SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Trong viết giới thiệu với bạn đọc kĩ thuật thường sử dụng để xử lí toán bất đẳng thức toán tìm cực trị biểu thức biểu thức giả thiết toán biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp: Biểu thức f ( x1 , x2 , , xn ) gọi biểu thức đẳng cấp bậc k ( k ∈ ¥ ) f ( mx1 , mx2 , , mxn ) = mk f ( x1 , x2 , , xn ) Nếu biểu thức f ( x1 , x2 , , xn ) biểu thức đẳng cấp bậc với phép đặt xi = ti x1 , x1 ≠ , i = 2, 3, , n ta có: f ( x1 , x2 , , xn ) = f (1, t2 , t3 , , tn ) biểu thức n − biến, tức ta làm giảm số biến Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc hai biến ta chuyển biểu thức biến Do để tìm cực trị biểu thức ta sử dụng phương trình khảo sát hàm số Sau ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = 2( x2 + xy) + xy + y2 (Đề thi ĐH Khối B – 2009 ) Lời giải * Nếu y = ⇒ P = * Nếu y ≠ đặt : x = ty ta có: P = Xét hàm số f (t) , ta có : f ' ( t ) = 2(t2 y2 + 6ty2 ) = t2 y2 + 2ty2 + y2 2(t2 + 6t) t2 + 2t + = f ( t) −4t2 + 6t + 18 (t + 2t + ) ⇒ f ' ( t ) = ⇔ t1 = 3, t2 = − , lim f ( t ) = t→±∞ Lập bảng biến thiên ta được: max f (t) = f (3) = 3 , f (t) = f (− ) = −3 2 x = 3y  Vậy: max P = đạt  1 =± y = ± 10 1+t   x = − y  Và P = −6 đạt  y = ± =± 13 + t2  Ví dụ Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn 2y giá trị nhỏ biểu thức : A = + + y2 x x x + 2y + y2 = 11 Tìm giá trị lớn x Lời giải Đặt y = t 1 11 , từ giả thiết toán ta có: (3 + 2t + t2 ) = 11 ⇒ = 2 x x x + 2t + t2 Do t2 + 2t + > ⇒ t ∈ ¡ GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Khi đó: A = x2 (1 + 2t + 3t2 ) = 11 Xét hàm số f (t) = ( ) 3t2 + 2t + t2 + 2t + 3t2 + 2t + t2 + 2t + , t ∈ ¡ có f '(t) = ( ) 4(t2 + 4t + 1) (t2 + 2t + 3)2 , f '(t) = ⇔ t = −2 ± f −2 + = − 3, f −2 − = + 3, lim f (t) = t →±∞   x = ± t + 2t + = ± +  11 11 Suy max A = 11 max f (t) = 22 + 11 đạt   −2 − y = x    x = ± t + 2t + = ± −  11 11 A = 11 f (t) = 22 − 11 đạt   −2 + y = x  Ví dụ Cho hai số thực x ≥ 0, y ≥ thỏa x3 + y3 = x2 − y2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Lời giải Đặt x = ty, t ≥ , từ giả thiết toán ta suy : t2 − y t3 + = t2 − ⇒ y = t3 + ) ( Vì y ≥ 1 + 13 ⇒ t3 − t2 + ≤ ⇔ (t − 3)(t2 − t − 3) ≤ ⇔ ≤ t ≤ Ta có: P = y ( t + 3) = Xét hàm số f (t) = (t + 3)(t2 − 2) t3 + 3t2 − 2t − t3 + =1+ 3t2 − 2t − t3 +  + 13  −3t4 + t3 + 21t2 − ,t ∈ D =  ; 3 , ta có: f '(t) = (t3 + 1)2   ( ) ) ( Vì −3t4 + t3 + 21t2 − = t3 ( − t ) + t3 − + 2t2 − t2 + 3t2 > 0, ∀t ∈ D Dẫn tới f '(t) > 0, ∀t ∈ D Từ ta tìm được:  + 13  + 13 đạt = P = + f       + 13  x =  y =    x = max P = + f ( 3) = đạt  y =  Ví dụ Cho số thực dương x, y thỏa xy ≤ y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Lời giải Đặt t = y3 x3 + x2 y2 y > ⇒ P = t3 + x t2 GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Khi xy ≤ y − trở thành x2 t − tx + ≤ , x tồn nên bất phương trình phải có nghiệm x hay ∆ = t2 − 4t ≥ ⇔ t ≥ Xét hàm số f (t) = t + t 2 , t ≥ có f '(t) = 2t − 513 Suy f (t) = f (4) = t≥4 t = ( t5 − t ) > 0, ∀t ≥  513 x = Vậy P = đạt  y =  Ví dụ Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả x( x + y + z) = yz (*), ta có: ( x + y)3 + ( x + z)3 + 3( x + y)( y + z)( z + x) ≤ 5( y + z)3 (ĐH Khối A – 2009 ) Lời giải Đặt y = ax; z = bx Khi gải thiết toán trở thành: x( x + ax + bx) = 3abx2 ⇔ + a + b = 3ab (*) bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ( x + ax)3 + ( x + bx)3 + 3( x + ax)(ax + bx)(bx + x) ≤ 5(ax + bx)3 ⇔ (1 + a)3 + (1 + b)3 + 3(1 + a)(1 + b)(a + b) ≤ (a + b)3 (1) Vì (*) (1) biểu thức đối xứng a, b nên ta nghĩ tới cách đặt S  a  b; P  ab  1+ S  1+ S  S2 ≥ P P = P = ⇔ ⇔ Mỗi quan hệ S P  1 + S = 3P S ≥ 3S2 − S − ≥   Khi : (1 + a)(1 + b) = + a + b + ab = + S + + S 4(1 + S) = 3 (1 + a)3 + (1 + b)3 = ( + a + b) − 3(1 + a)(1 + b)(2 + a + b) = (2 + S)3 − 4(1 + S)(2 + S) Nên (1) ⇔ (2 + S)3 − 4(S2 + 3S + 2) + S(1 + S) ≤ 5S3 ⇔ 2S2 − 3S − ≥ ⇔ (2S + 1)(S − 2) ≥ S ≥ Vậy toán chứng minh Ví dụ Cho số thực x , y, z  1; 4 ; x  y, x  z Tìm giá rị nhỏ biểu thức x y z   (ĐH Khối A – 2011 ) 2x  3y y  z z  x 1  Lời giải Đặt y  ax , z  bx  a, b   ;1 Khi đó: 4    x ax bx a b P      2x  3ax ax  by bx  x  3a a  b b  1 a b Xét hàm số f (a )   , f '(a )    2  3a a  b (2  3a ) (a  b)2 P Xét b(2  3a )2  3(a  b)2  9a 2b  6ab  4b  3a  3b  15a 2b  4b  3a  3b  3a 5b  1  b(4  3b)  GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT 1  1 Nên f (a ) hàm đồng biến  ;1  f (a )  f     4    11  4b   b Do đó: P     g(b) 11  4b b  4 1 Ta có: g '(b)    g '(b)   b  (1  4b)2 (b  1)2   34 34 Từ suy ra: g(b)  g    hay P    33 33  a  x  4, y  x  4y   Đẳng thức xảy  , mà x , y, z  1; 4   z    x  2z    b   Vậy P  34 33 1 b 1 c Ví dụ Cho a, b, c > thỏa (a + 2b)  +  = 3a ≥ c Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn a2 + 2b2 ac Lời giải Đặt a = xb, c = yb; x, y > biểu thức: P =  Từ giả thiết ta có: ( x + 2)  +  Do 1 4y 2( y − 1) −2= =4⇒x= y y+1 y+1 x a y 2y − y = ≥ ⇒x≥ ⇔ ≥ ⇔ y2 − y + ≤ ⇔ ≤ y ≤ 3 y c y+1 Khi đó: P = x2 + y2 − y + = = f ( y) xy y3 − y Xét hàm số f ( y) với y ∈  2; 3 , có : f '( y) = −3 y4 + y3 + −3 y3 ( y − 2) − (2 y2 − 3) < 0, ∀y ∈ 2; 3 ( y3 − y)2 11 Suy max P = max f ( y) = f (2) = , đạt a = b, c = 2b 2;3 ( y3 − y)2 = P = f ( y) = f (3) = , đạt a = b, c = 3b  2;3  1 1 + +  = 16 Tìm giá trị lớn  a b c Ví dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn : (a + b + c)  giá trị nhỏ biểu thức P = Lời giải a2 + 2b2 ab  Đặt b = ay, c = ax; x, y > , từ giả thiết ta có: (1 + x + y )  +  ⇔ (1 + 1 +  = 16 x y   ) x +  y + − 13  x + y + = (*) y y   GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT  y >     1  a, b, c tồn (*) có nghiệm x, y > hay là: ∆ =  y + − 13  − 4( y + 1)  +  ≥ y y       y + < 13 y   y >  y >  1 1 7−3 7+3   ⇔  y +  − 30  y +  + 161 ≥ ⇔  ⇔ ≤ y≤ y y 2   y + y ≤    y + < 13 y  Khi P = y + 7 − +  2 , khảo sát f ( y) = y + với y ∈  ;  ta tìm y y 2    −  21 + , đạt max P = f  =   2    7−3 a b =   3−  a  c =  ( ) = 2 , đạt bc == xa2a với x nghiệm phương trình ( + 1) x − (13 − 3) x + + = P = f Cuối đưa số tập để bạn đọc luyện tập Bài Cho x + y + xy = Giá trị lớn giá trị nhỏ A = x − xy + 2y Bài Cho số thực x, y thỏa x2 + y2 + xy ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x2 − xy + y2 Bài Cho x, y hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 − xy + y2 y2 + Bài Cho x, y ≥ thỏa x3 + y3 = x − y Chứng minh x2 + y2 < Bài Cho số thực a, b, c ≥ thỏa abc ≥ 2a3 − (b + c)3 Chứng minh ( ) a + b4 + c4 ≥ 2a2b2 − 3b2 c2 + 2c2 a2 16 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3b2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P= a c abc − (a2 + c2 )(a + c) + + b+ c a+b b2 (a + c) Bài Cho số thực dương x, y thỏa x + xy ≥ y Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x y3   x2 y2   − 9  P = 4 + +  y3 x   y2 x      GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT  Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa ( a + c )  giá trị nhỏ biểu thức: P = a+ c−b b  a2 +  10 c ≥ 4b Tìm giá trị lớn nhất, = b b2  GV: Nguyễn Tất Thu – GV trường THPT Lê Hồng Phong Biên Hòa Đồng Nai Email: nguyentatthudn@gmail.com ĐT: 01699257507 GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net ... thức P= Lời giải Đặt t = y3 x3 + x2 y2 y > ⇒ P = t3 + x t2 GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Khi xy ≤ y − trở thành x2 t − tx + ≤ , x tồn nên bất. .. y Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x y3   x2 y2   − 9  P = 4 + +  y3 x   y2 x      GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT  Bài Cho số thực... 4b  3a  3b  3a 5b  1  b(4  3b)  GV: Nguyễn Tất Thu http://boxtailieu.net SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT 1  1 Nên f (a ) hàm đồng biến  ;1  f (a )  f     4  