SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:19 tháng năm 2009 Câu 1( 2,0 điểm) Cho biểu thức: T = 2x + 1 − − 1− x 1+ x 1− x Tìm điều kiện x để T xác định Rút gọn T Tìm giá trị lớn T Câu ( 2,0 điểm)  2x − xy =  2  4x + 4xy − y = Giải hệ phương trình: Giải phương trình: x − + y + 2009 + z − 2010 = (x + y + z) Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên a để phương trình: x 2- (3+2a)x + 40 - a = có nghiệm nguyên Hãy tìm nghiệm nguyên a≥0   b≥0 Cho a, b, c số thoả mãn điều kiện:  19a + 6b + 9c = 12  Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm x − 2(a + 1)x + a + 6abc + = x − 2(b + 1)x + b + 19abc + = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Gọi P Q điểm đối xứng E qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn Câu ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta có: x y z 2x + 2y + 2z + + > a b2 c2 a + b2 + c2 Hết Họ tên thí sinh: Họ tên chữ ký giám thị SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ Số báo danh: Họ tên chữ ký giám thị KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm Câu ý Nội dung Điểm 2,0 0,25 Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 2x + 2 − 2x − = = 3 1− x 1− x 1− x x + x +1 T lớn x + x + nhỏ nhất, điều xẩy x= T= 0,75 Vậy T lớn 0,5 0,5  2x − xy = Giải hệ phương trình:  2  4x + 4xy − y = 2x − Nhận thấy x = không thoả mãn hệ nên từ (1) ⇒ y = (*) x 2 2x − 2x − ) =7 Thế vào (2) được: 4x2 + 4x -( x x 0,25 ⇔ 8x4 – 7x2 - = Đặt t = x2 với t ≥ ta 8t2 - 7t - = 0,25 ⇔ t = t = - (loại) với t =1 ta có x2 = ⇔ x = ± thay vào (*) tính y = ± x = y = Hệ phương trình cho có nghiệm:  ;  x = −1   y = −1 ĐK: x ≥ 2; y ≥ −2009; z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với: ) ( ) ( 0,25 0,25 x + y + z = x − + y + 2009 + z − 2010 2 ⇔ x − − + y + 2009 − + z − 2010 − = ⇔ x = 3; y = −2008; z = 2011 ( 0,25 ) PT cho có biệt số ∆ = 4a2 + 16a -151 PT có nghiệm nguyên ∆ = n2 với n ∈ N Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 ⇔ (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167 ⇔ (2a + 4)2 - n2 = 167 ⇔ (2a + + n)(2a + - n) = 167 Vì 167 số nguyên tố 2a + + n > 2a + - n nên phải có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2a + + n = 167 2a + - n =  4a + = 168 ⇒   4a + = − 168 2a + + n = -1 a = 40 ⇒ a = − 44 0,25 2a + - n = -167 với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = có nghiệm nguyên x = 0, x = 83 với a = - 44 PT có nghiệm nguyên x= -1, x = - 84 Ta có: ∆1' = a(2 − 6bc) ; ∆ ' = b(2 − 19ac) Suy ∆1' + ∆ 2' = a(2 − 6bc) + b(2 − 19ac) Từ giả thiết 19a + 6b + 9c = 12 , ta có tổng 0,25 0,25 0,25 (2 − 6bc) + (2 − 19ac) = − c(19a + 6b) = − c(12 − 9c) = 9c − 12c + = ( 3c − ) ≥ Do hai số (2 − 6bc) ;(2 − 19ac) không âm Mặt khác, theo giả thiết ta có a ≥ ; b ≥ Từ suy hai số ∆1' ; ∆ ' không âm, suy hai phương trình cho có nghiệm ( đpcm) 0,25 0,25 Vì H trực tâm tam giác ABC nên BH ⊥ AC (1) 0,25 Mặt khác AD đường kính đường tròn tâm O nên DC ⊥ AC (2) Từ (1) (2) suy BH // DC Hoàn toàn tương tự, suy BD // HC Suy tứ giác BHCD hình bình hành ( Vì có cặp cạnh đối song 0,25 0,25 0,25 song) Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy AP=AE 0,25 ∠PAB = ∠EAB ⇒ ∆PAB = ∆EAB ( c.g c ) ⇒ ∠APB = ∠AEB Lại có ∠AEB = ∠ACB ( góc nội tiếp chắn cung) ⇒ ∠APB = ∠ACB 0,25 Mặt khác ∠AHB + ∠ACB = 1800 ⇒ ∠APB + ∠AHB = 1800 ⇒ tứ giác APHB tứ giác nội tiếp ⇒ ∠PAB = ∠PHB ( góc nội tiếp chắn cung) 0,25 Mà ∠PAB = ∠EAB ⇒ ∠PHB = ∠EAB Hoàn toàn tương tự, ta có: ∠CHQ = ∠EAC Do đó: ∠PHQ = ∠PHB + ∠EHC + ∠CHQ = ∠BAE + ∠EAC + ∠BHC = = ∠BAC + ∠BHC = 1800 0,25 Suy ba điểm P, H, Q thẳng hàng Vì P, Q điểm đối xứng E qua AB AC nên ta có AP = AE = AQ suy tam giác APQ tam giác cân đỉnh A Mặt khác, tính đối xứng ta có ∠PAQ = 2∠BAC ( không đổi) Do cạnh đáy PQ tam giác cân APQ lớn AP, AQ lớn ⇔ AE lớn Điều xảy AE đường kính đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ E ≡ D C 0,25 0,25 0,25 H a B 0,25 b c A Vì a + b + c2 > ta có:  x y2 z  + b2 + c2  + + ÷ = b c  a  b2 + c2 − a   a + c2 − b2 = x2  + + y + ÷  a2 b2    (a )  2 a + b2 − c2  + z + ÷  ÷ c2    2 2 2  b + c − a   a + c − b   a + b2 − c2  = 2x + 2y + 2z + x  ÷+ y  ÷+ z  ÷ a2 b2 c2       0,25 0,25 (*) Giả sử a ≤ b ≤ c c2 − a ≥ 0;c − b ≥ Với cạnh c lớn ∠ACB nhọn (gt) kẻ đường cao BH ta có c = BH + HA ≤ BC + CA = a + b từ suy biểu thức (*) không âm suy điều phải chứng minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI 0,5 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian làm 150 phút không kể giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1(2,5 điểm): Cho M = x x −1 x x +1 − x− x x+ x 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa 2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa) 3- Cho N= 1   6x + + x + ÷ Tìm tất giá trị x để M = N 18  x x  y = x2   z = xy Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:  1 = +  x y z với x, y, z > Bài 3(1,5 điểm): Tính giá trị biểu thức A = x − 6x với x = 20 + 14 + 20 − 14 Bài 4(3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn (O) cắt cạnh AB AC D E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) D E cắt BC thứ tự M N 1- Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật ba điểm D, O, E thẳng hàng 2- Chứng minh M trung điểm HB N trung điểm HC 3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất ba số (x; y; z) với x, y, z ∈ Z để: P = (x − zy) + 6(x − zy) + x + 16y − 8xy + 2x − 8y +10 đạt giá trị nhỏ Hết -Họ tên thí sinh: Phòng thi: SBD: Họ tên, chữ ký giám thị Họ tên, chữ ký giám thị SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI Điểm Nội dung Bài 1(2,5 điểm): Cho M = x x −1 x x +1 − x− x x+ x 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa 2- Rút gọn M (với điều kiện M M có nghĩa) 3- Cho N= 1   6x + + x + ÷ Tìm tất giá trị x để M = N 18  x x  1-(0,5 đ) x ≥0  Để M có nghĩa, ta có:  x − x ≠  x + x ≠ x≥0  x > ⇔  x ( x − 1) ≠ ⇔  x ≠1  x ( x + 1) ≠  0,25 2-(1,0 đ) Với x > 0, ≠ ta có: 0,25 0,25 (x x − 1)(x + x ) − (x x + 1)(x − x ) x2 − x x2 x + x2 − x − x − x2 x + x2 − x + x = x2 − x 2x − 2x = x −x 2(x − x) = = Vậy M = x2 − x M= 0,25 0,25 0,25 0,25 3-(1,0 đ) Với x > 0, ≠ ta có: = 1 1   6(x + ) + x + ÷ 18  x x  (1) = y > (vì x > 0, ≠ ) x 1 1 3 3 Ta có y = x + + 3x + 3x = x + + 3(x + ) ⇒ x + = y − 3y x x x x x x 3 ⇔ 36 = 6y + y − 3y y + 3y − 36 = Do đó, từ (1) ta có: ⇔ = (y3 − 33 ) + (3y − 9) = (y − 3)(y + 3y + 9) + 3(y − 3) = (y − 3)(y + 3y + 12) Đặt x + 39 ⇔ y = > (vì y + 3y + 12 =  x + ÷ + >0) 2  Với y = , ta có x + = ⇔ x − 3x + = ( ∆ = 9- 4= > 0) x 0,25 0,25 0,25 ⇔ x1 = + , x = − (tmđk) Vậy với x1 = + , x = − M = N 2 2 y = x2   z = xy Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:  với x, y, z > 1  = +  x y z Thế (1) vào (2) ta có z = x (4) 1 x2 x + = + hay = , x > Thế (1) (4) vào (3) ta có x x x x x Ta có x = x + ⇔ x − x − = (a-b+c = +1- = 0) ⇔ x1 = > , x = −1 < (loại) Do x = ⇒ y = > 0, z = > Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y; z) = (2; 4;8) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3(1,5 điểm): Tính giá trị biểu thức A = x − 6x với x = 20 + 14 + 20 − 14 Đặt a = 20 + 14 , b = 20 − 14 , ta có x = a + b Có x = a3 + b3 + 3a2b +3ab2 , a3 + b3 = 20 +14 +20 -14 = 40, nên x = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab x Ta lại có ab = 20 + 14 20 − 14 = (20 + 14 )(20 − 14 ) = 20 − 2.14 = 8=2 Vậy A = x - 6x = 40 + 6x – 6x = 40 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4(3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn (O) cắt cạnh AB AC D E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) D E cắt BC thứ tự M N 1- Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật ba điểm D, O, E thẳng hàng 2- Chứng minh M trung điểm HB N trung điểm HC 3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm 1-(1 đ) Có: A ∠DAE =1v(gt) (O)) ∠AEH =1v(góc nội tiếp chắn (O)) ⇒ ∠DAE = ∠ADH = ∠AEH ∠ADH =1v(góc nội tiếp chắn 0,25 E D ⇒ tứ giác ADHE hình chữ nhật B M Vì ∠DAE =1v(gt) ⇒ DE đường kính (O) ⇒ D,O,E thẳng hàng 0,25 H N C 0,25 0,25 2-(1,0 đ) Vì AH ⊥ BC H ⇒ BC tiếp tuyến (O) Ta có MD = MH (hai tiếp tuyến (O) xuất phát từ M) OD = OH = AH (vì ADHE hình chữ nhật) ⇒ OM đường trung trực DH ⇒ OM ⊥ DH 0,25 Vì ∠ADH =1v (theo (2)) ⇒ AB ⊥ DH D ⇒ OM//AB 0,25 Vì OA= OH = AH (vì ADHE hình chữ nhật) Từ (8) (9) ⇒ OM đường trung bình ∆ AHB ⇒ MB=MH ⇒ M trung điểm HB Chứng minh tương tự ta có NH = NC ⇒ N trung điểm HC 3-(1,0 đ) MD ⊥ DE D (MD tiếp tuyến (O) D) NE ⊥ DE E (NE tiếp tuyến (O) E) ⇒ MD//NE ⇒ DENM hình thang vuông, đường cao DE Gọi diện tích hình thang DENM SDENM Ta có: SDENM = (MD+NE).DE Vì MD = MH (hai tiếp tuyến (O) xuất phát từ M) NE = NH (hai tiếp tuyến (O) xuất phát từ N) ⇒ MD+NE= MN = 2 0,25 0,25 0,25 Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất ba số (x; y; z) với x, y, z ∈ Z để: P = (x − zy) + 6(x − zy) + x + 16y − 8xy + 2x − 8y + 10 đạt giá trị nhỏ P = [( x − zy )2 + ( x − zy ) + ] + [ (x2 – xy + 16 y2) + ( x − 4y ) + ] = [( x − zy ) + ]2 + [( x − 4y )2 + ( x − 4y ) + ] = ( x − zy + )2 +( x − 4y + )2 ≥  x − zy + = (1')  x − 4y + = (2 ') Lấy (1’) – (2’) , ta có −zy + 4y + = ⇔ (z − 4)y = 2 ⇔ y= (z ≠ 4) (1) z−4 Vì y ∈ Z nên z − = ±1; ± , đồng thời theo (1) (2’) ta có: z − = −1 ⇔ z = ⇒ y = −2 ⇒ x = −9 ; z − = ⇔ z = ⇒ y = ⇒ x = z − = −2 ⇔ z = ⇒ > y = −1 ⇒ x = −5 ; z − = ⇔ z = ⇒ y = ⇒ x = Vậy với ( x; y; z ) = [ ( − 9;−2;3) , ( 7;2;5) , ( − 5;−1;2 ) , ( 3;1;6) ] P đạt giá trị nhỏ (bằng 0) 0,25 BC (vì MH=MB, NH=NC) Lại có DE = AH (vì ADHE hình chữ nhật) 1 1 Do đó: SDENM = BC.AH = AB.AC = 10.7 = 17,5 (cm2) P nhỏ khi:  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: - Thí sinh làm cách khác đúng, hợp lý cho điểm tối đa - Điểm thi tổng số điểm bài, điểm tổng số điểm phần (điểm thi, điểm bài, điểm phần không làm tròn số) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) 10 Bài ( điểm ): a) Thực phép tính: 10 + 20 − − 12 5− b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − x − 2008 Bài ( 1,5 điểm ): mx − y = 3x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài (1,5 điểm ): a) Cho hàm số y = − x , có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hoành độ − b) Giải phương trình: 3x + 3x − x + x = Bài ( điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N MO MO + = CD AB 1 + = b) Chứng minh: AB CD MN c) Biết S AOB = m ; S COD = n Tính S ABCD theo m n (với a) Chứng minh: S AOB , S COD , SABCD diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định Bài ( điểm ): x2 y2 + ≥ x+y y x b) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n + n hợp số a) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng: 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm 0,25 ( − )(3 + 2) a) Biến đổi được: 5− 0,25 =3 2+2 b) Điều kiện x ≥ 2008 1 x − x − 2008 = ( x − 2008 − x − 2008 + ) + 2008 − 4 8031 8031 = ( x − 2008 − ) + ≥ 4 8033 Dấu “ = “ xảy x − 2008 = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy giá trị 8031 8033 x = nhỏ cần tìm 4  x − y = a) Khi m = ta có hệ phương trình  3x + y =  2 +5 2 x − y = 2 x = ⇔ ⇔ 3x + y = y = 2x −   2 +5 x =  ⇔ y = −  (1,5đ) 2m + 5m − ;y= b) Giải tìm được: x = m +3 m +3 m2 x + y = 1− Thay vào hệ thức ; ta m +3 (1đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 12 0,25 2m + 5m − m2 + = − m2 + m2 + m2 + Giải tìm m = a) Tìm M(- 2; - 2); N (1 : − ) 0,25 Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M N nên (1,5đ) − 2a + b = −2   a + b = − 0,25 Tìm a = ; b = −1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 0,25 y= x −1 b) Biến đổi phương trình cho thành 3( x + x ) − x + x − = Đặt t = x + x ( điều kiện t ≥ ), ta có phương trình 3t − t − = Giải tìm t = t = − (loại) Với t = 1, ta có x = −1+ x + x = ⇔ x + x − = Giải x = 0,25 0,25 −1− 0,25 Hình vẽ A M D O N 0,25 C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) Suy CD AB AD AD NO NO + = (2) b) Tương tự câu a) ta có CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN a) Chứng minh (2đ) B 0,25 0,50 0,25 0,25 13 c) S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = ⇒ AOB = AOD S AOD OD S COD OC OD OC S AOD S COD 0,25 ⇒ S 2AOD = m n ⇒ S AOD = m.n 2 Tương tự S BOC = m.n Vậy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n ) Hình vẽ câu a) (phục vụ 0,25 0,25 A D I O M (3đ) B C a) Chứng minh được: - hai cung AB CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1) - M nằm đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC c) Từ giả thiết suy d ⊥ OM Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 90 , OI đường kính đường tròn Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d qua điểm I cố định x2 y2 + ≥x+y a) Với x y dương, ta có y x ⇔ x + y ≥ xy( x + y) ⇔ ( x + y)( x − y) ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 (2) với x > 0, y > Vậy (1) với 0,25 x > 0, y > (1đ) b) n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k số tự nhiên lớn - Với n = 2k, ta có n + n = ( 2k ) + k lớn chia hết cho Do 0,25 n + n hợp số -Với n = 2k+1, tacó n + n = n + k = n + (2.4 k ) = (n + 2.4 k ) − (2.n.2 k ) = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 14 22k ] Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n hợp số 0,25 ======================= Hết ======================= SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (1,5 điểm ): a) Thực phép tính: 10 + 20 − − 12 5− b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − x − 2008 Bài (2 điểm ): mx − y = 3x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài (2 điểm ): 2 a) Cho hàm số y = − x , có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hoành độ − b) Giải phương trình: 3x + 3x − x + x = Bài ( 1,5 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh: MO MO + = CD AB 15 b) Chứng minh: 1 + = AB CD MN Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định **************** Hết **************** Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 16 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm 0,50 ( − )(3 + 2) a) Biến đổi được: 5− 0,25 =3 2+2 b) Điều kiện x ≥ 2008 1 1 x − x − 2008 = ( x − 2008 − x − 2008 + ) + 2008 − 4 (1,5đ) 8031 8031 = ( x − 2008 − ) + ≥ 4 8033 ⇔x= (thỏa mãn) Vậy giá trị 8031 8033 x = nhỏ cần tìm 0,25 4  x − y = a) Khi m = ta có hệ phương trình  0,25 3x + y = 2 x − y = 2 ⇔ 3x + y = 0,25  2 +5 x = ⇔ y = 2x −  0,25  2 +5 x =  ⇔ y = −  0,25 2m + 5m − ;y= b) Giải tìm được: x = 0,50 m +3 m +3 m Thay vào hệ thức x + y = − ; ta 0,25 m +3 Dấu “ = “ xảy (2đ) 0,50 x − 2008 = 0,25 17 2m + 5m − m2 + = − m2 + m2 + m2 + Giải tìm m = a) Tìm M(- 2; - 2); N (1 : − ) 0,25 Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M N nên (2đ) − 2a + b = −2   a + b = − 0,25 Tìm a = ; b = −1 0,25 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = x − 0,25 b) Biến đổi phương trình cho thành 3( x + x ) − x + x − = Đặt t = x + x ( điều kiện t ≥ ), ta có phương trình 3t − t − = 0,25 Giải tìm t = t = − (loại) Với t = 1, ta có x = −1+ x + x = ⇔ x + x − = Giải x = −1− 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ A M D B O N 0,25 C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) Suy CD AB AD AD (1,5đ) NO NO + = (2) b) Tương tự câu a) ta có CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN a) Chứng minh Hình vẽ 0,25 0,50 0,25 0,25 (phục vụ 0,25 18 câu a) A D I O M (3đ) B C a) Chứng minh được: - hai cung AB CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1) - M nằm đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC c) Từ giả thiết suy d ⊥ OM Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 90 , OI đường kính đường tròn Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d qua điểm I cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 19 [...]... là hợp số a) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định 2) Việc... danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 16 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa... O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định **************** Hết **************** Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG... 0,25 ======================= Hết ======================= SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (1,5 điểm ): a) Thực hiện phép tính: 3 10 + 20 − 3 6 − 12 5− 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x − x − 2008 Bài 2 (2 điểm ): mx − y = 2 3x... và chia hết cho 2 Do 0,25 đó n 4 + 4 n là hợp số -Với n = 2k+1, tacó n 4 + 4 n = n 4 + 4 2 k 4 = n 4 + (2.4 k ) 2 = (n 2 + 2.4 k ) 2 − (2.n.2 k ) 2 = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 14 22k ] Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n4 + 4n là hợp số 0,25 ======================= Hết ======================= SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP... tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM ⊥ BC c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định Bài 6 ( 1 điểm ): x2 y2 + ≥ x+y... thẳng đi qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là − 2 và 1 b) Giải phương trình: 3x 2 + 3x − 2 x 2 + x = 1 Bài 4 ( 1,5 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N a) Chứng minh: MO MO + = 1 CD AB 15 b) Chứng minh: 1 1 2 + = AB CD MN Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định... với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 90 0 , do đó OI là đường kính của đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định Vậy d luôn đi qua điểm I cố định x2 y2 + ≥x+y a) Với x và y đều dương, ta có y x ⇔ x 3 + y 3 ≥ xy( x + y) ⇔ ( x + y)( x − y) 2 ≥ 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25... và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là − 2 và 1 b) Giải phương trình: 3x 2 + 3x − 2 x 2 + x = 1 Bài 4 ( 2 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N MO MO + = 1 CD AB 1 1 2 + = b) Chứng minh: AB CD MN c) Biết S AOB = m 2 ; S COD = n 2 Tính S ABCD theo m và n (với a) Chứng minh: S AOB , S COD , SABCD... Tương tự câu a) ta có CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = 2 hay + =2 (1) và (2) suy ra CD AB CD AB 1 1 2 + = Suy ra CD AB MN a) Chứng minh được Hình vẽ 0,25 0,50 0,25 0,25 (phục vụ 0,25 18 câu a) A D I O M 5 (3đ) B C a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau - sđ góc AMB bằng sđ cung AB Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: ... điều phải chứng minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI 0,5 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2 010 MÔN TOÁN Thời gian làm 150 phút không kể giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1(2,5 điểm): Cho... tên, chữ ký giám thị SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2 010 MÔN TOÁN ĐÁP ÁN- HƯỚNG DẪN CHẤM THI Điểm Nội dung Bài 1(2,5 điểm):... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I