UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2010-2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,5 điểm) a) Tính giá trị A = 1000 − {(−5) (−2) − 11.[7 − 5.2 + 8(112 − 121)]}  b) Tìm x biết  −  2   19 − x +  :  −1−  + = 10 5   10 10 11 c) Tìm x thỏa mãn x − 10 + x − 11 = Bài (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết rằng: Tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12 b) Cho a, b, c số thực khác Tìm số thực x, y, z khác thoả mãn: xy yz x2 + y2 + z2 zx = = = ay + bx bz + cy cx + az a + b + c Bài (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC có Bˆ < 900 Bˆ = 2Cˆ Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH (với H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC D a) Chứng minh rằng: DA = DC b) Chứng minh rằng: AE = HC ……….HẾT……… Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: HDC THI GIAO LƯU HSG Năm học 2010-2011 Môn: Toán UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm 03 trang) Bài (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày Ta có A = 1000 - {(-125).(-8) – 11.[49 – 40 + (121 – 121)]} a) = 1000 - [1000 – 11 (9 + 8.0)] (1đ) = 1000 – (1000 – 11 9) = 99 Ta có 2    19  − − x +  :  −1 −  + = 5  10   10  30   19 10  ⇔  − − x +  :  − −  = 1−  10 10   10 10 10  b) (0,75đ) c) (0,75đ) 0,25  21  ⇔  − x+ : =  10  10 21 ⇔ − x+2 = = 10 10 10 21 ⇔ x+2 = − =2 10 10 ⇔ x + = −2; ⇔ x = −4; 0,25 Vậy x = 0; -4 - Nếu x > 11 x < 10 x -10 > x – 11 < -1 Suy x − 10 > 1; x − 11 > (loại) - Nếu 10 < x < 11 < x – 10 < 1, < 11 – x 0, y > x ≠ y) (1,5đ) Theo đề ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y Chia tích cho BCNN 35, 210, 12 420 ta được: 35.( x + y ) 210( x − y ) 12 xy = = 420 420 420 x + y x − y xy = = hay (1) 12 35 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: 0,25 Điểm 0,25 0,25 x + y x − y ( x + y) + ( x − y) ( x + y) − ( x − y) = = = 12 12 + 12 − x+ y x− y x y ⇔ = = = ( 2) 12 xy x y xy xy = = = = Từ (1) (2) ta có: 35 7 y x Vì x > 0; y > nên 7y = 35 ⇒ y = 5; 5x = 35 ⇒ x = Vậy hai số phải tìm Do x, y, z khác nên b) (1,5đ) xy yz zx zxy xyz yzx = = ⇒ = = ay + bx bz + cy cx + az ayz + bxz bzx + cyx cxy + azy Suy ayz + bxz = bzx + cyx = cxy + azy ⇒ az = cx, bx = ay x z x y x y z Do = , = ⇒ = = = t ⇒ x = at , y = bt , z = ct , t ≠ a c a b a b c 2 xy x + y + z2 at.bt a 2t + b 2t + c 2t = ⇒ = Ta có ay + bx a + b + c abt + bat a2 + b2 + c2 t Suy = t ⇒ t = (do t ≠ 0) 2 a b c Vậy x = , y = , z = 2 Bài (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày Theo đề ta có 3xy – 2y = x + ⇒ y(3x – 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên nên suy x2 + chia hết cho 3x – ⇒ 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – ⇒ 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – ⇒ 9.x2 - 6x + 6x – + 49 chia hết cho 3x – a) ⇒ 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – (1đ) ⇒ 49 chia hết cho 3x – ⇒ 3x – ∈ { − 49; − 7; − 1; 1; 7; 49} ⇒ 3x ∈ { − 47; − 5; 1; 3; 9; 51} ⇒ x ∈ {1; 3; 17} Thay x vào (1) ta y ∈ { 6; 2; 6} Vậy cặp số (x, y) (1;6), (3;2), (17;6) b) (1,5đ) Do ab; ad số nguyên tố nên b d lẻ khác (1) Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2) Có 9d + c ≥ nên từ (2) suy b >3 mà b lẻ ⇒ b = 7; + b = ⇒ 9d + c = 42 ⇒ < d ≤ trái với (1) + b = ⇒ 9d + c = 72 ⇒ < d ≤ mà d lẻ ⇒ d = Thay vào điều kiện (2) c = Do a9; a số nguyên tố nên a nhận giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 1; 3; 4; 6; Suy a = abcd = 1997 , thử lại thấy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2 điểm) Câu a) (1đ) b) (1đ) Nội dung trình bày Điểm a) Ta có ∆ BEH cân B ⇒ ∠BEH = ∠BHE Ta có ∠ABC = ∠BHE = ∠DHC mà ∠ABC = ∠ACB ⇒ ∠DHC = ∠DCH (1) Suy ∆ DCH cân D nên DH = DC Xét ∆ ACH: ∠CAH + ∠DCH = 900, ∠CHD + ∠DHA = 900 (2) Từ (1), (2) suy ∠DAH = ∠DHA, ∆ DAH cân D, suy DA = DC b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ∆ ABB’ cân A (AH trung trực BB’) ⇒ AB = AB’, B’H = BH, ∠AB’H = ∠ABC Ta có ∠AB’H = ∠ABC = ∠C = ∠C + ∠CAB’ ⇒∠C = ∠CAB’, ∆ B’AC cân B’ nên B’A = B’C Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa B’ H C nên HC = HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: - Trên cách giải, HS giải theo cách khác mà đảm bảo tính khoa học xác cho điểm tối đa - Bài hình, hình vẽ hình vẽ sai lệch không cho điểm - Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ Điểm toàn tổng điểm câu không làm tròn  ...HDC THI GIAO LƯU HSG Năm học 2010 -2011 Môn: Toán UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm 03 trang) Bài (2,5 điểm)... cho 3x – ⇒ 3x – ∈ { − 49; − 7; − 1; 1; 7; 49} ⇒ 3x ∈ { − 47; − 5; 1; 3; 9; 51} ⇒ x ∈ {1; 3; 17} Thay x vào (1) ta y ∈ { 6; 2; 6} Vậy cặp số (x, y) (1;6), (3;2), ( 17; 6) b) (1,5đ) Do ab; ad số... lẻ ⇒ b = 7; + b = ⇒ 9d + c = 42 ⇒ < d ≤ trái với (1) + b = ⇒ 9d + c = 72 ⇒ < d ≤ mà d lẻ ⇒ d = Thay vào điều kiện (2) c = Do a9; a số nguyên tố nên a nhận giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 1; 3;