MÔN TOÁN ĐỀ TẶNG KÈM SỐ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x4  2x2 (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  C  b) Tìm giá trị m để đường thẳng y  m cắt đồ thị  C  điểm phân biệt E, F , M , N Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị  C  điểm E, F , M , N    cos x   cot x cos   x  4  sin x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  Câu (1,0 điểm) Tìm tích phân I   2 x sin x   3x   cos x x sin x  cos x dx Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z   2i  Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w , biết w  z   3i b) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm năm chữ số khác Tính số phần tử S từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên số, tính xác suất để chữ số có chữ số lẻ x3 y4 z3 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt   1 phẳng () : 2x  y  z   Viết phương trình đường thẳng  nằm    ;  qua giao điểm A d    góc  Ox 450 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng SBC  đáy 600 Biết SA  2a; BC  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A B Đường chéo AC nằm đường thẳng d : 4x  y  28  Đỉnh B thuộc đường thẳng  : x  y   , đỉnh A có tọa độ nguyên Tìm tọa độ A, B, C biết D  2;  BC  AD   x  y  5x   xy  x  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x 2 y 3  x  32  y  y   3 x, y  Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  0; a   0; b   0; 2c   Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P   a  b  2c  HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác đinh: D  R - Sự biến thiên: x  + Chiều biến thiên: y '  4x3  4x ; y '     x  1 y '  0, x   1;  1;   , suy hàm số đồng biến khoảng  1;  1;   y '  0, x   ; 1  0;1 , suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  0, yCD  Hàm số đạt cực tiểu x  1, yCT  1 + Giới hạn: lim y  ; lim y   x  x  + Bảng biến thiên x  1 y' y       1 -  Đồ thị: 1   + Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm  2; ,  0;  , + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm  0;   2;  + Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số qua điểm  2;  ,  2;  - Vẽ đồ thị: Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y  m cắt đồ thị điểm phân biệt 1  m  Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x4  2x2  m  x4  2x2  m  (*) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình t  2t  m  có nghiệm dương phân biệt  t1  t2 Khi nghiệm pt (*) x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2 Như ta có x1  x4 ; x2  x3 Ta có y '  x3  x Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến giao điểm với đồ thị  C  là:        k1  k2  k3  k4  4x13  4x1  4x13  4x2  4x13  4x3  4x13  4x4       x13  x43  x23  x33   x1  x4    x2  x3   Nhận xét: Đây dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng  d  với hàm số  C  cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: +  d  cắt  C  n  n  1 điểm phân biệt +  d   C  điểm chung Nhắc lại kiến thức phương pháp:   +Kiến thức cần nhớ: Điểm Q xQ , yQ tọa độ tiếp điểm hàm số y  f  x  Phương trình tiếp tuyến      Q y  f ' xQ x  xQ  yQ , hệ số góc tiếp tuyến k  f ' xQ + Tìm m để đường thẳng y  m cắt  C  điểm E, F , M , N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng   y  m song song với trục Ox nên cắt C điểm phân biệt 1  m  + Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến t  x2 ta có  d  cắt  C  điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tham số nghiệm theo t tính hệ số góc tiếp tuyến hoành độ giao điểm ( đối xứng qua trục Oy ) , từ tính tổng hệ số góc Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta làm sau: Viết phương trình giao điểm x4  2x2  m  x4  2x2  m  Bài toán tương đương tìm m để phương trình x4  2x2  m  có nghiệm phân biệt  '   2 Đổi biến t  x  , ta tìm m để phương trình t  2t  m  có nghiệm t2  t1   S  P   Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hàm số y  x3   m  1 x2  3x  m  Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ tạo trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số: m  1, m  b Cho hàm số y  x3  3x  Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến hàm số M cắt đồ thị điểm thứ hai N thỏa mãn xM  xN  (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An) Đáp số: M  2;  , M  2;0  Câu Điều kiện x  k; k  2cos2 x cos x  1 sin x sin x   sin x  cos x  2cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  2cos x   Phương trình tương đương  sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x  cos x    cos x   + Với sin x  cos x   tan x  1  x    k    + Với cos x   x   k  x   k   Phương trình có nghiệm: x   k ; k  Nhận xét: Bài toán lượng giác , ta cần sử dụng bến đổi công thức hạ bậc , cosin hiệu phân tích nhân tử Tuy nhiên cần lưu ý việc xem xet điều kiện xác định phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai Nhắc lại kiến thức phương pháp:  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b -Công thức cosin tổng , hiệu :   cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b -Công thức hạ bậc:  cos2c  2cos2 c ,  cos2c  2sin2 c -Công thức nghiệm phương trình lượng giác:  x    k 2 sin x  sin    ; k Z  x      k 2 cos x  cos   x    k2; k  Z tanx  tan  x    k; k  Z cot x  cot   x    k; k  Z Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:   5    a Giải phương trình 5cos  x    4sin   x   Đáp số: x   k 2 3    sin x  cos x  b Giải phương trình  tan x  cos x  Đáp số: x  k sin x  cos x   x sin x   3x   cos x  3x cos x  Câu I   dx      dx 0 x sin x  cos x x sin x  cos x      x sin x  cos x  ' dx  x 02  3 x sin x  cos x         3ln x sin x  cos x     ln  ln1     3ln   Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo mẫu đạo hàm mẫu Từ biểu thức dấu tích phân ta khó sử dụng hai phương pháp đổi biến số tích phân phần Nhắc lại kiến thức phương pháp: f  x  g  x   g'  x  g ' x dx  f  x  dx  dx -Ta có g  x g  x  Tổng quát :    f  x g  x  h  x g ' x g  x dx  f  x  dx    h  x  g '  x  g  x dx -Với nguyên hàm f  x  , công thức nguyên hàm tổng quát u'  u du  ln u  C Thay cận ta tính I Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Tính tích phân I   sin x   sin x  cos x  dx Đáp số: I  e b Tính tích phân I    xe x  x e x  ln x  dx Đáp số: I  ln ee  e Câu 4.a Ta có a  bi   2i    a     b    (1) 2 a  x  w  z   3i  x  yi  a  bi   3i   b  y  Thay vào (1) ta  x     y     M thuộc C  :  x     y    2 2 Vậy tập hợp điểm M đường C  :  x     y    2 Nhận xét: Đây dạng toán toán tìm biếu diễn số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mọi số phức có dạng z  a  bi;  a, b  R  -Hai số phức phần thực phần ảo số - Từ số phức z : Thay z  a  bi vào phương trình z   2i  Tìm mối quan hệ phần thực phần ảo - Đặt w  x  yi , thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực ảo z ta tìm tập hợp điểm biểu diễn -Các trường hợp biểu diễn : +Đưởng tròn:  x  a    y  b   R2 ; x2  y  2ax  2by  c  2 +Hình tròn:  x  a    y  b   R; x2  y  2ax  2by  c  2 +Parapol: y  ax2  bx  c x2  y2 1 a b2 Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: +Elipse:  3i Tìm modul số phức w  z  iz Đáp số: w  1 i 21 b Tìm số phức z thỏa mãn 1  3i  z số thực z   5i  Đáp số: z   6i; z   i 5 Câu 4.b Gọi A biến cố số chọn số có chữ số khác chữ số có a Cho số phức z thỏa mãn z  số lẻ Ta tìm số phần tử A sau: Gọi y  mnpqr  A , ta có: + Trường hợp 1: Trong chữ số số chọn có mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C42 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 4.4! cách Suy trường hợp có C52C42 4.4!  5760 + Trường hợp 2: Trong chữ số số chọn mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C43 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 5! cách Suy trường hợp có C52C43 5!  4800 Vậy A  5760  4800  10560 Do P  A   10560 220  27216 567 Nhận xét: Bài toán xác suất , ta cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo kiện giả thiết Nhắc lại kiến thức phương pháp:   A -Công thức tính xác suất biến cố A : P  A   (   A  số trường hợp thuận lợi  cho A ,  tổng số kết xảy ) - Ta tính tổng số kết xảy - Gọi A biến cố số chọn số có chữa số khác chữa số có số lẻ - Tính số phần tử A cách gọi y  mnpqr  A Ta chia trường hợp sau: +Trong chữ số số chọn có mặt số +Trong chữ số số chọn mặt chữ số - Áp dụng công thức tính xác suất ta P  A  Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số lẻ có chữ số đôi khác có mặt chữ số Đáp số: 204 b Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn (Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-2013) Đáp số: Rút thẻ Câu Gọi A giao điểm d    , suy A  –3; 2;1 Gọi u   a; b; c  vectơ phương  Ta có vectơ pháp tuyến    n   2; –2;1 Ta có u.n   2a  2b  c   c  2a  2b a 2 cos   , Ox      a  a  b   a  2b  2 2 a b c a  b  2a2  5a2  8ab  5b2  3a2  8ab  5b2     a  5b   x  3  t  + Với a  b , chọn a  b   c    :  y   t z   x  y  z 1 5b , chọn b  3; a   c  4   :   4 3 Nhận xét: Hướng giải cho toán: Để viết phương trình đường thẳng  ta tìm điểm thuộc  vector phương  Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Tìm tọa độ giao điểm A  d    : Tham số hóa A  d , thay vào mặt phẳng    ta tính A + Với a  - Viết phương trình đường thẳng  : Tham số hóa u   a; b; c  vector phương  Do       u.n    (Với n   vector pháp tuyến    ) Ta tìn mối quan hệ a, b, c Chọn vector phương viết  - Lại có công thức tính góc hau đường thẳng  d  ;  d '  : cos  d, d '   ud ud '  ud ud '  ; Ox   450  cos  ; Ox   - Một đường thẳng có vố số vector phương nên chọn giá trị a , b cho trường hợp tương ứng Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: x2 y z2 mặt phẳng a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng d :      : 2x  y  z   Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d song song với mặt phẳng    Đáp số: x 1 y  z 1   9 5 x   s  b Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;1;  đường thẳng d :  y   2t Hãy tìm điểm z   B, C thuộc đường thẳng d cho tam giác ABC  6 82  6 82  B ; ;  ,C  ; ;3    5      Đáp số:          8  ;  ,C  ; ;3  B  ;    5      Câu Gọi H trung điểm AC , suy SH   ABC  Kẻ HI  BC  SI  BC Góc SBC  đáy SIH  600 3a a 15  SH  SI sin 600  a 15 a 15 HI  SI   AB  HI  1 5a 3 (đvtt) V  AB.BC.SH  16 Kẻ Ax song song với BC , HI cắt Ax K Kẻ IM vuông góc với SK Ta có AK  SIK   AK  IM  IM  SAK  SI  SC  IC  3a Nhận xét: Đây toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vuông góc hai mặt phẳng , góc hai mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Công thức tính thể tích khối chóp V  B.h Tam giác SIK đều, suy IM  SH  SBC  ,  ABC  : Goi H SAC    ABC  nên SH   ABC   SBC , ABC   SIH  600 -Dựng góc hai mặt phẳng trung điểm AC Do mặt phẳng 1 B.h  VS ABC  AB.BC.SH 3 - Tính khoảng cách d SA, BC  : Lí thuyết tính cách khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng - Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp V  tới mặt phẳng chứa đường thẳng lại Kẻ Ax / / BC , kẻ IM  SK  AK  SIK   IM  SAK  Suy d SA, BC   IM  SH Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , góc mặt bân đáy 600 Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng a 3 a (đvtt) d  AM , SB   24 b Cho hình chóp S.ABC có SA  3a , SA tạo với đáy  ABC  góc 600 Tam giác ABC AM SB Đáp số: V  vuông B , ACB  300 G trọng tâm tam giác ABC , hai mặt phẳng SGB , SGC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối chóp S.ABC 243a3 (đvtt) 112 Câu Do B , suy B  b; b   Đáp số: V  Ta có d  B; AC  d  D; AC   BE BC   DE AD 4b  7(b  5)  28  42  B  4x B D 2  93 11b  63  30 b  11b  63  30    11  42  11b  63  30 b  khác phía đường thẳng 4.2  7.5  28 AC nên  yB  28  4xD  yD  28    30 11b  63   Do ta b  , suy B  3; –2   28  4a    4a   4a  42  Ta có A  ( D)  A  a;   DA   a  2;  BA   a  3;         4a   4a  42    65a2  385a   a   A  0;  Do DA.BA    a   a     a  77 l 49   13   xC      Ta có BC  AD    C  7;    yC      Vậy A  4;0  , B  3; –2  C  7;  điểm cần tìm Nhận xét: Để giải toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ đỉnh A, B, C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm  mx  p  P   d  : mx  ny  p   P  ;   n   -Khoảng cách từ điểm M  xM ; yM  tới phương trình đường thẳng    : mx  ny  p  xác định theo công thức d  M ;    mxM  ny M  p m  n2   x  kz -Tính chất vector: u  x; y  , v  z; t  với u  kv     y  kt Áp dụng cho toán: - Tham số hóa tọa độ điểm B Do d  B; AC  d  D; AC   BE BC   ( E  AC  BD ), ta có điểm B DE AD -Để loại nghiệm sử dụng tính chất:  4xB  yB  28  4xD  yD  28    B -Tương tự A   d   DA, BA Mặt khác , DA.BA   A - Tính tọa độ điểm C : BC  AD  C Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A , trực tâm H  3;  Gọi D, E  d  : x  3y   , chân đường cao kẻ từ B, C Biết điểm A thuộc đường thẳng điểm F  2;  thuộc đường thẳng DE HD  Tìm tọa độ đỉnh A Đáp số: A  3;  b Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  1; 3  , B  5;1 Điểm M thuộc đường thẳng BC cho MC  2BB Tìm tọa độ đỉnh C biết MA  AC  đường thẳng BC có hệ số góc nguyên Đáp số: C  4;1 Câu Phương trình thứ hai tương đương 3x 2 y 3  x  y   32  y   y u  x  y   Đặt  , ta 3u  u  3v  v v y     Xét f  t   3t  t ; ta có f '  t   3t ln   0; t  , suy f  t  đồng biến Nhận thấy f  u  f  v   u  v nghiệm cua phương trình u  v  x2  y    y  y  x    Thay y  x2  vào phương trình thứ nhất, ta x2  x2   5x   x x2   x     2x2  5x   x3   x2  x   3( x  1)   x  1  x   x1 a  x  1; a   Đặt  b x x 1; b        b  3a Phương trình trở thành 2b2  3a2  ab    a  2b  x    y  23  + Với b  3a  x2  x    x  1  x2  x  10     x    y  23    + Với a  2b  x   x2  x   4x2  3x        Hệ phương trình có nghiệm:  x; y    6; 23  ,  6; 23  Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến) D  f  u  f  v   u  v -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến) D  f  x   có nhiều nghiệm -Hàm số f  x  đồng biến D , g  x  nghịch biến D  f  x   g  x  có nghiệm Ý tưởng: Từ phương trình thứ tách bình phương phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ x , y  - Nhận thấy phương trình thứ hệ có tương đồng 3x   2 y     , x2  y  với 32  y ,2  y có dạng 3m , m u  x  y  - Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành: 3u  u  3v  v  v   y - Xét hàm số f  t   3t  t đồng biến R  f  u  f  v   u  v Thay lại phương trình thứ , sử  a  x  dụng hai ẩn phụ   a, b   thu phương trình đẳng cấp bậc 2    b x x   Lần lượt giải phương trình vô tỉ ứng với trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu nghiệm hệ   Lưu ý: Từ phương trình x2  x    x  1  giải phương trình ẩn z  x 1 x  x1  x  1  x2  x  1 , ta chia vế cho x   x1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:   a Giải phương trình x2   x3  Đáp số: x  b Giải phương trình  37 x   x2  2x   Đáp số: x  7, x  10 Nhận xét: Dễ dàng nhận đánh giá A M ngắn A M   đánh giá quan trọng toán Các tính toán lại lời giải dựa vào đánh giá Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: điểm Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho hai A  1; 5;  , B  3; 3;   : x 1  y 1 1 tam giác Đáp số:  z đường Tìm tọa độ điểm x y  z  A  0; 0;  , B  0; 3;  Tìm điểm  3  M  ; ;   2  hai M cho biểu thức 16a  b  OA  ABCD MA  MB đạt giá trị nhỏ  ABCD  SO  hình chữ nhật  OD  ABCD 2 điểm d nên suy Từ suy ra: O A  O B  O C Giả sử A B  b , đó: 16a  b đường , cho SA  SB  SC  SD  a BD  O xyz Câu 6: Gọi O tâm hình bình hành Do cho Trong không gian với hệ tọa độ Đáp số:  có diện tích lớn M  1; 0;  d : M M AB thẳng thẳng 2 8a  b Suy ra: Từ đó: SO  SA  O A  V S ABCD  A B A D S O  Chọn hệ trục tọa độ Khi ta có:  SO  O xyz  Ta có: 8a  b a b b  2a 2  2a 8a  b b  8a 3 cho O  0; 0;  , S  0; 0; a  , B  a ; a ;  , C  2a; a;  , D  2a;  a;  SB   2a; a;  a  , SC   2a; a;  a  , SD   2a;  a;  a   S B , S C    0; a ; a  ,  S C , S D     a ; 0; a     Suy vectơ pháp tuyến  S B C  Gọi 8a  b Dấu xảy Suy ra: n1   0;1;   ,  vectơ pháp tuyến  S C D  n   1; 0;   góc mặt phẳng  S B C   S C D  cos         10 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hai hình chữ nhật kiện ABCD AB  a, AD  AF  a vuông góc chung a Đáp số: r    không nằm mặt phẳng thỏa mãn điều ABEF , đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện AC , BF  Gọi BF ABHK H ,K đường Cho hình chóp S ABC có đáy vuông cân ABC mặt phẳng đáu  A B C  trung điểm EC , SC , góc điểm di động tia đối tia M S E MC , AB cho BA Tính thể tích khối tứ diện a s in  B , hình chiếu vuông góc BA  BC  2a SE  2a Gọi tìm a, E H IJ theo I (1;1) bán kính trung điểm I,J EC M   ,  90  S o H hình chiếu vuông để thể tích lớn Đáp án: V  ;  45 o Câu 7: Đường tròn Gọi (C ) : x  y  x  y   n   a; b  vectơ pháp tuyến tiếp tuyến Ta có:  d ,    45  cos  d ,    o  2a  b   a  b a  3b a  b    a  3b   a  b    , phương trình Mặt khác ta có: Với 3a  b  , phương trình Mặt khác ta có: có dạng: d I,  R   d I,  R  cần tìm ( a  : x  3y  c   ) có dạng: 2  c   a  3b  b  3a 10  b 10  c  10   c  14 4c R    : 3x  y  c  10 c  8 10    c  12 Vậy ta có tiếp tuyến thỏa mãn:  : x  y  12   2a  b  Với có tâm  : x  y   0,  : x  y  14  0,  : x  y   Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y , cho đường tròn ( C ) : x d : 3x  y    y  6x  2y   đường thẳng Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn  C  , biết tiếp tuyến không qua gốc tọa độ hợp với đường thẳng d góc Đáp số: x  y   x  y   Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy 45 o , cho đường tròn (C ) : x  y  x  2 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn  C  , biết tiếp tuyến hợp với trục tung góc 30 o Đáp số: Có tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 : 3x  y    4 : 3x  y   1 : 3x  y    0;  : 3x  y     Câu 8: Ta giải hệ phương trình số phức Nhân phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta được: x  yi  Đặt x  y  xi  yi x  y z  x  yi   z   x  yi    i  x  yi x  y 2  x  yi x  y 2 Phương trình trở thành: z 3i  z  z  3z   i  z   i    z 1 i Với z  2i Với z  1 i , ta có: , ta có: x  2; y  , x  1; y   thỏa mãn , thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm  x ; y     2;1  ,  1;   Nhận xét: Hệ phương trình hệ tương đối lạ khó Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải hệ phương trình: 3x  10 y  x 1 2  x  y    y  10 x  y  2  x  y Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm Giải hệ phương trình: x 2y  x  2  x  y    y  2x  y  2  x  y Đáp số:  x ; y     0;1  ,  2;   Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2  Xét f x  2  y  z  x   y  z   yz   y  z  x   y  z   yz  với x   0;  Ta có: ; f 0   y  z   f 2  yz      y    z    yz  Từ suy ra: f x  với Dấu xảy chẳng hạn khi: x   0;  x  y  0; z  Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp phần tử cực biên (dựa vào tính chất đồ thị hàm số) Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  Chứng minh bất đẳng thức: xy  yz  zx  xyz  27 Hướng dẫn: Xét hàm Cho a, b, c, d f  yz   x 1  x   y z  x y z  với  yz  1  x  27 số thực thuộc đoạn  0;1  Chứng minh bất đẳng thức: 1  a  1  b  1  c  1  d   a  b  c  d Hướng dẫn: Xét hàm f  a   1  a  1  b  1  c  1  d   a  b  c  d Ta có: f    b  c  d  0; f Lại có: g    c  d  0; g    cd  Suy g  b   0,  b   0;1  ,    1  b  1  c  1  d   b  c  d 1 1   g b  từ suy điều phải chứng minh 10 ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y  x  2x có đồ thị (C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Trên đồ thị  C  lấy hai điểm phân biệt a,b để hai tiếp tuyến  C  Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: Câu 3: (1 điểm) A, B A, B có hoành độ a,b Tìm điều kiện song song với sin x  c o s x  sin x  c o s x   Tính tích phân: I    m in  ta n x , x  d x  Câu 4: (1 điểm) Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức phức z thỏa mãn     1 i z  biết số z 1  Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ có phương trình là: d1 : O xyz x  , cho tam giác y 1 3  z2 2 ABC với x  1 t  d2 :  y   z  1 t A  1;  1;1  hai đường trung tuyến Viết phương trình đường phân giác góc A Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S ABC D có đáy Hình chiếu vuông góc đỉnh ABCD S hình bình hành thỏa mãn AB  2a , BC  a BD  a , lên mặt phẳng  A B C D  trọng tâm tam giác BCD Tính theo a thể tích khối chóp S A B C D , biết khoảng cách hai đường thẳng A C S B a Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác A B C cân đỉnh C biết phương trình đường thẳng AB x y2  , trọng tâm tam giác Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình:  14  G  ;   3 ABC diện tích tam giác ABC 65 13x  x  10  x  13 x  17  17 x  48 x  36  2 36 x  x  21  Câu 9: (1 điểm) Cho a , b , c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a  2ab  b  b  3b c  c  a  2 ac  c HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Tập xác định: Ta có: D   x  y   x  x; y '     x  1 y ''  x  ; y ''(  1)  ; y ''( )  ; y ''(1)  Suy hàm số đạt cực tiểu x   x  hàm số đạt cực đại x  Hàm số nghịch biến khoảng (   ;  1) ( ;1) , hàm số đồng biến khoảng (  1; ) (1;   ) Tính giới hạn: lim y  lim    x   x   Bảng biến thiên: x -1   y'     +  y -1 -1 Đồ thị: 2 Ta có: y ' 4x  4x Hệ số góc tiếp tuyến  C  là: A, B k A  a  a; k B  4b  4b 3 Tiếp tuyến A có phương trình: y  y ' a   x  a   y  a   y  y ' a   y  a   ay ' a  Tiếp tuyến B có phương trình: y  y 'b   x  b   y b   y  y 'b   y b   by 'b  Hai tiếp tuyến  C  A song song trùng khi: B k A  k B  a  a  4b  4b  a  ba Vì , suy ra: a  ab  b   A B phân biệt nên Hai tiếp tuyến  C  a  b A  ab  b  1  2 trùng khi: B  a  2 2  a  ab  b    a  ab  b    b  1       a  b a  b  a  1 4    ' ' y a a y a y b b y b    3 a a b b                   b  Vậy điều kiện để hai tiếp tuyến  C  A B song song với là: a  ab  b    a   1; a  b  2 Nhận xét: Bài toán đòi hỏi kỹ biến đổi bản, nhiên, nhiều học sinh không điểm trọn vẹn quên không xét trường hợp tiếp tuyến trùng Tiếp tuyến điểm khác đồ thị trùng tính chất đặc biệt hàm bậc 4, tính chất không xuất hàm bậc 3, hay hàm phân thức bậc Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho hai đường thẳng d : y  a x  b ; d : y  a x  b , ta có: 1 2  d1, d cắt  d1, d song song với  d1, d trùng  a1  a  a1  a    b1  b  a1  a    b1  b Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hàm số y  x  mx  m 1 qua hai điểm cố định Đáp số: có đồ thị , tìm A, B (C m ) Chứng minh để tiếp tuyến m m thay đổi  C m  vuông góc với A, B 5  m   ;  2  2 Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị Cho điểm (C ) A  a;  , tìm để từ a A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C  Đáp số: 1  a   1 a  2 Câu 2: Phương trình tương đương với: s in x  c o s x  s in x c o s x  c o s x    sin x    c o s x   sin x   c o s x    sin x  1   co s x   co s x     sin x   c o s x      sin x    sin x      sin x   c o s x    sin x   1   s in x     c o s x  s in x   x    k 2 k  2  (Phương trình Vậy họ nghiệm phương trình là: x  co s x  sin x   k   k 2 Nhắc lại kiến thức phương pháp: Phương trình a sin x  b co s x  c có nghiệm Thật vậy: chọn góc cho a  a b 2 a cos a = c a + b  s in ( x + a ) = 2 2  2 )  b ; s in a = a + b s in x c o s a + c o s x s in a =  c vô nghiệm a + b , phương trình trở thành: c a + b Phương trình có nghiệm c  1 c  a b a b 2 2 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: 2  s in x  c o s x  c o s x   c o s x Đáp số: Phương trình vô nghiệm Giải phương trình: Đáp số: c o s x   c o s x  s in x  s in x  c o s x s in x   k 2    k 2 ;  x   ,k  42     Câu 3: Xét hàm số Ta có: f x  f ' x   Mà ta có: tan x  x      ;  4    đoạn   0,  x  cos x       f ;  4     x  hàm số đồng biến     ;   4       , nên suy ra: f m in  ta n x , x   ta n x , x     ;0         m in  ta n x , x   x ,  x  ;     Vậy: I    m in  ta n x , x  d x    m in  ta n x, x  dx     ta n x d x    xdx  ln c o s x    x 4     ln 32 2 Nhận xét: Bài toán không khó, nhiên cách phát biểu thường gặp học sinh Cách giải hoàn toàn giống cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, xét khoảng khác biến số.Một điều vô thú vị hàm số m in hay m a x biểu diễn thông qua hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.Cụ thể là: m in  a , b   ab  a b  m ax  a , b   ab  a b Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Tính tích phân: I   m in  x ,  x dx Đáp số: I  1  Tính tích phân: I    x x  m ax  e  cos x,  x   dx    Đáp số:  I  1   e  Tính tích phân: I  m a x  ta n x  s in x , x  d x    Đáp số: 4 I   ln  Câu 4: Giả sử z  24  a  b i;   x  y i; a , b , x , y  Ta có: z 1   Lại có:   1 i z   a  1  b     x  yi   i   a  bi    x  a  b     y  a  b   x    a  1  b     y    a  1  b Do đó:  x    y  2   a  1  b     Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có tâm  I 3;  bán kính R   mặt phẳng phức hình tròn  x    y   16 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn z z z i  k , k số thực dương cho trước Đáp số: Nếu k 1 tập hợp đường thẳng y    k I  0;   k 1 Nếu k 1 tập hợp đường tròn tâm bán kính k R  k Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z 1 thỏa mãn zi z 1  z i z 1 số ảo Đáp số: Tập hợp điểm cần tìm đường tròn   x   y  2  trừ điểm A   1;  Câu 5: Nhận thấy Gọi Do A  d1, A  d trung điểm M ,N thuộc N nên giả sử nên tọa độ d2 AC , AB có dạng N trung tuyến kẻ từ đỉnh d1, d B,C N   t ; 0;1  t  Vì trung điểm N AB suy tọa độ B B   t ;1;1  t  Mà Do C M Mà thuộc B d1 thuộc t  Vậy tọa độ đỉnh B B  0;1;  nên tọa độ d1 có dạng M  s ;1  s ;  s  Vì M M trung điểm AC suy tọa độ C  s  1;  s ;  s  C thuộc d2 Khi ta có: Gọi , nên ta có: AD Ta có: , nên ta có: s  Vậy tọa độ đỉnh AB  6; AC  C  1; 0;1  đường phân giác góc A  2 DC  D  ; ; 1 1 1  DB   C Từ suy phương trình đường thẳng AD    là: x 1 1  y 1 2  z 1 Nhận xét: Bài toán giống toán hay gặp mặt phẳng, nhiên tương đối khó khăn phức tạp ta cố tình áp dụng phương pháp truyền thống mặt phẳng vào không gian Chúng ta cần sử dụng kỹ thuật nâng cao để giải Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho tam giác A B C có đường phân giác A D Theo tính chất đường phân giác, ta có: DB   AB D C AC Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong không gian với tọa độ đường d1 : x2 tam giác Đáp số: cao  AH y3 ABC  , z3 2 O xyz phương ;d2 : x 1 trình  y4 2  đường z3 ABC với tọa độ đỉnh phân giác C  3; 2;  BD Viết phương trình đường thẳng BC phương trình là: tính diện tích  x   2t  B C :  y   2t   z  S A B C  Trong không gian với hệ toạ độ thuộc mặt phẳng  P  : x  Đáp số: , cho tam giác   11  C  ;  4  O xyz y  z 1 ;    để , cho hai điểm ABC A  1; 2;  B   1; 4;  Tìm toạ độ điểm C tam giác   11  C  ;  4  ;    Câu 6: Gọi hình chiếu vuông góc H đáy ABCD Do trung tuyến AO S lên mặt phẳng  A B C D  , M  AD 3a AO  2a Lại có: BM ABD Ta có:  BC  CD nên AO AB  2  BD  AB Mà AH  SH  AH   SH B  Kẻ H K  SB HK  a  HB Vì  4a AH   SH B    3a  BM  a V S ABCD   BH  2a  AH  HB a nên đôạn vuông góc chung AH  HK  HK SH B , ta có: S H S A B C D  S H S O A B   SH  HB AC với mặt phẳng  A B C D  Biết góc S H O A B H   a 21 ;d  4a a 77 SA o , BD SA AB  a , AD  2a hợp với  A B C D  góc 45 o SC vuông góc Tính thể tích khối 11 AB  a , AD  2a , BAD  60 o Cạnh M ,N,P hình chiếu vuông góc A lên B C , D C , S C tương ứng Tính thể tích khối tứ a , suy 2 Cho hình chóp S A B C D có đáy A B C D hình bình hành với S A  a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi theo SB BAD  60 khoảng cách S ABC D diện khoảng cách đường thẳng AM NP  SH  2a Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hình chóp S A B C D , đáy A B C D hình bình hành với Đáp số: V  AO  HK chóp Trong tam giác vuông Ta có: 4 AH tâm O 2 BD  CD  AH  AO  trung điểm NP, AC Đáp án: V  5a 64 ;d  10a 2829 943 Câu 7: Gọi M trung điểm A B , suy ra: C M  A B Đường thẳng C M qua G vuông góc với đường thẳng trình x  y   AB nên đường thẳng CM có phương Tọa độ M nghiệm hệ: Hay tọa độ M Lại có:  1  M  ;   2  C M  3G M Vì A Do  14  G  ;   3 , suy tọa độ thuộc đường thẳng x y2  trọng tâm tam giác Khi ta có: AB  Ta có: 65 S ABC   x   x  y       x y     y    2  5  65  a  , ta có: A  0;  , B  5;   Với a 5 , ta có: A  5;   , B  0;   A, B , C nên ta có hệ: A  a;  a  B B 5  a; a  3 2a  a   65  2a     a  13 2a  Giả sử phương trình đường tròn  C  ngoại tiếp Vì  C  qua có dạng A Với nên tọa độ đỉnh ABC C  9;  nên tọa độ 2a   2a  5 A B C H  C là: ABC x  y  ax  2by  c  2 137  a    26 4b  c  4   59    10 a  6b  c  34   b   26   1 a  b  c   1  66  c  13  Vậy phương trình đường tròn  C  là: x  y  2 137 59 x 13 y 13 66  13 Nhận xét: Với toán có xuất trọng tâm tam giác, ta cần vận dụng công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác để biểu diễn mối quan hệ tọa độ đỉnh tam giác, từ giảm số biến cần tìm xuống Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho BC có trọng tâm G ta có: x A  x B  xC  x   G   y  y A  y B  yC G  Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y , cho tam giác góc A có phương trình d :x 2y 5  Điểm ABC 1  G  ;  3  có đỉnh B   2;1  , đường phân giác trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng B C Đáp số: x  y   Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oy E cho AE  2EB phương trình đường thẳng Đáp số: x  y   O xy , cho tam giác Biết tam giác BC có ABC AEC A  2;  cân A đường thẳng có trọng tâm AB cắt trục  13  G  2;    Viết Câu 8: Định hướng: Nhận thấy biểu thức vế trái hàm số đồng biến với x đủ lớn biểu thức vế phải hàm số nghịch biến với x đủ lớn Nếu sử dụng phương pháp khảo sát hàm số gặp phải biểu thức đạo hàm cồng kềnh Vậy nên ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đánh giá Lời giải: Ta có: P  13x  x  10  x  13 x  17  17 x  48 x  36 2 3x   1   x   2     2x     x        x  4x  6  2  3x   2x   x  3x   2x   x  6x   6x  Dấu xảy 3 x  Lại có: Q  36 x  x  21  1 x    x     x    2 Dấu xảy x  Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x  Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: 3x 1  x  x  x 2 x 1  2 Đáp số: x  x  4  1 Giải phương trình: Đáp số: 7 x x  1 2x  x  1 2x  x   x  1 2x  x  1 Giải phương trình: 3 x  2 x  10 Đáp số: x  Câu 9: Xét tứ giác có OABC O A  a; O B  b; O C  c; A O B  45 ; B O C  30 o o Áp dụng định lý hàm số cosin ta có: AB  a  2ab  b BC  b  3b c  c AC  a  2 2 2 ac  c , 2 cos 75  o Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: A B  B C  A C , nên ta suy điều phải chứng minh Dấy xảy A , B , C thẳng hàng S OAB  S OBC  S OAC   ab  bc  a b s in  b c s in 2 ac o o  a c s in  b  2 ac o c a Nhận xét: Bài toán ví dụ cho toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp hình học Trong toán này, cần sử dụng linh hoạt công thức: phương trình đường tròn, phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách, định lý hàm số cos, … Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn Chứng minh rằng:  1   a a  b 1  2a  b  c   b  d 2    Hướng dẫn: Xét điểm M  a , b  , N  c , d  ta có: N nằm đường tròn tâm Cho 35 x, y B  6;  bán kính số thực thỏa mãn 1  c d 2  36  12  c  d nằm đường tròn tâm M  A  1;1  bán kính R1  R1  x  0; y  0; x  y  2; x  y  Chứng minh rằng:  x  y  x  y  45 2 Hướng dẫn: Tập hợp điểm M  x ; y  thỏa mãn x, y điều kiện cho phần bên tứ giác với ABCD A  1;  ; B  0;  ; C  0;  ; D  9;  Dễ dàng chứng minh được:  MI  65 với điểm I có tọa độ I  2;  11 [...]... âm và đường thẳng MN có phương trình 4x  3y  10  0  x  1 1 x1  2x  1  Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x   2 4 8 x , y Câu 9 (1,0 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn x  y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P 27 x3  10 3 y 2  4  9y 8x HẾT Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác định: D  R / 1 - Sự biến thiên: + Chi u biến thiên: y '  1  x  1 y '  0,... 1 2 và  1;   + Cực trị: Hàm số không có cực trị + Giới hạn: lim y  2; lim y  2 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 x  x  lim y  ; lim y   đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 x 1 x 1 + Bảng biến thiên x 1  y'    y 2  2 -  Đồ thị:  1    + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm   ; 0  2 + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;1 + Đồ thị hàm số giao... suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0; yCD  6 Hàm số đạt cực tiểu tại x  2; yCT  2 + Giới hạn: lim y  ; lim y   x  x  + Bảng biến thiên x  y' 0  y 0   0  6  -  2 2 Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0; 6  + Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I 1; 4  làm tâm đối xứng + Đồ thị hàm số đi qua các điểm  1; 2  ,  3;6...   ;  3  và  0 ; 3  y '  0,x   + Cực trị: àm số đạt cực đại tại + Giới hạn: lim y    ; lim y    x   x   5 x  0 , yCD  àm số đạt cực tiểu tại x   2 3 , yCT   2 + Bảng biến thiên   x y' 0   3 0 0  y 3 0   5   2 2 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm  + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 5    0;  2   + Đồ thị hàm số nhận trục  5 ; 0 ,  ...  v  2 u2  v 2  u  v -Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng   f  x , g  x  0 f  x  g  x   ta được nghiệm của phương trình đã 2 f x g x        cho   Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản a  b  2 a2  b2 để đánh giá phương trình Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình x2  7 x  1  4 x4  x2  1 Đáp số: x  13  69 10 b Giải phương trình 2x2  5x... 4 y 2  3x  25xy (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009) Đáp số: MaxS  1 1 25   x, y    ;  2 2 2 b Cho x, y , z là các số thực dương Chứng minh rằng : x3 y3  y3 x3  y3 z3  z3 y3  z3 x3   x2 y 2 z 2  2      (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3) z3  yz zx xy  x3 Trang 10 ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 3 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm)... x2  4 y  y 2  1  2  Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x, y  R 12 y 2  10 y  2  2 3 x 3  1  Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x , y , z bất kỳ Chứng minh rằng x1 y 1 z 1 x y z      y 1 z1 x1 y z x HẾT 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a Với m  2 , hàm số trở thành y  x3  3x2  6 - Tập xác định: D  R - Sự biến thiên: x  0 + Chi u biến thiên: y '  3x2  6x ; y ' ... vectơ chỉ phương là ad  1; 2; 2  + d    ad  n  A  2B  2C  0  A  2B  2C + Lại có cos   n n A  2 B  2C 4 4 4     2 2 2 9 9 n n 9 3 A  B C  B  2C  B2  C 2  4 B2  10 BC  4C 2   C  2 B + Với B  2C ; chọn C  1; B  2  A  2   : 2  x – 2   2  y  1  1 z – 2   0  2x  2 y  z – 4  0  3 4 B  4C  4  2B  2C  2 + Với C  2B ; chọn B  1; C  2... 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chi m chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà 5! b, b chi m chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 3  90 số tự nhiên 2!2! Vậy có 150 số Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau Để giải dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án Nhắc lại kiến... hướng của 2 vector BA.BC , nếu BA.BC  0  B tù và BA.BC  0  B nhọn Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có hình chi u vuông góc của C lên đường thẳng AB là điểm H  1; 1 Phân Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ Tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ giải được nghiệm của phương trình Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Nhận ... 1 , ta chia vế cho x   x1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:   a Giải phương trình x2   x3  Đáp số: x  b Giải phương trình  37 x   x2  2x   Đáp số: x  7, x  10 Câu P... dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng  d  với hàm số  C  cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: +  d  cắt  C  n  n  1 điểm phân biệt + ... cách gọi y  mnpqr  A Ta chia trường hợp sau: +Trong chữ số số chọn có mặt số +Trong chữ số số chọn mặt chữ số - Áp dụng công thức tính xác suất ta P  A  Bài toán kết thúc Bài tập tương