Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN lý thuyết đồ thị Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Đồ thị thực tế 1.2 Các loại đồ thị 1.3 Bậc đỉnh 1.4 Đồ thị 1.5 Đồ thị đẳng cấu 1.6 Đường chu trình 1.7 Tính liên thơng 1.8 Một số loại đồ thị đặc biệt 1.9 Tô màu đồ thị Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Không phải Đồ thị gì? • Trong tốn học đời thường hiểu là: Bản vẽ hay Sơ đồ biểu diễn liệu nhờ sử dụng hệ thống toạ độ • Trong toán rời rạc: Đây cấu trúc rời rạc có tính trực quan cao, tiện ích để biểu diễn quan hệ Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Các ứng dụng thực tế đồ thị • • • Có tiềm ứng dụng nhiều lĩnh vực (Đồ thị dùng để biểu diễn quan hệ Nghiên cứu quan hệ đối tượng mục tiêu nhiều lĩnh vực khác nhau) Ứng dụng mạng máy tính, mạng giao thơng, mạng cung cấp nước, mạng điện,…) lập lịch, tối ưu hoá luồng, thiết kế mạch, quy hoạch phát triển Các ứng dụng khác: Phân tích gen, trị chơi máy tính, chương trình dịch, thiết kế hướng đối tượng, … Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Mối liên hệ môn học 461 373 413 321 142 415 410 322 143 370 326 341 417 378 Đỉnh = môn học Cạnh có hướng = đk tiên Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 421 401 Biểu diễn mê cung S S B E E Đỉnh = phịng Cạnh = cửa thơng phòng hành lang Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Biểu diễn mạch điện (Electrical Circuits) Công tắc Nguồn Đỉnh = nguồn, công tắc, điện trở, … Cạnh = đoạn dây nối Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Điện trở Các câu lệnh chương trình Program statements x1=q+y*z x2=y*z-q Thoạt nghĩ: x1 x2 + * q y y*z tính hai lần Loại Biểu thức chung: Đỉnh = ký hiệu/phép toán Cạnh = mối quan hệ Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội x2 + - q q z x1 * y * q z Yêu cầu trình tự (Precedence) S1 a=0; S2 b=1; S3 c=a+1 S4 d=b+a; S5 e=d+1; S6 e=c+d; Các câu lệnh phải thực trước S6? S1 , S , S , S Đỉnh = câu lệnh Cạnh = yêu cầu trình tự Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội Truyền thơng mạng máy tính (Information Transmission in a Computer Network) 56 Tokyo Hà nội Seoul 128 16 30 Sydney Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội New York 181 140 Bắc kinh Đỉnh = máy tính Cạnh = tốc độ truyền thông 10 Tô màu đồ thị Lập lịch …và sau xây dựng đồ thị bù (complementary graph): 3203 3261 3137 4115 1007 4118 3157 4156 173 Tô màu đồ thị Lập lịch …và sau làm việc với đồ thị bù (chỉ mơn học có cạnh nối có chung sinh viên): 3203 3261 3137 4115 1007 4118 3157 4156 174 Tô màu đồ thị Lập lịch Vẽ lại: 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 175 Tô màu đồ thị Lập lịch Không thể tô màu cạnh 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 176 Tô màu đồ thị Lập lịch màu khơng đủ tơ có tam giác 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 177 Tô màu đồ thị Lập lịch màu đủ tô tam giác Ta tô ba màu Red, Green, Blue 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 178 Tô màu đồ thị Lập lịch 3203-Red, 3157-Blue, 4118-Green: 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 179 Tơ màu đồ thị Lập lịch 4156 phải tô Blue: 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 180 Tô màu đồ thị Lập lịch 3261 4115 phải Red 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 181 Tô màu đồ thị Lập lịch 3137 1007 dễ dàng tô 3137 1007 3203 3261 4115 3157 4156 4118 182 Tô màu đồ thị Lập lịch Vậy cần ngày: Ngày 3137 1007 3203 Ngày 3261 4115 3157 4156 4118 Ngày 183 Tơ màu cạnh • • • Ở phần ta xét tô màu đỉnh đồ thị Một cách hoàn toàn tương tự, ta phát biểu tốn tơ màu cạnh đồ thị Định nghĩa Ta gọi phép tô màu cạnh đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) phép gán cho cạnh đồ thị màu cho khơng có hai cạnh có chung đỉnh bị tơ màu Số màu cần sử dụng để tô màu cạnh đồ thị G gọi sắc số cạnh ký hiệu χ ’(G) Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 184 Tô màu cạnh • Định lý Vizing Đối với đơn đồ thị vơ hướng G ta có ∆ (G) ≤ χ ’(G) ≤ ∆ (G)+1 • Chứng minh • Định lý Đối với đơn đồ thị hai phía G ta có • Vế trái bất đẳng thức hiển nhiên • Vế phải chứng minh qui nạp χ ’(G) = ∆ (G) • Chứng minh Thuật tốn tơ màu α /β Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 185 Thuật tốn tơ màu α/β • • • Ký hiệu C = {1, 2, …, ∆ (G)} tập màu sử dụng • 1) Nếu tìm màu c ∈ C \ (M(u) ∪ M(v)) dùng màu c để tô màu cạnh e Lần lượt tô màu cạnh đồ thị theo qui tắc sau: Giả sử ta xét việc tô màu cạnh e=(u,v) Ký hiệu M(z) tập màu dùng để tô cạnh kề đỉnh z Rõ ràng |M(u)| < ∆ (G) |M(v)| < ∆ (G) Có hai tình huống: Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ mơn KHMT, ĐHBK Hà nội 186 Thuật tốn tơ màu α/β 2) Khơng tìm màu c ∈ C \ (M(u) ∪ M(v)) Do |M(u)| < ∆ (G) |M(v)| < ∆ (G) suy phải tìm α màu chưa dùng để tô cạnh kề với u dùng để tô cạnh kề với v, β màu chưa dùng để tô cạnh kề với v dùng để tô cạnh kề với u Khi xuất phát từ u ta theo cạnh màu β ta đến đỉnh v1, số cạnh kề v1 có cạnh tơ màu α thi theo cạnh ta đến đỉnh v2, … Gọi đường tìm P Lật ngược màu α/ β cạnh đường này, cách tô màu cạnh hợp lệ, đồng thời màu β dùng để tơ cạnh e Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 187 ... nội 16 Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 17 Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. 1 Đồ thị thực tế 1. 2 Các loại đồ thị 1. 3 Bậc đỉnh 1. 4 Đồ thị 1. 5 Đồ thị đẳng cấu 1. 6 Đường.. .Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. 1 Đồ thị thực tế 1. 2 Các loại đồ thị 1. 3 Bậc đỉnh 1. 4 Đồ thị 1. 5 Đồ thị đẳng cấu 1. 6 Đường chu trình 1. 7 Tính liên thông 1. 8 Một số loại đồ thị đặc biệt 1. 9... e v Phần LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Nguyễn Đức Nghĩa- Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà nội 28 Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. 1 Đồ thị thực tế 1. 2 Các loại đồ thị 1. 3 Bậc đỉnh 1. 4 Đồ thị 1. 5 Đồ thị đẳng cấu 1. 6 Đường