TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn) A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Bài tốn 1: Khảo sát hàm số 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0) + TXĐ : D = ¡ + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac ∆/ ≤ ∆/ > y/ dấu với hệ số a y/ = có hai nghiệm x1; x2 •KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?  +∞ (a > 0) (ax3 + bx + cx + d ) =  + Giới hạn: • xlim →+∞  −∞ (a < 0) + Bảng biến thiên: a > 0: x -∞ +∞ x y’ + y’ y +∞ y -∞ a < 0: x -∞ y’ y +∞ +∞ x y’ - y -∞  −∞ (a > 0) (ax3 + bx + cx + d ) =  • xlim →−∞  +∞ (a < 0) -∞ + -∞ x1 yCĐ +∞ + +∞ yCT -∞ +∞ x2 x1 - + x2 yCĐ +∞ - yCT -∞ Chú ý : dù y/ = có nghiệm kép việc xét dấu + Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ? • b b Điểm uốn I(− 3a ;f(− 3a )) (giải pt y’’ = ) • điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox a>0 ; có CT a0,không CT a t = u(a) x=b => t = u(b)  I= Dạng 2: Tính I = b / ∫ f[u(x)]u dx a β ∫ f (x)dx α u(b) = ∫ f (t)dt u(a) Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a −x ; 2 a −x đặt x = asint a2 + x2 ; a + x2 đặt x = atant Bài tốn 3: Tìm ngun hàm phương pháp phần: (xem phần ngun hàm) Bài tốn 4: Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) (xem phần ngun hàm) Bài tốn 5: Tính tích phân hàm số hữu tỷ (xem phần ngun hàm) Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối Tính b ∫ f (x) dx a + Tìm nghiệm f(x) = Nếu f(x) = vơ nghiệm (a;b) có nghiệm x = a x = b Nếu f(x) = có nghiệm x = c ∈(a;b) b ∫ f (x) dx a = c b ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a c b ∫ f (x) dx a = b ∫ f (x)dx a *Chú ý: Nếu có nhiều nghiệm (a;b) dung cơng thức tùy theo trường hợp nghiệm (cách làm có lợi ta khơngcần xét dấu f(x)) Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng y • Hình phẳng giới hạn : hàm số y = f (x) liên tục [a;b]   trục hoành y = 0; x = a;x = b b Diện tích : S = ∫ | f (x) | dx a b a x Chú ý : nên giải pt : f(x) = [ a; b ] ( đặc biệt thiếu cận a, b) • Hình phẳng giới hạn :  hàm số y = f (x) liên tục [a; b]   hàm số y = g(x) liên tục [a; b] x = a; x = b  Diện tích : S = b ∫ | f (x) − g(x) | dx a y y=f(x) y=g(x) a b x Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính qua tổng hiệu nhiều hình Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số y = f (x) liên tục [a; b]  quay trục hoành y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox V = b π ∫ f (x) dx a Phần 6: Số phức Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi c+di a+bi = c+di  a = c; b = d mơđun số phức z = a + bi = a + b2 số phức liên hiệp z = a+bi z = a − bi (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i Bài tốn 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với ∆ = b2 − 4ac c + di z = a + bi = 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] a +b b Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép x1 = x = − 2a (nghiệm thực) −b ± ∆ Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực: x = 4a Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm phức x = −b ± i ∆ 4a B HÌNH HỌC Phần 7: Thể tích, diện tích khối hình Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) khối nón,trụ,cầu  Khối nón: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l)  Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)  Khối cầu: S = 4πr2 Bài tốn 2: Tính thể tích khối hình * Khối hình chóp V = Bh ; * Khối nón V = * Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V πr h = πr * Khối lăng trụ: V= Bh 1 abc a.ha = ab sin C = = pr = 2 4R * Diện tích tam giác: S = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) a+b+c : nửa chu vi tam giác.) ( R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.) ( p = Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng a,b,c: Phần 8: Phương pháp tọa độ khơng gian → a = (x;y;z) Tính chất : Tích Cho → a ⇔ → a = → → → i + y j + z k → a3) , b = (b1;b2; b3) x = (a1;a2; → → • a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) → • a k = (ka1;ka2;ka3) k∈R →→ → → vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos a1b1 + a 2b + a 3b3 Cos ϕ = → → a ⊥ b a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = Toạ độ điểm: → → M = (x;y;z)⇔ OM = x i + y • I trung điểm AB  x M =    yM =    zM =  ϕ → j + z → a → k phương → → → b ; a ≠ → b = ⇔ k → → a ⇔ a ∧ → b = → → AB = ( xB− xA ; yB−yA;zB −zA) • G trọng tâm tam giác ABC   x G = (x A + x B + x C )    yG = (y A + y B + yC )    zG = (z A + z B + zC )  xA + xB yA + yB zA + zB • Tích có hướng vectơ :  uur uur  a∧b=   a a3 a a1 a1 a ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2  ÷ ÷ ÷  *( → → a ^ b ) ⊥ → a ;( → → a ^ b ) ⊥ → b Bài tốn 1:Xác đònh điểm không gian , cm tính chất hình học Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện: Phần 9: Mặt cầu Bài tốn 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2 Phương trình mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2−D > có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A + B2 + C2 − D Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu (x1 − a) + (y1 − b) + (z1 − c) x A + x B yA − yB z A − z B ; ; ) • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = • Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I trung điểm AB => I( + Bán kính R = IA • Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p.pháp : (S): x2 + y2+ z2- 2.Ax- 2.By - 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng (α): bán kính R = d(I; (α)) Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng (α) : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 Nếu:• d(I; α ) > R α S điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R α tiếp xúc với S ( (α) mp tiếp diện) : (α) ∩ (S) ={M0} ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận → IM0 làm VTPT • d(I; α ) < R α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C): tâm H; bán kính r + Tâm H hình chiếu I lên mp α + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 → + Cách xác đònh H: + Lập pt đ thẳng d qua I nhận nα làmVTCP d  x = a + At  :  y = b + Bt z = c + Ct  thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: + Xác định tâm bán kính mặt cầu uuuu (S)r + Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận IM làm VTPT Bài tốn 5: Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng(α) + bán kính r = R − [ d(I ; ( α ) )]2 → Cách xác đònh H: + Lập pt đ thẳng d qua I nhận nα làmVTCP (d)  x = a + At   y = b + Bt z = c + Ct  thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H Phần 10: Mặt phẳng, đường thẳng r r r 1.Vectơ pháp tuyến mpα : n ≠ véctơ pháp tuyến (α) ⇔ giá n ⊥ (α) r r 2.Cách xác đònh VTPT mpα : a , b không phương có giá song song với (α) nằm (α) r r r n = a ∧ b r Pt mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = r (α) : Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến 5.Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z + + =1 a b c 6.Phương trình mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Bài tốn 1: cáchuuu viết phương trình mặt phẳng: r uuur AB = ? ; AC = ? * (ABC): + tính r uuur uuur + VTPT (ABC) n = AB ∧ AC r => viết mặt phẳng qua A có VTPT n Mặt phẳng xác định bởi: r uur uuur * (a,b) : a//b VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a; B ∈ b r uur uur Nếu a cắt b n = u a ∧ u b r uur uuur *(A;a) VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a uur uur * (α) //(β) VTPT n α = nβ uur uur * (α) ⊥ a VTPT n α = u a uuur uuur uuuur r *(α) qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP a n α = u a ∧ AB ( thay r a) uur uur uuur *(α) vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT n α = n P ∧ n Q * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB + Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB uuur +Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB uur uur uur * (α) song song đường thẳng vng góc với mặt phẳng n α = nβ ∧ u a * (α) chứa đ.thăng d ⊥(β) + chọn M đ.thẳng d uur uur uur + VTPT (α) n α = u d ∧ nβ Bài tốn viết phương trình đường thẳng r 1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) x = x o + a1t  d : y = y o + a t ; t ∈R z = z + a t  o 2.Phương trình tắc d *∆ qua điểm A có VTCP r u (d) : x − xo a = y − yo a2 = z-z a3 uuur Qui ước: Mẫu = Tư û= * ∆ qua điểm A B => ∆ qua A cóuurVTCP AB *∆ qua A // d => ∆ qua A có VTCP u d uur *∆ qua A ⊥(α) ∆ qua A có VTCP n α r uur uur * ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) VCTP ∆ u = n α ∧ nβ Bài tốn 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên (α) uur + Viết PT đ.thẳng d qua M có VTCP n α + giải hệ gồm pt(α)  pt d + Hình chiếu H giao điểm (α) d nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng d.uur + Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d + giải hệ gồm pt(α)  pt d + Hình chiếu H giao điểm (α) d nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp(α) uur + Viết PT đ.thẳng d qua M có VTCP n α + giải hệ gồm pt(α)  pt d + Hình chiếu H giao điểm (α) d nghiệm hệ / + Tọa độ điểm đối xứng A :  x = 2x H − x A   y = 2y H − y A  z = 2z H − z A (H trung điểm AA’) * Đối xứng qua đường thẳng d + Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT pt(α) uur ud + giải hệ gồm pt d  + Hình chiếu H giao điểm (α) d nghiệm hệ uur ua = / + Tọa độ điểm đối xứng A :  x = 2x H − x A   y = 2y H − y A  z = 2z H − z A (H trung điểm AA’) Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = → → với n =(A;B;C) n′ =(A/; B/ ; C/ ) (P) ≡ (Q) A A/ B C = B/ = C / = D D/ A B C D = B/ = C / ≠ D / A/ A B B C C A (P) cắt (Q) A / ≠ / ∨ B/ ≠ C / ∨ C / ≠ A / B → → / Chú ý :• α ⊥ α n n′ = AA/ + BB/ + CC/ → → • α cắt α/ n n′ không phương (P) // (Q) =0 * vị trí tương đối đ.thẳng d1 d2 Ta giải hệ gồm pt d1,d theo t t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) + hệ có nghiệm t t/ d1 cắt d2 => giao điểm + hệ có vơ số nghiệm t t/ d1 trùng d2 + hệ vơ nghiệm : Xác định VTCP → u =(a;b;c) → → u = k u ' ⇒ , → / / u / =(a ;b ; c/ ) d1 chéo d2 Ngược lại d1 // d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng d mặt phẳng (P) + thay PTTS đ.thẳng d vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t + PT vơ nghiệm d//mp(P) Nếu PT vơ số nghiệm d ⊂ (P) Nếu PT có nghiệm d cắt (P) =>giao điểm? Bài tốn 5: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D = d(A;(α)) = Ax + By0 + Cz0 + D A + B2 + C * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ( khơng có cơng thức tính chương trình phân ban) ta tính sau: + lập PT mp(Q) qua A vng góc với d + tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng d + khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH Bài tốn 6: Viết pt hình chiếu ∆ đ.thẳng d lên mp (P) ( trường hợp d cắt (P) ) + Tìm giao điểm A d (P) + Chọn M đ.thẳng d (M khác A) +Tìm hình chiếu M lên (P) H uuur + VTCP ∆ AH (d1) + ∆ qua A H nên viết pt Bài tốn 7: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG M Giả sử có hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình sau : x = x + a t  d : y = y + a t   z = z + a3t x = x ' + b t '  d : y = y ' + b t ' 2   z = z '0 + b3 t ' N (d2)  Lấy điểm M ∈ d1 ; N ∈ d2 M( x + a1t ; y + a2 t ; z0 + a3 t ) ⇒ MN = ( ) N( x + b1t ' ; y + b2 t ' ; z0 + b3 t ' ) uuuur uur uuuur uur MN ⊥ a MN.a =  MN ⊥ d   1 ⇔  uuuur uu1r ⇔  uuuur uur  MN đường vng góc chung :  MN ⊥ d MN ⊥ a2  MN.a2 =   Giải hệ phương trình (*) tìm t t’ Lấy t vào d1 có tọa độ M, t’ vào d2 có tọa độ N  Lập phương trình đường thẳng MN phương trình đường vng góc chung cần tìm Bài tốn 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp : Độ dài MN tốn khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp : B  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) song song với (d2)  qua điểm A ∈ (d 1)  mp(P) :  uur r r nβ = a ∧ b  Lấy điểm B ∈ (d2) tính khoảng cách từ B đến mp(P) : ( d d ,d ) = d ( B,(P)) = BH d1 d2 H P Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = ( ) d M ,(α) = Ax + By + Cz + D 0 A + B + C2 2 Chú ý: (Khi thi tốt nghiệp thí sinh làm theo kiến thức chương trình chuẩn ) Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao  a1 = kb1 r r  r r a b cùngphương ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2  a = kb  r r r r r r a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ R : c = ma + nb r r ( a , b khơng phương) uuur uuur AB AC − AB AC uuur uuur AB AC = ABAC sin A với cos A = uuur uuur AB AC  Diện tích: S ABC = S ABC ( )  Thể tích: VABCD = S ABC d ( D, ( ABC ) )  Thể tích khối hộp: VABCD.A’B’C’D’= S ABC d ( A ', ( ABC ) ) rr r r 1.Tính chất :  a, b  a ∧ b rr r rr r   a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b rr r r rr   a, b  = a b sin(a, b) rr r r r  a b phương ⇔  a, b  = rr r r r r  a , b , c đồng phẳng ⇔  a, b  c = 2.Các ứng dụng tích có hướng : uuur uuur  Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ] uuur uuur uuur  Thể tích tứ diệnVABCD= [ AB, AC ] AD  Thể tích khối hộp: uuur uuur uuur VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' Phần (bổ sung)  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0  Góc hai đường thẳng r a = (a1 ; a2 ; a3 ) uur (∆’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) r uur a a ' r uur a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 cosϕ = cos(a, a ') = r uur = a a' a12 + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP  Góc đường thẳng mặt phẳng r r (∆) qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp (∆) mp(α) rr sin ϕ = cos( a, n) = Aa1 +Ba +Ca A + B + C a12 + a22 + a32  x A + xB + xC + xD  x = G   y + y  A B + yC + y D  G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔  yG =  z A + z B + zC + z D   zG =   Chúc em ơn tập hiệu đạt kết tốt kỳ thi tới ! [...]... tứ diệnVABCD= [ AB, AC ] AD 6  Thể tích khối hộp: uuur uuur uuur VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' Phần (bổ sung)  Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0  Góc giữa hai đường thẳng r a = (a1 ; a2 ; a3 ) uur (∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) r uur a a ' r uur a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 cosϕ = cos(a, a ') = r uur = a a' a12 + a22... r r ( a , b khơng cùng phương) uuur uuur 2 1 AB 2 AC 2 − AB AC 2 uuur uuur AB AC 1 = ABAC sin A với cos A = uuur uuur 2 AB AC  Diện tích: S ABC = S ABC ( ) 1  Thể tích: VABCD = S ABC d ( D, ( ABC ) ) 3  Thể tích khối hộp: VABCD.A’B’C’D’= 2 S ABC d ( A ', ( ABC ) ) rr r r 1.Tính chất :  a, b  là a ∧ b rr r rr r   a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b rr r r rr   a, b  = a b sin(a, b) rr r r... a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 cosϕ = cos(a, a ') = r uur = a a' a12 + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 (∆) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng r r (∆) đi qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C ) Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α) rr sin ϕ = cos( a, n) = Aa1 +Ba 2 +Ca 3 A 2 + B 2 + C 2 a12 + a22 + a32  x A + xB + xC + xD  x = G  4  y + y  A B + yC + y D  G là trọng ... hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos a1b1 + a 2b + a 3b3 Cos ϕ = → → a ⊥ b a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = Toạ độ điểm: → → M = (x;y;z)⇔ OM = x i + y •... với cos A = uuur uuur AB AC  Diện tích: S ABC = S ABC ( )  Thể tích: VABCD = S ABC d ( D, ( ABC ) )  Thể tích khối hộp: VABCD.A’B’C’D’= S ABC d ( A ', ( ABC ) ) rr r r 1.Tính chất :  a, b... tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ] uuur uuur uuur  Thể tích tứ diệnVABCD= [ AB, AC ] AD  Thể tích khối hộp: uuur uuur uuur VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' Phần (bổ sung)  Gọiφ góc hai mặt phẳng