Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) MUC LUC Trang Cụng thc lng giac cõn nm vng A Phng trinh lng giac c ban Bai tõp ap dung Hng dõn giai bai tõp ap dung - Bai tõp ren luyờn 29 B Phng trinh bõc hai va bõc cao ụi vi mụt ham lng giac - 32 Bai tõp ap dung 33 Hng dõn giai bai tõp ap dung - 35 Bai tõp ren luyờn 56 C Phng trinh bõc nhõt theo sin va cos 59 Bai tõp ap dung 59 Hng dõn giai bai tõp ap dung - 62 Bai tõp ren luyờn 81 D Phng trinh lng giac ng cõp - 84 Bai tõp ap dung 85 Hng dõn giai bai tõp ap dung - 87 Bai tõp ren luyờn 92 E Phng trinh lng giac ụi xng - 93 Bai tõp ap dung 94 Bai tõp ren luyờn 96 F Phng trinh lng giac cha cn thc va tri tuyờt ụi - 97 Bai tõp ap dung 97 Bai tõp ren luyờn 99 G Phng trinh lng giac khụng mõu mc 101 Bai tõp ap dung 102 Bai tõp ren luyờn 104 H Phng trinh lng giac cha tham sụ Hai phng trinh tng ng 106 Bai tõp ap dung 106 Bai tõp ren luyờn 112 I Hờ phng trinh lng giac 116 Bai tõp ap dung 117 J Hờ thc lng tam giac Nhõn dang tam giac - 121 Bai tõp ap dung 122 Bai tõp ren luyờn 125 " Cõn cu bu thụng minh" Page Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) CAC CễNG THC LNG GIAC NM VNG Cụng thc c ban t an x cot x = sin x + cos2 x = cot x = cos x sin x + t an x = cos2 x t an x = sin x cos x + cot x = sin x Cụng thc cung nhõn ụi Cụng thc bõc Cụng thc cung nhõn ba ộcos2 x - sin x cos 2x = ờ2 cos2 x - = - sin x + cos2x cos2 x = cos 3x = cos x - cos x sin 2x = sin x cos x - cos2x sin 3x = sin x - sin x sin x = Cụng thc cụng cung sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos ( a b ) = cos a cos b m sin a sin b t an a + t an b - t an a t an b ổ + t an x ữ ữ + x = ỗ t an ỗ ữ ỗ ữ ố4 ứ - t an x t an ( a - b ) = t an a - t an b + t an a t an b ổ - t an x ữ ữ x = ỗ t an ỗ ữ ỗ ữ + t an x ố4 ứ t an ( a + b ) = Cụng thc biờn ụi tụng tich a+ b a- b cos 2 a+b a- b sin a + sin b = sin cos 2 sin ( a + b ) t an a + t an b = cos a cos b a+ b a- b sin 2 a+ b a- b sin a - sin b = cos sin 2 sin ( a - b ) t an a - t an b = cos a cos b cos a + cos b = cos cos a - cos b = - sin Cụng thc biờn ụi tich tụng cos a cos b = sin a sin b = cos ( a + b ) + cos ( a - b ) sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a - b ) cos ( a - b ) - cos ( a + b ) Mụt sụ cụng thc thụng dung khac ổ ổ ổ ổ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗỗx + ữ ữ ữ sin x + cos x = sin x + = cos x sin x cos x = sin x = cos ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ỗố ứ ỗố ứ ỗ ố cos x + sin x = - Page 2 + cos 4x sin 2x = cos6 x + sin x = - ữ ữ ữ 4ữ ứ + cos 4x sin 2x = " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca nhng cụng thc lng giac o la hanh trang, la cụng cu cõn thiờt nhõt chinh phuc thờ gii mang tờn: "Phng trinh lng giac" Mụt sụ lu y: ộsin x = a iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh ờcos x = a la: - ÊaÊ Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ t an hoc cot , co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt phai t iờu kiờn phng trinh xac inh p Phng trinh cha t an x , iờu kiờn: cos x x + kp ( k ẻ Â ) Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: sin x x k p ( k ẻ Â ) p (k ẻ Â) Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn Ta thng dung mụt cac cach sau õy kiờm tra iờu kiờn: Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn Nờu thờ vao, gia tri õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua nghiờm Nờu cac ngon cung trung thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn nghiờm ẳ co Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac AM k.3600 ữ k2p ổ ỗ ữ hay a + ỗ sụ o la a + vi k ẻ Â , n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron ữ ỗ ữ ỗ n ứ n ố lng giac cach ờu nhau" ẳ = p + k2p thi co mụt iờm M tai vi tri p (ta chon k = ) Vi du 1: Nờu s AM 3 ẳ = p + kp thi co iờm M tai vi tri p va 7p (ta chon k = 0, k = ) Vi du 2: Nờu s AM 6 ẳ = p + k 2p thi co iờm M tai cac vi tri p ; 11p va 19p , ( k = 0;1;2) Vi du 3: Nờu s AM 4 12 12 ẳ = p + k p = p + k2p thi co iờm M tai cac vi tri p , 3p , 5p ; 7p Vi du 4: Nờu s AM 4 4 4 (ng vi cac vi tri k = 0,1, 2, ) p p Vi du 5: Tụng hp hai cung x = + kp va x = + k p p p 5p Biờu diờn cung x = va + kp trờn ng tron thi co iờm tai cac vi tri: 6 p Biờu diờn cung x = + k p trờn ng tron thi co Phng trinh cha ca t an x va cot x , iờu kiờn: x k " Cõn cu bu thụng minh" Page Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) p 4p va 3 /3 Tụng hp hai cung gụm iờm nh hinh ve va 5/6 p p cung tụng hp la: x = + k O ộ ộ ờcos x = ờcos x = /6 ờ ta khụng nờn giai ụi vi phng trinh ờ ờsin x = ờsin x = 4/3 ờ 2 ở trc tiờp vi o co ti nghiờm, kờt hp va so sanh vi iờu kiờn rõt phc tap, ta nờn bõc la tụi u nhõt Nghia la: ộ ờcos x = ộ2 cos2 x - = ộcos 2x = ờ ờ ờcos 2x = Tng t ụi vi phng trinh sin x = ờsin x = ờ ở ộsin x = ộsin x = ờ ờcos2 x = ờcos x = ta khụng nờn giai nh thờ, ma nờn biờn ụi da vao cụng thc ờ ở ộsin x = ộcos2 x = ộcos x = ờ 2 Lu c o : sin x + cos x = ờcos2 x = ờsin x = ờsin x = ờ ở S dung thao cõu thõn chu: '' Cos ụi Sin bu Phu cheo '' õy co thờ xem la cõu thõn chu ''n gian, dờ nh'' lng giac nhng no lai ong vai tro la mụt nhng nhõn tụ cõn thiờt, hiờu qua nhõt giai phng trinh lng giac Cos ụi, nghia la cos cua hai goc ụi thi bng nhau, tc la cos ( - a ) = cos a , cac cung iờm tai cac vi tri: goc lng giac lai thi bng '' '' chinh no: sin ( - a ) = - sin a, t an ( - a ) = - t an a, cot ( - a ) = - t an a Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu thi bng nhau, tc la sin ( p - a ) = sin a , cac cung goc lng giac lai thi bng '' '' chinh no: cos ( p - a ) = - cos a, t an ( p - a ) = - t an a, cot ( p - a ) = - t an a Phu cheo, nghia la vi hai goc phu (co tụng bng 900) thi sin goc bng cos goc va ngc lai, tc la: ổ ổ ổ ổ p p p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ sin ỗ - aữ = cos a , cos a = sin a , t an a = cot a , cot a = t an a ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ 2 2 ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Ta hay th ờn vi vi du nho sau õy thõy c hiờu qua cua '' cõu thõn chu '' nay: Giai phng trinh lng giac: sin u = cos v Ro rang, phõn phng trinh lng giac c ban, ta chi biờt cach giai cho phng trinh sin u = sin v , võy phng trinh sin u = cos v thi ? ổ p ữ ữ v ỗ Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi: sin u = cos v sin u = sin ỗ ữ ỗ ữ ố ứ u= p p - v + k2p u = + v + k2pẻ, ( k 2 Â) ổ 2p ữ ỗ - xữ Qua vi du nay, chc hn nờu bai gp nhng phng trinh dang nh sin x = cos ỗ ữ ữ ỗ ố3 ứ thi cac ban hoc sinh se khụng cam thõy lung tung na Page " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Mụt sụ cung goc hay dung khac: ỡù sin ( x + k2p) = sin x ù ỡù sin ( x + p + k2p) = - sin x ù ùù cos ( x + k2p) = cos x ùợ va ùùùợ cos ( x + p + k2p) = - cos x (k ẻ Â) A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN ộu = v + k2p sin u = sin v Dang: ờu = p - v + k2p c biờt: ộu = v + k2p cos u = cos v Dang: ờu = - v + k2p c biờt: t an u = t an v u = v + k p Dang: p ék : u, v + kp c biờt: cot u = cot v u = v + k p ék : u, v k p c biờt: Dang: ỡù ùù sin x = ị x = k p ùù ùù p sin x = ị x = + k2p ùù ùù p ùù sin x = - ị x = - + k2p ùợ ỡù ùù cos x = ị x = p + k p ùù ùớ cos x = ị x = k2p ùù ùù cos x = - ị x = p + k2p ùù ợ ỡù t an x = x = k p ùù ùù t an x = x = p + k p ùùợ ỡù ùù cot x = x = p + k p ù ùù p ùù cot x = x = + k p ùợ BAI TP AP DUNG Bai ự , "x ẻ ộ ở0;14 ỳ ỷ Giai phng trinh: ( cos x - 1) ( sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( * ) Bai Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - = Bai Giai phng trinh: sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = Bai Giai phng trinh: sin x ( + cos 2x ) + sin 2x = + cos x Bai + Giai phng trinh: sin x Bai 4 Giai phng trinh: sin x + cos x = Bai Giai phng trinh: cos 3x - cos 2x + cos x - = " Cõn cu bu thụng minh" ( *) ( *) ( *) ( *) ổ 7p ữ = sin ỗ ỗ - xữ ( *) ữ ổ 3pử ữ ỗ ố ứ ữ ữ sin ỗ xỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố ổ pử ổ p ữ ữ cot ỗ x+ ữ cot ỗ - xữ ỗ ỗ ( *) ữ ữ ỗ ỗ6 ữ ố ữ 3ứ ố ứ Page Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai Bai sin 2x + cos 2x = cos4 4x ( * ) ổ ổ Giai phng trinh: p p ữ ữ t an ỗ t an ỗ ỗ - xữ ỗ + xữ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ4 ố4 ứ ứ ổ ổp 3x 3p x ữ ỗ ữ ữ = sin ỗ - ữ ỗ + Giai phng trinh: sin ỗ ( 1) ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 2ứ ố10 ứ ố10 ổ ổ pử pử ỗ ữ ữ = sin 2x sin ỗ3x - ữ ỗx + ữ Bai 10 Giai phng trinh: sin ỗ ( 1) ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 4ứ 4ứ ố ố ổ pử ữ = cos 3x ỗx + ữ Bai 11 cos ỗ ữ ữ ỗ 3ứ ố ( 1) ổ pử ữ sin ỗ = sin x ( 1) ỗx + ữ ữ ữ ỗ 4ứ ố ổ pử ữ = sin x ( 1) ỗx - ữ Bai 13 Giai phng trinh: sin ỗ ữ ữ ỗ 4ứ ố Bai 12 Giai phng trinh: ( *) Bai 14 Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 2 Bai 16 Giai phng trinh: sin x + sin 2x + sin 3x = Bai 15 Giai phng trinh: sin x + sin 2x + sin 3x = ( *) ( *) 2 2 Bai 17 Giai phng trinh: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2 2 Bai 18 Giai phng trinh: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x ( *) ( *) ổ 5x 9x p ữ ữ + - cos2 ỗ Bai 19 Giai phng trinh: cos 3x + sin 7x = 2sin ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố4 2 Bai 20 Giai phng trinh: sin x = cos 2x + cos 3x ( *) ( *) Bai 21 Giai phng trinh: sin 2x + sin 7x - = sin x ( *) Bai 22 Giai phng trinh: sin x + sin 2x + sin 3x = + cos x + cos 2x ( *) ( *) 3 Bai 23 Giai phng trinh: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x Bai 24 Giai phng trinh: cos10x + cos 4x + cos 3x cos x = cos x + cos x cos 3x ( * ) 3 Bai 25 Giai phng trinh: sin x + cos x - sin x - sin x cos x = ( *) Bai 26 Giai phng trinh: ( sin x + 1) ( cos 4x + sin x - ) + cos x = ( 6 8 Bai 27 Giai phng trinh: sin x + cos x = sin x + cos x ( x = ( sin ) ( *) ) Bai 28 Giai phng trinh: sin x + cos x = sin 10 x + cos10 x + 3 Bai 29 Giai phng trinh: sin x + cos x + cos x ) 2 Bai 30 Giai phng trinh: cos x - cos x sin x + sin x = Bai 31 Giai phng trinh: cos 3x cos x - sin 3x sin x = - Page ( *) cos 2x ( *) ( *) ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ( *) 16 Bai 33 Giai phng trinh: sin 3x cos 2x = + sin x - sin x Bai 32 Giai phng trinh: cos x cos 2x cos 4x cos 8x = ( *) Bai 34 Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = Bai 35 Giai phng trinh: sin 2x + cos x - sin x - =0 (*) ( *) t an x + + sin 2x + cos 2x = sin x sin 2x ( * ) Bai 36 Giai phng trinh: + cot x Bai 37 Giai phng trinh: t an x + cot x = ( sin 2x + cos 2x ) ( * ) ( *) Bai 38 Giai phng trinh: t an x - t an x t an 3x = Bai 39 Giai phng trinh: t an x + cot x + cot 2x = 11 ổ pữ x x - ữ t an x - cos2 = ỗ Bai 40 Giai phng trinh: sin ỗ ữ ỗ ố2 ữ ứ Bai 41 Giai phng trinh: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = cos x ( *) ( *) ( *) cot x - t an x = 16 ( + cos 4x ) ( *) cos 2x Bai 43 Giai phng trinh: t an x + cot 2x = sin 2x + ( *) sin 2x ( sin x + t an x ) Bai 44 Giai phng trinh: - ( + cos x ) = ( *) t an x - sin x Bai 42 Giai phng trinh: Bai 45 Giai phng trinh: (1- cos x ) + ( + cos x ) ( - sin x ) - t an x sin x = Bai 46 Giai phng trinh: cos 3x t an 5x = sin 7x 1 + sin x ) + t an x ( * ) ( ( *) 1 = cot x ( *) sin x sin 2x sin x + cos x Bai 48 Giai phng trinh: = ( t an x + cot 2x ) ( *) sin 2x 2 2 Bai 49 Giai phng trinh: t an x cot 2x cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x Bai 47 Giai phng trinh: sin 2x + sin x - ổ + t an x t an ỗ Bai 50 Giai phng trinh: cot x + sin x ỗ ỗ ố " Cõn cu bu thụng minh" xử ữ ữ =4 ữ ữ 2ứ ( *) ( *) Page Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN ự , "x ẻ ộ ờ0;14 ỷ ỳ Trich thi tuyờn sinh hoc khụi D nm 2002 Bai Giai phng trinh: cos 3x - cos 2x + cos x - = ( *) Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x, 2x, 3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt cung Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x, 2x, 3x , ta nờn a vờ cung trung gian 2x nờu biờu thc co cha sin2x (hoc cos2x) Con khụng cha sin2x (hoc cos2x), nờn a vờ cung x " Bai giai tham khao ( * ) ( cos ) ( ) x - cos x - cos2 x - + cos x - = cos x - cos x = ộcos x = ( N ) p cos2 x ( cos x - 2) = ờcos x = L x = + k p , ( k ẻ Â ) ( ) ỡù - 0, ÊÊk ằ 3, ỡù p 3p 5p 7pùỹ ù ; ; ; ý ù ự, k ẻ Â Ê p + k p Ê 14 ùớ Do x ẻ ộ 0;14 ị x ẻ ỳ ỷ ù ù ù k ẻ Â ùợ ùợ 2 2 ùỵ Bai Giai phng trinh: ( cos x - 1) ( sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( *) Trich thi tuyờn sinh hoc khụi D nm 2004 Bai giai tham khao ( * ) ( cos x - 1) ( sin x + cos x ) = sin x cos x - sin x ( cos x - 1) ( sin x + cos x ) - sin x ( cos x - 1) = ự= ( cos x - 1) ( sin x + cos x ) = ( cos x - 1) ộ ờ( sin x + cos x ) - sin x ỷ ỳ ộ2 cos x - = ờsin x + cos x = ộ ộ p ờx = p + k2p ờcos x = cos ờ ( k;l ẻ Â ) p t an x = - ờx = - + lp ở ( *) Bai Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - = Trich thi tuyờn sinh hoc khụi D nm 2006 Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ờn viờc a chung vờ cung mụt cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos Bai giai tham khao ( *) cos x - cos x + cos2 x - - cos x - = cos x + cos x - cos x - = ( ) cos2 x ( cos x + 1) - ( cos x + 1) = ( cos x + 1) cos x - = Page " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ộsin x = ộx = kp ờ - ( cos x + 1) sin x = ( k; l ẻ Â ) ờcos x = ờx = 2p + l2p ờ ở Bai Giai phng trinh: sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = ( *) Trich thi tuyờn sinh hoc khụi B nm 2005 Bai giai tham khao ( * ) ( sin x + cos x ) + sin x cos x + cos x = ( sin x + cos x ) + cos x ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ( + cos x ) = ộ ộsin x = - cos x ột an x = - ờx = - p + kp ờ ( k;l ẻ Â ) ờcos x = - ờcos x = cos 2p 2p + l2p ờ ờx = ở Bai Giai phng trinh: sin x ( + cos 2x ) + sin 2x = + cos x ( *) Li binh: T viờc xuõt hiờn cua cung 2x va cung x ma ta nghi ờn viờc chuyờn cung 2x vờ cung x bng cụng thc nhõn ụi cua ham sin va cos, t o xuõt hiờn nhõn t chung hai vờ ( *) ( ) sin x + cos2 x - + sin x cos x = + cos x sin x cos2 x + sin x cos x = + cos x sin x cos x ( cos x + 1) - ( + cos x ) = ộ ộ ờx = 2p + k2p ờcos x = ( cos x + 1) ( sin 2x - 1) = ( k, l ẻ Â ) ờ p sin 2x = ờx = + lp ở 3p 7p Li binh: T viờc xuõt hiờn hai cung x va - x giup ta suy nghi ờn viờc a hai cung khac vờ cung mụt cung chung la x lam c iờu o, ta co thờ dung cụng thc cụng cung hoc dung cõu thõn chu "cos ụi sin bu phu cheo'' Ta thc hiờn hai y tng o qua hai cach giai sau õy + Bai Giai phng trinh: sin x ổ 7p ữ = sin ỗ ỗ - xữ ( *) ữ ổ 3pử ữ ỗ ố ứ ữ ữ sin ỗ xỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố Trich thi tuyờn sinh hoc khụi A nm 2008 " Cõn cu bu thụng minh" Page Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai giai tham khao Cach giai S dung cụng thc cụng cung: sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b ( *) + sin x ổ 7p 7p ữ ữ = 4ỗ sin cos x sin x cos ỗ ữ ỗ 4ữ ố ứ 3p 3p - sin cos x 2 ộ ự 1 ỳ + = -ờ sin x + cos x ( ) ỳ sin x cos x ỳ ỷ sin x + cos x = - 2 ( sin x + cos x ) sin x cos x sin x cos iờu kiờn: sin x cos x sin 2x ( ( sin x + cos x ) + 2 sin x cos x ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) + ) sin 2x = ộ ờx = - p + kp ột an x = - ộsin x + cos x = ờ p x = - + lp ( k, l, m ẻ Â ) ờ ờsin 2x = + sin 2x = ờ p ờx = + mp Cach giai S dung "cos ụi sin bu phu cheo'' ộổ ổ 3pữ ửự ùỡù p ữ ờ- ỗ ỳ= cos x ữ ữ ùù sin ỗ = sin p x ỗx ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 2 ù ố ứ ố ứỳ ỳ ù ỷ Ta co: ộ ự ổ ổ ổ pử ùù p p ữ ữ ỗ ỳ= - sin ỗ ữ ữ ữ - xữ = sin p x + x + = ùù sin ỗ ỗ ỗ ỗ ( sin x + cos x ) ữ ữ ữ ỳ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ 4 ố4 ứ ố ứ ố ứ ùùợ ỳ ỷ ộ ự 1 ( * ) sin x + cos x = ờờ- ( sin x + cos x ) ỳỳ Giai tng t nh cach giai ỷ ổ pữ ổ p ữ ỗ ữ ữ cot ỗ x + cot x ỗ ỗ ( *) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ Trich thi tuyờn sinh hoc Giao Thụng Võn Tai Tp HCM nm 1999 4 Bai Giai phng trinh: sin x + cos x = p p p + - x = giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy: ự ổ pữ ổ ổ pữ ộp ổ ổ pử ổ pử p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ - ỗ ỳ= cot ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ cot ỗ x + cot x = cot x + cot + x x + t an x+ ữ = ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỳ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ 3ữ 3ữ 3 ố ứ ố6 ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ỳ ỷ Li binh: T tụng hai cung x + Cụng viờc lai cua chung ta la dung cụng thc: sin x + cos x = - sin 2x Nờu cos , rụi qui ụng thi bai toan sin tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan cot = Bai giai tham khao Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ỡù ùù t an x + t an y = ù Bai 414 Giai hờ phng trinh: ùớ ùù ùù cot x + cot y = ùợ Bai 415 Giai hờ phng trinh: Bai 416 Giai hờ phng trinh: Bai 417 Giai hờ phng trinh: Bai 418 Giai hờ phng trinh: Bai 419 Giai hờ phng trinh: Bai 420 Giai hờ phng trinh: Bai 421 Giai hờ phng trinh: Bai 422 Giai hờ phng trinh: Bai 423 Giai hờ phng trinh: Bai 424 Giai hờ phng trinh: Bai 425 Giai hờ phng trinh: " Cõn cu bu thụng minh" ( 1) ( 2) ỡù ùù sin x + cos y = sin y - cos y ù ùù ùù sin 2x = + sin 2y ợù ỡù cos x = + cos y ùù ùù sin x = sin y ùợ ỡù sin x - cos y = ù ùù sin y - cos x = ợ ỡù t an x + sin y = sin 2x ù ùù sin y cos ( x - y ) = sin x ùợ ỡù sin x = sin 2y ùù ùù ộ ự ùớ x ẻ ộ0; pự, y ẻ ờ- p ; p ỳ ỷ ỳ 4ỳ ùù ỷ ùù ùù cos x = cos y ợ ỡù ùù sin ( px ) cos ( py ) = ùù ù t an px = t an py ( ) ( ) ùù ùù < x + y < ùù ợ ỡù cos x - cos 2y = x - 2y ( 1) ù ùù t an x = t an y ( 2) ùợ ỡù ổ pữ ùù t an x + cot x = sin ỗ y+ ữ ỗ ( 1) ữ ỗ ùù 4ữ ố ứ ổ pữ ùù ữ x ỗ ùù t an y + cot y = sin ỗ ( 2) ữ ỗ 4ữ ố ứ ùùợ ỡù sin x + sin y = sin ( x + y ) ù ùù x + y = ùợ ỡù ùù sin x cos y sin ( x + y ) + = ùù x = y + z ùùợ ỡù ùù sin x - sin x cos 2y = cos x + y + cos x - y - 2 ùù cos x + cos y sin 2y = ùùợ Page 119 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai 426 Giai hờ phng trinh: Bai 427 Giai hờ phng trinh: Bai 428 Giai hờ phng trinh: Bai 429 Giai hờ phng trinh: Bai 430 Giai hờ phng trinh: Bai 431 Giai hờ phng trinh: Bai 432 Giai hờ phng trinh: Bai 433 Giai hờ phng trinh: Bai 434 Giai hờ phng trinh: Bai 435 Giai hờ phng trinh: Bai 436 Giai hờ phng trinh: Bai 437 Giai hờ phng trinh: Bai 438 Giai hờ phng trinh: Page 120 ỡù cot x - cot y = x - y ùù ù 5x + 8y = 2p ùù ùù < x, y < p ợ ỡù cos ( x + y ) = cos ( x - y ) ùù ùù cos x cos y = ùùợ ổ 3p ữ ùỡù ữ yùù t an x + cot x = sin ỗ ỗ ỗ ữ 4ữ ố ứ ù ổ pữ ùù x+ ữ ỗ ùù t an y + cot y = sin ỗ ỗ ữ 4ữ ố ứ ùùợ ỡù ùù ex- y = sin x ùù sin y ùù 10 x + = y + ùù ổ 5pữ ùù p; ữ ỗ ùù x, y ẻ ỗ ữ ỗ ố 4ữ ứ ùùợ ỡù sin x + sin y = ù ùù sin x + sin y = ùợ ỡù t an x + t an y + t an x t an y = ù ùù sin 2y - = cos 4x ợ ỡù ùù sin x sin y = - ù ùù ùù cos x cos y = ùợ ỡù sin x = cos x cos y ù ùù cos2 x = sin x sin y ùợ ỡù ùù sin x cos y = ùù t an x = t an y ùùợ ỡù t an x + t an y = ùù ùù t an x + t an y = ùùợ 2 2 ỡù t g x + t g y = ù ùù t gx cot gy + t gy cot gx = - ùợ ỡù sin x cos y = ùù ùù sin x - cos 2y - = ùợ ỡù x y = ùù sin x ùù =m ùùợ sin y ( ) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai 439 Giai hờ phng trinh: Bai 440 Giai hờ phng trinh: Bai 441 Giai hờ phng trinh: Bai 442 Giai hờ phng trinh: Bai 443 Cho hờ phng trinh: ỡù x y = ùù cos x ùù =m ùùợ cos y ỡù x y = ùù t an x ùù =m ùùợ t an y ỡù x y = ù ùù t an x t an y = m ợ ỡù x y = ù ùù cot x cot y = m ợ ỡù ùù sin x + sin y = ùù cos 2x + cos 2y = m ùùợ a/ Giai hờ phng trinh m = - Bai 444 Bai 445 Bai 446 Bai 447 Bai 448 Bai 449 Bai 450 b/ Tim tham sụ m hờ co nghiờm ỡù x - y = m ù Cho hờ phng trinh: ùù ( cos 2x + cos 2y ) - - cos m = ùợ Tim tham sụ m hờ phng trinh co nghiờm ỡù cos x cos y = m + ù Cho hờ phng trinh: ùù sin x sin y = 4m + 2m ùợ a/ Giai hờ phng trinh m = - b/ Tim tham sụ m hờ co nghiờm ỡù y + t an x = ù Cho hờ phng trinh: Tim tham sụ m hờ co nghiờm nhõt ùù y + = ax + a + sin x ùợ ỡù sin x + sin 2x = m ù Cho hờ phng trinh: ùù cos x + cos 2x = m ợ a/ Giai hờ phng trinh m = b/ Tim tham sụ m hờ co nghiờm ỡù x + x = cos x + x + a ù Cho hờ phng trinh: ùớ Tim tham sụ a hờ co nghiờm nhõt ùù x + cos2 x = ùợ ỡù sin x + cos y = a ù Tim iờu kiờn cõn va iờu kiờn u hờ sau co nghiờm: ùù sin y + cos x = b ợ ỡù sin x + m t an y = m ù Cho hờ phng trinh: ùù t an y + m sin x = m ùợ a/ Giai hờ phng trinh m = - b/ Tim tham sụ m hờ co nghiờm " Cõn cu bu thụng minh" Page 121 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) J Hấ THC LNG TRONG TAM GIAC NHN DANG TAM GIAC inh li ham sụ sin va cosin B, C va R, S tng ng la ban kinh ng Cho ABC co a, b, c lõn lt la ba canh ụi diờn cua A, tron ngoai tiờp va diờn tich ABC A a b c ã = = = 2R sin A sin B sin C b c ã a = b + c2 - 2bc cos A = b + c2 - 4S cot A ã b = a + c2 - 2ac cos B = a + c2 - 4S cot B B ã c2 = a + b - 2ab cos C = a + b - 4S cot C inh li vờ ng trung tuyờn C a A Cho ABC co trung tuyờn AM thi BC AB + AC = 2AM + 2 a hay : c2 + b = 2m 2a + 2 c b ma B M a C Diờn tich tam giac Goi S : la diờn tich ABC R : ban kinh ng tron ngoai tiờp ABC r : ban kinh ng tron nụi tiờp ABC p : na chu vi cua ABC 1 1 1 S = a.h a = b.h b = c.h c S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc a+ b+ c S= S = pr, p = 4R S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) Ban kinh ng tron Goi R : ban kinh ng tron ngoai tiờp ABC r : ban kinh ng tron nụi tiờp ABC a abc = sin A 4S S r= p inh li ham sụ tan va cot R= Page 122 r = ( p - a ) t an A B C = ( p - b ) tan = ( p - c) t an 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) A- B a- b ; = a+ b A+ B t an t an cot A + cot B + cot C = a + b + c2 4S BAI TP AP DUNG Bai 451 Chng minh cac ng thc c ban ABC A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + sin sin sin 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = - - cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C cos2 A + cos B + cos2 C = - cos A cos B cos C A B C A B C sin + sin + sin = - sin sin sin 2 2 2 A B C A B C cos2 + cos2 + cos2 = + sin sin sin 2 2 2 t an A + t an B + t an C = t an A t an B t an C A B B C C A t an t an + t an t an + t an t an = 2 2 2 a/ sin A + sin B + sin C = cos b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ Bai 452 Chng minh ABC, ta luụn co: t an kA + t an kB + t an kC = t an kA t an kB t an kC , ( k ẻ Ơ ) A B t an = Chng minh: a + b = 2c 2 Bai 454 Cho ABC co ba goc A, B, C theo th t tao cõp sụ nhõn cụng bụi q = Chng minh: Bai 453 Cho ABC Biờt t an 1 + + =8 sin A sin B sin C c/ cos2 A + cos2 B + cos C = a/ b/ cos A cos B cos C = d/ 1 = + a b c A C Bai 455 Cho D ABC, BC = a, CA = b, AB = c Chng minh: 2b = a + c cot cot = 2 sin A sin B sin C = = Bai 456 Cho ABC Biờt rng: Tinh cac goc cua ABC Bai 457 Cho ABC Biờt rng co ba goc A, B, C tao mụt cõp sụ nhõn co cụng bụi q = < B < C Chng minh: = + Gia s A a b c Bai 458 Cho ABC Chng minh: cot A + cot B + cot C = ( R a + b + c2 ) abc ã Bai 459 Cho ABC Biờt sin B + sin C = sin A Chng minh: BAC Ê 600 Bai 460 Cho ABC Chng minh rng nờu cotA, cotB, cotC tao mụt cõp sụ cụng thi a2, b2, c2 " Cõn cu bu thụng minh" 2 Page 123 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) cung theo th t o lõp cõp sụ cụng = 2.B a = b + bc Bai 461 Cho ABC Chng minh: A sin A + sin B - sin C A B C Bai 462 Cho ABC Chng minh: = t an t an cot cos A + cos B - cos C + 2 sin A + sin B + sin C A B Bai 463 Cho ABC Chng minh: = cot cot sin A + sin B - sin C 2 a + b + c2 4S A B C sin sin sin 2 + + =2 Cho ABC Chng minh: B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 sin ( A - B ) a - b2 Cho ABC Chng minh: = sin C c2 A B C + cos A + cos B + cos C Cho ABC Chng minh: t an + t an + t an = 2 sin A + sin B + sin C Cho ABC Chng minh: 1 1ổ A B C A B Cữ ữ + + = ỗ t an + t an + t an + cot cot cot ỗ ữ sin A sin B sin C ỗ 2 2 2ữ ố ứ Bai 464 Cho ABC Chng minh: cot A + cot B + cot C = Bai 465 Bai 466 Bai 467 Bai 468 Bai 469 Cho ABC Chng minh: sin A + sin B + sin C = ( sin A sin B cos C + sin B sin C cos A + sin C sin A cos B ) ã Bai 470 Cho ABC co AM la ng trung tuyờn, AMB = a, AC = b, AB = c, S la diờn tich ABC vi < a < 900 b - c2 4S b/ Gia s a = 450 Chng minh: cot C - cot B = a/ Chng minh: cot a = Bai 471 Cho ABC co trung tuyờn xuõt phat t B va C la mb, mc thoa m c = b b mc Chng minh rng: cot A = cot B + cot C Bai 472 Chng minh rng nờu ABC co trung tuyờn AA' vuụng goc vi trung tuyờn BB' thi cot C = ( cot A + cot B ) Bai 473 Cho ABC Chng minh rng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2S R a sin 2B + b sin 2A ã ã ã Bai 475 Cho ABC co tõm G va GAB = a, GBC = b, GCA = Chng minh rng: Bai 474 Cho ABC Chng minh rng: S = cot a + cot b + cot = ( ( ) a + b + c2 ) 4A Bai 476 Cho I la tõm ng tron nụi tiờp ABC Chng minh: A B C a/ r = 4R sin sin sin b/ IA.IB.IC = 4Rr 2 Page 124 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai 477 Cho ABC co ng tron nụi tiờp tiờp xuc cac canh ABC tai A', B', C' A'B'C' co cac canh la a', b', c' va diờn tich la S' Chng minh: a' b' Cổ A Bữ S' A B C ữ + = sin ỗ sin + sin ỗ a/ b/ = sin sin sin ữ ỗ a b 2ố 2ữ ứ S 2 Bai 478 Cho ABC co G va tõm ng tron nụi tiờp I Biờt GI vuụng goc vi ng phõn giac a+ b+ c 2ab ã cua goc BCA Chng minh: = a+b Bai 479 Tinh cac goc cua ABC biờt: sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = Bai 480 Tinh cac goc cua ABC biờt: cos 2A + ( cos 2B + cos 2C ) + = = 1200 nờu: sin A + sin B + sin C - sin A sin B = sin C Bai 481 Chng minh ABC co C 2 Bai 482 Tinh cac goc cua ABC biờt sụ o ba goc tao mụt cõp sụ cụng va thoa: 3+ ỡù b + c2 Ê a ù Bai 483 Tinh cac goc cua ABC nờu biờt ùớ ùù sin A + sin B + sin C = + ùợ Bai 484 Cho ABC khụng tu thoa: cos 2A + 2 cos B + 2 cos C = Tinh goc ABC sin A + sin B + sin C = Bai 485 Chng minh ABC co it nhõt mụt goc 600 va chi sin A + sin B + sin C = cos A + cos B + cos C B a+ c Chng minh ABC vuụng = b b c a Chng minh ABC vuụng tai A nờu : + = cos B cos C sin B sin C A B C A B C Cho ABC co cos cos cos - sin sin sin = Chng minh ABC vuụng 2 2 2 Chng minh ABC vuụng nờu: ( cos B + sin C ) + ( sin B + cos C ) = 15 Cho ABC co: sin 2A + sin 2B = sin A sin B Chng minh ABC vuụng C Chng minh nờu ABC co t an A + t an B = cot thi no la mụt tam giac cõn A B B A Chng minh ABC cõn nờu: sin cos = sin cos 2 2 2 cos A + cos B Chng minh ABC cõn nờu: = cot A + cot B 2 sin A + sin B C Chng minh ABC cõn nờu: a + b = t an ( a t an A + b t an B ) 2 b + c) - a ự Chng minh ABC ờu nờu: bc = R ộ ỳ ở( ỷ ỡù ùù sin B sin C = ù Chng minh ABC ờu nờu: ùù a - b - c3 ùù a = a- b- c ùợ Bai 486 Cho ABC co cot Bai 487 Bai 488 Bai 489 Bai 490 Bai 491 Bai 492 Bai 493 Bai 494 Bai 495 Bai 496 " Cõn cu bu thụng minh" ( ) Page 125 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai 497 Chng minh ABC ờu nờu: sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C 1 1 Bai 498 Chng minh ABC ờu nờu: + + = 2 sin 2A sin 2B sin 2C cos A cos B cos C a cos A + b cos B + c cos C 2p Bai 499 Chng minh ABC ờu nờu: = a sin B + b sin C + c sin A 9R A B C Bai 500 Chng minh ABC ờu nờu: cot A + cot B + cot C = t an + t an + t an 2 BAI TP REN LUYấN Cõu 350 Tinh cac goc ABC biờt: sin 6A + sin 6B + sin 6C = cua ABC biờt: ( + cot A ) ( + cot B ) = Cõu 351 Tinh goc C Cõu 349 Tinh cac goc ABC biờt: cos A = sin B + sin C - ỡù A, B < 900 ùù Cõu 352 Tinh goc C cua ABC biờt: ùù sin A + sin B = sin C ùợ b+ c Cõu 353 Chng minh ABC vuụng nờu: cos B + cos C = a b c a Cõu 354 Chng minh ABC vuụng nờu: + = cos B cos C sin B sin C Cõu 355 Chng minh ABC vuụng nờu: sin A + sin B + sin C = - cos A + cos B + cos C 2ộ - cos ( B - C ) ự b - c) ( ỳ ỷ Cõu 356 Chng minh ABC vuụng nờu: = - cos 2B b b+ c Cõu 357 Chng minh ABC vuụng nờu: cos B + cos C = a B a- c = 2a b- c B- C = t an b+ c b+ c + cot A = sin A a sin A + cos B t an A = sin B + cos A sin A t an B + t an C = sin B sin C sin A cot B + cot C = cos B cos C sin B + sin C sin A = cos B + cos C sin ( A + B ) cos ( A - B ) = sin A sin B Cõu 358 Chng minh ABC vuụng nờu: sin Cõu 359 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 360 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 361 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 362 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 363 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 364 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 365 Chng minh ABC vuụng nờu: Page 126 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Cõu 366 Chng minh ABC vuụng nờu: t an 2C = 2bc b - c2 Cõu 367 Chng minh ABC vuụng nờu: r ( sin A + sin B ) = c sin Cõu 368 Chng minh ABC vuụng nờu: B A- B cos 2 R A = t an ma ( a + b - c ) ( a + b + c) sin A + sin B = + cos2 C sin A + sin B + sin C = + cos A + cos B + cos C C- B c- b t an = c+ b B- C sin ổb - c ỗ ữ = ỗ ữ ữ ữ ỗ - cos 2B ố b ứ Cõu 369 Chng minh ABC vuụng nờu: S = Cõu 370 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 371 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 372 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 373 Chng minh ABC vuụng nờu: Cõu 374 Chng minh ABC vuụng nờu: h a = 2p sin B C sin 2 sin A =2 sin B cos C A a Cõu 376 Chng minh ABC cõn nờu: sin = 2 bc Cõu 375 Chng minh ABC cõn nờu: + cos B 2a + c = - cos B 2a - c + cos B 2a + c = Cõu 378 Chng minh ABC cõn nờu: sin B 4a - c2 ổ C ổ Cử ữ ỗ ữ ữ = b t an cot ỗcot - t an A ữ ỗ Cõu 379 Chng minh ABC cõn nờu: a ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 2 ố ứ ố ứ Cõu 377 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 380 Chng minh ABC cõn nờu: a sin ( B - C ) + b sin ( C - A ) = Cõu 381 Chng minh ABC cõn nờu: t an B + t an C = t an B t an C C Cõu 382 Chng minh ABC cõn nờu: sin A sin B = sin C cot A B Cõu 383 Chng minh ABC cõn nờu: t an A - t an B = t an - t an 2 ( ) ( ) 2 2 Cõu 384 Chng minh ABC cõn nờu: b + c sin ( C - B ) = c - b sin ( C + B ) sin A + sin B + sin C A C = cot - cot sin A + sin B - sin C 2 Cõu 386 Chng minh ABC cõn nờu: a = 2c cos B A+ B Cõu 387 Chng minh ABC cõn nờu: a t an A + b t an B = ( a + b ) t an A Cõu 388 Chng minh ABC cõn nờu: h a = bc cos Cõu 385 Chng minh ABC cõn nờu: " Cõn cu bu thụng minh" Page 127 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Cõu 389 Chng minh ABC cõn nờu: h a = p ( p - a ) C 2 t an A + t an B = t an A t an B ( p - b ) cot C2 = p t an B2 ỡù ùù sin B = - cos C sin A ùù sin C = - cos B sin A ùùợ ùỡù a sin 2B + b sin 2A = 4ab cos A cos B ùù sin 2A + sin 2B = sin A sin B ùợ ( + cos C ) t an A + t an B = sin C 2 sin A sin B sin A + sin B + = cos A cos B C t an S = a + b2 A m a = bc cos 4 sin C + sin A + sin B = sin C sin A + sin B Cõu 390 Chng minh ABC cõn nờu: a sin 2B + b sin 2A = c2 cot Cõu 391 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 392 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 393 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 394 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 395 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 396 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 397 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 398 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 399 Chng minh ABC cõn nờu: ( ( ( ) ) ) ( ) sin B t an B = t an C sin C ỡù ùù cos B cos C = ù Cõu 401 Chng minh ABC ờu nờu: ùù a - b - c3 ùù a = a- b- c ùợ ỡù + cos C 2a + b ùù = ù Cõu 402 Chng minh ABC ờu nờu: sin C 4a - b ùù 3 ùùợ a ( b + c - a ) = b + c - a ỡù ùù sin B = a ù 2 bc Cõu 403 Chng minh ABC ờu nờu: ùớ ùù B b ùù sin = 2 ac ùợ Cõu 400 Chng minh ABC cõn nờu: Cõu 404 Chng minh ABC ờu nờu: sin A sin B = ab 2 4c a b c = = Cõu 405 Chng minh ABC ờu nờu: ma mb mc Cõu 406 Chng minh ABC ờu nờu: ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) = abc Page 128 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ỡù sin C ùù = t an A + ù cos A cos B Cõu 407 Chng minh ABC ờu nờu: ùù sin B t an B = ùù t an C ùợ sin C ỡù sin B + sin C = sin A ù Cõu 408 Chng minh ABC ờu nờu: ùù t an B + t an C = t an A ợ 3 Cõu 409 Chng minh ABC ờu nờu: 3S = 2R sin A + sin B + sin C ( ) a + a b c Cõu 411 Chng minh ABC ờu nờu: + + = b+ c c+ a a + b abc 2p Cõu 412 Chng minh ABC ờu nờu: = ab + bc + ca Cõu 410 Chng minh ABC ờu nờu: b + c = Cõu 413 Chng minh ABC ờu nờu: sin 2A + sin 2B + sin 2C = p R Cõu 414 Chng minh ABC ờu nờu: a + b + c2 = 36r A B C + sin + sin 2 1 1 1 + + = + + Cõu 416 Chng minh ABC ờu nờu: cos A cos B cos C A B C sin sin sin 2 1 1 1 + + = + + Cõu 417 Chng minh ABC ờu nờu: sin A sin B sin C A B C cos cos cos 2 Cõu 415 Chng minh ABC ờu nờu: cos A + cos B + cos C = sin Cõu 418 Chng minh ABC ờu nờu: t an A + t an B + t an C = t an A + t an B + t an C A B C + cos + cos 2 Cõu 420 Chng minh ABC ờu nờu: ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c Cõu 421 Chng minh ABC ờu nờu: sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R Cõu 422 Chng minh ABC ờu nờu: m a + m b + m c = vi m a , m b , m c la ba ng trung tuyờn Cõu 419 Chng minh ABC ờu nờu: sin A + sin B + sin C = cos Cõu 423 Chng minh ABC ờu nờu: sin B sin C + sin A - ( sin B + sin C ) = ( ) 2 2 2 Cõu 424 Chng minh ABC ờu nờu: t an A + t an B + t an C = t an A t an B t an C A B C t an t an = - - 4 Cõu 426 Chng minh ABC ờu nờu: a ( - cos A ) + b ( - cos B ) + c ( - cos C ) = ( Cõu 425 Chng minh ABC ờu nờu: t an ( )( ) Cõu 427 ABC la tam giac gi nờu: a t an B + b t an A = a + b t an Cõu 428 ABC la tam giac gi nờu: c = c cos 2B + b sin 2B Cõu 429 ABC la tam giac gi nờu: sin 3A + sin 3B + sin 3C = " Cõn cu bu thụng minh" ) A+ B Page 129 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Cõu 430 ABC la tam giac gi nờu: 4S = ( a + b - c) ( a + c - b ) Cõu 431 ABC la tam giac gi nờu: cos2 A + cos2 B + cos2 C = Cõu 432 ABC la tam giac gi nờu: a sin 2B + b sin 2A = c2 cot C sin B cos A + cos C = sin A cos B + cos C ỡù cos A + cos2 B + cos2 C < ù Cõu 434 ABC la tam giac gi nờu: ùù sin 5A + sin 5B + sin 5C = ùợ ỡù a sin 2B + b sin 2A = 4ab cos A sin B ù Cõu 435 ABC la tam giac gi nờu: ùù sin 2A + sin 2B = sin A sin B ùợ A B C 12 cos cos cos Cõu 436 ABC la tam giac gi nờu: 2 t an A t an B t an C = cos A + cos B + cos C Cõu 433 ABC la tam giac gi nờu: sin 2A + sin 2B + sin 2C 32 = Cõu 437 ABC la tam giac gi nờu: A B C cos2 cos2 cos2 2 ( )( ) 2 2 2 Cõu 438 ABC la tam giac gi nờu: 27 a + c - b a + b - c = 256bcR sin A sin B sin C a + b + c = ab + bc + ca 18R a b c Cõu 440 ABC la tam giac gi nờu: + + = cos A + cos B + cos C b+ c c+ a a + b Cõu 441 ABC la tam giac gi nờu: Cõu 439 ABC la tam giac gi nờu: 2012 t an A + 2012 t an B + 2012 t an C = 2012 cot A + 2012 cot B + 2012 cot C 2 ỡù ùù S = a - ( b - c) Cõu 442 ABC la tam giac gi nờu: ùù sin A + sin B + sin C = cot A + cot B + cot C ùợ Cõu 443 ABC la tam giac gi nờu: ( + b + c - bc) cos A + ( + c + a - ca ) cos B + ( + a + b - ab ) cos C = Cõu 444 ABC la tam giac gi nờu: t an A + t an B + t an C = ( sin A + sin B + sin C ) cos A + cos B + cos C ỡù S = ù Cõu 445 ABC la tam giac gi nờu: ùớ ùù ( a + b + c) = 36 ùợ Cõu 446 ABC la tam giac gi nờu: a sin A + b sin B b sin B + c sin C c sin C + a sin A + + = sin A + sin B + sin C a+ b b+ c c+ a Cõu 447 ABC la tam giac gi nờu: a ( b + c - a ) + b ( a + c - b ) + c2 ( a + b - c ) sin B + 45 = 2abc ( Page 130 ) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Cõu 448 ABC la tam giac gi nờu: cos Cõu 449 Cõu 450 Cõu 451 Cõu 452 Cõu 453 A B C A B C cos cos - sin sin sin = 2 2 2 ỡù cos A + cos B + cos C = ù ABC la tam giac gi nờu: ùớ ùù cos2 A + cos2 B + cos2 C ùợ Cho ABC Chng minh: S = a sin 2B + b sin 2A Cho ABC Chng minh: A B C A B B C C A A B C t an + tan + t an + t an tan + tan tan + + tan tan = + t an t an t an 4 4 4 4 4 4 Cho ABC Chng minh: ( a + b ) cos C + ( b + c) cos A + ( c + a ) cos B = 2p Cho ABC Chng minh: A B C 3A 3B 3C cos A + cos B + cos C = + sin sin sin - sin sin sin 2 2 2 ( ) 3 Cõu 455 Cho ABC Chng minh: cos A + cos B + cos C Ê Cõu 454 Cho ABC Chng minh: sin A + sin B + sin C Ê Cõu 456 Cho ABC Chng minh: sin A sin B sin C Ê 3 Cõu 457 Cho ABC Chng minh: cos A cos B cos C Ê A B C Cõu 458 Cho ABC Chng minh: sin + sin + sin Ê 2 2 Cõu 459 Cho ABC Chng minh: cos A + cos B + cos C Ê 3 2 2 A B C Cõu 460 Cho ABC Chng minh: sin sin sin Ê 2 Cõu 461 Cho ABC Chng minh: cos A cos B cos C Ê 3 2 Cõu 463 Cho ABC Chng minh: cos2 A + cos2 B + cos2 C A B C Cõu 464 Cho ABC Chng minh: sin + sin + sin 2 A B C Cõu 465 Cho ABC Chng minh: < cos2 + cos2 + cos2 Ê 2 Cõu 462 Cho ABC Chng minh: sin A + sin B + sin C Ê Cõu 466 Cho ABC Chng minh: sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A Ê Cõu 467 Cho ABC Chng minh: cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A Ê " Cõn cu bu thụng minh" Page 131 Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Cõu 468 Cho ABC Chng minh: Cõu 469 Cho ABC Chng minh: Cõu 470 Cho ABC Chng minh: Cõu 471 Cho ABC Chng minh: Cõu 472 Cho ABC Chng minh: Cõu 473 Cho ABC Chng minh: Cõu 474 Cho ABC Chng minh: Cõu 475 Cho ABC Chng minh: 1 + + sin A sin B sin C 1 + + cos A cos B cos C 1 + + A B C sin sin sin 2 1 + + A B C cos cos cos 2 1 + + sin A sin B sin C 1 + + 12 2 cos A cos B cos C 1 + + 12 A B C sin sin sin 2 1 + + A B C cos cos cos 2 Cõu 476 Cho ABC Chng minh: t an A + t an B + t an C 3 Cõu 477 Cho ABC Chng minh: cot A + cot B + cot C A B C + t an + t an 2 A B C Cho ABC Chng minh: cot + cot + cot 3 2 Cho ABC Chng minh: ( a cos A + b cos B + c cos C ) Ê a + b + c Cho ABC Chng minh: R 2r Cho ABC Chng minh: p Ê 6R + 3r Cõu 478 Cho ABC Chng minh: t an Cõu 479 Cõu 480 Cõu 481 Cõu 482 Cõu 483 Cho ABC Chng minh: 8m a m b m c Ê 27R Cõu 484 Cho ABC Chng minh: cos A + cos B + cos C Ê Cõu 485 Cho ABC Chng minh: sin A sin B Ê cos2 Cõu 486 Cho ABC Chng minh: sin A + A cos + 3 + ( cos 3A + cos 3B + cos 3C ) C sin B + B cos + C cos sin C Ê1 + cos2 A + cos2 B + cos2 C + + sin B sin C sin A A B C + cos + cos + cos Cõu 488 Cho ABC Chng minh: + + > 3 a b c Cõu 487 Cho ABC Chng minh: Page 132 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ổ A B Cữ ữ - ỗ t an + t an + t an 3 ỗ Cõu 489 Cho ABC Chng minh: ữ A B C ỗ 4 4ữ ố ứ sin sin sin 2 Cõu 490 Cho ABC Chng minh: ( - cos A ) ( - cos B ) ( - cos C ) cos A cos B cos C + + sin A + sin B + sin C 1+ cos A + cos B + cos C a b c + + Cõu 492 Cho ABC Chng minh: ma mb mc Cõu 493 Cho ABC Chng minh: ổa ửổ ửổ c b b c a ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ + c + a + b 27abc ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ốcos A cos B ứốcos B cos C ứốcos C cos A ứ Cõu 494 Cho ABC co chu vi bng Chnh minh rng: 13 sin A + sin B + sin C + 8R sin A sin B sin C 4R Cõu 495 Cho ABC nhon Chng minh rng: sin A + sin B + sin C + t an A + t an B + t an C > 2p ổ1 1 ữ ỗ ữ t an A t an B t an C + + + Ê 21 ỗ Cõu 496 Cho ABC nhon Chng minh rng: ữ ữ ỗ ốcos A cos B cos C ứ Cõu 491 Cho ABC Chng minh: ( ) Cõu 497 Cho ABC Chng minh rng: ( 2R + a ) ( 2R + b ) ( 2R + c ) < 8R 3e 3 2 cos 3C - cos 2C + cos C Cõu 499 Cho ABC nhon thi ta luụn co: ( t an A + t an B + t an C ) + ( sin A + sin B + sin C ) > p 3 ổ A B Cữ A B C ữ t an + t an + t an + cot cot cot ỗ Cõu 500 Cho ABC nhon thi: ỗ ữ ỗ 2 2ữ 2 ố ứ Cõu 498 Cho ABC co < A ÊÊB C < 900 Chng minh rng: ====== HấT ====== " Cõn cu bu thụng minh" Page 133