Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Bài : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) , biết tiếp tuyến hàm số cắt trục Ox , Oy A,B cho tam giác OAB vuông cân x +1 a) y= x3-x2 +1 a) y = 2x +1 HD : Đường thẳng cắt trục Ox,Oy A,B cho tam giác OAB vuông cân => hệ số gốc -1 , không qua gốc tọa độ a).y’=3x2-2x Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm , : i) y’(x0)=-1  3x02-2x0=-1  3x02-2x0+1 =0 vô nghiệm y’(x0)=1  3x02-2x0=1  3x02-2x0-1=0  x0=1,x0=-1/3 ii) Với x0=1 y(1)=1 => y=x không thõa mãn b) y ' = − Với x0=-1/3 , y(-1/3)=23/27 => y=x+32/27 ( x + 1) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm , : = vô nghiệm i) y’(x0)=1  − ( x0 + 1) ii)y’(x0)=-1  − ( x0 + 1) = −1  x0=0,x0=-1 Với x0=0 y(0)=1 => y=-x+1 không thõa mãn Với x0=-1 , y(-1)=0 => y=-x-1 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a)(C) y=-x4-x2+6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-6y+1=0 b)(C) y = 2x , biết tiếp tuyến tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bẳng ½ x +1 HD: a) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d) : x-6y+1 =0  y’(x0)= - => -4x03 – 2x0 =-6 => 2x03+x0-3=0 => x0=1 , 2x02+2x0+3=0 (vô nghiêm) Với x0=1=> y(1)=4 => Phương trình tiếp tuyến cần tìm y=-6(x-1)+4=-6x+10 b) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến (d) với (C) , => (d) có phương trình : y=y’(x0)(xx0)+y(x0) Ta có y ' = ( x + 1) => ( d) : y = 2x x − x0 ) + ( (x + 1) x0 +1 (d) cắt trục Ox A : xA=-x0 , yA=0 , cắt trục Oy tai B: xB=0, y B = 2x ( x + 1) Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Diện tích tam giác OAB có diện tích ½ nên : 2x 02 ( x + 1) = 2x 02 = x + 1, 2x 02 = − x −  x0=1 ,x0 =-1/2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y = 1 x + , y = 8x + 2 Bài : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến qua điểm (-1,-9) b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến qua (0,-1) HD: a) Gọi (d) đường thẳng wua M(-1,-9) có hệ số góc k => (d) y=k(x+1)-9 k(x + 1) − = 4x − 6x + (1) (d) tiếp tuyến (C)   k = 12x − 12x (2)  Thay (2) vào (1) ta : (12x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0  x = −1, k(−1) = 24    x = , k( ) = 15  4 Các tiếp tuyến cần tìm : y=24(x+1)-9=24x+ 15 , y= b) Gọi (d) đường thẳng wua M(0,-1) có hệ số góc k => (d) y=kx-1 kx − = x − 2x + (1) (d) tiếp tuyến (C)    k = 4x − 12x (2) Thay (2) vào (1) ta : (x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0  x = −1, k(−1) = 24    x = , k( ) = 15  4  y = 24(x + 1) − Các tiếp tuyến cần tìm :   y = 15 (x + 1) −  Bài Tìm điểm M thuộc (C) y = điểm x+2 cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thọ x +1 b) Trên (C): y = f ( x) = x − x lấy hai điểm phân biệt A B có hoành độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với HD : / −1  x+2 D=R\{-1} , y ' =  ÷=  x +  (x + 1) Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Gọi x0 hoành độ M => Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y=− x +2 x − x0 ) +  x+(x + 1) y - (x + 2)(x + 1) − x = ( (x + 1) x0 +1 Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tt  (x + 1)(x + 2) + x + ( + x0 )  = (x + 1)(x + 2) + x + ( + x0 ) = 2 Đặt u=x0+1 , phương trình u + 2u − = 2(1 + u )  u + 2u − = 2(1 + u )  (u-1)(u+1)(u2-4u+1)=0  u = 1, u = −1, u = −2 ±  x = 0, x = −2, x = −3 ± b) Ta có f '( x ) = x − x Gọi a, b hoành độ A B 3 Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B k A = f '(a ) = 4a − 4a, k B = f '(b) = 4b − 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a ) − af' ( a ) ; y = f ' ( b ) ( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b ) Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A = k B ⇔ 4a − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b − 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ≠ b , (1) tương đương với phương trình: a + ab + b − = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng 2 a + ab + b2 − = a + ab + b − = ⇔ a ≠ b ⇔ ( )  , −3a + 2a = −3b + 2b  f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b ) Giải hệ ta nghiệm (a;b) = (-1;1), (a;b) = (1;-1), hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( −1; −1) ( 1; −1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với a + ab + b − =  a ≠ ±1 a ≠ b  Bài tập tương tự Lập phương trình tiếp tuyến đường cong ( C ) y = x − 3x + biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B thoả mãn OB = 9OA ... trình tiếp tuyến cần tìm : y = 1 x + , y = 8x + 2 Bài : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến qua điểm (-1,-9) b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến. .. kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với a + ab + b − =  a ≠ ±1 a ≠ b  Bài tập tương tự Lập phương trình tiếp tuyến đường cong ( C ) y = x − 3x + biết tiếp tuyến cắt trục Ox,... ) = 15  4  y = 24(x + 1) − Các tiếp tuyến cần tìm :   y = 15 (x + 1) −  Bài Tìm điểm M thuộc (C) y = điểm x+2 cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thọ x +1 b) Trên (C): y =