^), e=l, ,L i=l j = l (1.1) 3 trong do Ui = -Ui(xi, , x^) là càc hàm giài tich thuc theo càc bién x i , , , x„ vàii = (ui, ,Um) là hàm chua biét, / ^ = /(^)(xi, ,2:^) là càc hàm. ..11 Chtromg 1 BÀI TOÀN THÀC TRIÉN DOI VÓI NGHIEM CÙA HE P H U a N G TRÌNH DAO HÀM RIÉNG TUYEN TINH CAP MOT Nhu dà biét, trong Toàn hoc ùng dung va trong Vat ly ly thuyét co nhiéu bài toàn dàn dén viéc nghién cùu hién tugng thàc trién nghiem cùa mot he phuang trình dao hàm riéng Tiéu chuan ma tran cho viéc thàc trién nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot voi... hoac càc hàm giài tich thuc theo X i , ,Xn Dinh nghia 0.1 Già s é u = (lii(x), ,u^(x)) va ù :- ( ù i j x ) , , ùm{x)) là hai nghiem cùa he (1.1) trong càc mién tuong ung G vk G trong dò G C (7 C R" Néu ù = u trong G thì ù dugc ggi là thàc trién cùa u trong G 12 Dinh ly 0.1 (Dinh ly duy nhàt cho hàm giài tich thuc) Già su u là mot nghiem giài tich thuc theo x i Xr, cua he (1.1) trong mièn... thuc theo x i Xr, cua he (1.1) trong mièn G C E " , a Za mot tap ma khàc rong cùa G Néu u = G trong a thì u = 0 trong toàn G ([30]) Trong Chuong 1 ta luòn su dung nhan xét sau Nhan xét 0.1 1) Néu he (1.1) là elhptic vói he so giài tich thuc thì moi nghiem thuóc lóp C^ déu là hàm giài tich thuc ([31]) Trong truòng hgp n à y khi nói dén nghiem cùa he, t a hiéu dò là càc nghiem dù tron 2) Néu he (1.1)... (1.6), (1.11) trong S dèu thàc trién dugc thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G Vi du 1.2 Néu bó sung vào he (1.6) dièu kién du2 du2 dxs du2 dxi = 0 dudxi 1.12) = 0 19 thì he (1.6), (1.12) co nghiem (chang han li^ = xi + X3, U2 = C = const, U3 = X i - X3) De dàng kiém tra dugc ràng he (1.6) (1.12) thóa man Dinh ly 1.2 Vi vay, moi nghiem cùa he (1.6), (1.12) trong E dèu thàc trién dugc vào toàn G... chimg là khòng thàc trién dugc, chàng han hàm u = grad ( - j vói r = ^Jx\ -\- xi^^- x\ là mot nghiem cùa he Riesz du\ , du2 dx\ dx2 du^ duj dxj dxi duz _ dxs = 0, i,j-1,2,3 trong làn càn mó bàt ky cùa dG vói G là mot mién tùy y cùa K^ co chira diém 0 nhung khòng the thàc trien (tham chi thàc trién lién tue) thành mot nghiem cùa he trong toàn G Ta sé bo sung vào mòi he dò mot so diéu kién thich hgp sao... diéu kién bo sung dang 3 3 EE»i"i^ = ^"' J= l i = i (!•') trong do /^^^ là càc hàm giài tich thuc cho t r u ó c trong G U E, a\^^ = const £ :- 1, 2 He (1.6), (1.7) co dang (1.1) vói m = n = 3, L = 6 14 Dat (i) ('^ = a^^^ + a, 21 (0 (i)_„(^) "il 777(0 a 22 7 (1.8) 1,2 ^^13 "" *^31 — ^23 "*" ^32 Ta co dinh ly sau D i n h ly 1.1 Già su càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién 1 Q(^)/3(^) ^ 0, 2 3 (a('))... = m, 3 Rank C — m Khi do, mot nghiem cùa he (1.1) trong E deu thàc trién thành nghiem cùa chinh he dò trong toàn G mot D i n h ly 0.3 [61] Già su m, n bdt ky va ton tai m vecta A i , , A^ sao cho 13 1 RankD^^) = 1, ? rz: l , ,m, 2 Rank B = m, 3 Rank C = 1 Khi dò, mèi nghiem cùa he (1.1) trong E dèu thàc trién thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G Nhu dà biét, nghiem cùa he Riesz, he Maxwell,... chinh he (1.6), (1.14) 1.1.2 Bài toàn thàc trién doi véri n g h i e m cùa he M a x w e l l Già su G là mot mièn cùa khòng gian Mincopxki M , E là mot làn càn m ó cùa 8G Xét he phuong trình Maxwell div£^ = 0 8H xotE = dt (1.15) àìvH = {} 8E TOtH 8t +3 trong dò E — {Ei,E2,Es), H = {Hi^H2^ H^), E^, H^^ z = 1, 2, 3 là càc hàm cùa x i , X2: ^3, i, nhan già tri thuc, xàc dinh trong G Ky hiéu ui = Ei, U2 =... w (1.17) -^ là càc hàm giài tich t h u c cho truóc trong i = l, -,6 Dat a (0 (i) = n(l^ - f a 21 = a 12 /3f^) _= ( ^ ' 13 + a31 7 ii) = ni'^ 23 (0 a 32 Q (0 +a (0 n m 51 n 61 {^) (0 a 11 (0 = ^.y 33 — a11 ii) = a22 (0 a ^43 771(^: = a 53 + 42^ (^) (^) = a 52 (0 a 41 ^63 - ^41 (i) i = 1,2,3; (1.18) 2 = 4,5,6 1.19) Ta co dinh ly D i n h ly 1.5 Già su càc he so cùa (1.17) và càc so trong (1.18)^ (1.19) ... Cauchy dó'i vói hàm da chinh quy (xem nhàn xét 3.1) Vi tich hai hàm chinh quy nói chung khóng phài mot hàm chinh quy nén tich hai hàm da chinh quy nói chung khóng phài mot hàm da chinh quy Chinh vi... (1.1) vói he so hàm Chuang nghién cùu toàn thàc trién dó'i vói hàm chinh quy bién Quatemion va toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy va hàm chinh quy^ phu thuóc diéu hòa vào tham so, nhàn... nghién cùu ly thuyét hàm sé lóp càc hàm chinh quy, song chinh quy nhiéu bién Quatemion nhàn già tri dai so Quatemion va hàm chinh quy, da chinh quy, nhàn già tri dai so Clifford, khào sàt mot