TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG XUÂN QUÝ ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẺ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • _ r Chuyên ngành: Đại sô Người hướng dẫn khoa học T h.s NGUYỄN THỊ BÌNH Hà Nôi - 2014 Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành trường Đại học Sư phạm HàNội Có khóa luận tốt nghiệp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt ThS Nguyễn Thị Bình trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt giúp đỡ em dẫn quý giá đế em nghiên cứu hoàn thành đề tài Với mong muốn viết khóa luận đầy đủ phong phú hữu ích cho người đọc em cố gắng lượng thời gian ít, kinh nghiệm thân dung lượng hạn chế nên không tránh khỏi sai sót chưa hoàn thiện Rất mong góp ý quý thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh phát triển Em xin chân thành cảm ơn! H N ộ i , n g y t h n g n ă m Sinh viên Hoàng Xuân Quý Khóa luận tốt nghiệp "ứng dụng số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phưong trình bất phương trình " hoàn thành hướng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Bình Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận ghi rõ nguồn gốc H N ộ i , n g y t h n g n ă m Sinh viên Hoàng Xuân Quý MỤC LỤC MỎ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nói chung, chiếm vị trí quan trọng việc dạy học trường học Qua toán học, người học nâng cao khả tư duy, suy luận việc vận dụng kiến thức vào môn học khác Và toán học giúp người học phát triển hoàn thiện nhân cách Chính lẽ việc lĩnh hội tiếp thu môn toán vấn đề mà không người dạy toán không quan tâm Trong chương trình toán học phố thông, đại số phận lớn mà hàm số, đặc biệt phép biến đổi đồ thị hàm số đóng vai trò quan trọng Vì việc hiểu nắm vững việc làm vô cần thiết, tiền đề cho người học tiếp tục học lên bậc cao Hơn nữa, ứng dụng phép biến đối đồ thị hàm số vấn đề sách giáo khoa nước đặc biệt quan tâm, phép tịnh tiến, đối xứng trục bổ sung phép co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc với nhiều ứng dụng Trong đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số giới hạn phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ cung cấp đơn giản sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, chưa nghiên cứu kĩ ứng dụng phép biến đối vào giải phương trình bất phương trình Trong xu hội nhập quốc tế nay, toán học cần hội nhập Hiện thị trường sách xuất Internet ngày có nhiều tác giả với tài liệu khác viết chủ đề Tuy nhiên, tài liệu dạng tập chưa thực phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa đầy đủ, đa dạng Vì việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức giải tập Với lí niềm say mê nghiên cứu bảo tận tình ThS Nguyễn Thị Bình em tập trung thực đề tài "ứng dụng số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình bất phương trinh " nhằm làm rõ vấn đề phân loại dạng tập Từ giúp học sinh có hệ thống tập phân loại rõ ràng, đáp ứng nhu cầu khác việc tự học học tập lóp,tiến tới hội nhập chương trình toán quốc tế Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phân loại ứng dụng số phép biến đổi đồ thị ánh xạ vào giải phương trình bất phương trình Làm rõ biến đối đồ thị hàm số số tập liên quan Đối tưọng nghiên cứu Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng giải phương trình bất phương trình tập liên quan Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu sau phân tích, so sánh, tống hợp, khái quát hóa Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị Chương 3: Một số ví dụ tập NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SÓ KIÉN THỨC co SỞ 1.1 Khái niệm hàm số Cho D œ R , D Một quy tắc f cho tương ứng X e D với y E R gọi hàm số Kí hiệu: f: D —» R x^y Tập D goi tập xác định hàm số Phần tử X gọi đối số (biến số) Phần tử y < = R tương ứng với X gọi giá trị hàm số X, kí hiệu y = f(x) Tập hợp T f = { f ( x ) I Vx e D ) gọi tập giá trị hàm số 1.2 Khái niệm đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) xác định D Ta gọi tập họp điểm (*>/(*)) với Vx G D đồ thị hàm số y = m Việc biểu diễn điểm (x,/(x)) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) lên mặt phang tọa độ Oxy gọi vẽ đồ thị hàm số 1.3 Một số đồ thị hàm số 1.3.1 Đồ thị hàm số lũy thừa a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6, } Hình 1.3.1.1 b) Hàm số lũy thừa bậc lẻ y = xn với n e {3,5,7, } Hình 1.3.1.2 a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6, } Hình 1.3.1.3 d) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc lẻ y = Xn với n E { , — 5, —3, —1} Hình 1.3.1.5 f) Hàm số bậc lẻ y = Xn với n e Ị - Hình 1.3.1.2 a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6, } Hình 1.3.2.1 Hình 1.3.1.2 a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6, } 1.3.3 Đồ thị hàm số mũ hàm logarit a) hàm y = ax Hình 1.3.3.1 b) Hàm y = loga X Hình 1.3.1.2 1 Hịx-iy=l-y il —x — l V D Y Ơ' c ' >4Î-Y-3Î = -y-14 uJ (1 ^ >4 —y— = 2x —14 u J -^->4^Iy-3j = 2(* + l)-14 = > y - \ = x - \ y = X = -2y-5 2.6 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị hàm số dạng: y = lf(x)l y = f (Ixl) Đồ thị hàm số y = lf(x)l y = f (Ixl) biến đối từ đồ thị hàm y = f ( x ) Hàm sô Sự biên đôi Các điêm y=\f(x)\ y = f(\x\) • Với phần đồ thị phía trục Ox, tức với y > 0, phần đồ thị không thay đổi • Với phần đồ thị phía trục Ox, tức với y < 0, lấy đối xứng phần đồ thị với trục Ox • Với J>>0:(x,;y)->(x,;y) • Với y 0, giữ nguyên phần đồ thị này, lấy đối xứng phần đồ thị với trục Oy >(x,-;y) • *>0:(x,;y)-»(+*,)>) Ví dụ 2.6.1 Dựng đồ thị hàm ỵ = x - x (C), từ dựng đồ thị hàm số: (a) ỵ=\x2-2x\ (b)y = \ x \ - \ x \ Lời giải: a) y =\ X - x \ Đồ thị hàm số y = \ x - x \ nhận từ việc biến đổi đồ thị (C): Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox, lấy đối xứng phần đồ thị phía Ox qua trục Ox Hình 2.6.1 b) y =lxl2 —21x1 (C’) Đồ thị (C’) nhận từ biến đổi đồ thị (C): + Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục Oy + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy lấy đối xứng phần đồ thị qua Oy Hình 2.6.2 Ví dụ 2.6.2: Cho hàm s ố ỵ X - 3* + X — \ = (C,) a) Khảo sát vẽ đồ thị (Ci) b) Tìm m đế phương trình có nghiêm phân biệt X -3x + = m +1 (1) X -1 Hướng dẫn: a) Vẽ đồ thị Hình 2.6.3 -3x + b) Vẽ đồ thị hàm ỵ = (C2) x-ì Đồ thị (C2) nhận từ đồ thị (Ci): Giữ nguyên phần đồ thị (Ci) phía Ox, Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (Ci) phía Ox bỏ phần đồ thị (Ci) phía Ox Đồ thị: X Biện luận: số nghiệm phương trình (1) số giao điếm đồ thị X -3x +6 hàm ỵ = đường thắng y = m +1 x — \ Từ đồ thị hàm số ta thấy đế phương trình có nghiệm phân biệt m +1 > m - > Kết luận: m > m m < -2 phương trình có nghiệm phân biệt CHƯƠNG 3.MỘT SÓ ví DỤ VÀ BÀI TẬP 3.1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 3.1.1: Đồ thị hàm số ỵ = — X2 + X suy từ đồ thị hàm số ỵ = x qua phép biến 12 đôi Hãy phép biên đôi vẽ đô thị hàm sô y = — x + x từ đồ thị hàm số y = x Lời giải: Tacó y = — X + x = — ( x +4x + 4)-l=— (x + 2) -1 4 Tức >’ = — ( x + T ỷ -1 => Các phép biến đổi là: Tịnh tiến đồ thị hàm y = X2sang trái đơn vị Co theo chiều dọc, hệ số — Tịnh tiến xuống đơn vị Tọa độ điểm thay đổi: (JC-2^- (x;y) (0;0) (-2;-l) (-2;4) (-4;0) (2;4) 1) -> —> -> —> (0;0) Ta có đồ thị hàm số cần vẽ: Hình 3.1.1 Ví dụ 3.1.2: Dựng đồ thị hàm số y -2Vl X từ đồ thị hàm số y = - = yfx , việc sử dụng phù hợp phép biên đôi Hướng dẫn: + Bước 4: vẽ đồ thị hàm số Hình 3.1.2 Ví dụ 3.1.3: Cho đồ thị hàm số ỵ = bàng phép đối xứng qua trục Ox X3 - x + \ (Ci), vẽ đồ thị hàm số sau: a) ỵ = — X + x +1 (C2) b) ỵ =1 xl3 -31 x \ +1 (C3) Hướng dẫn: a) y = - X + x + \ = (-x) - 3(-x) +1 Đồ thị (C2) đối xứng với đồ thị (Ci) qua trục Oy 3 Hình 3.1.3 b) Đồ thị (C3) nhận từ việc biến đổi đồ thị (Ci): Bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy (Ci), giữ nguyên phần đồ thị (Ci) bên phải trục Oy lấy đối xứng phần đồ thị qua Oy Hình 3.1.4 3.2 Dạng 2:ứng dụng phép biến đối giải phưong trình bất phương trình Ví dụ 3.2.1: Cho hàm số y = x - x + l (Ci), a) Khảo sát, vẽ đồ thị (Ci) b) Tìm m đế phương trình sau có nghiệm phân biệt: X3 — x + m — m — = Hướng dẫn: a) Vẽ đồ thị (C,) Hình 3.2.1 b) X3 - x + m - m - = X - x - ì = -2m + m +1 + Chứng minh đồ thị hàm ỵ = x — x — \ đối xứng với đồ thị (Ci) qua gốc toạ độ + Vẽ đồ thị hàm y = X - x - \ (hình 3.2.1) + Biện luận: số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm ỵ = x — 3x —ì đường y = -2m +m + ì o Phương trình cho có nghiệm phân biệt đường y = -2m + m +1 cắt đồ thị hàm ỵ = x - x - ì điểm phân biệt Từ đồ thị thấy: Phương trình có nghiệm phân biệt m = o -2 m + m +1 = m= m = — ±>/33 Ví dụ 3.2.2: Bằng phương pháp x -1 phương trình sau _ , _ ——7 + m - m + > u -1 đồ thị, chứng minh bất nghiệm với Vra e R Hướng dẫn: + Vẽ đồ thị hàm số y = + Vẽ đồ thị hàm s ố ỵ = 2x-ì x-ì 2x — ì \xì\ Hình 3.2.2 + Từ đồ thị hàm số, chứng minh bất phương trình nghiệm với Vra e R 2x — \ Từ đồ thị có: 77 > “2 với Vig/? Ix - \ I m2 - 2m + = (ra -1)2 + > với m ^ T——7 + m - m + > > với Vra G R (đpcm) \ x — Ví dụ 3.2.3: Cho hàm số y = - — x ĩ + X (C) 3 a) Khảo sát, vẽ đồ thị b) Tìm m đế bất phương trình sau có nghiệm: \ x \ + x - m - 4>0 (1) Hướng dẫn: Đồ thị: (Ci) X -10 - -6 -4 i Oi- 2- - 3- - (C) - 4- - Hình 3.2.3 a) Đặt y = /(x) = - ^ x + x - ^ , y = g ( x ) = l ị x P + x - ^ f ( x ) = - —X3 + X - — = > f ( - x ) = — X + X - — 3 3 => f (H)= lxf + *2 - = sW + Vẽ đồ thị hàm s ố ỵ = g ( x ) = f (|-jc|) = — \ x f + X - — (Cl): • Vẽ đồ thị hàm y = f ( - x ) • Vẽ đồ thị hàm y = f ( \ - x \ ) Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy, lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy bỏ phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy.(hình 3.2.3) + Biện luận: Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm với m Vậy bất phương trình cho có nghiệm với m KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp "ứng dụng số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình bất phương trình” Khóa luận làm rõ lý thuyết phép biến đổi,đưa dạng tập cụ đế hiếu rõ phép biến đôi ứng dụng giải, biện luận phương trình, bất phương trình [...]... MỘT SỎ PHÉP BIÉN ĐỎI ĐÒ THỊ 2.1.Sự biến đổi đồ thị Cho đồ thị của hàm số y = f(x): Neu biến X được thay thế bởi một hàm số của X (ví dụ X được thay bởi 2x), hoặc nếu biến y được thay thế bởi một hàm số của y (ví dụ y được thay thế bởi 3y+4), thì về mặt đồ thị, các đồ thị này sẽ tương ứng với sự biến đối của đồ thị hàm số y=f(x) 2.2 Phép tịnh tiến Cho đồ thị hàm số y = f(x): Đồ thị của các hàm số sauđược... thị hàm số y = X2, từ đó vẽ đồ thị hàm y = (x +1)2 Hướng dẫn: + Vẽ đồ thị hàm số y = X + Vẽ đồ thị hàm số y = (x+1)2 Đồ thị hàm số y = (x+1 Ý có dạng y = (x+a)2 với a > 0 nên đồ thị hàm >’ = (x + l)2 được suy ra từ đồ thị hàm y = X bằng cách tịnhtiến sang trái 1 2 đơn vị - 1- - - 2- - - 3- - Hình 2.2.1 (b) Vẽ đồ thị hàm y=x2 và y-l=x2 Hướng dẫn: + Vẽ đồ thị hàm y = X2 + Vẽ đồ thị hàm y - 1 = X2 từ đồ. .. m SỐ nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình 3(x 2)2 = 2 — m Số nghiệm phương trình 3 ( x - 2)2 = 2 - /72 bằng số giao điểm của đồ thị (C2) và đường thẳng y = 2 - m Từ đồ thị có: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2-m>0m 1 Do đó từ đồ thị hàm số y = X ta thực hiện 1 phép co theo hướng trục Ox với hệ số co là 2 a2 Toạ độ các điêm thay đôi: (x;y) -> (x/a;y) ( 0 ;0 ) -> ( 0 ;0 ) (1;1) -> ( 1/2;1) (2:4) -> (1;4) Ta có đồ thị: => Nhận... X +1 ■=> Đồ thị hàm y = g(x) đối xứng với đồ thị hàm y = f(x) qua gốc toạ độ Vẽ đồ thị hàm y = g (x) = X2 + 3x + 3 x + ì • Lây đôi xứng 2 tiệm cận của đô thị hàm y = f(x) qua gôc toạ độ ta được tiệm cận ứng X = -1 và tiệm cận xiên y = x+ 2 của đồ thị hàm y = g (x) • Lấy đối xứng 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm y = f(x) được 2 điểm cực đại, cực tiếu của đồ thị hàm y = g(x) • Vẽ đồ thị: hình... trị của X giảm 2 lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi Tức là giá trị X nhỏ đi hay đồ thị co lại theo chiều ngang Ví dụ 2.3.2: Vẽ đồ thị hàm số — = x 2 từ đồ thị hàm số Ỵ = x 2 4 Lời giải: Hàm số — = X2 có dạng a y = /(x) với f ( x ) = x 2 và a = — < 1 Do đó từ đồ thị hàm số y = Jt2 ta thực hiện 1 phép dãn theo hướng trục Oy với hệ số dãn là a = 4 'y2 Như vậy đô thị hàm sô — = X sẽ được vẽ... hình 2.4.3 Biện luận: số nghiệm của phương trình (3) bằng số giao điếmcủa đồ thị hàm ' số y = #(•*) = —— và đường thăng y = m x + ì 3x 3 » Từ đồ thị ta thấy • -1 < m < 3 phương trình vô nghiệm • m= -1 hoặc m = 3 phương trình có nhiệm duy nhất • me (-°°,-l)U(3,+oo) phương trình có 2 nghiệm phân Ví dụ 2.4.3: Cho hàm số y = x ~ + X +1 X +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Tìm m để bất phương trình sau luôn... đơn vị ta được đồ thị (C2) Ta có đồ thị: Hình 2.3.3 Ví dụ 2.3.4: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - Ị - ( 2 x ) 2 từ đồ thị hàm số ỵ = x 2 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau 4 x 2 - 2 m 2 + 6m = 0 (1 ) Hướng dẫn: a ) Vẽ đồ thị hàm y = — ( 2 x ) 2 + y = x2:= f ( x ) c ó đ ồ t h ị ( C) + ỵ = — ( 2 x ) 2 : = — f ( 2 x ) có đồ thị (C’) là đồ thị hàm số cần vẽ + T a c ó O < a = — < 1 : phép co theo... Phép phản xạ (phép đối xứng) Cho đồ thị của hàm số y = f(x), đồ thị của các hàm số sau là phản xạ từ đồ thị hàm y = f (x) Hàm sô y = f(-x) Sư biên đôi Đối xứng theo chiều ngang (Đối xứng theo trục Oy) -y = f(x) Đối xứng theo chiều dọc (Đối xứng theo trục Ox) Các điêm (x,y)->(-x,y) Điểm bất động: Mọi điểm thuộc trục Oy (x,y)->(*,-}>) Điểm bất động: Mọi điểm thuộc trục Ox Ví dụ 2.4.1: (a) Đồ thị của hàm. .. phép biến đổi hỗn hợp Cho đồ thị hàm số y = f (x), đồ thị của các hàm số y = f (ax + b) và [ay + b) = /(*) thu được bằng việc thực hiện trình tự các phép biến đối từ đồ thị hàm y = f (x) Với hàm soy = f (ax + b)(a, b > 0), sự biến đối được cho bên dưới theo thứ tự: i Tịnh tiến theo phương nằm ngang b đơn vị về phía bên trái, ii Co theo phương ngang với tỉ lệ phân so ez Ví dụ 2.5.1: Vẽ đồ thị hàm số y = ... loại ứng dụng số phép biến đổi đồ thị ánh xạ vào giải phương trình bất phương trình Làm rõ biến đối đồ thị hàm số số tập liên quan Đối tưọng nghiên cứu Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng. .. THỊ 2.1.Sự biến đổi đồ thị Cho đồ thị hàm số y = f(x): Neu biến X thay hàm số X (ví dụ X thay 2x), biến y thay hàm số y (ví dụ y thay 3y+4), mặt đồ thị, đồ thị tương ứng với biến đối đồ thị hàm. .. (a) Vẽ đồ thị hàm số y = X2, từ vẽ đồ thị hàm y = (x +1)2 Hướng dẫn: + Vẽ đồ thị hàm số y = X + Vẽ đồ thị hàm số y = (x+1)2 Đồ thị hàm số y = (x+1 Ý có dạng y = (x+a)2 với a > nên đồ thị hàm >’