PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đềʚ) Bài 1: (6đ) a) Tính: A = + 100     100 2 2 b) Tìm x biết: 3x - x  = c) Chứng minh rằng: 1 1      10 100 Bài 2: (4đ) a)Tính giá trị đa thức sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 x = -1 b)Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A Bài 3: (4đ) a) Tìm số nguyên x cho: (x2 -1)( x2 -4)( x2 -7)(x2 -10) < b) Tìm x, y để C = -18- x   y  đạt giá trị lớn Bài 4: (5đ ) Cho ABC có Aˆ > 900 Gọi I trung điểm cạch AC Trên tia đối tia IB lấy điểm D cho IB = ID Nối C với D a Chứng minh AIB  CID b Gọi M trung điểm BC; N trung điểm AD Chứng minh I trung điểm MN  c Chứng minh  AIB  BIC d Tìm điều kiện ABC để AC  CD Bài 5: (1 đ) 2 Tìm x, y   biết: 25  y  8( x  2009) ĐÁP ÁN CHẤM THI OLIMPIC TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Bài 1(6đ) 100 102  100   100 99 2 1 b) Nếu x  : 3x - 2x - = => x = ( thoả mãn ) 1 Nếu x < : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( loại ) a) A = - Vậy: x = c)Có 1 ; 10 Vậy: 1 ; 10  1    1 ; … ; 10    100  100 1 100 10   10 10 Bài 2(4đ) a)A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 x = - A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (có 50 số hạng) b)Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k   = k  a  k;b  k; c  6 Do (2)  k (   )  24309 25 16 36  k = 180 k = 180 (2đ ) (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) ( 2đ) (0.5đ) Từ (1)  + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 Bài 3(4đ) a)Vì tích số : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 số âm nên phải có số âm số âm Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – Xét trường hợp: (0.25đ) (0.25đ ) (0.5đ) ( 0.5đ) (1đ) + Có1 số âm : x2 – 10 < x2 –  x2 – 10 < < x2 –  7< x2 < 10  x2 =9 ( x  Z )  x =  + Có số âm, số dương x2 – 4< 0< x2 –  < x2 < x Z nên không tồn x Vậy x =  b)Ta có C = -18 - ( x   y  )  -18 Vì x  0; y  0 2 x   x = vµ y = -3 3 y   Max C = -18   Bài 4(5đ) Vẽ hình a AIB  CID (c.g.c) b AID  CIB (c.g.c)  MIB  NID (c.g.c) M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN   900     900    AIB  900  BIC AIB  BIC c AIB có BAI d Nếu AC vuông góc vớii DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A Bài 5: (1 đ) 25  y2  8(x  2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2+y2=25(*) Vì y2  nên (x-2009)2  25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 (0,5đ) (0.5đ) (0,5 đ) (1đ) (1đ) (1đ ) (1đ ) (0,5đ ) (0,5đ ) (1đ ) (1đ ) (0.25đ) (0.25đ) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) (0.25đ) ta có y =25 suy y = (do y   ) Từ tìm (x=2009; y=5) Người đề: Đặng thị Tám Người soát đề: Quách Thị Hồng Ánh (0.25đ ) ...ĐÁP ÁN CHẤM THI OLIMPIC TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Bài 1(6đ) 100 102  100   100 99 2 1 b) Nếu x  : 3x - 2x - = => x = ( thoả... 8(x-2009)2 = 2 5- y2 8(x-2009)2+y2=25(*) Vì y2  nên (x-2009)2  25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 (0,5đ) (0.5đ) (0,5 đ) (1đ) (1đ) (1đ ) (1đ ) (0,5đ ) (0,5đ ) (1đ ) (1đ ) (0.25đ) (0.25đ) Với (x -2 009)2...  + Có số âm, số dương x2 – 4< 0< x2 –  < x2 < x Z nên không tồn x Vậy x =  b)Ta có C = -1 8 - ( x   y  )  -1 8 Vì x  0; y  0 2 x   x = vµ y = -3 3 y   Max C = -1 8   Bài 4(5đ)