Các dạng toán ôn thi vào 10 Ch 1: Cn bc hai -cn bc ba 1) Cho A = + B=7 7- + -6 a) Rỳt gn A, B b) Tớnh A + B 2) Cho E = (5 + ) F = (5 + )(3- ) a) Tớnh E, F b) Tớnh E- F 84 3 3) a) Tớnh 28 + 145 63 200 252 c) Tớnh b) ( 3)( 24 c) ( 5)(3 + 5)( 10 2) 3+ 4) Tớnh: a) (3 +2 )(-2 +3 ) b) 62 + 20 5) Thc hin phộp tớnh: 40 57 40 + 57 *Rỳt gn biu thc: + 75 2 7+ (5 + 50)(5 24) 6) a) P = b) c) 75 2 2+ 3 2+2 17 12 +(2 +3 ) ữ 2 1 + 7) a) A = 7+4 74 15 12 + b) +1 6 d) S = (1+ ) + 5+ 2 c) d) 52 1 + 5+2 2+ 5 + 1+ + f) 1+ 8) a) ( - e) 2 3+ 1 + + 2+ 2011 + 2012 + 10 ) - b) 0,2 (10)2 + ( 5) 1 2+ 200 ữ ữ: 8 2 c) d) ( 3) + 2(3) (1) 9) a) ( + 1)(3 + 2) b) ( + 4)( 3 + 2) c) 64 125 + 216 d) ( + 1)3 ( 1)3 1 + + + +1 + 2012 2011 + 2011 2012 (k + 1) k k k + = 2 (k + 1) k + k k + ( k + 1) k k (k + 1) Bi 10: HD: = ( k + 1) k k k + 1 = k (k + 1) k k +1 Ch 2:CC BI TON V HM S V TH I.im thuc ng - ng i qua im * im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x) yA = f(xA) Ví d 1: Tìm h s a ca hm s: y = ax + bit th hm s ca nú i qua im A(2;4) Gii: Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4= a.2 + a=1 Ví d 2: Trong mt phng ta cho A(-2; 2) v ng thng (d) cú phng trình : y = -2(x + 1) ng thng (d) cú i qua A khụng? Gii: Ta thy -2.(-2 + 1) = nờn im A thuc vo ng thng (d) II.Cỏch tìm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x) Bc 1: Tìm honh giao im l nghim ca phng trình f(x) = g(x) (II) Bc 2: Ly nghim ú thay vo hai cụng thc y = f(x) hoc y = g(x) tìm tung giao im Chú ý: S nghim ca phng trình (II) l s giao im ca hai ng trờn III.Quan h gia hai ng thng Xột hai ng thng : (d1) : y = a1x + b1 (d2) : y = a2x + b2 a) (d1) ct (d2) a1 a2 b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm iu kin ng thng ng qui Bc 1: Gii h phng trình gm hai ng thng khụng cha tham s tìm (x;y) Bc 2: Thay (x;y) va tìm c vo phng trình cũn li tìm tham s V.Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = cx2 (c 0) 1.Tìm ta giao im ca (d) v (P) Bc 1: Tìm honh giao im l nghim ca phng trình : cx2 = ax + b (V) Bc 2: Ly nghim ú thay vo hai cụng thc y = ax + b hoc y = cx tìm tung giao im Chú ý: S nghim ca phng trình (V) l s giao im ca (d) v (P) 2.Tìm iu kin (d) v (P) a) (d) v (P)ct phng trình (V) có hai nghim phân bit b) (d) v (P)tip xúc vi c) (d) v (P)không giao phng trình (V) có nghim kép phng trình (V) vô nghim VI.Vit phng trình ng thng y = ax + b bit 1.Quan h v h s gúc v i qua im A(x0;y0) Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc tìm h s a Bc 2: Thay a va tìm c v x0;y0 vo cụng thc y = ax + b tìm b 2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nờn ta cú h phng trình : Gii h phng trình tìm a, b 3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xúc vi (P): y = cx2 (c 0) +) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nờn cú phng trình : y0 = ax0 + b (3.1) +) Do th hm s y = ax + b tip xỳc Vi (P): y = cx (c 0) nếu: PT: cx2 = ax + b có nghim kép (3.2) +) Gii h gm hai phng trình tìm a, b VII.Chng minh ng thng luụn i qua im c nh ( gi s tham s l m) +) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x0;y0 vo phng trình ng thng, chuyn v phng trình n m h s x0; y0 nghim ỳng vi mi m +) ng nht h s ca phng trình vi gii h tìm x0; y0 VIII.Mt s ng dng ca th hm s 1.ng dng vo phng trình 2.ng dng vo bi toán cc tr Bi v hm s Bi Cho parabol y = 2x2 (P) a Tỡm honh giao im ca (P)vi ng thng y= 3x-1 b Tỡm to giao im ca (P)Vi ng thng y = 6x-9/2 c Tỡm giỏ tr ca a, b cho ng thng y = ax + b tip xỳc vi (P)v i qua A(0;-2) d Tỡm phng trỡnh ng thng tip xỳc Vi (P)ti B(1;2) e Bin lun s giao im ca (P)Vi ng thng y=2m+1 ( bng hai phng phỏp th v i s) f Cho ng thng (d): y = mx - Tỡm m : +(P) khụng ct (d) +(P) tip xỳc vi (d) Tỡm to im tip xỳc ú? +(P) ct (d) ti hai im phõn bit +(P) ct (d) Bi Cho hm s (P): y = x2 v hai im A(0;1) ; B(1;3) a Vit phng trỡnh ng thng AB tỡm to giao im AB vi (P) ó cho b Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi AB v tip xỳc vi (P) c Vit phng trỡnh ng thng (d1) vuụng gúc vi AB v tip xỳc vi (P) d Chng t rng qua im A ch cú nht mt ng thng ct (P) ti hai im phõn bit C, D cho CD = Bi Cho (P): y = x2 v hai ng thng a, b cú phng trỡnh ln lt l: y = 2x - y = 2x + m a Chng t rng ng thng a khụng ct (P) b Tỡm m ng thng b tip xỳc vi (P), vi m tỡm c hóy: + Chng minh cỏc ng thng a, b song song vi + Tỡm to tip im A ca (P) vi b + Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua A v cú h s gúc bng Tỡm to giao im ca (a) v (d) Bi Cho hm s y = x (P) a V th hm s (P) b Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y = 2x + m (d) ct th (P) ti hai im phõn bit A,B ú hóy tỡm to hai im A v B c Tớnh tng tung ca cỏc honh giao im ca (P) v (d) theo m Bi tp5 Cho hm s y=2x2 (P) v y = 3x + m (d) a Khi m=1, tỡm to cỏc giao im ca (P)v (d) b Tớnh tng bỡnh phng cỏc honh giao im ca (P)v (d) theo m c Tỡm mi quan h gia cỏc honh giao im ca (P)v (d) c lp vi m Bi Cho hm s y = -x2 (P) v ng thng (d) i qua N(-1;-2) cú h s gúc k a Chng minh rng vi mi giỏ tr ca k thỡ ng thng (d) luụn ct th (P) ti hai im A, B Tỡm k cho A, B nm v hai phớa ca trc tung b Gi (x1; y1); (x2; y2) l to ca cỏc im A, B núi trờn, tỡm k cho tng S = x1+y1+x2+y2 t giỏ tr ln nht Bi tp7 Cho hm s y= x a Tỡm xỏc nh ca hm s b Tỡm y bit: + x=4 + x = (1- )2 + x = m2-m+1 + x = (m-n)2 c Cỏc im A(16; 4) v B(16; -4), im no thuc th hm s, im no khụng thuc th hm s? ti sao? d Khụng v th hóy tỡm honh giao im ca th hm s ó cho vi th hm s y = x - Bi Cho hm s y = x2 (P) v y = 2mx - m2 + (d) a.Tỡm honh ca cỏc im thuc (P)bit tung ca chỳng y=(1- )2 b.Chng minh rng (P)vi (d) luụn ct ti im phõn bit Tỡm to giao im ca chỳng Vi giỏ tr no ca m thỡ tng cỏc tung ca chỳng t giỏ tr nh nht Bi Cho hm s y = mx - m + (d) a Chng t rng m thay i thỡ ng thng (d) luụn i qua im c nh Tỡm im c nh y b Tỡm m (d) ct (P) y = x2 ti im phõn bit A v B, cho AB = Bi 10 Trờn h trc to Oxy cho cỏc im M(2; 1); N(5; -1/2) v ng thng (d) y=ax + b a Tỡm a v b ng thng (d) i qua cỏc im M, N b Xỏc nh to giao im ca ng thng MN vi cỏc trc Ox, Oy Bi 11 Cho hm s y = x2 (P) v y = 3x + m2 (d) a Chng minh vi bt k giỏ tr no ca m ng thng (d) luụn ct (P) ti im phõn bit b Gi y1, y2 l cỏc tung giao im ca ng thng (d) v (P) tỡm m cú biu thc y1+y2= 11y1.y2 Bi 12 Cho hm s y = x2 (P) a V th hm s (P) b Trờn (P) ly im A, B cú honh ln lt l v Hóy vit phng trỡnh ng thng AB c Lp phng trỡnh ng trung trc (d) ca on thng AB d Tỡm to giao im ca (d) v (P) Bi 13 a Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) y = 2x2 ti im A(-1;2) b Cho hm s y = x2 (P) v B(3;0), tỡm phng trỡnh tho iu kin tip xỳc vi (P) v i qua B c Cho (P) y = x2 Lp phng trỡnh ng thng i qua A(1;0) v tip xỳc vi (P) d Cho (P) y = x2 Lp phng trỡnh ng thng (d) song song vi ng thng y = 2x v tip xỳc vi (P) e Vit phng trỡnh ng thng song song vi ng thng y = -x + v ct (P) y = x2 ti im cú honh bng (-1) f Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi (d) y = x + v ct (P) y = x ti im cú tung bng Dng III:H phng trỡnh Bi 1: : Gii cỏc HPT sau: 1.1 x y = 3 x + y = x + y = x + y = a b Gii: a Dựng PP th: Dựng PP cng: x y = x + y = y = 2x y = 2x x = x = 3x + x = x = 10 y = 2.2 y = x = Vy HPT ó cho cú nghim l: y =1 x y = x = 10 x = x = x + y = x + y = 3.2 + y = y =1 x = Vy HPT ó cho cú nghim l: y =1 - gii loi HPT ny ta thng s dng PP cng cho thun li x + y = 10 x + 15 y = 10 11 y = 22 y = x = x + y = 10 x + y = 12 x + y = x + 2.(2 = 6) y = x = Vy HPT cú nghim l y = - 1.2 i vi HPT dng ny ta cú th s dng hai cỏch gii sau õy: x +1 + + x + = y = y + Cỏch 1: S dng PP cng x +1 + + x + K: x 1, y = 1 y =1 y =1 y =2 y x +1 = x = 2 5 + = = = + = x +1 y =1 y =1 x +1 x + y y x = Vy HPT cú nghim l y = + Cỏch 2: S dng PP t n ph K: x 1, y t 1 = b HPT ó cho tr thnh: =a ; y x +1 x + = 2a + 3b = 2a + 5b = 2a + 5.1 = a = x = (TMK) 2a + 5b = 2b = b = b = =1 y = y x = Vậy HPT cú nghim l y = Lu ý: - Nhiu em cũn thiu K cho nhng HPT dng ny - Cú th th li nghim ca HPT va gii Bài 2: Giải hệ phơng trình sau (bằng phơng pháp thế) 1.1: 1.2 x y = a) x y = x 2 y = a) x + y = x y = b) x + y = x y = b) x + +1 y = ( ( ) ) Bài 3: Giải hệ phơng trình sau (bằng phơng pháp cộng đại số) x + y = 2.1 a) x y = x 3y = 2.2 a) Bài 4: x + y = x + y = b) x + y = x + y = 2 b) x y = x + 3y = Giải hệ phơng trình a) m = -1 x y = 10 c) x y = 3 (m + 1) x + y = 2m b) m = trờng hợp sau c) m = x + by = có nghiệm (1; -2) bx ay = Bài 5: a)Xác định hệ số a b biết hệ phơng trình b) Cũng hỏi nh hệ phơng trình có nghiệm ( 1; ) x + y = x + y = Bài 6: Giải hệ phơng trình sau: Bài 7: Giải hệ phơng trình sau: x + y = x y = x y = x + y = x + y = ; x y = ; x = y ; x + y = 2007 ; x y = ; y + x = x y = ; x + y = 0, x y = ; x 15 y = 10 x + y = x + y = ; 3 5 15 x + y = x + y = y x = ; x y = x ay = b ax + by = Bi 8: Cho h phng trỡnh a) Gii h a = ; b = -2 b) Tỡm a; b h cú nghim l (x;y) = ( ; ) Bi 9: Gii cỏc h phng trỡnh sau x + y x y = a) =3 x + y x y x + y = ; x + y = x y = b) y = x + ; x = y x + y = x + y = xy ; x y =1 x y = c) x + y = ( x + y )( x y ) = ; x 5y = (k x;y ) x y = 2 + 3 = x y = ( x + 1) + 2( y 2) = ( x + 5)( y 2) = ( x + 2)( y 1) ; ; 3( x + 1) ( y 2) = ( x 4)( y + 7) = ( x 3)( y + 4) x + y = + ( x 1)( y 2) + ( x + 1)( y 3) = 3( x + y ) + 5( x y ) = 12 ; ; ( x 3)( y + 1) ( x 3)( y 5) = 5( x + y ) + 2( x y ) = 11 1 x + y = ; = x y 5 x+ y x y = x y + 3x + y = x y + x + y = 4,5 ; ; =3 =3 + =4 x + y x y x y x + y x y + x + y Chuyờn : Gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh Cỏc bc gii * Bc 1: + Lp HPT - Chn n, tỡm n v v K cho n - Biu din mi quan h cũn li qua n v cỏc i lng ó bit - Lp HPT * Bc 2: Gii HPT * Bc 3: i chiu Vi K tr li III, Bi v hng dn: Bi Hai ụ tụ cựng hnh mt lỳc t hai tnh A v B cỏch 160 km, i ngc chiu v gp sau gi Tỡm tc ca mi ụ tụ bit rng nu ụ tụ i t A tng tc thờm 10 km/h s bng hai ln tc ụtụ i t B Bi Mt ngi i xe mỏy i t A n B mt thi gian d nh Nu tc tng14 km/h thỡ n B sm hn gi nu tc gim km/h thỡ n B mun gi Tớnh quóng ng AB, tc v thi gian d nh Bi Hai ca nụ cựng hnh t hai bn A, B cỏch 85 km , i ngc chiu v gp sau gi 40 phỳt.Tớnh tc riờng ca mi ca nụ bit rng tc ca ca nụ xuụi dũng ln hn tc ca ca nụ ngc dũng l km/h (cú c tc dũng nc) v tc dũng nc l km/h Bi Mt ca nụ xuụi dũng 108 km v ngc dũng 63 km ht gi Mt ln khỏc ca nụ xuụi dũng 81 km v ngc dũng 84 km cng ht gi Tớnh tc ca dũng nc v tc tht ca ca nụ Bi Mt ụ tụ d nh i t A n B di 120 km i c na quóng ng xe ngh 30 phỳt nờn n ni ỳng gi xe phi tng tc thờm km/h na trờn quóng ng cũn li Tớnh thi gian xe chy Bi Hai ngi i ngc chiu v phớa nhau.M i t A lỳc gi sỏng v phớa B N i t B lỳc gi sỏng v phớa A H gp lỳc gi sỏng Tớnh thi gian mi ngi i ht quóng ng AB Bit M n B trc N n A l gi 20 phỳt HPT: x y = y x = Bi Hai ụ tụ hnh cựng mt lỳc t A v B ngc chiu v phớa Tớnh quóng ng AB v tc ca mi xe Bit rng sau gi hai xe gp ti mt im cỏch chớnh gia quóng ng AB l 10 km v xe i chm tng tc gp ụi thỡ hai xe gp sau gi 24 phỳt HPT: x y = 10 ( x + y ) = 2( x + y ) 10 Bi 13 Cho tam giỏc ABC vuụng A (AB > AC), ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha in A , V na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E, Na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh AFHE l hỡnh ch nht BEFC l t giỏc ni tip AE AB = AF AC Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Li gii: Ta cú : BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => AEH = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => AFH = 900 (vỡ l hai gúc k bự).(2) EAF = 900 ( Vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A) (3) T (1), (2), (3) => t giỏc AFHE l hỡnh ch nht ( vỡ cú ba gúc vuụng) T giỏc AFHE l hỡnh ch nht nờn ni tip c mt ng trũn =>F1=H1 (ni tip chn cung AE) Theo gi thit AH BC nờn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (O1) v (O2) => B1 = H1 (hai gúc ni tip cựng chn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC m AFE + EFC = 1800 (vỡ l hai gúc k bự) => EBC+EFC = 1800 mt khỏc EBC v EFC l hai gúc i ca t giỏc BEFC ú BEFC l t giỏc ni tip Xột hai tam giỏc AEF v ACB ta cú A = 900 l gúc chung; AFE = ABC ( theo Chng AE AF = minh trờn) => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD cỏch 2: Tam giỏc AHB vuụng ti H cú HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giỏc AHC vuụng ti H cú HF AC => AH2 = AF.AC (**) T (*) v (**) => AE AB = AF AC T giỏc AFHE l hỡnh ch nht => IE = EH => IEH cõn ti I => E1 = H1 O1EH cõn ti O1 (vỡ cú O1E vO1H cựng l bỏn kớnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chng minh tng t ta cng cú O2F EF Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi 14 Cho im C thuc on thng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc Vi AB ti C ct na ng trũn (O) ti E Gi M N theo th t l giao im ca EA, EB Vi cỏc na ng trũn (I), (K) Ta cú: BNC= 900( ni tip chn na Chng minh EC = MN ng trũn tõm K) Chng minh MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) Tớnh MN Tớnh din tớch hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn Li gii: => ENC = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trũn tõm I) => EMC = 900 (vỡ l hai gúc k bự).(2) AEB = 900 (ni tip chn na ng trũn tõm O) hay MEN = 900 (3) T (1), (2), (3) => t giỏc CMEN l hỡnh ch nht => EC = MN (tớnh cht ng chộo hỡnh ch nht ) Theo gi thit EC AB ti C nờn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (I) v (K) 26 => B1 = C1 (hai gúc ni tip cựng chn cung CN) T giỏc CMEN l hỡnh ch nht nờn => C1= N3 => B1 = N3.(4) Li cú KB = KN (cựng l bỏn kớnh) => tam giỏc KBN cõn ti K => B1 = N1 (5) T (4) v (5) => N1 = N3 m N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N Chng minh tng t ta cng cú MN l tip tuyn ca (I) ti M, Vy MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) Ta cú AEB = 900 (ni tip chn nc ng trũn tõm O) => AEB vuụng ti A cú EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trờn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cú S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cú din tớch phn hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn l S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bi 15 Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn (O) ti D ng thng AD ct ng trũn (O) ti S Chng minh ABCD l t giỏc ni tip Chng minh CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Gi E l giao im ca BC Vi ng trũn (O) Chng minh rng cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy Chng minh DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE Chng minh im M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE Li gii: Ta cú CAB = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); MDC = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => CDB = 900 nh vy D v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn A v D cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => ABCD l t giỏc ni tip ABCD l t giỏc ni tip => D1= C3( ni tip cựng chn cung AB) ẳ = EM ẳ => C2 = C3 (hai gúc ni tip ng trũn (O) chn hai cung bng nhau) D1= C3 => SM => CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Xột CMB Ta cú BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam giỏc CMB nờn BA, EM, CD ng quy ẳ = EM ẳ => D1= D2 => DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE.(1) Theo trờn Ta cú SM 27 Ta cú MEC = 900 (ni tip chn na ng trũn (O)) => MEB = 900 T giỏc AMEB cú MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m õy l hai gúc i nờn t giỏc AMEB ni tip mt ng trũn => A2 = B2 T giỏc ABCD l t giỏc ni tip => A1= B2( ni tip cựng chn cung CD) => A1= A2 => AM l tia phõn giỏc ca gúc DAE (2) T (1) v (2) Ta cú M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE TH2 (Hỡnh b) Cõu : ABC = CME (cựng ph ACB); ABC = CDS (cựng bự ADC) => CME = CDS ằ = CS ằ => SM ẳ = EM ẳ => SCM = ECM => CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB => CE Bi 16 Cho tam giỏc ABC vuụng A.v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD, AE ln lt ct ng trũn ti F, G Chng minh : Tam giỏc ABC ng dng Vi tam giỏc EBD T giỏc ADEC v AFBC ni tip AC // FG Cỏc ng thng AC, DE, FB ng quy Li gii: Xột hai tam giỏc ABC v EDB Ta cú BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DEB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => DEB = BAC = 900 ; li cú ABC l gúc chung => DEB CAB Theo trờn DEB = 900 => DEC = 900 (vỡ hai gúc k bự); BAC = 900 ( vỡ ABC vuụng ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 m õy l hai gúc i nờn ADEC l t giỏc ni tip * BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DFB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) hay BFC = 900 nh vy F v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn A v F cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => AFBC l t giỏc ni tip Theo trờn ADEC l t giỏc ni tip => E1 = C1 li cú E1 = F1 => F1 = C1 m õy l hai gúc so le nờn suy AC // FG (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam giỏc DBC nờn CA, DE, BF ng quy ti S Bi 17 Cho tam giỏc u ABC cú ng cao l AH Trờn cnh BC ly im M bt kỡ ( M khụng trựng B C, H ) ; t M k MP, MQ vuụng gúc Vi cỏc cnh AB AC Chng minh APMQ l t giỏc ni tip v hóy xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú Chng minh rng MP + MQ = AH Chng minh OH PQ Li gii: Tam giỏc ABC cú AH l ng cao => 1 Ta cú MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) SABC = BC.AH => AQM = 90 nh vy P v Q cựng nhỡn BC di mt gúc bng 90 nờn P v Q cựng nm trờn ng trũn ng kớnh Tam giỏc ABM cú MP l ng cao => AM => APMQ l t giỏc ni tip SABM = AB.MP * Vỡ AM l ng kớnh ca ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ l trung im ca AM 28 Tam giỏc ACM cú MQ l ng cao => SACM = AC.MQ 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 M AB = BC = CA (vỡ tam giỏc ABC u) => MP + MQ = AH ằ = HQ ẳ Tam giỏc ABC cú AH l ng cao nờn cng l ng phõn giỏc => HAP = HAQ => HP ( tớnh cht gúc ni tip ) => HOP = HOQ (t/c gúc tõm) => OH l tia phõn giỏc gúc POQ M tam giỏc POQ cõn ti O ( vỡ OP v OQ cựng l bỏn kớnh) nờn suy OH cng l ng cao => OH PQ Bi 18 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Trờn on thng OB ly im H bt kỡ ( H khụng trựng O, B) ; trờn ng thng vuụng gúc Vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trũn ; MA v MB th t ct ng trũn (O) ti C v D Gi I l giao im ca AD v BC Chng minh MCID l t giỏc ni tip Chng minh cỏc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I Gi K l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc MCID, Chng minh KCOH l t giỏc ni tip Li gii: Ta cú : ACB = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => MCI = 900 (vỡ l hai gúc k bự) ADB = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => MDI = 900 (vỡ l hai gúc k bự) => MCI + MDI = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc MCID nờn MCID l t giỏc ni tip Theo trờn Ta cú BC MA; AD MB nờn BC v AD l hai ng cao ca tam giỏc MAB m BC v AD ct ti I nờn I l trc tõm ca tam giỏc MAB Theo gi thit thỡ MH AB nờn MH cng l ng cao ca tam giỏc MAB => AD, BC, MH ng quy ti I OAC cõn ti O ( vỡ OA v OC l bỏn kớnh) => A1 = C4 KCM cõn ti K ( vỡ KC v KM l bỏn kớnh) => M1 = C1 M A1 + M1 = 900 ( tam giỏc AHM vuụng ti H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( vỡ gúc ACM l gúc bt) hay OCK = 900 Xột t giỏc KCOH Ta cú OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 m OHK v OCK l hai gúc i nờn KCOH l t giỏc ni tip Ta cú SABM + SACM = SABC => 29 Bi 19 Cho ng trũn (O) ng kớnh AC Trờn bỏn kớnh OC ly im B tu ý (B khỏc O, C ) Gi M l trung im ca on AB Qua M k dõy cung DE vuụng gúc Vi AB Ni CD, K BI vuụng gúc Vi CD Chng minh t giỏc BMDI ni tip Chng minh t giỏc ADBE l hỡnh thoi Chng minh BI // AD Chng minh I, B, E thng hng Chng minh MI l tip tuyn ca (O) Li gii: BIC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BID = 900 (vỡ l hai gúc k bự); DE AB ti M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc MBID nờn MBID l t giỏc ni tip Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nờn M cng l trung im ca DE (quan h ng kớnh v dõy cung) => T giỏc ADBE l hỡnh thoi vỡ cú hai ng chộo vuụng gúc Vi ti trung im ca mi ng ADC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => AD DC; theo trờn BI DC => BI // AD (1) Theo gi thit ADBE l hỡnh thoi => EB // AD (2) T (1) v (2) => I, B, E thng hng (vỡ qua B ch cú mt ng thng song song Vi AD m thụi.) I, B, E thng hng nờn tam giỏc IDE vuụng ti I => IM l trung tuyn ( vỡ M l trung im ca DE) =>MI = ME => MIE cõn ti M => I1 = E1 ; OIC cõn ti O ( vỡ OC v OI cựng l bỏn kớnh ) => I3 = C1 m C1 = E1 ( Cựng ph Vi gúc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 M I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI ti I => MI l tip tuyn ca (O) Bi 20 Cho ng trũn (O; R) v (O; R) cú R > R tip xỳc ngoi ti C Gi AC v BC l hai ng kớnh i qua im C ca (O) v (O) DE l dõy cung ca (O) vuụng gúc Vi AB ti trung im M ca AB Gi giao im th hai ca DC Vi (O) l F, BD ct (O) ti G Chng minh rng: T giỏc MDGC ni tip Bn im M, D, B, F cựng nm trờn mt ng trũn T giỏc ADBE l hỡnh thoi B, E, F thng hng DF, EG, AB ng quy MF = 1/2 DE MF l tip tuyn ca (O) Li gii: BGC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => CGD = 900 (vỡ l hai gúc k bự) Theo gi thit DE AB ti M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc MCGD nờn MCGD l t giỏc ni tip BFC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vỡ DE AB ti M) nh vy F v M cựng nhỡn BD di mt gúc bng 900 nờn F v M cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BD => M, D, B, F cựng nm trờn mt ng trũn Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nờn M cng l trung im ca DE (quan h ng kớnh v dõy cung) => T giỏc ADBE l hỡnh thoi vỡ cú hai ng chộo vuụng gúc Vi ti trung im ca mi ng ADC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => AD DF ; theo trờn t giỏc ADBE l hỡnh tho => BE // AD m AD DF nờn suy BE DF Theo trờn BFC = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BF DF m qua B ch cú mt ng thng vuụng gúc Vi DF o B, E, F thng hng 30 Theo trờn DF BE; BM DE m DF v BM ct ti C nờn C l trc tõm ca tam giỏc BDE => EC cng l ng cao => ECBD; theo trờn CGBD => E,C,G thng hng Vy DF, EG, AB ng quy Theo trờn DF BE => DEF vuụng ti F cú FM l trung tuyn (vỡ M l trung im ca DE) suy MF = 1/2 DE ( vỡ tam giỏc vuụng trung tuyn thuc cnh huyn bng na cnh huyn) (HD) theo trờn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cõn ti M => D1 = F1 OBF cõn ti O ( vỡ OB v OF cựng l bỏn kớnh ) => F3 = B1 m B1 = D1 (Cựng ph Vi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 M F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO hay MF OF ti F => MF l tip tuyn ca (O) Bi 21 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Gi I l trung im ca OA V ng tron tõm I i qua A, trờn (I) ly P bt kỡ, AP ct (O) ti Q Chng minh rng cỏc ng trũn (I) v (O) tip xỳc ti A Chng minh IP // OQ Chng minh rng AP = PQ Xỏc nh v trớ ca P tam giỏc AQB cú din tớch ln nht Li gii: Ta cú OI = OA IA m OA v IA ln lt l cỏc bỏn kớnh ca ng trũn (O) v ng trũn (I) Vy ng trũn (O) v ng trũn (I) tip xỳc ti A OAQ cõn ti O ( vỡ OA v OQ cựng l bỏn kớnh ) => A1 = Q1 IAP cõn ti I ( vỡ IA v IP cựng l bỏn kớnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 m õy l hai gúc ng v nờn suy IP // OQ APO = 900 (ni tip chn na ng trũn ) => OP AQ => OP l ng cao ca OAQ m OAQ cõn ti O nờn OP l ng trung tuyn => AP = PQ (HD) K QH AB ta cú SAQB = AB.QH m AB l ng kớnh khụng i nờn SAQB ln nht QH ln nht QH ln nht Q trựng Vi trung im ca cung AB Q trựng Vi trung im ca cung AB thỡ P phi l trung im ca cung AO Tht vy P l trung im ca cung AO => PI AO m theo trờn PI // QO => QO AB ti O => Q l trung im ca cung AB v ú H trung Vi O; OQ ln nht nờn QH ln nht Bi 22 Cho hỡnh vuụng ABCD, im E thuc cnh BC Qua B k ng thng vuụng gúc Vi DE, ng thng ny ct cỏc ng thng DE v DC theo th t H v K Chng minh BHCD l t giỏc ni tip Tớnh gúc CHK Chng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyn trờn cnh BC thỡ H di chuyn trờn ng no? Li gii: Theo gi thit ABCD l hỡnh vuụng nờn BCD = 900; BH DE ti H nờn BHD = 900 => nh vy H v C cựng nhỡn BD di mt gúc bng 900 nờn H v C cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BD => BHCD l t giỏc ni tip BHCD l t giỏc ni tip => BDC + BHC = 1800 (1) BHK l gúc bt nờn KHC + BHC = 1800 (2) T (1) v (2) => CHK = BDC m BDC = 450 (vỡ ABCD l hỡnh vuụng) => CHK = 450 Xột KHC v KDB ta cú CHK = BDC = 450 ; K l gúc chung 31 KC KH = => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta luụn cú BHD = 900 v BD c nh nờn E chuyn ng trờn cnh BC c nh thỡ H chuyn ng trờn cung BC (E B thỡ H B; E C thỡ H C) => KHC KDB => Bi 23 Cho tam giỏc ABC vuụng A Dng ngoi tam giỏc ABC cỏc hỡnh vuụng ABHK, ACDE Chng minh ba im H, A, D thng hng ng thng HD ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti F, chng minh FBC l tam giỏc vuụng cõn Cho bit ABC > 450 ; gi M l giao im ca BF v ED, Chng minh im b, k, e, m, c cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh MC l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Li gii: Theo gi thit ABHK l hỡnh vuụng => BAH = 450 T giỏc AEDC l hỡnh vuụng => CAD = 450; tam giỏc ABC vuụng A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba im H, A, D thng hng Ta cú BFC = 900 (ni tip chn na ng trũn ) nờn tam giỏc BFC vuụng ti F (1) FBC = FAC ( ni tip cựng chn cung FC) m theo trờn CAD = 450 hay FAC = 450 (2) T (1) v (2) suy FBC l tam giỏc vuụng cõn ti F Theo trờn BFC = 900 => CFM = 900 ( vỡ l hai gúc k bự); CDM = 900 (t/c hỡnh vuụng) => CFM + CDM = 1800 m õy l hai gúc i nờn t giỏc CDMF ni tip mt ng trũn suy CDF = CMF , m CDF = 450 (vỡ AEDC l hỡnh vuụng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta cng cú CEB = 450 (vỡ AEDC l hỡnh vuụng); BKC = 450 (vỡ ABHK l hỡnh vuụng) Nh vy K, E, M cựng nhỡn BC di mt gúc bng 450 nờn cựng nm trờn cung cha gúc 450 dng trờn BC => im b, k, e, m, c cựng nm trờn mt ng trũn CBM cú B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC ti C => MC l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Bi 24 Cho tam giỏc nhn ABC cú B = 450 V ng trũn ng kớnh AC cú tõm O, ng trũn ny ct BA v BC ti D v E A Chng minh AE = EB Gi H l giao im ca CD v AE, Chng minh rng ng D F trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH O Chng minh OD l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam H / _ giỏc BDE _K 1 / I Li gii: AEC = 900 (ni tip chn na ng trũn ) B E C => AEB = 900 ( vỡ l hai gúc k bự); Theo gi thit ABE = 450 => AEB l tam giỏc vuụng cõn ti E => EA = EB Gi K l trung im ca HE (1) ; I l trung im ca HB => IK l ng trung bỡnh ca tam giỏc HBE => IK // BE m AEC = 900 nờn BE HE ti E => IK HE ti K (2) T (1) v (2) => IK l trung trc ca HE Vy trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH theo trờn I thuc trung trc ca HE => IE = IH m I l trung im ca BH => IE = IB 32 ADC = 900 (ni tip chn na ng trũn ) => BDH = 900 (k bự ADC) => tam giỏc BDH vuụng ti D cú DI l trung tuyn (do I l trung im ca BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BDE bỏn kớnh ID Ta cú ODC cõn ti O (vỡ OD v OC l bỏn kớnh ) => D1 = C1 (3) IBD cõn ti I (vỡ ID v IB l bỏn kớnh ) => D2 = B1 (4) Theo trờn ta cú CD v AE l hai ng cao ca tam giỏc ABC => H l trc tõm ca tam giỏc ABC => BH cng l ng cao ca tam giỏc ABC => BH AC ti F => AEB cú AFB = 900 Theo trờn ADC cú ADC = 900 => B1 = C1 ( cựng ph BAC) (5) T (3), (4), (5) =>D1 = D2 m D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID ti D => OD l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc BDE Bi 25 Cho ng trũn (O), BC l dõy bt kỡ (BC< 2R) K cỏc tip tuyn Vi ng trũn (O) ti B v C chỳng ct ti A Trờn cung nh BC ly mt im M ri k cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, AC, AB Gi giao im ca BM, IK l P; giao im ca CM, IH l Q Chng minh tam giỏc ABC cõn Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip Chng minh MI2 = MH.MK Chng minh PQ MI Li gii: Theo tớnh cht hai tip tuyn ct ta cú AB = AC => ABC cõn ti A Theo gi thit MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 => MIB + MKB = 1800 m õy l hai gúc i => t giỏc BIMK ni tip * ( Chng minh t giỏc CIMH ni tip tng t t giỏc BIMK ) Theo trờn t giỏc BIMK ni tip => KMI + KBI = 1800; t giỏc CHMI ni tip => HMI + HCI = 1800 m KBI = HCI ( vỡ tam giỏc ABC cõn ti A) => KMI = HMI (1) Theo trờn t giỏc BIMK ni tip => B1 = I1 ( ni tip cựng chn cung KM); t giỏc CHMI ni tip => H1 = C1 ( ni tip cựng chn cung IM) ẳ ) => I1 = H1 (2) M B1 = C1 ( = 1/2 s BM MI MK = T (1) v (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI Theo trờn ta cú I1 = C1; cng chng minh tng t ta cú I2 = B2 m C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 m õy l hai gúc i => t giỏc PMQI ni tip => Q1 = I1 m I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vỡ cú hai gúc ng v bng nhau) Theo gi thit MI BC nờn suy IM PQ Bi 26 Cho ng trũn (O), ng kớnh AB = 2R V dõy cung CD AB H Gi M l im chớnh gia ca cung CB, I l giao im ca CB v OM K l giao im ca AM v CB Chng minh : KC AC = AM l tia phõn giỏc ca CMD T giỏc OHCI ni KB AB tip Chng minh ng vuụng gúc k t M n AC cng l tip tuyn ca ng trũn ti M ằ = MC ẳ ằ Li gii: Theo gi thit M l trung im ca BC => MB => CAM = BAM (hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) => AK l tia KC AC = phõn giỏc ca gúc CAB => ( t/c tia phõn giỏc ca tam giỏc ) KB AB 33 ằ => CMA = DMA => MA l tia phõn (HD) Theo gi thit CD AB => A l trung im ca CD giỏc ca gúc CMD ằ (HD) Theo gi thit M l trung im ca BC => OM BC ti I => OIC = 900 ; CD AB ti H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 m õy l hai gúc i => t giỏc OHCI ni tip K MJ AC ta cú MJ // BC ( vỡ cựng vuụng gúc Vi AC) Theo trờn OM BC => OM MJ ti J suy MJ l tip tuyn ca ng trũn ti M Bi 27 Cho ng trũn (O) v mt im A ngoi ng trũn Cỏc tip tuyn Vi ng trũn (O) k t A tip xỳc Vi ng trũn (O) ti B v C Gi M l im tu ý trờn ng trũn ( M khỏc B, C), t M k MH BC, MK CA, MI AB Chng minh : T giỏc ABOC ni tip BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Li gii: (HS t gii) T giỏc ABOC ni tip => BAO = BCO (ni tip cựng chn cung BO) Theo gi thit MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 m õy l hai gúc i => t giỏc MHCK ni tip => HCM = HKM (ni tip cựng chn cung HM) Chng minh tng t ta cú t giỏc MHBI ni tip => MHI = MBI (ni tip cựng chn cung IM) ẳ ) => HKM = MHI (1) Chng minh tng t ta cng cú M HCM = MBI ( = 1/2 s BM KHM = HIM (2) T (1) v (2) => HIM KHM MI MH = Theo trờn HIM KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bi 28 Cho tam giỏc ABC ni tip (O) Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC; E l im i xng ca H qua BC; F l im i xng ca H qua trung im I ca BC Chng minh t giỏc BHCF l hỡnh bỡnh hnh E, F nm trờn ng trũn (O) Chng minh t giỏc BCFE l hỡnh thang cõn Gi G l giao im ca AI v OH Chng minh G l trng tõm ca tam giỏc ABC Li gii: Theo gi thit F l im i xng ca H qua trung im I ca BC => I l trung im BC v HE => BHCF l hỡnh bỡnh hnh vỡ cú hai ng chộo ct ti trung im ca mi ng (HD) T giỏc ABHC ni tip => BAC + BHC = 1800 m BHC = BHC (i nh) => BAC + BHC = 1800 Theo trờn BHCF l hỡnh bỡnh hnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => T giỏc ABFC ni tip => F thuc (O) 34 * H v E i xng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC ni tip => E thuc (O) Ta cú H v E i xng qua BC => BC HE (1) v IH = IE m I l trung im ca ca HF => EI = 1/2 HE => tam giỏc HEF vuụng ti E hay FE HE (2) T (1) v (2) => EF // BC => BEFC l hỡnh thang (3) Theo trờn E (O) => CBE = CAE ( ni tip cựng chn cung CE) (4) Theo trờn F (O) v FEA =900 => AF l ng kớnh ca (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( vỡ cựng ph ACB) (5) T (4) v (5) => BCF = CBE (6) T (3) v (6) => t giỏc BEFC l hỡnh thang cõn Theo trờn AF l ng kớnh ca (O) => O l trung im ca AF; BHCF l hỡnh bỡnh hnh => I l trung im ca HF => OI l ng trung bỡnh ca tam giỏc AHF => OI = 1/ AH Theo gi thit I l trung im ca BC => OI BC ( Quan h ng kớnh v dõy cung) => OIG = GI OI = HAG (vỡ so le trong); li cú OGI = HGA (i nh) => OGI HGA => m OI = GA HA GI = m AI l trung tuyn ca tam giỏc ABC (do I l trung im ca BC) => G l trng AH => GA tõm ca tam giỏc ABC Bi 29 BC l mt dõy cung ca ng trũn (O; R) (BC 2R) im A di ng trờn cung ln BC cho O luụn nm tam giỏc ABC Cỏc ng cao AD, BE, CF ca tam giỏc ABC ng quy ti H Chng minh tam giỏc AEF ng dng Vi tam giỏc ABC Gi A l trung im ca BC, Chng minh AH = 2OA Gi A1 l trung im ca EF, Chng minh R.AA1 = AA OA Chng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy v trớ ca A tng EF + FD + DE t giỏ tr ln nht Li gii: (HD) T giỏc BFEC ni tip => AEF = ACB (cựng bự BFE) AEF = ABC (cựng bự CEF) => AEF ABC V ng kớnh AK => KB // CH ( cựng vuụng gúc AB); KC // BH (cựng vuụng gúc AC) => BHKC l hỡnh bỡnh hnh => A l trung im ca HK => OK l ng trung bỡnh ca AHK => AH = 2OA ỏp dng tớnh cht : nu hai tam giỏc ng dng thỡ t s gia hia trung tuyn, t s gia hai bỏn kớnh cỏc ng trũn ngoi tip bng t s ng dng ta cú : R AA ' = AEF ABC => (1) ú R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip ABC; R l bỏn kớnh R ' AA1 ng trũn ngoi tip AEF; AA l trung tuyn ca ABC; AA1 l trung tuyn ca AEF T giỏc AEHF ni tip ng trũn ng kớnh AH nờn õy cng l ng trũn ngoi tip AEF AH A 'O T (1) => R.AA1 = AA R = AA = AA 2 Vy R AA1 = AA AO (2) Gi B, Cln lt l trung im ca AC, AB, ta cú OBAC ; OCAB (bỏn kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng qua tõm) => OA, OB, OC ln lt l cỏc ng cao ca cỏc tam giỏc OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA BC + OB AC + OC AB ) 2SABC = OA BC + OB AC + OC AB (3) 35 AA1 AA1 m l t s gia trung tuyn ca hai tam giỏc ng dng AEF v ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nờn = Tng t ta cú : OB = R ; OC = R Thay vo (3) ta c AA ' BC AC AB EF FD ED BC + AC + AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) 2SABC = R ( BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC m R khụng i nờn (EF + FD + DE) t gớ tr ln nht SABC Ta cú SABC = AD.BC BC khụng i nờn SABC ln nht AD ln nht, m AD ln nht A l im chớnh gia ca cung ln BC Theo (2) => OA = R Bi 30 Cho tam giỏc ABC ni tip (O; R), tia phõn giỏc ca gúc BAC ct (O) ti M V ng cao AH v bỏn kớnh OA Chng minh AM l phõn giỏc ca gúc OAH Gi s B > C Chng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 v OAH = 200 Tớnh: a) B v C ca tam giỏc ABC b) Din tớch hỡnh viờn phõn gii hn bi dõy BC v cung nh BC theo R Li gii: (HD) ẳ = CM ẳ => M AM l phõn giỏc ca BAC => BAM = CAM => BM l trung im ca cung BC => OM BC; Theo gi thit AH BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le) M OMA = OAM ( vỡ tam giỏc OAM cõn ti O cú OM = OA = R) => HAM = OAM => AM l tia phõn giỏc ca gúc OAH V dõy BD OA => ằAB = ằAD => ABD = ACB Ta cú OAH = DBC ( gúc cú cnh tng ng vuụng gúc cựng nhn) => OAH = ABC ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C a) Theo gi thit BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trờn B C = OAH => B - C = 200 B + C = 1200 B = 700 => 0 B C = 20 C = 50 b) Svp = SqBOC - S V BOC = R 1202 R R R R (4 3) R = = 3600 2 12 Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm 120 phút (không kể thời gian giao đề) 36 Phần 1- Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, có phơng án Hãy chọn phơng án (viết vào làm chữ đứng trớc phơng án đợc lựa chọn) Câu Phơng trình (x - 1)(x + 2) = tơng đơng với phơng trình A x2 + x - = B x + = C x2 -2 x +1 = D x2 + x +2 = Câu Phơng trình sau có tổng hai nghiệm 3? A x2 - x +14 = B x2 - x - = C x2 -5 x +3 = D x2 -9 = Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến Ă ? A y = -5x2 B y = 5x2 D y = x - 10 C y = ( -2)x Câu Phơng trình x2 + x + m = có nghiệm A m B m < C m D m > Câu Phơng trình 3x + = x có tập nghiệm A { 1; 4} B { 4;5} C { 1; 4} D { 4} Câu Nếu hình vuông có cạnh cm đờng tròn ngoại tiếp hình vuông coa bán kính A 2cm C 2cm B 6cm D 6cm , , , , Câu Cho hai đờng tròn (O;R) (O ; R ) có R = 6cm, R = 2cm, OO = 3cm Khi đó, vị trí tơng đối hai đờng tròn cho A cắt C D tiếp xúc B (O;R) đựng (O, ; R , ) Câu Cho hình nón có bán kính đáy 3cm, tích 18 cm3 Hình nón cho có chiều cao B 6cm D 2cm A cm C cm Phần 2- Tự luận (8,0 điểm) x x Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức P = + ữ ữ x + x + với x x x x + 1) Rút gọn biểu thức P 2) Chứng minh x = + 2 P = Câu (1,5 điểm) 1) Cho hàm số y = 2x + 2m + Xác định m, biết đồ thị hàm số qua điểm A(1;4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y = x2 đồ thị hàm số y = 2x + Câu (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình x + y +1 x + y + =2 x + y x + y +1 x + y = Câu (3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) điểm M nằm đờng tròn cho OM = 2R Đờng thẳng d qua M và, tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A Gọi N giao điểm đoạn thẳng MO với đờng tròn (O; R) 1) Tính độ dài đoạn thẳng AN theo R Tính số đo góc NAM 2) Kẻ hai đờng kính AB CD khác đờng tròn (O; R) Các đờng thẳng BC, BD cắt đờng thẳng d lần lợt P, Q a) Chứng minh tứ giác PQDC nội tiếp b) Chứng minh 3BQ - AQ > 4R Câu (1,0 điểm) Tìm tất cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện x y + y x = xy ( ) 37 Hớng dẫn giảI dự kiến đáp án đề tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2010 - 2011 Phần I (2,0đ) II Câu1 (1,5đ) Câu 1: A; Câu 5: D; Câu 2: B; Câu 6: C; Câu 3: D; Câu 7: B; đáp án Câu 4: C Câu 8: C Mỗi câu cho 0,25 (1đ) Thực hiện: 0,25 x 2( x + 1) + x ( x 1) + = x x +1 ( x 1)( x + 1) = x +2+ x x x 0,25 x+ x +2 x x+ x +2 x x P= = x x + x + x (0,5đ) Thay x = + 2 vào biểu thức P rút gọn ta có 0,25 = P= 0,25 0,25 3+ 2 + 2 0,25 1+ = điều phải chứng minh 2+2 2 (0,75đ) Đồ thị hàm số qua điểm A(1;4) suy x = y = thoả mãn công thức y = 2x+2m+1 Suy = 2.1 + 2m + Tìm đợc m = 0,5 (0,75đ) Xét phơng trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x2 = 2x + Giải phơng trình tìm đợc x = -1và x = Thay vào công thức hàm số tìm đợc y = y = Kết luận toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số (-1; 1) (3; 9) = Câu2 (1,5đ) Câu (1,0đ) 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 x + y +1 x + y + =2 + Đặt ĐKXĐ hệ x + y x + y + (x+2y)(x+y+1) x + y = + Biến đổi phơng trình điểm 2,0 0,25 x + y +1 x + y ( x + y + 1) + ( x + y ) + =2 =2 x + 2y x + y +1 ( x + y + 1)( x + y ) ( x + y + 1) + ( x + y ) = 2( x + y + 1)( x + y ) [ ( x + y + 1) ( x + y ) ] = ( y ) = y = 0,25 0,25 0,25 + Thay y = vào phơng trình 3x + y = ta tìm đợc x = + Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ (1; 1) 38 Câu (3,0đ) C P N B O M 0,25 D A 0,25 Q 1điểm + Tính đợc MN = R N trung điểm MO + Chỉ đợc OA vuông góc với AM suy tam giác MAO vuông A + áp dụng định lý đờng trung tuyến tam giác vuông MAO tính đợc AN = R + Tính đợc góc NAM = 300 (2,0đ) a) 1.25điểm Chứng minh tứ giác PQDC nội tiếp +Ch + Chỉ đợc cung nhỏ AD = cung nhỏ BC; cung nhỏ AC = cung nhỏ BD + Ta có góc PQD góc có đỉnh bên đờng tròn nên 1 gócPQD = (sđ cung BCA - sđcungAD) = sđ cung AC 2 +Ta có góc BCD = sđ cung BD (tính chất góc nội tiếp) gócPQD = góc BCD Mà góc BCD + gócDCP = 1800 nên góc PQD + góc DCP = 1800 Vậy tứ giác PQDC nội tiếp b) điểm Chứng minh 3BQ - 2AQ > 4R 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 *Xột tam giỏc ABQ cú : 0,50 BQ2 = AB2 + AQ2 0,25 Ta cú : 3BQ - 2AQ > 4R 3BQ > 2AQ + 2AB ( vỡ AB = 2R ) 9BQ2 > AQ2 + 8AQ.AB + 4AB2 9AB2 + 9AQ2 > AQ2 + 8AQ.AB + 4AB2 4( AQ - AB )2 + AQ2 + AB2 > ( luụn ỳng ) pcm Câu (1,5đ) ( ) Tìm (x;y) thoả mãn x y + y x = xy 0,25 + Điều kiên xác định: x y (*) + Đặt a = x 4; b = y với a b số không âm điều kiện đề trở thành ( a + ) b + ( b + ) a = ( a + ) ( b + ) 39 ( a + ) b + ( b + ) a (a + 4) ( b2 + 4) 2b 2a 4b 4a + =1 + = (1) =1 b +4 a +4 b +4 a +4 0,25 0,25 4b 4a 4b 4a 1; Do từ (1) suy = = (2) b +4 a +4 b +4 a +4 Giải (2) ta đợc a = b = Do x = y = + Kiểm tra giá trị x, y thoả mãn điều kiện đề Vậy cặp số (8; 8) cặp số cần tìm + Với a; b 40 [...]... = 20 C = 50 b) Svp = SqBOC - S V BOC = R 2 1202 1 R R 2 R 2 3 R 2 (4 3 3) R 3 = = 3600 2 2 3 4 12 Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề chính thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2 010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) 36 ... - 5x + 1 = 0 3 7x2 - 13x + 2 = 0 4 3x2 + 5x + 60 = 0 5 2x2 + 5x + 1 = 0 6 5x2 - x + 2 = 0 7 x2 - 3x -7 = 0 8 x2 - 3 x - 10 = 0 9 4x2 - 5x - 9 = 0 10 2x2 - x - 21 = 0 11 6x2 + 13x - 5 = 0 12 56x2 + 9x - 2 = 0 13 10x2 + 17x + 3 = 0 TT Cỏc phng trỡnh cn gii theo ' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x2 - 4x + 2 = 0 9x2 - 6x + 1 = 0 -3x2 + 2x + 8 = 0 x2 - 6x + 5 = 0 3x2 - 6x + 5 = 0 3x2 - 12x + 1 = 0 5x2 -... tng cng 70 HS nu chuyn 5 HS t lp 9A sang lp 9B thỡ s HS hai lp bng nhau Tớnh s HS mi lp Bi 9 Hai trng A, B cú 250 HS lp 9 d thi vo lp 10, kt qu cú 210 HS ó trỳng tuyn Tớnh riờng t l thỡ trng A t 80%, trng B t 90% Hi mi trng cú bao nhiờu HS lp 9 d thi vo lp 10 Bi 10 Hai vũi nc cựng chy vo mt b khụng cú nc sau 2 gi 55 phỳt thỡ y b Nu chy riờng thỡ vũi th nht cn ớt thi gian hn vũi th hai l 2 gi Tớnh... EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10. 40 = 400 => EC = 20 cm Theo trờn EC = MN => MN = 20 cm 4 Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cú S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 1 Ta cú din tớch phn hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn l S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bi 15 Cho tam... tr nh nht Bi tp 31: Cho phng trỡnh: x2 - m + (m - 2)2 = 0 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bi tp 32: Cho phng trỡnh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m l tham s) Tỡm m sao cho 2 nghim x1; x2 ca phng trỡnh tho món 10x 1x2 + x12 + x 22 t giỏ tr nh nht Tỡm giỏ tr ú 17 Dng V: Bi tp Hỡnh tng hp Bi 1 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O) Cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti... ( cựng bự Vi ACD) Theo trờn ABD = DFB => ECD = DFB M EFD + DFB = 1800 ( Vỡ l hai gúc k bự) nờn suy ra ECD + EFD = 1800, mt khỏc ECD v EFD l hai gúc i ca t giỏc CDFE do ú t giỏc CEFD l t giỏc ni tip Bi 10 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn sao cho AM < MB Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA Gi P l chõn ng vuụng gúc t S n AB 1 Chng minh bn im A, M, S, P cựng... H2 => E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chng minh tng t ta cng cú O2F EF Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi 14 Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc Vi AB ti C ct na ng trũn (O) ti E Gi M N theo th t l giao im ca EA, EB Vi... a) Gii phng trỡnh vi m = 4 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit c) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh ó cho vụ nghim d) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim thoó món iu kin x1 = 3x2 Bi tp 10: Bit rng phng trỡnh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 (Vi m l tham s) cú mt nghim x = 1 Tỡm nghim cũn li Bi tp 11: Bit rng phng trỡnh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Vi m l tham s ) cú mt... 8 = 0 9x2 - 38x - 35 = 0 x2 - 2 3 x + 2 = 0 12 14 7x2 + 5x - 3 = 0 14 4 2 x2 - 6x - 2 = 0 15 x2 + 17x + 3 = 0 15 2x2 - 2 2 x + 1 = 0 Bi tp 2: Bin i cỏc phng trỡnh sau thnh phng trỡnh bc hai ri gii a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) ... 2 12 Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2 010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm 120 phút (không kể thời gian giao đề) 36 Phần 1- Trắc nghiệm (2,0 điểm)... = 5x2 - x + = x2 - 3x -7 = x2 - x - 10 = 4x2 - 5x - = 10 2x2 - x - 21 = 11 6x2 + 13x - = 12 56x2 + 9x - = 13 10x2 + 17x + = TT Cỏc phng trỡnh cn gii theo ' 10 11 12 13 x2 - 4x + = 9x2 - 6x +... trng A, B cú 250 HS lp d thi vo lp 10, kt qu cú 210 HS ó trỳng tuyn Tớnh riờng t l thỡ trng A t 80%, trng B t 90% Hi mi trng cú bao nhiờu HS lp d thi vo lp 10 Bi 10 Hai vũi nc cựng chy vo mt b khụng