I/ Định nghĩa Tập giá trị hàm số Định nghĩa thứ tập giá trị hàm số : Cho tập X ⊆ R ánh xạ f : X → R gọi hàm số xác định X Tập X gọi tập xác định hay miền xác định hàm số f Tập ảnh f(X)={f(x):x ∈ X} gọi tập giá trị hay miền giá trị hàm số f Định nghĩa thứ hai tập giá trị hàm số : Cho X ⊆ R Nếu ta có quy tắc f mà ứng với x ∈ X xác định giá trị tương ứng y ∈ R quy tắc f gọi hàm số x viết y=f(x) x gọi biến số hay đối số y gọi giá trị hàm số x Tập hợp tất giá trị y với y =f(x); x ∈ X gọi tập giá trị hàm số f Định nghĩa thứ ba tập giá trị hàm số: Cho Φ ≠ X ⊆ R Một hàm số f xác định X quy tắc f cho tương ứng phần tử x ∈ X xác định phần tử y ∈ R x gọi biến số hay đối số y gọi giá trị hàm số x X gọi tập xác định hay miền xác định hàm số Tập giá trị hàm số T = f(X) ={ f(x): x ∈ X} II/ Tập giá trị số hàm số sơ cấp 1.Hàm số : Y = f(x) = c Tập xác định : D = R Tập giá trị : T = { c} 2.Hàm số bậc : Y = f(x) =ax +b ( a≠0 ) Tập xác định : D = R Tập giá trị : T = R 3.Hàm số bậc hai : y = a x2 + b x +c ( a≠0 ) Tập xác định : D = R Tập giá trị hàm số : ∆ ; + ∞ ) 4a ∆ + Nếu a< , Tập giá trị hàm số T = (- ∞ ;- ] 4a 4.Hàm số y = x + Nếu a > , Tập giá trị hàm số T =[ - Tập xác định : D = R Tập giá trị : T = R*+ Hàm số y = [x ] Tập xác định : D = R Tập giá trị : T = Z Các hàm số lượng giác: + y = Sinx , y = Cosx có TGT T = [ -1 ; 1] + y = Tanx y = Cotx có TGT T = R Hàm số mũ: y = ax ; < a ≠ : Tập xác định : D = R Tập giá trị hàm số : T = R*+ Hàm số Lôgarít : y = Logax ; < a ≠ : Tập xác định : D = R*+ Tập giá trị :T=R III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị hàm số 1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị hàm số cách tìm tập xác định hàm số ngược Ta biết hai hàm số ngược tập giá trị hàm số tập xác định hàm số ngược lại Do để tìm tập giá trị hàm số ta tìm tập xác định hàm số ngược nó: Ví dụ 1: 3x + 2x − 1 Hàm số có tập xác định D = R \   2 3x + Với x ∈ D ta có : y= 2x − ⇔ y(2x -1) = 3x + ⇔ ( 2y – 3) x = y + y+5 ⇔x= 2y − Tìm tập giá trị hàm số y = Biểu thức có nghĩa : 2y – ≠ ⇔ y≠ Vậy tập giá trị hàm số : T = R\ {32 } áp dụng phương pháp ta tìm tập giá trị số hàm số sau coi tập y = a x y = ax + b cx + d y = ax + bx + c 2.Phương pháp 2:Tìm tập giá trị hàm số từ điều kiện có nghiệm phương trình : f(x) = y Từ điều kiện có nghiệm phương trình f(x) = y ta đánh giá y ∈ [a;b] từ ta tìm tập giá trị hàm số Ví dụ 1: Tìm tập giá trị hàm số y = x2 − x +1 x2 + x +1 Lời giải: Tập xác định hàm số D = R Gọi y giá trị hàm số phương trình sau có nghiệm y= x2 − x +1 x2 + x +1 ⇔ y x +yx + y =x – x + có nghiệm ⇔ ( y – )x +(y + )x + y – = có nghiệm Nếu y = phương trình có nghiệm x = Nếu y ≠ phương trình có nghiệm 2 ∆' = (y + 1) - 4(y – 1) ≥ ⇔ - 3y +10 y – ≥ ⇔ ≤ y ≤ 3 Vậy tập giá trị hàm số T =  ;3 3  Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm số y = Sinx + 2Cosx + Sinx + Cosx + Lời giải: Tập xác định hàm số D = R y giá trị hàm số phương trình sau có nghiệm y= Sinx + 2Cosx + Sinx + Cosx + ⇔ 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + ⇔ ( 2y – 1) Sinx + (y – 2) Cosx = – 3y ⇔ ( 2y – 1)2 +( y+2)2 ≥ (3 – 3y)2 ⇔ 2y2 -5y + ≤ ⇔ 1≤ y≤2 có nghiệm có nghiệm Vậy tập giá trị hàm số T =  ;2 2  * Sau số tập vận dụng Bài 1: Tìm tập giá trị hàm số sa y= 2x + x−5 y = − x + x + y = x − 3x + x2 +1 sin x + cos x − 3 cos x − sin x + − sin x + sin x cos x + cos x − y= sin x − sin x cos x + cos x + y = sin x + sin x cos x y= y = cos x cos x − sin x sin x Bài : Tìm a b để tập giá trị hàm số y = x + ax + b có tập giá trị [0;2] x2 +1 x2 − x + a có tập giá trị R 2x − a x −1 Bài : Tìm a để hàm số y = có tập giá trị chứa [-1;0] x −a Bài : Tìm a để hàm số y = Bài 5: Tìm tập giá trị hàm số x + 10 xy + 20 y f ( x, y ) = miền D = ( x, y ) : x + y f 2 x + xy + y { } /Phương pháp tìm tGT hàm số cách sử DụNG bất đẳng thức Bằng phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh m ≤ y ≤ M dáu = xảy ta kết luận tập giá trị hàm số y = f(x) VD1: Tìm tập giá trị hàm số 16 y =x + x +1 + 2005 Tập xác định hàm số : D=(-1;+ ∞ ) áp dụng BĐT Côsi cho số dương x + ; x +1+ x +1 + x +1 ≥ 33 ( x + 1) ⇔ x +1 16 x+ x +1 x +1 x +1 ; = 12 ⇔ x+ x +1 16 ta có x +1 ≥ 11 + 2009 ≥ 2020 Hay Y ≥ 2020 Dấu = xảy ⇔ x+1= x +1 ⇔ (x+1) x + =8 ⇔ x=3 Mặt khác hàm số cho liên tục D lim y=+ ∞ x → +∞ Vậy tập giá trị hàm số T=[2020;+ ∞ ) VD2: Tìm TGT hàm số y= x + + − x Lời giải: Hàm số có TXĐ D=[-1;8] Dễ thấy y ≥ Ta có :y =9 + ( x + 1).(8 − x) ≥ đẳng thức xảy ↔ x=-1 x=8 → y ≥ Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có: ( x + 1)(8 − x) ≤ x+1 +8-x =9 → y ≤ +9 = 18 ↔ y ≤ đẳng thức xảy → x+ 1= – x ↔ x = mà hàm số liên tục D → TGT hàm số [3;3 ] * Nhận xét: Bằng phương pháp kết luận dược tập giá trị hàm số đồng thời kết luận GTLN, GTNN hàm số ứng dụng quan trọng tập giá trị hàm số mà đề cập phần sau ** Sau số tập áp dụng: Bài 1: Tìm TGT hàm số: y = x + + x + + 3x − 10 Bài 2: Tìm tập giá trị hàm số: f ( x, y ) = − x − y + xy + x + y Bài 3: Tìm tập giá trị hàm số : f ( x, y ) = x+ y xyz miền D = {( x; y; z ) : x; y; z f 0; x + y + z = 1} 4/Phương pháp tìm TGT hàm số cách khảo sát hàm số: Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta kết luận tập giá trị hàm số x +1 VD1: Tìm TGT hàm số : y = x +2 Hàm số có TXĐ: D = R y' = 2− x ( x +2) x +2 y, = ↔ x= 2; y(2 ) = Lim x +1 x +2 x → −∞ lim x +1 x +2 x → +∞ x = -1 1+ x 1+ = lim x → −∞ =1 ta có bảng biến thiên x y’ −∞ + +∞ - y -1 Từ bảng biến thiên → TGT hàm số T=[-1; ] Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm số : f ( x, y ) = ( x + y) miền D = {( x, y ) : x f 0, y f 0} x2 y Lời giải: x ( + 1) y , f ( x, y ) = x ( ) y Ta có x =t y đặt với t≥0 (t + 1) t2 t (t + 1) (2t − 1) ⇔ g , (t ) = =0⇔t= t f ( x, y ) = g (t ) = Ta có bảng biến thiên t g ,(t) - +∞ +∞ + +∞ g (t) 27 Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị hàm số : T=  27  ,+∞  4  *Nhận xét: Từ bảng biến thiên hàm số kết luận GTLN, GTNN hàm số đồng thời biện luận số nghiệm phương trình giảI bất phương trình Đó ứng dụng tập giá trị hàm số xết phần sau Để xét toán ứng dụng tốt , bạn tự giải tập sau: Bài 1:Tìm TGT hàm số :y= (2 + ) x +(2 - 3) x -8[(2+ ) x +(2 − ) x ] Bài 2: Tìm tập giá trị hàm số: f ( x, y ) = x4 y4 x2 y x y + − ( + )+ + 4 y x y x y x Bài 3: Tìm tập giá trị hàm số y = sin20x + cos20x Bài : Tìm tập giá trị hàm số : f ( x, y ) = x + y miền D = {( x, y ) : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y = 1} IV Một số toán nâng cao tìm TGT hàm số Để rèn luyện thêm kỹ giải toán tìm tập giá trị ứng dụng giải số toán nâng cao Bài 1: Tìm tập giá trị hàm số Y =x - x +2 Lời giải : Tập xác định hàm số D = R đặt t= x , t ≥ Khi ta có y = g(t)= t - 6t + với t ∈ [0;+∞) y ' =g ' (t)= 2t – g ' (t) = ↔ t = Bảng biến thiên t +∞ ' y + +∞ y -7 Vậy TGT hàm số là: T= [− 7;+∞ ) Bài 2: Tìm TGT hàm số 12 x( x − a )  y=   x + 36  với a ≠ Lời giải: đặt z = 12 x( x − a ) x + 36 y = z3 với z ≥ y ≥ z( x2+36) = 12x(x-a) ⇔ (12 –z) x – 12ax – 36 z = để ≤ z ∈ Tập giá trị hàm số phương trình phải có nghiệm Ta có Nếu z = 12 phương trình ⇔ ax +36 = ⇔ x = − 36 a Nếu z ≠ 12 phương trình có nghiệm ⇔ ∆' = 36a + 36 z (12 − x) ≥ 2 ⇔ z -12z- a ≤ ⇔ − 36 + a ≤ z ≤ + 36 + a  z ≠ 12 Do z ≥ nên  12 ≤ + 36 + a [ → z ∈ 0;6 + 36 + a ]   Vậy tập giá trị hàm số T = 0; (6 + 36 + a )    x +1 Bài : Tìm a để tập giá trị hàm số y = chứa [0;1] x +a Lời giải: x +1 = ≠ 0∀x ≠ x −1 x −1 → tập giá trị hàm số (− ∞;0) ∪ (0;+∞ ) không chứa [0;1] x +1 Nếu a ≠ y= x +a ↔ y(x +a) = x+1 ↔ yx – x + ay – = xét y =0→ x=-1 xét y ≠ ta có y thuộc tập giá trị hàm số phương Nếu a = -1 y = trình yx2 – x + ay – = có nghiệm ↔ ∆ = − y (ay − 1) ≥ ↔ 4ay − y − ≤ để tập giá trị hàm số chứa [0 ; 1] g ( y ) ≤ với y ∈ [0;1] + a=0 g(y) = -4y – ≤ ↔ y ≥ − → tập giá trị hàm số [− ;+∞) ⊃ [0;1] + a ≤ g ( y ) ≤ 0∀y ∈ [0;1] 4ag (1) ≤ 4 a − ≤ ↔0≤a≤ + a ≥ g ( y ) ≤ ↔  ↔ 4ag (0) ≤ − ≤ Kết hợp khả xét ta có giá trị a thoả mãn toán −1 ≠ a ≤ Bài : Tìm miền giá trị hàm số y = 2000x + 2000-x Lời giải: Tập xác định hàm số D = R Với x ∈ R ta có 2000x > 2000-x > áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : y = 2000 x + 2000 − x ≥ 2000 x 2000 − x = lim y = +∞ x → −∞ Mặt khác ta có: lim y = +∞ x → +∞ Do tập giá trị hàm số T= [2;+∞) Bài : Tìm miền giá trị hàm số y = x + x Lời giải: Tập xác định hàm số D = R\ {0} Với x khác ta có y = x+ 1 = x + = x + ≥2 x x x  y ≤ −2 ↔ y ≥ dấu = xảy x = ±1 Vậy tập giá trị hàm số T = (− ∞;−2] ∪ [2;+∞ ) Bài : Tìm tập giá trị hàm số y = 2x 1+ x2 Lời giải: Tập xác định hàm số D = R Ta có y = 2x 1+ x ≤ 2x 2x = 1∀x ≠ → −1 ≤ y ≤ dấu = xảy x= x= -1 Mặt khác với x = ta có y = Vậy tập giá trị hàm số T = [ -1 ; ] Bài 7: Tìm miền giá trị hàm số y = lg(1- 2cosx) Lời giải: Biểu thức xác định hàm số có nghĩa – 2cosx > ↔ cosx < π 5π + k 2π (k ∈ Z ) – 2cosx ∈ (0;3] + k 2π < x < mặt khác : nên y ∈ (− ∞; lg 3] Vậy tập giá trị hàm số T = (− ∞; lg 3] Bài : Tìm tập giá trị hàm số y = + Sin x + Cos x Lời giải: Để tìm tập giá trị hàm số ta tìm y để phương trình y= + Sin x + Cos x có nghiệm 2 ↔ y + y Cos x = + Sin x 2 ↔ y + y ( - Sin x) = + Sin x ↔ ( y + 1) Sin x = 2y – Với y = -1 phương trình trở thành : = -1 phương trình vô nghiệm Với y ≠ −1 phương trình tương đương Sin x = 2y −1 y +1 Phương trình có nghiệm khi: 0≤ ↔ 2y −1 ≤1 y +1 ≤ y≤2 Vậy tập giá trị hàm số T =  ;2 2  V/ ứng dụng tập giá trị hàm số Sử dụng toán tìm tập giá trị hàm số đông thời giải số toán quan trọng thường gặp kì thi tuyển sinh vào trường ĐH- CĐ 1.ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức VD 1: chứng minh : ln(1+x) > x - x2 với x > Lời giải: xét hàm số có f ( x) = Ln(1 − x) − x + x2 (0;+∞ ) x2 f ( x) = −1+ x = ≥ 0∀x ∈ (0;+∞) x +1 x +1 ' Bảng biến thiên: x f ‘(x) +∞ + +∞ f (x) Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị hàm số là: (0;+∞ ) Vậy f (x) > với x hay ta có điều phải chứng minh 10 VD 2: Chứng minh < log + log < 2 Lời giải: đặt x = log → log = x < x < với < x < x xét hàm số f ( x) = x + 1; x x2 −1 ' có f ( x) = > 0∀x ∈ (1; ) x2 → log + log = x + ( bảng biến thiên x ’ f (x) ) + 2 f (x) Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh 2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức π VD : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x + Cos2x 0;   4 π xét hàm số y = x + Cos2x 0;   4 π y ‘ = – Sin2x ≥ với ∀x ∈ 0;   4 Có Bảng biến thiên x y π ‘ + π + 2 y Từ bảng biến thiên ta có 11 π Maxy = + ; Min y =1 VD 2: Cho x,y số không đồng thời Tìm GTLN, GTNN biểu thức A= x2 + y2 x + xy + y Lời giải: Nếu y = x ≠ A = x2 +1 y2 Nếu y ≠ ta có A = x x + +4 y y đặt x =t y ta có A = t2 +1 t2 +t + Bằng cách khảo sát hàm số ta lập bảng biến thiên hàm số sau t −∞ − − 10 − + 10 +∞ ’ A + 0 + A 20 + 10 20 + 10 1 20 − 10 20 − 10 Từ bảng biến thiên ta có kết luận: Min A = 20 − 10 20 − 10 ; Max A = 20 + 10 20 + 10 ứng dụng 3: ứng dụng vào việc giải phương trình VD1: Giải phương trình: x + 13 + x − 13 = Xét hàm số f ( x) = x + 13 + x − 13 R f ' ( x) = 33 ( x + 13) + 33 ( x − 13) > 0∀x ≠ ±13 12 BBT: x f ' ( x) f (x) -∞ + -13 // + 13 // 3 +∞ + 26 − 26 Nhận xét thấy x= 14 f(x) = mà hàm số đồng biến R Vậy pt có nghiệm x = 14 VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm: x − x − 2b + = *Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm pt trùng phương toán trở nên phức tạp, nhiều trường hợp xảy sử dụng phương pháp hàm số sau: Phương trình ↔ 2b = x − x + đặt t = x t ≥ 2b = t − 2t + Xét hàm số f(t) = t − 2t + f ' (t ) = 2t − ↔ f ' (t ) = ↔ t = BBT: t +∞ ' + f (t ) +∞ f ( t) Từ BBT ta thấy pt có nghiệm ↔ 2b ≥ ↔b≥ VD3: Tuỳ theo giá trị m biện luận số nghiệm pt x + = m x2 +1 x+3 Phương trình ↔ m = x +1 x+3 Xét hàm số f(x) = x2 +1 TXĐ: D = R 13 Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT sau X f ' ( x) f (x) -∞ + 1/3 ∞+ - 10 -1 Từ BBT ta có kết sau m ≤ −1 pt vô nghiệm − < m ≤ pt có nghiêm < m < 10 pt có nghiệm m = 10 pt có nghiệm m > 10 pt vô nghiệm ứng dụng 4: ứng dụng vào việc giải BPT VD1: Giải BPT: x( x + x + 16) > 6(4 − x ) ↔ x + x + x + 16 x − 24 R Có f(1) = ' Và f ( x) = x + 3x + 12 x + 16 = x + 3( x + x + 4) + = x + 3( x + 2) + > 0∀x ⇒ Hàm số đồng biến R BBT: -∞ +∞ x ' + f ( x) +∞ f (x) −∞ Từ bảng biến thiên ta kết luận tập nghiệm bất phương trình là: D = (1;+∞ ) VD2: Giải bất phương trình: x + 12 x > 13 x Lời giải: Bất phương trình tương đương 13 12 ( )x + ( )x > 13 13 12 13 xét hàm số f ( x) = ( ) x + ( ) x hàm số nghịch biến R ta có bảng biến thiên 14 x f (x) -∞ f (x) +∞ + +∞ Từ bảng biến thiên ta có tập nghiệm bất phương trình (− ∞;+2 ) * Trên xét số phương pháp tìm TGT hàm sốvà số ứng dụng Sau tự làm số tập để rèn luyện thêm kỹ giải toán Một toán có nhiều phương pháp giải giải tập nhiều phương pháp chọn cách giải phù hợp Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm TGT hàm số sau: 2x + 3x + x + Cosx y = + Sinx y = y = y = x + 10 x + 20 x + 4x + y = Sinx + Cosx Cosx + Sinx + 2Cosx − Sinx + mx + (1 − m) x + + 2m Bài 2: Tìm m để hàm số y = có TGT  ;2 x −x+2 7  Bài 3: Tìm m n để TGT hàm số x + mx + n [− 1;9] x2 +1 20 x + 10 x + Bài 4: Tìm GTLN , GTNN hàm số : y = 3x + x + kSinx + Bài 5: Tìm k để hàm số y = có GTNN nhỏ -1 + Cosx m(1 + 2Cosx) + Bài 6: Tìm m để hàm số y = có GTLN đạt GTNN Sinx + Cosx + y= Bài 7: CMR : Bài 8: CMR: Cos3 x + aSin3 x + 1 + + 3a ≤ + Cos3 x 3 với ∀x + x + − x ≤ với ∀x 15 Bài 9: CMR: π Sinx + Tanx > x với ∀x ∈ (0; ) Bài 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = + Cosx Sinx + Cosx − Bài 11: Cho x, y thoả mãn x + xy + y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x − xy + y Bài 12: Cho x, y ∈ R thoả mãn x − xy + y = Tìm GTNN biểu thức: M M = xy + y Bài 13: Cho x,y ≠ thoả mãn (x + y )xy = x + y − xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = 1 + x y Bài 14: Cho x, y ∈ R thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: p = 2( x + xy ) + xy + y Bài 15: Cho x + y − xy = Tìm GTLN, GTNN biểu thức M = x4 + y4 − x2 y2 Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm Log x + < log (mx + m) Bài 17: log 22 x − log x < Giải hệ phương trình:  x  − 3x + x + > 3 Bài 18 : Cho < a < b < π CMR : aSina − bSinb > 2(Cosb − Cosa) Bài 19: Cho pt f ( x) = x + mx − = a CMR với ∀m , pt có nghiệm dương b Với giá trị m nghiệm dương nghiệm phương trình 16 [...]... có tập nghiệm của bất phương trình là (− ∞;+2 ) * Trên đây chúng ta đã xét một số phương pháp tìm TGT của hàm sốvà một số ứng dụng của nó Sau đây chúng ta tự làm một số bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán Một bài toán thì có thể có nhiều phương pháp giải chúng ta hãy giải các bài tập dưới đây bằng nhiều phương pháp và chọn một cách giải phù hợp nhất Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm TGT của các hàm. .. dụng phương pháp hàm số như sau: Phương trình ↔ 2b = x 4 − 2 x 2 + 2 đặt t = x 2 thì t ≥ 0 và 2b = t 2 − 2t + 2 Xét hàm số f(t) = t 2 − 2t + 2 f ' (t ) = 2t − 2 ↔ f ' (t ) = 0 ↔ t = 1 BBT: t 0 1 +∞ ' 0 + f (t ) 2 +∞ f ( t) 1 Từ BBT ta thấy pt có nghiệm ↔ 2b ≥ 1 ↔b≥ 1 2 VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt x + 3 = m x2 +1 x+3 Phương trình ↔ m = 2 x +1 x+3 Xét hàm số f(x) = x2 +1... 1 < x < 2 1 với 1 < x < 2 x 1 xét hàm số f ( x) = x + trên 1; 2 x x2 −1 ' có f ( x) = > 0∀x ∈ (1; 2 ) x2 → log 2 3 + log 3 2 = x + ( bảng biến thiên x 1 ’ f (x) ) 2 + 3 2 2 f (x) 2 Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh 2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số hay một biểu thức π VD 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + Cos2x trên 0;   4 π xét hàm số y = x + Cos2x trên 0;  ... Tìm TGT của các hàm số sau: 2x + 3 2 3x + 4 x + 5 Cosx 3 y = 2 + Sinx 1 y = 5 y = 2 y = 3 x 2 + 10 x + 20 x 2 + 4x + 5 4 y = 4 Sinx + 4 Cosx Cosx + 2 Sinx + 3 2Cosx − Sinx + 4 mx 2 + (1 − m) x + 1 + 2m 6 Bài 2: Tìm m để hàm số y = có TGT là  ;2 2 x −x+2 7  Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm số x 2 + mx + n là [− 1;9] x2 +1 20 x 2 + 10 x + 3 Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y = 3x 2 + 2 x... + 4) + 4 = 9 x 8 + 3( x + 2) 2 + 4 > 0∀x ⇒ Hàm số đồng biến trên R BBT: -∞ 1 +∞ x ' + f ( x) +∞ 0 f (x) −∞ Từ bảng biến thiên ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là: D = (1;+∞ ) VD2: Giải bất phương trình: 5 x + 12 x > 13 x Lời giải: Bất phương trình tương đương 5 13 5 12 ( )x + ( )x > 1 13 13 12 13 xét hàm số f ( x) = ( ) x + ( ) x là hàm số nghịch biến trên R ta có bảng biến thiên... biến thiên ta có 11 π Maxy = + 4 2 ; Min y =1 2 VD 2: Cho x,y là 2 số không đồng thời bằng 0 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A= x2 + y2 x 2 + xy + 4 y 2 Lời giải: Nếu y = 0 thì x ≠ 0 và A = 1 x2 +1 y2 Nếu y ≠ 0 ta có A = 2 x x + +4 2 y y đặt x =t y ta có A = t2 +1 t2 +t + 4 Bằng cách khảo sát hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số như sau t −∞ − 3 − 10 − 3 + 10 +∞ ’ A + 0 0 + A 20 + 6 10 20 + 5... = 3x 2 + 2 x + 1 kSinx + 1 Bài 5: Tìm k để hàm số y = có GTNN nhỏ hơn -1 2 + Cosx m(1 + 2Cosx) + 1 Bài 6: Tìm m để hàm số y = có GTLN đạt GTNN Sinx + Cosx + 2 y= Bài 7: CMR : Bài 8: CMR: Cos3 x + aSin3 x + 1 1 + 1 + 3a 2 ≤ 2 + Cos3 x 3 3 với ∀x 1 + x + 3 1 − x ≤ 2 với ∀x 15 Bài 9: CMR: π Sinx + Tanx > 2 x với ∀x ∈ (0; ) 2 Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 + Cosx Sinx + Cosx − 2 Bài 11: Cho... x − 13 = 4 Xét hàm số f ( x) = 3 x + 13 + 3 x − 13 trên R f ' ( x) = 1 33 ( x + 13) 2 + 1 33 ( x − 13) 2 > 0∀x ≠ ±13 12 BBT: x f ' ( x) f (x) -∞ + -13 // + 13 // 3 3 +∞ + 26 − 26 Nhận xét thấy tại x= 14 thì f(x) = 4 mà hàm số luôn đồng biến trên R Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất x = 14 VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm: x 4 − 2 x 2 − 2b + 2 = 0 *Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của pt trùng phương... thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = x 2 − 2 xy + 3 y 2 Bài 12: Cho x, y ∈ R và thoả mãn x 2 − xy + y 2 = 1 Tìm GTNN của biểu thức: M M = xy + y 2 Bài 13: Cho x,y ≠ 0 và thoả mãn (x + y )xy = x 2 + y 2 − xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 1 1 + 3 3 x y Bài 14: Cho x, y ∈ R thay đổi và thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: p = 2( x 2 + 6 xy ) 1 +... Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M = x4 + y4 − x2 y2 Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm Log 2 x 2 + 1 < log 2 (mx + m) Bài 17: log 22 x − log 2 x 2 < 0 Giải hệ phương trình:  x 3 2  − 3x + 5 x + 9 > 0 3 Bài 18 : Cho 0 < a < b < π CMR : aSina − bSinb > 2(Cosb − Cosa) 2 Bài 19: Cho pt f ( x) = x 3 + mx 2 − 1 = 0 a CMR với ∀m , pt luôn có 1 nghiệm dương duy nhất b Với giá trị nào của m nghiệm dương ... hàm số ngược Ta biết hai hàm số ngược tập giá trị hàm số tập xác định hàm số ngược lại Do để tìm tập giá trị hàm số ta tìm tập xác định hàm số ngược nó: Ví dụ 1: 3x + 2x − 1 Hàm số có tập xác... R*+ Hàm số Lôgarít : y = Logax ; < a ≠ : Tập xác định : D = R*+ Tập giá trị :T=R III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị hàm số 1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị hàm số cách tìm tập xác định hàm. .. b để tập giá trị hàm số y = x + ax + b có tập giá trị [0;2] x2 +1 x2 − x + a có tập giá trị R 2x − a x −1 Bài : Tìm a để hàm số y = có tập giá trị chứa [-1;0] x −a Bài : Tìm a để hàm số y =