Ch¬ng phÐp biÕn h×nh CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phép biến hình ª ĐN : Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác đònh điểm M′ mặt phẳng , điểm M′ gọi ảnh M qua phép biến hình ª Kí hiệu : f phép biến hình M′ ảnh M qua phé p f ta viết : M′= f(M) hay f f(M) = M′ hay f : M I → M′ hay M I → M ′ Điểm M gọi tạo ảnh f phép biến hình đồng ⇔ f(M) = M , ∀ M ∈ H Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến f1 ,f2 phép biến hình f2 o f1 phép biến hình ª Nếu H hình tập hợp điểm M′= f(M), với M ∈ H, tạo thành hình H′ gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H′= f(H) Phép dời hình ĐN : Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với hai điểm M,N ảnh M′, N′ củ a chúng , ta có M′N′= MN ( Bảo toàn khoảng cách ) Tính chất : ( phép dời hình ) gĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng gHQ : Phép dời hình biến : Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác ( Trực tâm I→ trực tâm , trọng tâm I→ trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn ( Tâm biến thành tâm : I I→ I′ , R′ = R ) Góc thành góc B BÀI TẬP x′ = 2x − 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  y′ = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B( − 1;2) c) C(2; − 4) Giải : a) A′ = f(A) = (1;5) b) B′ = f(B) = ( − 7;6) c) C′ = f(C) = (3; − 1) x′ = 2x − y + Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  y′ = x − 2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B( − 1;3) c) C( − 2;4) Giải : a) A′ = f(A) = (4;3) b) B′ = f(B) = ( − 4; − 4) c) C′ = f(C) = ( − 7; − 7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (3x; y) Đây có phả i phép dời hình hay không ? - - phÐp Ch¬ng biÕn h×nh Giải : Lấy hai điểm M(x1; y1),N(x2 ; y2 ) Khi f : M(x1; y1 ) I → M′ = f(M) = (3x1; y1) f : N(x ; y ) I → N′ = f(N) = (3x ; y ) Ta có : MN = (x − x1)2 + (y − y1)2 , M′N ′ = 9(x − x1)2 + (y2 − y1 )2 Nếu x1 ≠ x M′N′ ≠ MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I → M′ = f(M) = ( y{ ; x{ −2) x′ y′ b) g : M(x;y) I → M′ = g(M) = ( 2x { ; y+1) { x′ y′ Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1 ≠ x M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (y + ; − x) b) g : M(x;y) I → M′ = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1 ≠ y M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (−2x ; y + 1) Tìm ảnh củ a đường thẳng (∆) : x − 3y − = qua phép biến hình f Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  − x′ x′ = − 2x x = Ta có f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y′ −  − x′ Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ ( ) − 3(y′ − 1) − = ⇔ x′ + 6y′ − = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 6y − = Cách : Lấy điểm M,N ∈ (∆) : M ≠ N gM ∈ (∆) : M(2;0) I → M′ = f(M) = (−4;1) gN ∈ (∆) : N( − 1; − 1) I → N′ = f(N) = (2; 0) gQua M′(−4;1) x+ y − uuuuur (∆′) ≡ (M′N′) :  → PTCtắc (∆′) : = → PTTQ (∆′) : x + 6y − = −1 gVTCP : M′N′ = (6; −1) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + ; y + 1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = I → (C′) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x − ; y + 1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng ( ∆) : x + 2y − = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = x2 y2 + =1 Giải : a) Lấy hai điểm M(x1; y1), N(x2 ; y ) d ) Tìm ảnh elip (E) : Khi f : M(x1; y1) I → M ′ = f(M) = (x1 − 3; y1 + 1) f : N(x ; y ) I → N′ = f(N) = (x − 3; y + 1) Ta có : M′N′ = (x − x1)2 + (y − y1)2 = MN Vậy : f phép dời hình b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x′ = x −  x = x ′ + Ta có f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y′ − Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (x′ + 3) + 2(y′ − 1) − = ⇔ x′ + 2y′ − = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 2y − = Cách : Lấy điểm M,N ∈ (∆) : M ≠ N gM ∈ (∆) : M(5 ;0) I → M′ = f(M) = (2;1) gN ∈ (∆) : N(3 ; 1) I → N′ = f(N) = (0;2) gQua M′(2;1) x − y −1 uuuuur (∆ ′) ≡ (M′N′) :  → PTCtắc (∆′) : = → PTTQ (∆′) : x + 2y − = −2 gVTCP : M′N′ = (−2;1) Cách : Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng (∆) thành đường thẳng (∆′) // (∆ ) gLấy M ∈ (∆ ) : M(5 ;0) I → M′ = f(M) = (2;1) ′ ′ gVì (∆ ) // (∆ ) ⇒ (∆ ) : x + 2y + m = (m ≠ −5) Do : (∆′) ∋ M′(2;1) ⇒ m = − ⇒ (∆ ′) : x + 2y − = c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x′ = x −  x = x′ + Ta có f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y′ − Vì M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ (x′ + 4)2 + (y′ − 3)2 = ⇔ ⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = + Tâm I( − 1;2) f + Tâm I′= f [ I( − 1;2)] = ( −4;3) Cách : (C)   → (C′)   + BK : R =  + BK : R′= R = → (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = d) Dùng biểu thức toạ độ  x′ = x −  x = x ′ + Ta có f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y′ − x2 y2 (x′+ 3)2 (y′ − 1)2 (x + 3)2 (y − 1)2 ′ ′ ′ ′ Vì M(x;y) ∈ (E) : + =1 ⇔ + = ⇔ M (x ;y ) ∈ (E ) : + =1 3 - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng (∆) : x − 2y + = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x ĐS : b) x − 2y − = c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (−x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung → C sai 12 Trong mpOxy cho phép biến hình : f1 : M(x;y) I → M′ = f1(M) = (x + ; y − 4) ; f2 : M(x;y) I → M′ = f2 (M) = ( − x ; − y) Tìm toạ độ ảnh A(4; − 1) qua f1 f2 , nghóa tìm f2 [f1(A)] f f → A′(6; − 5) I → A′′( − ; ) ĐS : A(4; − 1) I x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = ( ; −3y) Khẳng đònh sau sai ? A f (O) = O (O điểm bất biến) B Ảnh A ∈ Ox ảnh A′= f(A) ∈ Ox C Ảnh B ∈ Oy ảnh B′= f(B) ∈ Oy D M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; − 9) ĐS : Chọn D Vì M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; 9) A KIẾN THỨC CƠ BẢN Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN uuuuur r r ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M′ cho MM′ = u uuuuur r Kí hiệu : T hay Tur Khi : Tur(M) = M ′ ⇔ MM′ = u gPhép tònh tiến hoàn toàn xác đònh biết vectơ tònh tiến gNếu Tor(M) = M , ∀M Tor phép đồng r Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tònh tiến Tur  x′= x + a M(x;y) I → M′=Tur (M) = (x′; y′ )   y′= y + b Tính chất : gĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm gHQ : Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tam giác thành tam giác (Trực tâm I → trực tâm , trọng tâm I → trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I→ I′ , R ′ = R )  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh  x′= x + a M(x;y) I → M′=Tur (M) = (x′; y′ )   y′= y + b  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) Lấy M ∈ (H) I → M′ ∈ (H′) g(H) ≡ đường thẳng  → (H′) ≡ đường thẳng phương + Tâm I + Tâm I′ g(H) ≡ (C)  I → (H′) ≡ (C′)  (cần tìm I′) + bk : R + bk : R′= R Cách : Dùng biểu thức tọa độ Tìm x theo x′ , tìm y theo y′ thay vào biểu thức tọa độ Cách : Lấy hai điểm phân biệt : M, N ∈ (H) I → M′, N′ ∈ (H′) B, BÀI TẬP r Trong mpOxy Tìm ảnh M′ điểm M(3; − 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) Giải uuuuur r  x′ − =  x′ = Theo đònh nghóa ta có : M′ = Tur(M) ⇔ MM′ = u ⇔ (x′ − 3; y′ + 2) = (2;1) ⇔  ⇔  y′ + =  y ′ = −1 ⇒ M′(5; −1) r Tìm ảnh điểm qua phép tònh tiến theo vectơ u : r a) A( − 1;1) , u = (3;1) ⇒ A′(2;3) r b) B(2;1) , u = ( − 3;2) ⇒ B′( − 1;3) r c) C(3; − 2) , u = ( − 1;3) ⇒ C′(2;1) r Trong mpOxy Tìm ảnh A ′,B′ điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) uuur uuuur Tính độ dài AB , A ′B′ Giải uuur uuuur Ta có : A′= Tur (A) = (5;4) , B′= Tur(B) = (4;2) , AB = |AB | = , A ′B′ = |A ′B′ | = r r r Cho vectơ u1; u2 Gỉa sử M1 = Tur (M),M = Tur (M1) Tìm v để M2 = Tvr (M) Giải uuuuur r uuuuuuur r Theo đề : M1 = Tur (M) ⇔ MM1 = u1 , M = Tur (M1) ⇔ M1M = u2 uuuuuur r r uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r r r r r Nếu : M2 = Tv (M) ⇔ MM = v ⇒ v = MM = MM1 + M1M = u1+ u2 Vậy : v = u1+ u2 Đường thẳng ∆ cắt Ox A( − 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ ảnh r ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; − 1) - - Ch¬ng biÕn h×nh Giải Vì : A′ = Tur (A) = (1; −1) , B′ = Tur(B) = (2;1) gqua A′(1;uuuuu − 1)r Mặt khác : ∆′ = Tur (∆) ⇒ ∆′ qua A′,B′ Do : ∆′  gVTCP : A′B′= (1;2) phÐp x = + t ⇒ ptts ∆′ :  y = −1 + 2t Đường thẳng ∆ cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ ảnh r ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 1; − 2) Giải r (A) = (0; −2) , B′ = Tr (B) = ( −1;1) Vì : A′ = Tu u gqua A′(0; − 2) x = −t r (∆) ⇒ ∆′ qua A ′,B′ Do : ∆′  uuuuur Mặt khác : ∆′ = Tu ⇒ ptts ∆′ :   y = −2 + 3t gVTCP : A′B′= ( − 1;3) r Tương tự : a) ∆ : x − 2y − = , u = (0 ; 3) ⇒ ∆′ : x − 2y + = r b) ∆ : 3x + y − = , u = ( − ; − 2) ⇒ ∆′ : 3x + y + = r Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; − 3) Giải x = x′ − x′= x + r :  Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu ⇔  ′ y = y − y = y′+ Vì : M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ x′2 + (y′ + 1)2 = ⇔ M′(x ′;y ′) ∈ (C′) : x + (y + 1)2 = Vậy : Ảnh (C) (C′) : x + (y + 1)2 = Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng (∆) : x − 2y + = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x ĐS : b) x − 2y − = c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (−x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứn g qua trục tung → C sai r Tìm ảnh đường tròn (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 2;4) x′= x − x = x′+ Giải : Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tur :  ⇔ y′= y +  y = y′ − Vì : M(x;y) ∈(C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = ⇔ (x ′ −1)2 + (y ′ − 2)2 = ⇔ M ′(x ′;y′) ∈ (C′) : (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = Vậy : Ảnh (C) (C′) : (x −1)2 + (y − 2)2 = - - Ch¬ng biÕn h×nh r BT Tương tự : a) (C) : (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1, u = (3;1) r b) (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − = 0, u = ( − 2;3) phÐp ⇒ (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = (C′) : x2 + y2 + 2x − 2y − = 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A( − 2;0), đỉnh B( − 1;0) giao điểm đường chéo I(1;2) Giải uur uur uur gGọi C(x;y) Ta có : IC = (x − 1; y − 2),AI = (3;2),BI = (2; −1) gVì I trung điểm AC nên : uur uur x − = x = C = Tuur(I) ⇔ IC = AI ⇔  ⇔ ⇒ C(4;4) AI y − = y = gVì I trung điểm AC nên : uur uur x − =  x = D = Tuur(I) ⇔ ID = BI ⇔  D ⇔ D ⇒ D(3;4) BI y D − =  y D = Bài tập tương tự : A( − 1;0),B(0;4),I(1;1) ⇒ C(3;2),D(2; − 2) 11 Cho đường thẳng song song d d′ Hãy phép tònh tiến biến d thành d′ Hỏi có bao nhiê u phép tònh tiến ? Giải : Chọn điểm cố đònh A ∈ d , A ′ ∈ d ′ uuuuur uuur Lấy điểm tuỳ ý M ∈ d Gỉa sử : M ′ = Tuuur(M) ⇔ MM′ = AB AB uuuur uuuur ⇒ MA = M′B ⇒ M′B / /MA ⇒ M′ ∈ d′ ⇒ d ′ = Tuuur(d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d ′ 12 Cho đường tròn (I,R) (I′,R′) Hãy phép tònh tiến biến (I,R) thành (I′,R′) uuuuur uur Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M′ = Tuur(M) ⇔ MM′ = II′ II′ uuur uuuur ⇒ IM = I′M′ ⇒ I′M′ = IM = R ⇒ M′ ∈ (I′,R′) ⇒ (I′,R′) = Tuur[(I,R)] II′ 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Giải uuur uur Gọi J trung điểm cạnh AB Khi dễ thấy J cố đònh IM = JB Vậy M ảnh I qua phép tònh tiến Tuur Suy : Quỹ tích M JB uur ảnh đường tròn (C) phép tònh tiến theo vectơ JB r 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax Gọi T phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) (P′) ảnh (P) qua phé p tònh tiến Hãy viết phương trình (P′) Giải : uuuuur r uuuuur Tur gM(x;y) I → M′(x′;y′) , ta có : MM ′= u , với MM′= (x′ − x ; y′ − y) uuuuur r x′ − x = m x = x′ − m Vì MM′= u ⇔  ⇔  y′ − y = n y = y′ − n Mà : M(x; y) ∈ (P) : y = ax ⇔ y′ − n = a(x ′ − m)2 ⇔ y ′ = a(x′ − m)2 + n ⇔ M′(x′;y′) ∈ (P ′) : y = a(x − m)2 + n Vậy : Ảnh (P) qua phép tònh tiến Tur (P′) : y = a(x − m)2 + n ⇔ y = ax − 2amx + am + n r r 15 Cho đt ∆ : 6x + 2y − 1= Tìm vectơ u ≠ để ∆ = Tur (∆) r r r r Giải : VTCP ∆ a = (2; − 6) Để : ∆ = Tur (∆ ) ⇔ u phương a Khi : a = (2; − 6) = 2(1; −3) r ⇒ chọn u = (1; − 3) r r 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A( − 5;2) , C( − 1;0) Biết : B = Tur (A) , C = Tvr(B) Tìm u v để thực phép biến đổi A thành C ? Giải - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh uuur r uuur r uuur uuur uuur r r Tur Tvr Ta có : AB = u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (4; −2) A( − 5;2) I → B I → C(−1; 0) Tur + vr r r 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3; − 1),N(2; −3) vectơ u = (2;3) ,v = ( − 1;2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tònh tiến Tur Tvr uuur r uuur r uuur uuur uuur r r Tur Tvr HD : Gỉa sử : A(x;y) I → B I → C(x′; y′) Ta có : AB = u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (1;5) uuuur  x′ − =  x′ = Do : K′=Tur+ vr(K) ⇔ KK ′ = (1;5) ⇔  ⇔ ⇒ K ′(2;7)  y′ − =  y ′ = Tương tự : M′(4;4) , N′(3;2) 18 Trong hệ trục toạ độ rOxy , cho ∆ABC : A(3;0) , B( − 2;4) , C( − 4;5) G trọng tâm ∆ABC phép r tònh tiến theo vectơ u ≠ biến A thàn h G Tìm G′ = Tur (G) Giải Tur Tur A(3;0) I → G(−1;3) I → G′(x′; y′) uuur uuuur r x′ + = −4 r x′ = −5 Vì AG = (−4;3) = u Theo đề : GG′ = u ⇔  ⇔ ⇒ G′(−5;6)  y′ − =  y′ = 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 2,(C′) : x + y − 10x + 4y + 25 = r Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C′) HD : (C) có tâm I(1; − 3), bán kính R = ; (C′) có tâm I′(5; − 2), bán kính R ′= r Ta thấy : R = R′= nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C′) 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( − 2;1) B ∈ ∆ :2x − y − = Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải uuur uuur r gVì OABC hình bình hành nên : BC = AO = (2; −1) ⇒ C = Tur (B) với u = (2; −1) uuur r x′ − x = Tur  x = x′ − gB(x;y) I → C(x′; y′) Do : BC = u ⇔  ⇔  y ′ − y = −1  y = y ′ + gB(x;y) ∈ ∆ ⇔ 2x − y − = ⇔ 2x′ − y′ − 10 = ⇔ C(x′; y′) ∈ ∆′ : 2x − y − 10 = 21 Cho ∆ABC Gọi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O1,O2 ,O3 I1,I2 ,I3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1 Chứng minh : ∆O1O2O3 = ∆I1I 2I3 HD : w Xét phép tònh tiến : T1 uuur biến A I → C,C1 I → B, B1 I → A1 AB T1 uuur T1 uuur T1 uuur AB AB AB 2 ⇒ ∆AB1C1 I → ∆C1BA1;O1 I → O2 ;I1 I → I2 uuuuuur uuuur ⇒ O1O2 = I1I2 ⇒ O1O2 = I1I2 w Lý luận tương tự : Xét phép tònh tiến T1 uuur,T1 uuur suy : BC CA 2 uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur O2O3 = I2I3 O3O1 = I3I1 ⇒ O2O3 = I2I3 ,O3O1 = I3I1 ⇒ ∆O1O2O3 = ∆I1I2I3 (c.c.c) - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh µ = 60o ,B µ = 150o D µ = 90o 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD = 12cm , A Tính độ dài cạnh BC DA HD : uuuur uuur Tuuur · µ = 150o ) BC → M ⇔ AM = BC.Ta có : ABCM hình bình hành BCM w Xét : A I = 30o (vì B · · Lại có : BCD = 360o − (90o + 60o + 150o ) = 60o ⇒ MCD = 30o Đònh lý hàm cos ∆MCD : MD2 = MC2 + DC2 − 2MC.DC.cos30o = (6 3)2 + (12)2 − 2.6 3.12 = 36 ⇒ MD = 6cm Ta có : MD = CD MC = MD ⇒ ∆MDC tam giác · · ⇒ ∆MCD nửa tam giác ⇒ DMC = 90o MDA = 30o · · · Vậy : MDA = MAD = MAB = 30o ⇒ ∆AMD tam giác câ n M Dựng MK ⊥ AD ⇒ K trung điểm AD ⇒ KD=MDcos30o = cm ⇒ AD = 3cm Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN1:Điểm M′ gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM′ Phép đối xứng qua đường thẳ ng gọi phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳ ngra uuuuuur uuuuuu Kí hiệu : Đa (M) = M′ ⇔ M oM′ = − M oM , với M o hình chiếu M đường thẳng a Khi : gNếu M ∈ a Đa (M) = M : xem M đối xứ ng với qua a ( M gọi điểm bất động ) gM ∉ a Đa (M) = M′ ⇔ a đường trung trực củ a MM′ gĐa (M) = M′ Đa (M′) = M gĐa (H) = H′ Đa (H′) = H , H′ ảnh hình H gĐN : d trục đối xứng hình H ⇔ Đd (H) = H gPhép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh biết trục đối xứng Chú ý : Một hình trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng Biểu thức tọa độ : M(x;y) I → M′ = Đd (M) = (x′; y ′ )  x′= x  x′= − x ª d ≡ Ox :  ª d ≡ Oy :   y′ = − y  y′ = y - - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình gHQ : 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàn g bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác (Trực tâm I → trực tâm , trọng tâm I → trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I → I ′ , R′ = R ) Góc thành góc • PP : Tìm ảnh M′ = Đa (M) (d) ∋ M , d ⊥ a H = d ∩ a H trung điểm MM′ → M′ ? ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : ∆′= Đa ( ∆) w TH1: (∆) // (a) Lấy A,B ∈ (∆) : A ≠ B Tìm ảnh A′= Đa (A) ∆′ ∋ A′,∆′// (a) → ∆′ w TH2 : ∆ // a Tìm K = ∆ ∩ a Lấy P ∈ ∆ : P ≠ K Tìm Q = Đa (P) ∆′ ≡ (KQ) ª PP : Tìm M ∈ (∆) : (MA + MB)min Tìm M ∈ (∆ ) : (MA+ MB)min w Loại : A, B nằm phía đối vớ i (∆ ) : 1) gọi A′ đối xứng A qua ( ∆ ) 2) ∀M ∈ (∆ ), MA + MB = MA ′+ MB ≥ A ′B Do đó: (MA+MB)min= A ′B ⇔ M = (A ′B) ∩ (∆) w Loại : A, B nằm khác phía (∆ ) : ∀M ∈ (∆ ), MA + MB ≥ AB Ta có: (MA+MB)min = AB ⇔ M = (AB) ∩ (∆) B BÀI TẬP - 10 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 19 Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương , O tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm AB a) Tìm ảnh ∆AIF qua phép quay Q (O ; 120o ) b) Tìm ảnh ∆AOF qua phép quay Q (E ; 60o ) HD : a) w Q biến F,A,B thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120o ) thành trung điểm J CD nên Q (∆AIF) = ∆CJB (O ; 120o ) b) w Q biến A,O,F thành C,D,O (E ; 60o ) 15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự thẳng hàng Vẽ phía dự ng hai tam giác ABE BCF Gọi M N tương ứng hai trung điểm AF CE Chứng minh : BMN tam giác HD : Xét phép quay Q Ta có : Q (A) = E , Q (F) = C (B;− 60o ) (B;− 60o ) (B;− 60o ) ⇒Q (AF) = EC (B;− 60o ) Do M trung điểm AF , N trung điểm EC , nên : · Q (M) = N ⇒ BM = BN MBN = 60o ⇒ ∆BMN tam giác (B;− 60o ) 21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường tròn Dựng phía ∆ABC hình vuông ABEF Chứng minh : E chạy nửa đường cố đònh HD : Gọi E = Q (A) Khi A chạy nửa đường tròn (O) , (B;90o ) E chạy nửa đường tròn (O′) = Q [(O)] (B;90o ) 22 Cho đường (O;R) đường thẳng ∆ không cắt đường tròn Hãy dựng ảnh (∆) qua phép quay Q (O ; 30o ) Giải Từ O hạ đường vuông góc OH với ∆ Dựng điểm H′ cho (OH;OH′) = 30o OH′ = OH Dựng đường tròn qua điểm O,H,H′ ; đường tròn cắt ∆ điểm L Khi LH′ đường thẳng phải dựng 23 Cho đường thẳng d điểm O cố đònh không thuộc d , M điểm di động d Hãy tìm tập hợp điểm N cho ∆OMN · Giải : ∆OMN ⇒ OM = ON NOM = 60o Vì M chạy d : gN chạy d ′ ảnh d qua phép quay Q (O;60o ) gN chạy d ′′ ảnh d qua phép quay Q (O;−60o ) - 26 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 24 Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Từ điểm I cố đònh kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB NB cắt (O′) M′ N′ Chứng minh đường thẳng M′N′ luôn qua điểm cố đònh Giải Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO′) = ϕ biến (O) thành (O′) Vì MM′ NN′ qua B nên (AO;AO′) = (AM;AM′) = (AN;AN′) Qua phép quay Q : MI → M′ , NI → N′ Q(A;ϕ ) MNI→ M′N′ Đường thẳng MN qua điểm cố đònh I nên đường thẳng M′N′ qua điểm cố đònh I′ ảnh I qua Q(A;ϕ ) 25 Cho hai hình vuông ABCD BEFG a) Tìm ảnh ∆ABG phép quay Q ⇒Q : ∆ABG  → ∆CBE (B;−90o ) b) Gọi M,N trung điểm AG CE Chứng minh ∆BMN vuông cân Giải  BA = BC  BG = BE a) Vì   o o (BA; BC) = −90 (BG; BE) = −90 b) Q (B;−90o ) : A I → C,G I →E ⇒ Q (B;−90o ) : AG  → CE ⇒ Q : M I → N ⇒ BM = BN (BM;BN) = − 90o o o (B;−90 ) (B;−90 ) ⇒ ∆BMN vuông cân B 26 Cho ∆ABC Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE ACF Gọi M trung điểm BC giả sử AM ∩ FE = H Chứng minh : AH đường cao ∆AEF HD : Xét phép quay Q : Kéo dài FA đoạn AD = AF (A;90o ) Vì AF = AC ⇒ AC = AD nên suy : Q biến B , C thành E , D (A;90o ) Đ/nghóa nên gọi trung điểm K DE K= Q (M)  → MA ⊥ AK (1) o (A;90 ) Trong ∆DEF , AK đường trung bình nên AK // FE (2) Từ (1),(2) suy : AM ⊥ FE ⇒ AH đường cao ∆AEF 27 Cho hình vuông ABCD có cạnh có đỉnh vẽ theo chiều dương Các đườuunrg chéo cắ uurt tạ i I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác đònh phép biến đổi AI thành BJ HD : Ta có : AI= ⇒ BJ = Q AB = 2 · = ⇒ AI = BJ Lại có : (AI,BJ) = 45o o (AI) Tâm O = ttrực AB ∩ cung chứa góc 45 (O;45o ) uur qua A,B ⇒ BJ = Q uur (AI) (O;45o ) - 27 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 28 [CB-1.18] Cho ∆ABC Dựng phía tam giác hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF gọi O,P,Q tâm đối xứng chúng a) Gọi D trung điểm AB Chứng minh : ∆DOP vuông cân D b) Chứng minh : AO ⊥ PQ AO = PQ HD : a) w Vì : AI = Q (MB) ⇒ MB = AI MB ⊥ AI (C;90o ) BM , DO Mặt khác : DP AI ⇒ DP = ⊥ DO ⇒ ∆DOP vuông cân D b) Từ câu a) suy : Q Q (D;90o ) (D;90o ) O I → P,A I → Q ⇒ OA = ⊥ PQ 29 Cho ∆ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm Dựng phía tam giác hình vuông ABDE BCKF Gọi P trung điểm AC , H điểm đối xứng D qua B , M trung điểm đoạn FH uuu.r uuur a) Xác đònh ảnh hai vectơ BA BP phép quay Q (B;90o ) b) Chứng minh : DF ⊥ BP DF = 2BP HD :  BA = BH (cùng BD) a) Ta có :  o (BA;BH) = 90 uuur uuur o 90o (BA) ⇒ H = Q90 (A) ⇒ BH = Q B B uuur uuur o o 90 (C) = F ⇒ Q 90o (AC) = HF Vì : Q90 (A) = H,Q B B B uuur uuuur o 90o (BP) = BM Mà : F trung điểm AC , Q 90 (F) = M trung điể m củ a HF Do : Q B B uuur uuuur o b) Vì : Q90 B (BP) = BM ⇒ BP = BM,BP ⊥ BM 1 Mà : BM = DF BM // DF (Đườn g trung bình ∆HDF ) Do : BP = DF , DF ⊥ BP 2 30 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía tứ giác dựng tam giác ABM , CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK Chứng minh : MNPK hình bình hành o HD : Xét phép quay Q60 → A , N I →C B : M I Q (B;90o ) ⇒ MN I → AC ⇒ MN = AC (1) o Xét phép quay Q60 → C , K I →A D : P I Q (D;90o ) ⇒ PK I → CA ⇒ PK = CA (2) Từ (1) , (2) suy : MN = PK Lí luận , tương tự : MK = PN ⇒ MKNP hình bình hành - 28 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 31 Cho ∆ABC Về phía tam giác , dựng ba tam giác BCA1,ACB1,ABC1 Chứng minh : AA1,BB1,CC1 đồng quy HD : Q Q (B;60o ) (B;60o ) Gỉa sử AA1 ∩ CC1 = I Xét : A1 I → C,A I → C1 Q (B;60o ) · A;CC ) = 60o ⇒ AIC · o ⇒ A1A I → CC1 ⇒ (A 1 = 60 (1) · Lấy CC1 điểm E cho : IE = IA Vì EIA = 60o ⇒ ∆EIA Q Q Q (A;− 60o ) (A;− 60o ) (A; − 60o ) Xét : B I → C1,I I → E , B1 I →C Vì : C1,E,C thẳng hàng nên B,I,B1 thẳng hàng ⇒ AA1,BB1,CC1 đồng quy 32 Chứng minh đoạn thẳng nối tâm hình vuông dựng cạnh hình bình hành phía , hợp thành hình vuông HD : Gọi I1,I2 ,I3 , I tâm hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA Dùng phép quay Q(I;90o ) : B I → C Vì ∆I1BA = ∆I3CD · · o ⇒ CI3 = BI1 DCI = ABI1 = 45 Mà DC // AB ⇒ CI3 ⊥ BI1 Q (I;90o ) Vậy : I3 I → I1 ⇒ I2 I1 = I2I3 I2I1 ⊥ I2I3 Lý luận tương tự , ta có : I1I2I3I hình vuông Vấn đề : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐL : Nếu ABC A′B′C′ hai tam giác có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ Tính chất : Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến ∆AEI thành ∆FCH HD : uuur Thực liên tiếp phép tònh tie án theo AE phép đối xứng qua đường thẳng IH w Tuuur : A I → E,E I → B,I I → H ⇒ Tuuur( ∆AEI) = ∆EBH AE AE w ĐIH : E I → F,B I → C,H I → H ⇒ ĐIH ( ∆EBH) = ∆FCH uuu r w ĐIH : T (∆AEI) = ∆FCH AE Do : ĐIH o Tuuur(∆AEI) = ∆FCH ⇒ ∆AEI = ∆FCH AE - 29 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh : Hai hình thang AIOE GJFC HD : uuur Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C Từ suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do hai hình thang r [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x − y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tònh tiến Tur (O;90o ) Q Tur (O;90o ) HD : PP : d I → d ′ I → d ′′ w Gọi d′ = Q (d) Vì tâm O ∈ d nên Q (O) = O ∈ d ′ (O;90o ) (O;90o ) Mặt khác : d ′ ⊥ d ⇒ d′ : x + 2y + C = (C ≠ 0) mà d ′ qua O nên C = ⇒ d′: x + 2y = Q (O;90o ) Cách khác : Chọn M(1;2) ∈ d I → M′ ∈ d ′ x′ = OM cos(α + 90o ) x′ = OM cos α cos 90o − OM sin α sin 90o x′ = x cos 90o − y sin 90o Ta có : M′  = = y′ = OM sin(α + 90o ) y′ = OM sin α cos 90o + OM cos α sin 90o y′ = y cos 90o + x sin 90o x′ = 1cos 90o − 2sin 90o x′ = −2 = = ⇒ M′(−2;1) y′ = cos 90o + 1sin 90o  y′ = w Gọi d′′ = Tur (d′) ⇒ d′′ // d ′ ⇒ d ′′ : x + 2y + C = uuuur r  x′ = x +  x′ = Gọi O′ = Tur (O) ⇔ OO′ = u ⇔  ⇔ ⇔ O′(3;1)  y′ = y +  y′ = Vì d′′ ∋ O′ ⇒ + + C = ⇒ C = −5 ⇒ d′′ : x + 2y − = Vậy :Tur o Q (d) = (d ′) : x + 2y − = (O;90o ) Tìm ảnh đường tròn (C) : x + y − 2x + 4y − = có cách thực liên tiếp phép r tònh tiến theo u = (3; − 1) phép ĐOy ĐS : (C′) : (x + 4)2 + (y + 3)2 = Tìm ảnh đường tròn (C) : x + y − 6x − 2y + = có cách thực liên tiếp phép quay Q phép ĐOx (O;90o ) HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = Khi : Q ĐOx (O;90o ) (C) : I(3;1) , R = I→ (C′) : I′( − 1;3) , R = I→ (C′′) : I′′( − 1; − 3) , R = ⇒ (C′′) :(x + 1)2 + (y + 3)2 = [CB-P23] Trong mpOxy cho điểm A( − 3;2),B( − 4;5) C( − 1;3) a) Chứng minh : Các điểm A ′(2;3),B′ (5;4) C′(3;1) theo thứ tự ảnh A,B C qua Q (O;− 90o ) b) Gọi ∆A1B1C1 ảnh ∆ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép - 30 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Q phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ đỉnh ∆A1B1C1 (O;− 90o ) HD : a) Gọi M,N hình chiếu A Ox,Oy M( − 3;0),N(0;2) Q (O;− 90o ) Khi : Hình chữ nhật OMAN I → hcnhật OM′A′N′ ′ ′ với M (0;3),N (2;0) Do : A′(2;3) = Q (A) (O;−90o ) Ttự : B′(5;4) = Q (B),C′(3;1) = Q (C) (O;− 90o ) (O;− 90o ) Q (O;− 90o ) Cách khác : Gỉa sử A I → A ′ ⇔ ∆AOA ′ vuông c ân O uuur uuuur Điều : OA = OA ′= 13, OA.OA ′ = Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh b) w Phép quay : Q (∆ABC) = ∆A′B′C′ , ĐOx (∆A′B′C′) = ∆A1B1C1 (O;− 90o ) x A = x A′ =  Khi :  ⇒ A1(2; −3).Ttự : B1(5; −4),C1(3; −1) y = y = − A′  A1 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y = 2x2 , (P2 ) : y = 2x − 4x − Khẳng đònh sau sai ? A) y = 2x2 − 4x − ⇔ y = 2(x − 1)2 − B) Tònh tiến sang trái đơn vò xuống đơn vò ta (P2 ) C) (P1) (P2 ) r D) Phép tònh tiến theo u = (1; − 3) biế n (P1) thành (P2 ) ĐS : B) Trong mpOxy , cho điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) D( − 4;4) Khẳng đònh sau sai ? A) Các ∆OAC,∆OBD tam giác vuô ng cân Q (O;90o ) B) Phép quay : ∆OAB I → ∆OCD C) ∆OAB ∆OCD hai hình D) Tồn phép tònh tiến biế n A thành B C thành D ĐS : D) Trong mpOxy cho ∆ABC với A( − 3; 0),B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A′( − 1;3) , B thành B′(2;6) , C thành C′(4;7) Khẳng đònh sau ? A) f phép quay Q (O;90o ) B) f phép đối xứng tâm I( − 1; ) D) f phép đối xứng trục r C) f phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Cho điểm I cố đinh số k ≠ Phép vò tự tâm I tỉ số k uuur uuur Kí hiệu : VIk , phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ cho IM′ = k IM - 31 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Biểu thức tọa độ : Cho I(x o ; y o ) phép vò tự VIk VIk x′ − xo = k (x − xo ) x′= kx+ (1 − k)x o M(x;y) I → M′ = VIk (M) = (x′; y′)  ⇒ y′ − yo = k (y − yo ) y′= ky+ (1 − k)y o Tính chất : uuuuur uuuur M′ = VIk (M), N′ = VIk (N) M′N′= kMN , M′N′= |k|.MN Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳn g mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R ′= |k|.R Biến góc thành góc B BÀI TẬP Tìm ảnh điểm sau qua phép vò tự tâm I , tỉ số k ≠ : a) A(1;2) , I(3; − 1) , k = b) B(2; − 3), I(−1; −2), k = −3 c) C(8;3), I(2;1) , k = → A′( − 1;5) → B′( − 10;1) → C′(5;2) 1 → P′(1; − ),Q′( − ; − ),R′( − ; ) 3 3 uuu r uu r V(I;2)  x ′ − = −4 HD : a) Gọi : A(1;2) I → A′(x′; y′) ⇔ IA′ = 2IA ⇔ (x′ − 3; y′ + 1) = 2(−2;3) ⇔   y′ + =  x ′ = −1 ⇔ ⇒ A′(−1;5)  y′ = d) P( − 3;2),Q(1;1),R(2; −4) , I ≡ O,k = − 1/ Cho ba điểm A(0;3),B(2; − 1),C(−1;5) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C uuur uuur −1 = k(2) V(A;k) Khi : B I→ C ⇔ AC = kAB ⇔  ⇔k=− 2 = k(−4) Vậy : Tồn phép vò tự V →C : B I (A;− ) Cho ba điểm A( − 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C uuur uuur V(A;k) Khi : B I→ C ⇔ AC = kAB (1) uuur uuur uuur uuur k = / (1) 5 = 4k AC = (5; 4), AB = (4;1) →  ⇔  → hệ vô nghiệm → AC ≠ kAB, ∀k ∈ ¡  −1 = k  k = −1 V(A;k) Vậy : Không tồn phép vò tự B I→ C - 32 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Cho ∆OMN Dựng ảnh M,N qua phé p vò tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau : a) k = b) k = c) k = − Giải uuuur uuuur uuuur uuur : M I a) Phép vò tự VO → M′ , N I → N′ ta có OM′ = 3OM,ON′ = 3ON 1/2 : M I b) Phép vò tự VO → H , N I → K HK đường trung bình ∆OMN uuur uuuur uuur uuur −3/ : M I c) Phép vò tự VO → P , N I → Q ta có OP = − OM,OQ = − ON 4 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = − Giải uuuur uuur : A I a) Gọi VO → A′ OA′ = 2OA uuuur uuur B I → B′ OB′ = 2OB uuuur uuur C I → C′ OC′ = 2OC uuuur uuur D I → D′ OD′ = 2OC : Y ABCDM I ⇒ VO →Y A′B′C′D′ Ta vẽ : AB// A′B′,BC // B′C′,CD // C′D′,DA // D′A ′ uuur uuur −1/2 : A I b) Gọi VO → P OP = − OA uuur uuur B I → Q OQ = − OB uuur uuur C I → R OR = − OC uuur uuur D I → S OS = − OD −1/2 : Y ABCDM  ⇒ VO → Y PQRS Ta vẽ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP µ ∆ABC (D ∈ BC) Với giá trò Cho ∆ABC có AB = 4, AC = , AD phân giác A k phép vò tự tâm D , tỉ số k biến B thành C HD : µ Theo uuur tính chất phân giác A , ta có : uuur V( D; −3/2 ) DB AB uuur uuur = − = − = − ⇒ DC = − DB ⇒ B I →C DC uuurAC uuur6 Do DB DC ngược hướng - 33 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Cho ∆ABC vuông A AB = 6, AC = Phép vò tự V biến B thành B′,C thành C′ (A; ) Khẳng đònh sau sai ? A) BB′C′C hình thang B) B′C′ = 12 C) SAB′C′ = SABC D) Chu vi (∆ABC) = Chu vi(∆AB′C′) HD : V(A;3/2) w A) B′C′  → BC 3 w B) sai : B′C′= BC = AB2 + AC2 = 15 2 3 SAB′C′ AB′.AC′ AB AC w C) : = = = SABC AB.AC AB.AC Chu vi AB′C′ w D) : = Chu vi ABC Cho ∆ABC có hai đỉnh B C cố đònh , đỉnh A di động đường tròn (O) cho trước Tìm tập hợp trọng tâm ∆ABC uur uur HD : Gọi I trung điểm BC Ta có I cố đònh Nếu G trọng tâ m ∆ABC IG = IA 1/3 Vậy G ảnh A qua phép vò tự VI Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O′) , ảnh đường tròn (O) qua phép vò tự VI1/3 Trong mpOxy , cho điểm A( − 1;2) đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B điểm di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp : a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G tam giác ABC - 34 - Ch¬ng HD : a) phÐp biÕn h×nh gQua A( − 1;2) w (AB):  → (AB) : y − = 1(x + 2) ⇔ y = x + gHsg : k w Vậy B chạy d I chạy d′ // d qua trung điểm M( − ;1) đoạn OA Vậy d′ : x − y + = uuur uuur 2/3 (B) Vậy G chạy đt d ′′// d qua điểm N( − ; ) b) w Ta có : OG = OB ⇒ G = VO 3 ′′ ⇒ d : x−y+2 = 10 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : a) d : 3x − y − = ,V(O; − ) b) d : 2x + y − = ,V(O;3) c) d : 2x + y − = ,V(I; − 2) với I( − 1;2) d) d : x + 2y − = ,V(I;2) với I(2; − 1) → d′ : 9x − 3y + 10 = → d′ : 2x + y − 12 = → d ′ : 2x + y + = → d ′ : x + 2y − = 11 Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải ) a) (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = ,V(O; − 2) → (C) : (x + 2)2 + (y − 4)2 = 20 b) (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = ,V(O; 2) → (C) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 16 c) (C) : (x − 3)2 + (y + 1)2 = ,V(I; − 2) với I(1;2) → (C) : (x + 3)2 + (y − 8)2 = 20 12 Tìm phép vò tự biến d thành d ′ : x y a) d : − = 1,d′ : 2x − y − = 0,V(O; k) →k= HD : d : 2x − y − = // d ′ : 2x − y − = Lấy A(2;0) ∈ d, B(3;0) ∈ d′ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vì : phép vò tự V(O;k) : A I → B ⇔ OB = kOA Vì : OA= (2; 0),OB = (3; 0) ⇒ OB = OA 3 V(O; ) V(O; ) 2 Vậy : A I→ B ⇒ d I→ d′ Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đườn g thẳng Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy b) (C1) : (x + 4)2 + y2 = ; (C2 ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = HD : V(I; −2),I(−2;1) w (C1) có tâm I1(−4; 0),R1 = , (C2 ) có tâm I2 (2;3),R = 2 V(I;k) w Gỉa sử :(C1) I → (C2 ) : R gR2 = | k | R1 ⇔ | k | = = ⇔ k = ±2 R1 uuur uur gII2 = kII1 « k = − Gọi I(x o ; y o ) (2 − xo ;3 − y o ) = −2(−4 − xo ; − yo ) ⇒ I(−2;1) « k = Gọi I(x o ; y o ) (2 − xo ;3 − y o ) = 2( −4 − x o ; − yo ) ⇒ I(−10; −3) Vậy có phép vò tự biến (C1)  → (C2 ) V(I; − 2) với I( − 2;1) V(I;2) với I( − 10; − 3) - 35 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C1) : (x − 1)2 + (y − 3)2 = (C2 ) : (x − 4)2 + (y − 3)2 = a) Xác đònh toạ độ tâm vò tự hai đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn HD : (C1) có tâm I1(1;3) , bk : R1 = ; (C2 ) có tâm I2 (4;3) , bk : R = uuur uur R a) Gọi I tâm vò tự (C1) (C2 ) , ta có : II2 = kII1 với k = = = ⇒ I(−2;3) R1 b) Tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp tuyến từ I đến (C1) Gọi đt ∆ qua I có hệ số góc k ⇒ ∆ :y − = k(x+2) ⇔ ky − y + + 2k =  ∆ : 2.x − 4y + 12 + = ∆ tiếp xúc (C1) ⇔ d(I1; ∆) = R1 ⇔ k = ± ⇒  ∆2 : 2.x + 4y − 12 + = 2 14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O′) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB º = BI º C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI HD : w C tâm vò tự đường tròn (O) (O′) w D ∈ (O′), I ∈ (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng Gọi R′ bán kính đường tròn (O′) , : R′ VCR : O I → O′,I I →D ⇒ OI // O′D ⇒ OI ⊥ AB (Vì O′D ⊥ AB) » ⇒ AI º = BI º ⇒ I trung điểm AB 15 Cho hai đường tròn (O,R) (O′, R′) tiếp xúc A (R > R′) Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O′, R′) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O, R) M cắt (O′, R′) N Tìm quỹ tích I = BN ∩ CM HD : IC CN Ta có : BM // CN Hai ∆BMI : ∆NCI Do : = IM BM AC CN Hai ∆ACN : ∆ABM Do : = AB BM IC AC 2R′ R′ IC R′ ⇒ = = = ⇒ = IM AB 2R R IM + IC R + R′ R′ V(C;k = ) uu r uuu u r CI R′ R′ ′ R + R ⇒ = ⇒ CI = CM ⇒ M : I→ I CM R + R′ R + R′ Vậy : Tập hợp điểm I đường tròn (ω) vò tự đường R′ tròn (O,R) phép vò tự V(C ; k = ) R + R′ 16 Cho ∆ABC Gọi I , J M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O ∆AIJ , cắt AO A′ Gọi M′ chân đường vuông góc hạ từ A ′ xuốn g BC Chứng minh : A , M , M′ thẳng hàng HD : uuur uur uuur uur Gọi M1 trung điểm BC Ta có : AB = 2AI AC = 2AJ V(A;2) Từ : ∆AIJ → ∆ABC Khi : V(A;2) : O I → A′,M I → M1 ⇒ OM ⊥ IJ ⇒ A ′M1 ⊥ BC Như : M1 ≡ M′ ⇒ A,M,M′ thẳng hàng ( A,M,M1 thẳng hàng ) - 36 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1,C1 tương ứng trung điểm BC,CA, AB Kẻ A1x,B1y,C1z song song với đường phân giác góc A,B,C ∆ABC Chứng minh : A1x,B1y,C1z đồng quy HD : Xét phép vò tự tâm G , tỉ số − G trọng tâm ∆ABC , I tâm đường tròn nôïi tiếp ∆ABC Ta có : AJ I → A1x , BI I → B1y , CI I →C1z , GI I I →J ( = − ) ⇒ A1x, B1y,C1z đồng quy tạ i J GJ 18 Cho hai đường tròn (O1,R1) (O2 ,R ) R1 ≠ R2 Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc với (O1) A tiếp xúc với (O2 ) B Chứng minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố đònh HD : Kéo dài AB cắt (O2 ) C uuuur uuur A tâm vò tự biến (O1) thành (O) : AO1 AO ngược hướng uuur uuuuur B tâm vò tự biến (O) thành (O2 ) : AO CO2 ngược hướng uuuur uuuuur Vậy : AO1 CO2 hướng Như AC AB phải qua tâm I tâm vò tự (O1) (O2 ) 19 Cho ∆ABC Người ta muốn đònh ba điểm A′,B′,C′ cạnh BC,CA,AB cho ∆A′B′C′ A′B′ ⊥ CA , B′C′ ⊥ AB C′A ′ ⊥ BC Gọi E,F,K chân đường cao phát xuất từ A,B,C 2/3 (A),A ′= V 2/3(E),B′= V 2/3(F) Đặt : C′= VB B B uuuur uuur 2/3(E) B′ C′ = CK a) Nghiệm lại : A ′= VB b) Suy : ∆A′B′C′ Chứng minh trực tâm H ∆ABC trọng tâm ∆A′B′C′ HD : Trong ∆ABC đướng cao : AE = BF = CK = a (a cạnh ∆ABC) E,F,K trung điểm cạnh uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 2/3 (E) ⇔ BA′ = BE ⇔ BC + CA′ = ( BC) ⇔ CA′ = CB Vậy : A′= V 2/3 (E) a) Vì A′= VB B 3 uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuu r uuu r 2/3 (A) ⇔ BC′ = BA ⇔ BA + AC′ = BA ⇔ AC′ = − BA = AK ⇔ B′= V 2/3(C) Vì C′= VB A 3 3 2/3 2/3 uuuur uuur VA VA Vậy : C I→ B′, K I→ C′ ⇒ B′C′ = CK uuuur uuur gB′C′ // CK ⊥ AB b) Ta có : B′C′ = CK ⇒  a 3 gB′C′ = CK = 3  - 37 - Ch¬ng uuuur uuur Tương tự : C′A′ = AE A′B′ = BF 3 phÐp biÕn h×nh a ⇒ ∆A ′B′C′ Trực tâm H ∆ABC trọng tâm tam giác , nên : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur BH = BF Mà : BC′ = BA ⇒ BH − BC′ = (BF − BA) ⇔ C′H = AF 3 3 Vậy : C′H // AF Suy : C′H ⊥ A′B′ Lý luận tương tự : A′H ⊥ B′C′ Vậy : B′C′ ⊥ AB,C′A′ ⊥ BC,A′B′ ⊥ AC B′C′= C′A′= A′B′= Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M′, N′ ảnh chúng , ta có M′N ′= k.MN ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành mộ t phép vò tự tỉ số k phép dời hình D Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng : Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồng dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k) Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R ′= k.R Biến góc thành góc Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F H đồng dạng G ⇔ ∃ F đồng dạng : H I→ G B BÀI TẬP Cho điểm M a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đa phép vò tự V tâm O , với O ∉ a , tỉ số k = b) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép vò tự V tâm O , tỉ số k = − phép quay tâm I với góc quay ϕ = 90o Giải Đa VO a) Gọi : M I → M1 I → M2 w M ∈ (a) M1 ≡ M M trung điểm OM2 w M ∉ (a) O ≠ M1 : ga trung trực đoạn MM1 gM1 trung điểm đoạn OM w M ∉ (a) O ≡ M1 : ga trung trực đoạn MM1 gM1 trung điểm đoạn OM o −3 VO Q90 I → M Khi : b) Gọi M I→ M1 I uuuuur uuuur OM1 = −3OM , IM = IM1 (IM1; IM2 ) = 90o - 38 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh Cho ∆ABC có đường cao AH H đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến ∆HBA thành ∆HAC F hợp thành hai phép biến hình dướ i ? A) Phép đối xứng tâm H phép vò tự tâm H tỉ số k = uuur B) Phép tònh tiến theo BA phép vò tự tâm H tỉ số k = C) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (HB;HA) D) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục AH HD : V (H, ) ĐH → A '' A) Gọi : A I → A ' I V (H, ) ĐH → B'' B I → B' I ⇒ A sai Tuuur V(H,2) BA A ' I B) Gọi : A I→ → A '' uuu r T V(H,2) BA B' ≡ A I B I→ → A' uuu r T V(H,2) BA H ' I H I→ → H '' ⇒ B sai Q V(H,2) (H,90o ) C) Gọi : H I→ H I→ H Q V(H,2) (H,90o ) A I→ A ' I→ A '' ≡ C Q V(H,2) (H,90o ) B I→ B' I → B'' ≡ A ⇒ C - 39 - Ch¬ng phÐp biÕn h×nh V(H,2) ĐAH D) Gọi : H I→ H I →H V(H,2) ĐAH A I→ A ' I → A ' A' ∈ AH V(H,2) ĐAH B I→ B' I → B'' ⇒ D sai uur uur r Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA + 2IB = gọi G trọng tâm ∆ABD F phép đồng dạng biến ∆AGI thành ∆COD F hợp thành hai phép biến hình sau ?uuur A) Phép tònh tiến theo GO phép vò tự V(B; − 1) B) Phép đối xứng tâm G phép vò tự V(B; ) C) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm O 2 D) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm G HD : uuur uuur gVì G trọng tâm ∆ABD nên AO = AG uuur uur gTheo giả thiết , ta có : AB = AJ gPhép đối xứng tâm O , biến A nh C B thành D ( O bất biến ) 2/3 ĐO VA gA I→ A I →C 2/3 ĐO VA gG I→ O I →O 2/3 ĐO VA gI I→ B I →D V(A; ) ĐO ⇒ ∆AGI → ∆AOB  → ∆COD Phép đồng dạng F HẾT - 40 - [...]... A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì : ∆ đều có 3 trục đối xứng C ∆ đều 32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ? A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang cân D ∆ vuông cân D Hình thang cân 33 Trong các hình sau , hình nào khôn g có trục đối xứng ? A Hình bình hành B ∆ đều C ∆ cân D Hình thoi ĐS : Chọn A Vì : Hình. .. ta có : I1I2I3I 4 là một hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ 2 Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ... Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng µ =C µ = 35o D B D Hình thang cân - 15 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng 31 Trong các hình sau , hình nào có... cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng : Hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau HD : uuur Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do đó hai hình thang ấy bằng nhau r 3 [CB-1.20] Trong... ∆BMN) Vì ∆OO1O2 là tam giác đều nên ∆ABC là tam giác đều Vấn đề 5 : PHÉP QUAY A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác ϕ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho OM = OM′ và (OM;OM′) = ϕ được gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ gPhép quay hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và góc quay gKí hiệu : Qϕ O Chú ý : Chiều dương của phép quay ≡ chiều dương... A( − 3; 0),B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A′( − 1;3) , B thành B′(2;6) , C thành C′(4;7) Khẳng đònh nào sau đây đúng ? A) f là phép quay Q (O;90o ) 3 B) f là phép đối xứng tâm I( − 1; ) 2 D) f là phép đối xứng trục r C) f là phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k ≠ 0 Phép vò tự tâm I tỉ số k uuur... Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của đường tròn (I) qua ĐAH Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A , KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thàn h điểm M′ đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng uuur uuur Kí hiệu : ĐI (M) = M′ ⇔ IM′ = −IM ... cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A′ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90o HD : Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,Oy Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC′A′B′ Khi đó : C′(0;3),B′( − 4;0) Suy ra : A′( − 4;3) - 23 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( − 1;5) thành điểm B(5;1) uuur uuur OA... tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C uuur uuur −1 = k(2) V(A;k) 1 Khi đó : B I→ C ⇔ AC = kAB ⇔  ⇔k=− 2 2 = k(−4) Vậy : Tồn tại phép vò tự V →C 1 : B I (A;− ) 2 3 Cho ba điểm A( − 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn tại hay không tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn tại một phép vò tự... xác đònh khi biết tâm và góc quay gKí hiệu : Qϕ O Chú ý : Chiều dương của phép quay ≡ chiều dương của đường tròn lựơng giác gQ2kπ ≡ phép đồng nhất ,∀ k ∈ ¢ gQ(2k+1)π ≡ phép đối xứng tâm I ,∀k ∈ ¢ 2 Tính chất : gĐL : Phép quay là một phép dời hình gHQ : 1 .Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng 2 Đường thẳng thành đường thẳng 3 Tia thành ... M′ = g(M) = ( 2x { ; y+1) { x′ y′ Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1 ≠ x M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I → M′ = f(M)... M(x;y) I → M′ = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1 ≠ y M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) =... hình phép dời hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến ∆AEI thành