ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN : TOÁN Thời gian làm : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( điểm) Thực tính A cách nhanh( hợp lý) nhất: A= 2010 x 2011 − 1005 2010 x 2010 + 1005 Thực phép tính:     2  5  B = 331 − 1 −  1 −   99  Bài 2: (5 điểm) Cho M = + 22 + 23 + … + 220 a Chứng tỏ M chia hết cho b Tìm chữ số tận M Bài 3: ( điểm ) Tìm tất số nguyên n cho : n+5 n–2 Tìm số tự nhiên x, y cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( điểm) Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm A B, điểm M trung điểm AC , điểm N trung điểm CB Hãy chứng tỏ MN = a 2 Hình thang vuông ABCD có góc A góc D vuông Đường chéo AC cắt đường cao BH I So sánh diện tích tam giác IDC diện tích tam giác BHC - HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( điểm) 1) Thực tính A cách nhanh (hợp lý) nhất: A= 2010 x 2011 − 1005 2010 x (2010 + 1) − 1005 2010 x 2010 + 2010 − 1005 = = 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 =1 = 2010 x 2010 + 1005 2) Thực phép tính:     2  5  B = 331 − 1 −  1 −  97 1  = 33 = 33 = 99  99 99 Bài 2: (5 điểm) Cho M = + 22 + 23 + … + 220 a) Chứng tỏ M chia hết cho : M = + 22 + 23 + … + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + + 22 + 23 ) + 25.(1 + + 22 + 23) + … +217.(1 + + 22 +23) = 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15 2(1 + 24 + …+ 216) = (1 + 24 + …+ 216)  b) Tìm chữ số tận M: Dễ thấy M  ; M  mà ƯCLN( 2; 5) = nên M  10 Do M tận chữ số Bài 3: ( điểm ) 1) Ta có : n + = (n – 2) +  n – ⇒  n – ⇒ n – ∈ Ư(7) = { ± ; ± 7} n–2 -1 -7 n -5 Vậy : n ∈ { ; ; ; − 5} 2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) (y - 3) ước 10 Hơn 2x + > số lẻ nên 10 = 10 = 2 x + = 2 x + =   y − = 10 y − = x = x = Suy :    y = 13 y = Do :  Bài 4: ( điểm) 1) M trung điểm AC nên : AM = MC = N trung điểm CB nên : CN = NB = Suy : MC + CN = AC CB ( AC + CB ) C nằm A B nên C nằm M N C nằm M N ⇒ MC + CN = MN C nằm A B ⇒ AC + CB = AB = a Do : MN = a 2) Nối BD Ta có : SBDC = SADC ( đáy DC chiều cao BH AD) SBDH = SDBA (= SABHD) ; SDBA = SIAD ( đáy AD chiều cao nhau) Do : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC ... (hợp lý) nhất: A= 2010 x 2011 − 1005 2010 x (2010 + 1) − 1005 2010 x 2010 + 2010 − 1005 = = 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 2010 x 2010 + 1005 =1 = 2010 x 2010 + 1005 2)...  10 Do M tận chữ số Bài 3: ( điểm ) 1) Ta có : n + = (n – 2) +  n – ⇒  n – ⇒ n – ∈ Ư(7) = { ± ; ± 7} n–2 -1 -7 n -5 Vậy : n ∈ { ; ; ; − 5} 2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) (y - 3) ước 10 Hơn... nên C nằm M N C nằm M N ⇒ MC + CN = MN C nằm A B ⇒ AC + CB = AB = a Do : MN = a 2) Nối BD Ta có : SBDC = SADC ( đáy DC chiều cao BH AD) SBDH = SDBA (= SABHD) ; SDBA = SIAD ( đáy AD chiều cao