INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Chúng ta rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước Ôn tập kiến thức bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM CBS) Sử dụng kiến thức bất đẳng thức AM - GM CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm số để giải toán tìm GTLN, GTNN http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phần I LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Chương Kiến thức 1.1 Bất đẳng thức AM - GM Cauchy - Bunyakovky Schwarz Đây hai bất đẳng thức sử dụng nhiều việc chứng minh Sau nhắc lại hai kết quan trọng 1.1.1 Định lí (Bất đẳng thức AM - GM) Cho số không âm a, b, c Khi √ (i) a + b ≥ ab √ (ii) a + b + c ≥ abc Dấu “=” xảy a = b = c 1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz) Cho hai số a, b, c x, y, z Khi (i) (a2 + b2 )(x2 + y ) ≥ (ax + by)2 (ii) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) ≥ (ax + by + cz)2 Dấu “=” xảy hai số tỉ lệ a : b : c = x : y : z Từ hai kết quan trọng này, dễ dàng chứng minh số kết quan trọng sau 1.1.3 Mệnh đề Chứng minh bất đẳng thức sau (nếu điều kiện đặc biệt số dương) (i) (a + b) 1 + a b ≥ 4, (a + b + c) 1 + + a b b ≥9 (a + b)3 (ii) a + b ≥ ab(a + b), a + b ≥ (iii) 1 ≤ a+b 3 1 1 + , ≤ a b a+b+c 1 + + a b c http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán (iv) Cauchy - Schwarz dạng angel a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ , x y z x+y+z (v) √ a2 + x2 + √ b2 + y + c2 + z ≥ a, b, c ∈ R (a + b + c)2 + (x + y + z)2 , ∀a, b, c, x, y, z ∈ R (vi) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + √ ab)2 , (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + (vii) 1 + ≥ (1 + a)2 (1 + b)2 + ab (viii) 1 + ≤ với ab ≤ 2 1+a 1+b + ab √ abc)3 1.2 Chọn điểm rơi Vấn đề quan trọng việc sử dụng hai bất đẳng thức nói nằm việc chọn điểm rơi Ta xét ví dụ quan trọng sau 1.2.1 Ví dụ Cho số dương x, y, z thoản mãn xyz = Chứng minh + x3 + y + xy + y3 + z3 + yz √ √ + z + x3 ≥ 3 zx Dấu “=” xảy nào? Giải Trước giải toán ta cần phân tích chút: toán cho biểu thức chứa mũ bậc số dương Vậy ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM không? Nếu áp dụng cho số số nào? Trở lại yêu cầu toán, dấu “=” xảy nào? Ta nhận thấy toán có tính đối xứng với x, y, z , có khả dấu xảy x = y = z Kết hợp với giả thiết xyz = dẫn đến x = y = z = Với việc dự đoán điểm rơi này, ta khống chế toàn dấu “=” trình chứng minh Theo trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số 1, x3 , y sau + x3 + y ≥ 3 1.x3 y = 3xy suy + x3 + y ≥ xy √ √ 3xy = √ = 3z xy xy √ Tương tự ta có + y3 + z3 √ ≥ 3x yz √ + z + x3 ≥ zx 3y http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Cộng theo vế ta + x3 + y + xy + y3 + z3 + yz √ √ + z + x3 √ √ √ ≥ x+ y+ z zx √ √ √ √ √ ≥ 3.3 x y z = 3 = x3 = y hay x = y = z = x=y=z Với việc dự đoán điểm rơi x = y = z = giúp lựa chọn bất đẳng thức số Dấu “=” xảy thích hợp để áp dụng Tiếp theo ví dụ thể rõ điều 1.2.2 Ví dụ Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức √ √ √ xy z − + yz x − + xz y − P = xyz Giải Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, từ ta chuyển đánh giá P ≤ C với C số Để đơn giản hơn, ta biến đổi P √ P = z−4 + z √ x−2 + x √ y−3 y Do yêu cầu phải đánh giá P ≤ C , nên ta đánh giá số hạng Cụ thể ta cố gắng đánh giá √ z−4 ≤m z √ Biểu thức z − làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ ta chọn số k cho biểu thức sau đánh giá đơn giản với z mẫu k(z − 4) ≤ k+z−4 Nhận thấy giá trị k nhận Từ phân tích ta có lời giải sau: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 4, z − ta có √ Tương tự ta có Cộng theo vế ta có P ≤ 4(z − 4) ≤ 4+z−4 z = hay 2 z−4 ≤ z √ x−2 ≤ √ x 2 √ y−3 ≤ √ y 1 +√ +√ hay 2 max P = 1 +√ +√ 2 x = 4, y = 6, z = Kế tiếp xét ví dụ để làm rõ kĩ thuật chọn điểm rơi việc sử dụng CBS http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán 1.2.3 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 3a2 + 4b2 + 5c2 ≥ 47 Chứng minh 12 235 12 Giải Quan sát thấy vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta có liên hệ với a + b + c ? Nếu ta bỏ hệ số a2 + b2 + c2 a + b + c có liên hệ với ? Câu trả lời bất đẳng thức CBS (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) ≥ (ax + by + cz)2 ta việc chọn (x, y, z) = (1, 1, 1) có điều mong muốn! Thế có hệ số vào sao? √ √ √ (3a2 + 4b2 + 5c2 )(x2 + y + z ) ≥ (ax + by + cz 5)2 Đến ta cần chọn (x, y, z) cho vế phải lại (a + b + c)2 Thật đơn giản 1 √ , ,√ (x, y, z) = Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CBS ta có √ √ √ ≥ a 3√ + b + c 5√ ≥ (a + b + c) 472 ≥ 12 1 + + (3a + 4b + 5c ) 2 2 Suy 472 60 235 3a + 4b + 5c ≥ = 12 47 12 Dấu “=” xảy hay 2 √ √ √ 3a 4a 5a     = = √ √ √    47 a + b + c = 12    a=   b=     c=1 Trong hệ bất đẳng thức AM - GM (iii) có nhiều ứng dụng Bây ta bàn đến ứng dụng chúng 1.2.4 Ví dụ Cho x, y, z > 1 + + = Chứng minh x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Giải Dựa vào việc dự đoán điểm rơi x = y = z nên ta áp dụng hệ (iii) sau 1 = ≤ 2x + y + z x+y+x+z 1 + x+y x+z Áp dụng lần ta 1 1 1 ≤ + + + 2x + y + z 4 x y x z 1 + + ≤ 16 x y z Tương tự ta thu  1   ≤    2x + y + z 16   1 ≤  x + 2y + z 16    1   ≤  x + y + 2z 16 1 + + x y z + + x y z 1 + + x y z Dẫn đến 1 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 4 + + x y z =1 Dấu xảy x = y = z = Bất đẳng thức khó phần hình dáng cồng kềnh Bằng phương pháp đổi biến phần giúp cho hình dáng chúng nhẹ nhàng 1.2.5 Ví dụ Cho x, y, z > xyz = Tìm GTNN biểu thức sau x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ √ √ √ P = √ + + √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Giải Nhận thấy P tổng biểu thức cồng kềnh Ta tiến hành đặt ẩn phụ sau  √  a = x x √ b=y y  √  c=z z theo giả thiết xyz = nên abc = Lúc này, thay vào P cách máy móc chưa làm P đơn giản Ta nhận thấy áp AM - GM √ √ x2 (y + z) ≥ x2 yz = 2x x = 2a √ √ y (z + x) ≥ y 2 zx = 2y y = 2b √ √ z (x + y) ≥ z 2 xy = 2z z = 2c Thật vậy, biểu thức P đánh sau P ≥2 a b c + + b + 2c c + 2a a + 2b http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Dựa vào hình dáng mới, ta thấy ăn khớp với bất đẳng thức CBS dạng angel, tử chưa có dạng bình phương Do a2 b2 c2 P ≥2 + + ab + 2ac bc + 2ab ac + 2bc (a + b + c)2 ≥2 3(ab + bc + ca) Sử dụng kết quen thuộc (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ta thu P ≥ Dấu “=” xảy a = b = c = hay x = y = z = Để khắc sâu làm rõ kĩ thuật này, có tập sau 1.2.6 Bài tập (1) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = (2) Cho x, y, z thỏa mãn x + 3y + y + 3z + √ 3 Chứng minh z + 3x ≤ 1 + y + z = Chứng minh x 3 9x 9y 9z 3x + 3y + 3z + + ≥ 3x + 3y+z 3y + 3z+x 3z + 3x+y (3) Cho x, y số thực không âm Tìm GTLN GTNN biểu thức sau (x − y)(1 − xy) (1 + x)2 (1 + y)2 P = (4) Cho x, y, z > Tìm GTNN biểu thức P =x x + yz +y y + zx +z z + xy (5) Cho x, y, z > xyz = Chứng minh y2 z2 x2 + + ≥ 1+y 1+z 1+x (6) Cho hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ 3x2 + + y A= + 4x y2 (7) Chứng minh với x, y > (1 + x) + y x 1+ √ y ≥ 256 10 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Chương Hàm hai biến 2.1 Công cụ đạo hàm Ta biết đến công cụ đạo hàm dùng để khảo sát hàm số, qua giúp ta tìm GTLN, GTNN Thế áp dụng cho biến, nhiều biến nào? Ta tiến hành qua bước sau Biến đổi đánh giá biểu thức P biến t (thay đặt ẩn phụ) g(t) ≤ P ≤ f (t) Tìm điều kiện “chặt” cho biến t (chẳng hạn t ∈ [a, b]) Khảo sát hàm số g(t), f (t) với t ∈ [a, b] Kết luận GTLN, GTNN P giá trị biến P đặt max, 2.1.1 Ví dụ Cho a, b không âm thỏa mãn a + 3b = Tìm GTNN GTLN biểu thức P = 3b a + 1+a 1+b Giải Vì công cụ đạo hàm áp dụng cho biến nên ta đưa P biến Do a+3b = 4 − 3b 3b − 3b 3b Lúc P = + = + , ta xét hàm số + − 3b + b − 3b + b nên a = − 3b, b ∈ 0, f (t) = Suy f (t) = − 3t 3t + , t ∈ 0, − 3t + t −3 + , f (t) = (3t − 5)2 (t + 1)2 ⇔ −3 t = (loại) + ⇔ t=1 (3t − 5)2 (t + 1)2 Ta có bảng biến thiên 11 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Vậy GTLN P 12 a = 0, b = GTNN P a = b = 2.1.2 Nhận xét Chúng ta thấy rõ: kết luận b ∈ [0, +∞) ta không tìm giá trị lớn P Điều chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng 2.1.3 Bài tập (1) Cho số thực dương thỏa mãn x + y = S= + x 4y Tìm GTNN biểu thức (2) Tìm giá trị nhỏ A= (x − 1)2 + y + (x + 1)2 + y + |y − 2| (3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = Tìm max, biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y + 3x) + 25xy (4) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x2 − xy + = 2x + 3y ≤ 14 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = 3xy − xy − 2x(x2 − 1) (5) Cho số√thực x, y thỏa mãn √ thức P = x + + y + √ 2x + + √ y + = Tìm GTNN GTLN biểu 2.2 Xử lí biểu thức đối xứng Biểu thức cần tìm max, thường có hình dáng đối xứng x, y Để áp dụng phương pháp hàm số thường đưa biến t với t = x + y, t = xy, t= x y + y x 2.2.1 Ví dụ Cho số thực thỏa mãn (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm GTNN biểu thức A = x3 + y + (xy − 1) (x + y − 2) Giải Biểu thức A có dạng đối xứng, ta biến đổi để có biểu thức tổng tích A = x3 + y + (xy − 1) (x + y − 2) = (x + y) x2 + y − xy + (xy − 1) (x + y − 2) = (x + y) (x + y)2 − 3xy + (xy − 1) (x + y − 2) = (x + y)3 − 3xy(x + y) + 3xy(x + y) − 6xy − 3(x + y) + = (x + y)3 − 6xy − 3(x + y) + 12 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Nhận thấy A chứa x + y xy nên ta đánh giá để đưa A chưa biểu thức Vì cần tìm giá trị nhỏ nên ta đánh giá A ≥ A sau A = (x + y)3 − 6xy − 3(x + y) + (x + y)2 − 3(x + y) + ≥ (x + y) − ≥ (x + y)3 − (x + y)2 − 3(x + y) + Vậy ta đạt yêu cầu thứ đánh giá A theo hàm biến t = x + y Tiếp theo ta tìm điều kiện cho t Sử dụng giả thiết ta (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 ⇔ x2 + y − 8x − 8y + 32 + 2xy ≤ ⇔ (x + y)2 − 8(x + y) ≤ ⇔0≤x+y ≤8 Đến ta việc khảo sát hàm số f (t) = t3 − t2 − 3t + với t ∈ [0, 8] Hàm số có f (t) = 3t2 − 3t − 3, suy √ 1+ t = 2√ f (t) = ⇔  1− (loại) t= √ √ √ 1+ 17 − 5 17 − 5 mà f (0) = 6, f , f (8) = 398 Dẫn đến f (t) ≥ hay = 4 √ 17 − 5 A≥ √ √ 1+ 17 − 5 x = y = Vậy giá trị nhỏ A 4  Việc đưa biểu thức đối xứng biểu thức xuất tổng tích ví dụ tương đối dễ dàng Song biểu thức đối xứng (tổng nhiều phân số) lại khiến khó khăn việc tạo x + y xy Để khắc phục điều này, chúng sử dụng số kết biết bất đẳng thức 2.2.2 Ví dụ Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y ∈ [1, 2] Tìm GTNN biểu thức P = x2 y + 2x x + 2y + + + 3y + y + 3x + (x + y − 1) Giải Dựa vào dạng phân số P ta biến đổi hai phân số đầu để làm xuất biểu thức tổng Ý tưởng làm cho có suy nghĩ qui đồng, biến đổi để đưa chung mẫu, sử dụng CBS, Những suy nghĩ khiến ta quên giả thiết đặt biệt x, y ∈ [1, 2]! Từ giả thiết ta có (x − 1)(x − 2) ≤ (y − 1)(y − 2) ≤ ⇔ x2 ≤ 3x − y ≤ 3y − 13 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Sử dụng hai bất đẳng thức phụ ta đánh giá P sau x + 2y y + 2x + + 3x − + 3y + 3y − + 3x + (x + y − 1) x + 2y y + 2x ≥ + + 3x + 3y + 3y + 3x + (x + y − 1) x+y + ≥ x + y + (x + y − 1) P ≥ Công việc lại cần khảo sát hàm số f (t) = t + với t ∈ [2, 4] t + (t − 1) Đạo hàm có nghiệm t = Do f (t) ≥ min{f (2), f (3), f (4)} = Suy P ≥ 11 53 , , 12 60 = 7 Vậy giá trị nhỏ P = x = 1, y = x = 2, y = 8 2.2.3 Nhận xét Điều kiện x ∈ [1, 2] giúp hạ bậc x2 Ngoài điều kiện này, gặp dạng điều kiện a < x, y ≤ b x, y ≥ b Với dạng khai thác theo hướng (b − x)(b − y) ≥ (x − 1)(y − 1) ≥ 2.2.4 Bài tập (1) Cho số thực thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(x4 + y + x2 y ) − 2(x2 + y ) + √ (2) Cho số thực x, y thỏa mãn x − y + y − x2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (x + y)2 − 12(x − 1)(y − 1) + √ xy (3) Cho hai số thực khác không x, y thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức A= 1 + 3 x y (4) Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =4 a3 b3 + b3 a3 −9 a2 b2 + b2 a2 (5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M = x2 + y − 7xy (6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 3(x + y) = 4xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x3 + y + 1 + x3 y 14 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán (7) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y − = giá trị nhỏ biểu thức S = (x + y)2 − √ 2x − + √ 9−x−y+ √ y + Tìm giá trị lớn x+y (8) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x4 + y + = xy + Tìm giá trị lớn xy biểu thức P = 2 + − + x2 + y + 2xy (9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 + b2 + a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 + b2 + P =2 + a2 + a b2 + b + a+b (a + b)2 + 2.3 Xử lí biểu thức bất đối xứng Trong dạng thường đưa hàm f (t) với t = x y 2.3.1 Ví dụ Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện 4x2 + 2xy + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + 2xy − y P x2 + 2xy − y Giải Ta xét tỉ số A = = Việc lập tỉ số giúp ta tạo phân số 4x + 2xy + y đẳng cấp √ 3 Nếu y = 0, từ giả thiết suy x = ± Do P = Nếu y = 0, chia tử mẫu A cho y ta A= x y x y +2 +2 x y x y −1 +1 x t2 + 2t − Đặt t = xét hàm số f (t) = Ta có y 4t + 2t + f (t) = t=2 −6t2 + 10t + ; f (t) = ⇔ t=− (4t2 + 2t + 1)2 Bảng biến thiên 15 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Dựa vào bảng biến thiên ta có f (t) = f − 1 , max f (t) = f (2) = 3 Kết hợp lại hai trường hợp, ta có giá trị lớn P (x, y) = (x, y) = −2 (x, y) = − ,− ,3 7 giá trị nhỏ P -6 (x, y) = , 7 , −3 7 2.3.2 Bài tập (1) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 + xy + y ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x2 − xy − 3y (2) Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x2 + 6xy) + 2xy + 2y (3) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức P = x+y x2 − xy + 3y − x − 2y 6(x + y) (4) Cho số thực x, y thỏa mãn xy ≥ x + y > Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x2 y − 4y P = x + 8y 16 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Chương Hàm ba biến 3.1 Xét hàm biến 3.2 Xử lí biểu thức đối xứng Kĩ thuật xử lí biểu thức biến đối xứng giống phần hai biến đối xứng, t = a + b + c, t = ab + bc + ca, t = abc, t= a b + b c + c a Bên cạnh ta ý số kết thông dụng (i) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (ii) (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (iii) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 3.2.1 Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 Giải Sử dụng kết trên, ta biến đổi đánh giá M biểu thức toàn chứa ab + bc + ca M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 3(ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca)2 ≥ + 3(ab + bc + ca) + − 2(ab + bc + ca) ≥ (ab + bc + ca)2 + 3(ab + bc + ca) + − 2(ab + bc + ca) Tiếp theo ta tìm điều kiện cho biến t = ab + bc + ca Sử dụng điều kiện a + b + c = nên ta = (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = 3t ⇒t≤ 17 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán √ Xét hàm số f (t) = t2 +3t+2 − 2t, t ∈ 0, Khi f (t) = 2t+3− √ , f (t) = − 2t < với t ∈ 0, Dẫn đến f (t) đồng biến, tức f (t) ≥ f (0) = 2− (1 − 2t)3 nên kéo theo f (t) đồng biến Suy f (t) ≥ f (0) = 2, M ≥ hay max M = (a, b, c) = (1, 0, 0) hoán vị với điều kiện a, b, c không âm nên t ∈ 0, (ab + bc + ca)2 thay a2 + b2 + c2 = − 2(ab + bc + ca) Thế không thay mà đánh √ giá 2 2 a + b + c ≥ ab + bc + ca có khác biệt? Câu trả lời f (t) = t + 3t + t ≥ 3.2.2 Nhận xét - Trong ví dụ trên, đánh giá (ab)2 +(bc)2 +(ca)2 ≥ dấu “=” không xảy Một lần cho thấy việc khống chế điểm rơi có giá trị - Về mặt phương pháp tương đối giống biểu thức hai biến 3.2.3 Bài tập (1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + + ab + bc + ca abc (1 + a)(1 + b)(1 + c) (2) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca = 12 Tìm giá trị lớn nhỏ P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a+b+c (3) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (x + y + z − 1)2 1 P = + + + x y + y2z + z2x x y z (4) Cho số thực thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y + 6z (5) Cho số thực a, b, c ∈ [0, 1] Tìm giá trị lớn biểu thức P = abc + 1 + + 3 1+a 1+b + c3 18 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán 3.3 Xử lí biểu thức đối xứng hai biến Giả sử cần tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P chưa ba biến a, b, c Trong hai biến a, b có tính đối xứng với Trong trường hợp ta giải cách đánh giá P theo hàm f (t) với t= a+b c , t = c, t=a+b+c Chú ý: trường hợp t = a + b + c phải kiểm soát dấu “=” thật chặt dấu “=” xảy a = b = c a = b = c 3.3.1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 32b3 32a3 P = + − (b + 3c)3 (a + 2c)3 √ a2 + b2 c Giải Biểu thức P chứa ba biến a, b, c, a, b có tính đối xứng với Ta dự đoán dấu xảy a = b Biến đổi P sau  a   c P = 32   b +3 c + b c a +3 c    − 3  a c + b c Trở lại với giả thiết, chia cho c2 a +1 c Để thuận tiện cho toán ta đặt x = b +1 c = a b , y = , lúc toán trở thành tìm giá trị nhỏ c c y3 x3 P = 32 + − (y + 3)3 (x + 3)3 x2 + y với (x + 1)(y + 1) = hay xy + x + y = Bài toán tìm cực trị cho biểu thức hai biến đối xứng 19 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán Sử dụng kết a3 + b3 ≥ x y P ≥8 + y+3 x+3 (a + b)3 ta x2 + y − x(x + 3) + y(y + 3) ≥8 (y + 3)(x + 3) x2 + y + 3(x + y) ≥8 xy + 3(x + y) + (x + y)2 − 2xy − (x + y)2 − 2xy − (x + y)2 − 2xy + 3(x + y) ≥8 − x − y + 3(x + y) + (x + y)2 − 2(3 − x − y) − (x + y)2 − 2(3 − x − y) + 3(x + y) ≥8 12 + 2(x + y) ≥ (x + y − 1)3 − − (x + y)2 − 2(3 − x − y) (x + y)2 + 5(x + y) − ≥8 12 + 2(x + y) (x + y − 1)(x + y + 6) ≥8 2(x + y + 6) − (x + y)2 + 2(x + y) − − (x + y)2 + 2(x + y) − (x + y)2 + 2(x + y) − Tiếp theo tìm điều kiện cho biến t = x + y Vì xy + x + y = nên t = x + y = − xy ≥ − suy t ≥ Xét hàm số f (t) = (t − 1)3 − √ t2 (x + y)2 =3− 4 t2 + 2t − với t ∈ [2, +∞) Khi t+1 t2 + 2t − √ √ t + 3 Vì t ≥ nên 3(t − 1)2 ≥ √ ≥ Do f (t) ≥ − > 0, nên 2 t √ + 2t − √ f (t) ≥ f (2) = − hay P ≥ − √2 Vậy giá trị nhỏ P − a = b = c f (t) = 3(t − 1)2 − √ 3.3.2 Bài tập (1) Cho x, y, z ∈ [1, 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3z y + x z + x (2) Chứng minh với số tực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz , ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 (3) Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P =√ − a2 + b2 + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) 20 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều cần làm học toán (4) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2xy + 3yz + 3zx + x+y+z (5) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn 5(x2 + y + z ) = 6(xy + yz + zx) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + y + z) − (y + z ) (6) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a b 3c √ + + + a2 + b2 + c2 21 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ [...]... (1) Cho các số thực dương thỏa mãn x + y = S= 4 1 + x 4y 5 Tìm GTNN của biểu thức 4 (2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= (x − 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + |y − 2| (3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1 Tìm max, min của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy (4) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x2 − xy + 3 = 0 và 2x + 3y ≤ 14 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 3xy − xy 2 − 2x(x2 − 1) (5)... (4) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z và điều kiện x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2xy + 3yz + 3zx + 6 x+y+z (5) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn 5(x2 + y 2 + z 2 ) = 6(xy + yz + zx) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2(x + y + z) − (y 2 + z 2 ) (6) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất...Chương 2 Hàm hai biến 2.1 Công cụ đạo hàm Ta đã biết đến công cụ đạo hàm dùng để khảo sát hàm số, qua đó giúp ta tìm được GTLN, GTNN Thế nhưng nó chỉ áp dụng được cho 1 biến, thế nhiều biến thì thế nào? Ta sẽ tiến hành qua các bước sau 1 Biến đổi hoặc đánh giá biểu thức P về một biến mới t (thay thế hoặc đặt ẩn phụ) g(t) ≤ P ≤ f (t) 2 Tìm điều kiện “chặt” cho biến mới t (chẳng hạn... 2.2.4 Bài tập (1) Cho các số thực thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1 √ (2) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 − y 2 + y 2 − x2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (x + y)2 − 12(x − 1)(y − 1) + √ xy (3) Cho hai số thực khác không x, y thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y 2 − xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 1 1 + 3 3 x y (4) Cho... số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn của biểu thức P = 2 + 3 + ab + bc + ca 3 abc (1 + a)(1 + b)(1 + c) (2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca = 12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a+b+c (3) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x + y +... + ⇔ t=1 (3t − 5)2 (t + 1)2 Ta có bảng biến thi n 11 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán Vậy GTLN của P là 12 4 khi a = 0, b = và GTNN của P là 2 khi a = b = 1 7 3 2.1.2 Nhận xét Chúng ta thấy rõ: nếu chỉ kết luận b ∈ [0, +∞) thì ta không tìm được giá trị lớn nhất của P Điều này càng chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng như thế... thỏa mãn x, y ∈ [1, 2] Tìm GTNN của biểu thức P = x2 y + 2x 1 x + 2y + 2 + + 3y + 5 y + 3x + 5 4 (x + y − 1) Giải Dựa vào dạng phân số của P ta sẽ biến đổi ở hai phân số đầu để làm xuất hiện biểu thức tổng Ý tưởng này làm cho chúng ta có suy nghĩ sẽ qui đồng, biến đổi để đưa về chung mẫu, sử dụng CBS, Những suy nghĩ này khiến ta quên đi giả thi t khá đặt biệt x, y ∈ [1, 2]! Từ giả thi t này ta có (x... (chẳng hạn t ∈ [a, b]) 3 Khảo sát hàm số g(t), f (t) với t ∈ [a, b] 4 Kết luận GTLN, GTNN của P và giá trị các biến khi P đặt max, min 2.1.1 Ví dụ Cho a, b không âm thỏa mãn a + 3b = 4 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = 3b a + 1+a 1+b Giải Vì công cụ đạo hàm chỉ áp dụng cho một biến nên ta sẽ đưa P về một biến Do a+3b = 4 4 3 4 − 3b 3b 4 − 3b 3b Lúc này P = + = + , vì thế ta xét hàm số 1 + 4 − 3b... b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =4 a3 b3 + b3 a3 −9 a2 b2 + b2 a2 (5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của biểu thức M = x2 + y 2 − 7xy (6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 + 3 1 1 + x3 y 3... y − 1 = giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (x + y)2 − √ 2x − 4 + √ 9−x−y+ √ y + 1 Tìm giá trị lớn nhất và 1 x+y (8) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x4 + y 4 + 1 = xy + 2 Tìm giá trị lớn xy nhất của biểu thức P = 2 2 3 + − 1 + x2 1 + y 2 1 + 2xy (9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 + b2 + a + b = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 + 1 b2 + 1 P =2 + a2 + a b2 + b + a+b (a + ... [0, +∞) ta không tìm giá trị lớn P Điều chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng 2.1.3 Bài tập (1) Cho số thực dương thỏa mãn x + y = S= + x 4y Tìm GTNN biểu thức (2) Tìm giá trị nhỏ... y ≥ Tìm giá trị nhỏ 3x2 + + y A= + 4x y2 (7) Chứng minh với x, y > (1 + x) + y x 1+ √ y ≥ 256 10 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Chương Hàm hai biến 2.1 Công cụ đạo hàm Ta biết đến công... GTLN, GTNN P giá trị biến P đặt max, 2.1.1 Ví dụ Cho a, b không âm thỏa mãn a + 3b = Tìm GTNN GTLN biểu thức P = 3b a + 1+a 1+b Giải Vì công cụ đạo hàm áp dụng cho biến nên ta đưa P biến Do a+3b