PH PASS GIP P CON Nẩ PHN I S Ch 1: RT GN BIU THC Phn 1: Kin thc cn nh - Bẩy đẳng thức đáng nhớ: ( A + B) = A2 + A.B + B ( A B ) = A2 A.B + B A2 B = ( A + B ).( A B ) ( A + B )3 = A3 + A2 B + A.B + B ( A B )3 = A3 A2 B + A.B + B A3 + B = ( A + B ).( A2 A.B + B ) A3 B = ( A B ).( A2 + A.B + B ) - Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: + pp đặt nhân tử chung + pp sử dụng đẳng thức + pp nhóm hạng tử + pp phối hợp nhiều pp + pp tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử iu kin cn thc cú ngha A Cú ngha A Cỏc cụng thc bin i cn thc 1) 2) 3) A, A A2 = A = A, A < AB = A B ( A 0; B 0) A = B A B ( A 0; B > 0) 4) A2 B = A B 5) 6) A B = A2 B ( A 0; B 0) A B = A B ( A < 0; B 0) AB ( AB 0; B 0) ( B 0) 7) A = B B 8) A A B = B B 9) C C ( A mB ) = A B2 AB ( B > 0) ( A 0; A B ) PH PASS GIP P CON Nẩ C C( A m B ) = A B2 A B ( A 0; B 0; A B ) Phn 2: Mt s vớ d v bi tp: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 + 3+ 1 B= 24 + + 24 A= C = (2 + 3+ 3 ).(2 + ) +1 D = 15 6 + 33 12 E = 13 + 30 + + F= Vớ d 2: Cho M = (5 + 6).(49 20 6) 11 a a+6 3+ a a) Rỳt gn M b) Tỡm a M c) Tỡm giỏ tr ln nht ca M Gii a) K: a M= a a +6 = ( ( a + 3) a ) = a a +3 Vy vi a thỡ M = - a a a a b) M a a a a a Vy M a9 a +3 c) M = - a Vy Max M = a = Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức: PH PASS GIP P CON Nẩ a )2 2.( 2) + (1 + 2) = b)(4 + 15).( 10 6) 15 = c) + + = d ) (2 + 3).(2 3) : ( 2) = ( + 2) Bi dng Bi 1: Rỳt gn biu thc 3+ 5 P= 10 + + 10 + Bi 2: Rỳt gn biu thc a) A = 4+ b) B = + 10 + + 10 + c) C = + 15 + 15 Vớ d 4: Cho biu thc a 25a 25 a a a + : M = a 25 a + a 10 a a + a) Rỳt gn M b) Tỡm giỏ tr ca a M < c) Tỡm giỏ tr ln nht ca M Gii a) K: a 0; a 4; a 25 M= M= M= ( a ( a 5 a +5 )( ( ) ( 25 a a +5 )( a ) + a a a + a + 25 a + a 25 a + a +5 a a +5 a = 4a a +2 : a +5 ) : a +5 a ( )( )( ) ) Vy vi a 0; a 4; a 25 thỡ M = b) M < a +2 3 a >9 Vy vi a > 9; a 25 Thỡ M < c) M t giỏ tr ln nht a +2 ln nht a + nh nht Vy vi a = thỡ M t giỏ tr ln nht Bi dng Bi 1: Cho biu thc 15 x 11 x 2 x + + P= x +3 x + x 1- x a) Rỳt gn P b)Tỡm cỏc giỏ tr ca x cho P = c) Chng minh P 2 Bi 2: Cho biu thc 3a + 9a a +1 a + P= a+ a a + a a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a P nguyờn Bi 3: Cho biu thc a : + P= a a a a +1 a a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr P a = + 2 c) T ỡm cỏc giỏ tr ca a cho P < Bi 4: Cho biu thc x 8x x + : P = x 2+ x x x x a) Rỳt gn P b) Tớnh x P = -1 c)T ỡm m vi mi giỏ tr x >9 ta cú m( x - 3)P > x + Bi 5: Cho biu thc a =0 PH PASS GIP P CON Nẩ x x + y + xy : + P= xy + y x + y y x + y xy + x xy a) Tỡm x, y P cú ngha b) Rỳt gn P c) Tỡm giỏ tr ca P vi x = 3, y = - Bi 6: Cho biu thc : a) Rỳt gn A b) Tỡm x cú giỏ tr nguyờn A nhn giỏ tr nguyờn Bi 7: Cho biu thc P= x+2 x +1 x +1 + x x x + x +1 x a) Rỳt gn P b) Chng minh: P < vi x vi x Bi 8: Cho biu thc x x + x P= x x + x + a) Rỳt gn P b) Chng minh rng nu < x < thỡ P > c) Tỡm GTLN ca P Bi 9: Chng minh giỏ tr ca biu thc 2x x +1 x + 10 + + P= x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 Khụng ph thuc vo bin s x Bi 10: Cho biu thc x x +1 x A = x : x + x x vi x>0 vx1 x a) Rỳt gn A b) Tỡm giỏ tr ca x A = Bi 11: Cho biu thc PH PASS GIP P CON Nẩ a+ b a b a + b + 2ab + : 1+ ab + ab ab M= a) Rỳt gn M b) Tớnh giỏ tr ca M vi a = 2 c) Tỡm giỏ tr ln nht ca M Bi 12: Cho biu thc x2 x 2x + x 2(x 1) + P= x + x +1 x x a) Rỳt gn P b) Tỡm GTNN ca P c) Tỡm x biu thc Q = x nhn giỏ tr l s nguyờn P Bi 13: Cho biu thc 2x x + x x x + x x x + P = x 2x + x x x x a) Tỡm x P cú ngha b) Rỳt gn P c) Vi giỏ tr no ca x thỡ biu thc P t GTNN v tỡm GTNN ú Bi14:Chobiuthc x x+3 x P = x +1 x + x +1 : +1 x x a) Rỳt gn P b) Tỡm giỏ tr ln nht ca P Bi 15: Cho biu thc A=( x + x2 ) x2 x +1 a) Tỡm iu kin ca x A cú ngha b) Rỳt gn biu thc A c) Gii phng trỡnh theo x A = -2 Bi 16: Cho biu thc PH PASS GIP P CON Nẩ A=( x+x x x x +2 ) : x x + x + a) Rỳt gn A b) Tớnh giỏ tr ca A x = + Bi 17: Cho biu thc A= x +1 : x x +x+ x x x a) Rỳt gn biu thc A b) Coi A l hm s ca bin x, v th hm s A Bi 18: Cho biu thc 1 A= + ữ: ữ+ 1- x + x x + x x a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca A x = + c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht Bi 19: Cho biu thc a a a a +1 a + ữ ữ: a a a+ a a2 M = a) Vi giỏ tr no ca a thỡ M xỏc nh b) Rỳt gn M c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ M cú giỏ tr nguyờn Bi 20: Cho biu thc P= 1+ a 1+ a + + a + a 1+ a 1+ a 1+ a a) Rỳt gn biu thc P b) Chng minh rng biu thc P luụn dng vi mi a Bi 21:Cho biu thc a +1 a 1 + a a A = a a +1 a a) Rỳt gn A PH PASS GIP P CON Nẩ b) Tớnh A vi a=(4 + 15 )( 10 - ) 15 Bi 22: Cho biu thc P= a +3 a a + 4a a a+2 (a>0;a 4) a) Rỳt gn biu thc P b) Tớnh giỏ tr ca P A = Bi 23: Cho biu thc P= 1+ x 1+ x + + x + x 1+ x + 1+ x 1+ x a) Rỳt gn P b) So sỏnh P vi Bi 24: Cho biu thc + P= x +1 x x +1 x x +1 a) Rỳt gn P b) Chng minh: P Bi 25: Cho biu thc P= a a + a +1 a5 a +6 a a a) Rỳt gn P b) a = ? thỡ P < c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ P nguyờn * * * Ch 2: H PHNG TRèNH I H phng trỡnh bc nht mt n: Phn I : Kin thc cn nh ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Dng tng quỏt : PH PASS GIP P CON Nẩ S cỏc nghim ca h: a b H cú nghim nht a ' b' a b c + Nu = H vụ nghim a ' b' c ' a b c + Nu = = H cú vụ s nghim a ' b' c ' + Nu Cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh: Phng phỏp th: - T mt phng trỡnh ca h biu th mt n (chng hn n x) theo n - Thay biu thc ca x vo phng trỡnh cũn li tỡm y - Thay y va tỡm c vo biu thc ca x tỡm x KL : Nghim ca h l cp giỏ tr (x; y) va tỡm c Vớ d : Gii cỏc h phng trỡnh sau : x + y = x+ y =3 (1) (2) a) T phng trỡnh (2) ta cú: x = y (*) Thay x = y vo phng trỡnh (1) ta c : 2(3 - y) + 3y = 6 2y + 3y = y = Thay y = vo phng trỡnh (*) ta c : x = x = y = Vy nghim ca h l: 2x + y = x y = (1) (2) b) T phng trỡnh (1) ta cú : y = 2x (*) Thay y = 2x vo phng trỡnh (2) ta c : 4x (5 2x) = 4x -25 + 10x = 14x = 28 x = Thay x = vo (*) ta c : y = 2.2 y = x = y =1 Vy nghim ca h l : Phng phỏp cng : - Bin i cỏc h s ca cựng mt n cho cú giỏ tr tuyt i bng - Cng hoc tr tng v ca h kh i mt n - Gii phng trỡnh tỡm n cha kh - Thay giỏ tr vo mt phng trỡnh ca h tỡm n cũn li KL : nghim ca h l cp giỏ tr (x; y) va tỡm c Vớ d 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau : PH PASS GIP P CON Nẩ x + y = 14 x + y = a) (1) ( 2) Cng tng v ca h ta c : 5y = y = Thay y = vo phng trỡnh (1) ta c : x + 2.1 = 14 x = 12 Vy nghim ca h l (x; y) = (12; 1) x + y = 11 5x + y = (1) b) ( 2) Tr tng v ca h ta c : -8x = x = Thay x = -1 vo phng trỡnh (2) ta c: 5.(-1) + 4y = 4y = y = x = y=2 Vy nghim ca h phng trỡnh l : Chỳ ý : ax + by = c a ' x + b' y = c ' Vi h phng trỡnh +Nu a = a hoc b = b ta nờn s dng phộp cng tng v +Nu a = -a hoc b = -b ta nờn s dng phộp tr +Nu cỏc h s a; a; b; b bng hoc -1 thỡ ta nờn dựng phng phỏp th + Nu cỏc h s a; a; b; b khỏc v khụng cú giỏ tr tuyt i bng thỡ ta i tỡm BCNN (a;a) hoc BCNN (b; b) Chỳ ý : Vi bi dng tỡm iu kin ca tham s nghim ca h tho mt iu kin no ú ta lm nh sau: + Coi tham s nh s ó bit + Gii h phng trỡnh tỡm nghim (x; y).Nghim (x; y) ph thuc vo tham s + Gii cỏc phng trỡnh (Bt phng trỡnh) ca biu thc cha tham s Vớ d 3: Gii cỏc h phng trỡnh sau : x + y = x y = 12 a) (1) ( 2) Gii x + y = x y = 36 Nhõn phng trỡnh (1) vi 2, nhõn phng trỡnh (2) vi ta c : Cng tng v ca h ta c : 17x = 34 x = Thay x = vo phng trỡnh (1) ta c : 4.2 + 3y = -1 y = y = x=2 y = Vy nghim ca h phng trỡnh l : 10 Ch NG TRềN I.TIấP TUYấN CUA NG TRON INH NGHIA: Đờng thẳng a gọi tiếp tuyến (O) Điểm C gọi tiếp điểm OA a OA = R O a A TINH CHT: T/C 1:Đờng thẳng a gọi tiếp tuyến (O) OC a OH = R T/C 2: MA , MB hai tiếp tuyến cắt M B, A hai tiếp điểm a/ MA=MB ả 1=M ả b/M c / O = O B O 2 A M CAC CACH CHNG MINH * Cach 1: (theo inh nghia) OC a OH = R Đờng thẳng a gọi tiếp tuyến (O) Điểm C gọi tiếp điểm * Cach 2: Đờng thẳng a ct (O) tai C vaOC a Đờng thẳng a gọi tiếp tuyến (O) * Cach 3: (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) ã ằ Ax tiếp tuyến Cho Dây AB (O; R), BAx = sđ AB Vớ d 1: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Lời giải: (HD) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2) Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => Bà = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Vớ d 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK C2 + I1 = 900 (2) ( Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn IHC = 900 ) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B Do BI BK hayIBK = 900 Tơng tự ta có ICK = 900 nh B C nằm đờng tròn đờng kính IK B, C, I, K nằm đờng tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = CH 12 = = (cm) AH 16 OC = OH + HC = + 12 = 225 = 15 (cm) BI TP: Bi : Cho (O ; R) cú hai ng kớnh AB , CD vuụng gúc , trờn on OA ly M tựy ý tia CM ct (O) ti N ng thng vuụng gúc AB ti M ct tip tuyn ti N ca (O) P a) Chng minh : T giỏc OMNP ni tip b) Chng minh : CM CN = 2R c) Chng minh : T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đờng vuông góc từ S đến AB Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh PSM cân 2.Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn PM tiếp tuyến đờng tròn M II VI TRI TNG ễI CUA HAI NG TRON * Cac vi tri tng ụi cua hai ng tron: Vớ d Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến (O) Lời giải: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì hai góc kề bù); DE AB M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đờng kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo BI DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đờng thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; OIC cân O ( OC OI bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI I => MI tiếp tuyến (O) Vớ d Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF Hãy xác định vị trí tơng đối đờng tròn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? Chứng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn Lời giải: 1.(HD) OI = OB IB => (I) tiếp xúc (O) OK = OC KC => (K) tiếp xúc (O) IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K) Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AEH = 900 (vì hai góc kề bù) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) BAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn hay EAF = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) Theo giả thiết ADBC H nên AHB vuông H có HE AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF AC (theo CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE AB = AF AC ( = AH2) Theo chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật, gọi G giao điểm hai đờng chéo AH EF ta có GF = GH (tính chất đờng chéo hình chữ nhật) => GFH cân G => F1 = H1 KFH cân K (vì có KF KH bán kính) => F2 = H2 => F1 + F2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHC = 900 => F1 + F2 = KFE = 900 => KF EF Chứng minh tơng tự ta có IE EF Vậy EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) (K) e) Theo chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật => EF = AH OA (OA bán kính đờng tròn (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA AH = OA H trùng với O Vậy H trùng với O túc dây AD vuông góc với BC O EF có độ dài lớn *BI TP: Bi 1: Cho đờng tròn (O; R) (O; R) có R > R tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua điểm C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O) F, BD cắt (O) G Chứng minh rằng: Tứ giác MDGC nội tiếp Bốn điểm M, D, B, F nằm đờng tròn Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O) BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CGD = 900 (vì hai góc kề bù) Theo giả thiết DE AB M => CMD = 900 CGD + CMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD tứ giác nội tiếp Lời giải: BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB M) nh F M nhìn BD dới góc 900 nên F M nằm đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F nằm đờng tròn Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đờng kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DF ; theo tứ giác ADBE hình thoi => BE // AD mà AD DF nên suy BE DF Theo BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF DF mà qua B có đờng thẳng vuô ng góc với DF đo B, E, F thẳng hàng Theo DF BE; BM DE mà DF BM cắt C nên C trực tâm tam giác BDE => EC đờng cao => ECBD; theo CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo DF BE => DEF vuông F có FM trung tuyến (vì M trung điểm DE) suy MF = 1/2 DE ( tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền) (HD) theo MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân M => D1 = F1 OBF cân O ( OB OF bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng phụ với DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mà F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO hay MF OF F => MF tiếp tuyến (O Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) 1.Chứng minh EC = MN 2.Ch/minh MN tiếp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K) 3.Tính MN 4.Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Chứng minh đờng tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chứng minh AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bi Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn tõm O T A v B k cỏc tip tuyn vi ng trũn chỳng ct ti S ; K l mt im lu ng trờn cung nh AC Trờn on BK ly mt im H cho KH = KC a)Chng minh t giỏc SAOB ni tip ; b)Tớnh gúc ASB ; c)Chng t KHC u Bi Cho (O) ; ng kớnh AB = cm Ly im C trờn (O) cho gúc CAB = 30 , tia CO ct (O) ti D Tớnh : ẳ a/ di cung nh BmD b/ Din tớch hỡnh qut trũn OBmD Bi Cho ABC cú = 90 ; AB < AC ; ng cao AH trờn HC ly im D cho HD = HB K CE AD ( E AD ) CMR : a/ T giỏc AHEC ni tip Xỏc nh tõm O ca ng trũn ny b/ AB l tip tuyn ca (O) ã c/ CH l phõn giỏc ca AEC d/ Tớnh S hỡnh gii hn bi cỏc on thng CA ; CH v cung nh AH ca (O) ã Bit AC = cm ; ACB = 30 Bi Cho u BCD ngoi tip (O ;R).Gi M ; N l cỏc tip im trờn BC ; BD Tia OB ct (O) I a) Chng minh rng BMON l t giỏc ni tip b) Chng minh I l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc BMON c) Tớnh di cung nh MN ca ( O ) d) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on thng BM ; BN v cung nh MN núi trờn III GOC VA NG TRON GOC TM GOC NễI TIấP GOC TAO BI TIA TIấP TUYấN VA MễT DY GOC CO INH BấN TRONG,GOC CO INH BấN NGOAI NG TRON Vỡ d 1: Cho ng trũn (O) v mt im P ngoi ng trũn K hai tip tuyn PA, PB (A; B l tip im) T A v tia song song vi PB ct (O) ti C (C A) on PC ct ng trũn ti im th hai D Tia AD ct PB ti E a Chng minh EAB ~ EBD B b Chng minh AE l trung tuyn ca PAB ã E HD: a) EAB ~ EBD (g.g) vỡ: BEA chung ã ã = EBD (gúc ni tip v gúc to bi tia tip tuyn) EAB O P EB ED D EB2 = EA.ED (1) = C EA EB ã ã ã ã * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (gúc ni tip v gúc to bi tia tip A tuyn) ã ã ã EPD = EAP ; PEA chung EPD ~ EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)T & EB2 = EP2 EB = EP AE l trung tuyn = EA EP PAB Vớd 2: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai ng kớnh AB, CD vuụng gúc vi M l mt im tu ý thuc cung nh AC Ni MB, ct CD N a Chng minh: tia MD l phõn giỏc ca gúc AMB b Chng minh:BOM ~ BNA Chng minh: BM.BN khụng i c Chng minh: t giỏc ONMA ni tip Gi I l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc C ONMA, I di ng nh th no? ã ã HD: a) AMD = DMB = 450 (chn cung ẳ /trũn) ã MD l tia phõn giỏc AMB M F b) OMB cõn vỡ OM = OB = R(O) N I NAB cõn cú NO va l /cao va l ng trung tuyn B A OMB ~ NAB E O BM BO BM.BN = BO.BA = 2R khụng i = BA BN c) ONMA ni tip /trũn /k AN Gi I l tõm /trũn ngoi tip I cỏch u A v O c nh I thuc ng trung trc OA D Gi E v F l trung im ca AO; AC Vỡ M chy trờn cung nh AC nờn hp I l on EF TRC NGHIM: Chn kt qu ỳng nht cỏc cõu sau : Cõu 1) di cung trũn 300 ca ng trũn ng kớnh 12cm l : A ; B ; C ; D Cõu 2) Cho hỡnh vuụng ni tip ng trũn ( O ; R ) thỡ chu vi hỡnh vuụng bng : B 4R ; C 4R ; A 2R ; D 6R Cõu 3) Cho ng trũn ( O ) cú gúc AOB bng 30 ( A v B thuc (O) ) thỡ s o ca cung ln AB bng : A 600 ; B 3300 ; C 300 ; D 1650 Cõu 4) Cho ng trũn ( O ) cú gúc DEF bng 400 ( D; E; F thuc (O) ) thỡ s o ca cung DEF bng : A 2800 ; B 3200 ; C 1400 ; D 800 Cõu 5) Hai tip tuyn ti hai im A , B ca mt ng trũn (O) ct ti M v to thnh gúc AMB cú s o bng 500 thỡ s o ca gúc tõm chn cung AB l : A 500 ; B 400 ; C 1300 ; D 3100 Cõu 6) Cho ng trũn ( O ) cú hai dõy cung AC v BD ct ti M S o cỏc cung AB, BC v CD ln lt l : 1000 ; 300 ; 600 thỡ s o ca gúc AMD bng : A 700 ; B 500 ; C 600 ; D 1000 Cõu 7) Cho ( O ; 5cm ) thỡ din tớch ca hỡnh trũn ( O ) bng A ( cm2 ) ; B 25 ( cm2 ) ; C 25 ( cm2 ) ; D 10 ( cm2 ) ằ = 1200 thỡ di cung AB l : Cõu 8) Cho ( O ; 5cm ) cú s AB A 10 ; B 10 ; C ; D Cõu 9) ng trũn ( O ; R) cú dõy cung AB = R thỡ s o cung nh AB l : A 1500 ; B 600 ; C 1200 ; D 300 Cõu 10) Cho ng trũn (O ; 4cm) cú dõy cung AB = R Din tớch hỡnh qut OAB l : 16 cm ; B 12 cm ; C 10 cm ; D cm A Cõu 11) Bỏn kớnh hỡnh trũn l bao nhiờu nu cú din tớch 36 (cm2) c 4cm b 6cm c 3cm d 5cm Cõu 12)4 Mt hỡnh trũn cú chu vi l (cm) thỡ din tớch l : a (cm2) b (cm2) c (cm2) d (cm2) BI TP Bài Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Bi ằ = Trờn na ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R, ly hai im C v D cho :s CD 600 ằ ) AD ct BC ti E ( C AD ã a/ Tớnh AEC b/ T E k EH AB ( H AB ) Chng minh t giỏc AHEC ni tip ng trũn ( I ) c/CMR: CB l tia phõn giỏc ca gúc HCD d/Tớnh S hỡnh viờn phõn gii hn bi cung CD v dõy CD theo R Bi Cho ABC nhn ni tip ng trũn ( O ), cỏc ng cao BE , CF a) Chng minh t giỏc BFEC nụi tip Xỏc nh tõm I ca ng trũn ngoi tip t giỏc b) K tip tuyn xAx Chng minh xx // EF Bài Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH 3.Chứng minh OD tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp BDE IV T GIAC NễI TIấP INH NGHIA Tứ giác ABCD có : đỉnh A , B , C , D (O) Tứ giác ABCD gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (O) TINH CHT T giỏc ABCD ni tip (O) suy ra: OA = OB =OC =OD +C =B +D = 1800 A CAC CACH THNG DNG CHNG MINH: Cỏch 1: OA = OB =OC =OD Tứ giác ABCD gọi tứ giác nội tiếpđờng tròn +C = 1800 ( B +D = 1800 ) Tứ giác ABCD gọi tứ giác nội tiếpđờng tròn Cỏch 2: A ã ã Cỏch 3: DAC ; im A,B cựng nhỡn DC di 1gúc khụng i Tứ giác ABCD gọi = DBC tứ giác nội tiếpđờng tròn Vớ d Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gọi E giao điểm AC BM Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp Chứng minh NE AB Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đờng tròn (B; BA) N F _ / M _ C / E A O H B Lời giải: (HS tự làm) (HD) Dễ thấy E trực tâm tam giác NAB => NE AB 3.Theo giả thiết A N đối xứng qua M nên M trung điểm AN; F E xứng qua M nên M trung điểm EF => AENF hình bình hành => FA // NE mà NE AB => FA AB A => FA tiếp tuyến (O) A Theo tứ giác AENF hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC BN => FN BN N BAN có BM đờng cao đồng thời đờng trung tuyến ( M trung điểm AN) nên BAN cân B => BA = BN => BN bán kính đờng tròn (B; BA) => FN tiếp tuyến N (B; BA) CAC BAI TP TễNG HP Bi Cho ABC u, ng cao AH Qua A v mt ng thng v phớa ngoi ca tam giỏc, to vi cnh AC mt gúc 400 ng thng ny ct cnh BC kộo di D ng trũn tõm O ng kớnh CD ct AD E ng thng vuụng gúc vi CD ti O ct AD M a Chng minh: AHCE ni tip c Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú b Chng minh: CA = CM c ng thng HE ct ng trũn tõm O K, ng thng HI ct ng trũn tõm I N v ct ng thng DK P Chng minh: T giỏc NPKE ni tip Suy v trớ im A tng (EF + FD + DE) t GTLN Bi Cho ng trũn tõm (O; R) cú AB l ng kớnh c nh cũn CD l ng kớnh thay i Gi () l tip tuyn vi ng trũn ti B v AD, AC ln lt ct () ti Q v P a Chng minh: T giỏc CPQD ni tip c b Chng minh: Trung tuyn AI ca AQP vuụng gúc vi DC c Tỡm hp cỏc tõm E ca ng trũn ngoi tip CPD Bi < 900), mt cung trũn BC nm bờn ABC tip xỳc vi Cho ABC cõn (AB = AC; A AB, AC ti B v C Trờn cung BC ly im M ri h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng BC, CA, AB Gi Q l giao im ca MB, IK a Chng minh: Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c ã b Chng minh: tia i ca tia MI l phõn giỏc HMK c Chng minh: T giỏc MPIQ ni tip c PQ // BC Bi 4: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB, C l trung im ca cung AB; N l trung im ca BC ng thng AN ct na ng trũn (O) ti M H CI AM (I AM) a Chng minh: T giỏc CIOA ni tip c ng trũn b Chng minh: T giỏc BMCI l hỡnh bỡnh hnh ã ã c Chng minh: MOI = CAI d Chng minh: MA = 3.MB Bi 5: BC l mt dõy cung ca ng trũn (O; R) (BC 2R) im A di ng trờn cung ln BC cho O luụn nm ABC Cỏc ng cao AD; BE; CF ng quy ti H a Chng minh:AEF ~ ABC b Gi A l trung im BC Chng minh: AH = 2.AO c Gi A1 l trung im EF Chng minh: R.AA1 = AA.OA d Chng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC Bi Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn ( O ) ng trũn ng kớnh BC ct AB ti E, ct AC ti F, CE ct BF ti K a/CM: t giỏc AEKF ni tip b/ BF kộo di ct ng trũn ( O ) ti I Chng minh CI = CK c/ CE kộo di ct ( O ) ti H Chng minh IH // EF d/ Chng minh : OA HI Bi T im A trờn ng trũn (O ; R) t liờn tip im A B, C cho s cung AB = 900 ; s cung BC = 300 K AH vuụng gúc vi ng thng BC a) Chng minh t giỏc AHBO ni tip b) Chng minh HA = HC c) Tớnh theo R di cỏc on thng AB, BH d) Trờn cung ln AC , ly im D Gi I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ACD Khi im D chy trờn cung ln AC thỡ im I chy trờn ng no Bi Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn tõm O T A v B k cỏc tip tuyn vi ng trũn chỳng ct ti S K l mt im lu ng trờn cung nh AC Trờn on BK ly mt im H cho KH = KC a)Chng minh t giỏc SAOB ni tip b)Tớnh gúc ASB c) Chng t KHC u d) Khi im K chy trờn cung nh AC thỡ im H chy trờn ng no ? [...]... + Vi a > 0 : - Hm s ng bin nu x > 0 - Hm s nghch bin nu x < 0 + Vi a < 0 : - Hm s ng bin nu x < 0 - Hm s nghch bin nu x > 0 2 th : L mt ng cong (Parabol) nhn trc tung l trc i xng, tip xỳc vi trc honh ti gc to + Nm phớa trờn trc honh nu a > 0 + Nm phớa di trc honh nu a < 0 3 S tng giao ca th hm s bc nht y = ax + b (d) vi th hm s y = ax2 (P): +Nu (d) ct (P) ti hai im phõn bit úpt hoành độ giao điểm... CON Nẩ III Cỏc bi toỏn v lp phng trỡnh ng thng: 1 Bi toỏn 1: Lp phng trỡnh ng thng cú h s gúc k cho trc v i qua im M (x0; y0): Cỏch gii: - Nờu dng phng trỡnh ng thng : y = ax + b - Thay a = k v to im M (x0; y0) vo phng trỡnh ng thng tỡm b Phng trỡnh ng thng cn lp Vớ d1: Lp phng trỡnh ng thng i qua M (2;-3) v song song vi ng thng y = 4x -GiiGi s phng trỡnh ng thng cn lp cú dng y = ax + b(a 0) song... 3: Lp phng trỡnh ng thng cú h s gúc k v tip xỳc vi ng cong y = ax2 (P) Cỏch gii : + Nờu dng phng trỡnh ng thng : y = ax + b (a 0) (d) + Theo bi ra a = k + Vỡ (d) tip xỳc vi (P) nờn phng trỡnh: 26 PH PASS GIP P CON Nẩ ax2 = kx + b cú nghim kộp ú = 0 (*) Gii (*) tỡm b Thay vo (d) ta c phng trỡnh ng thng cn lp Vớ d 3: Lp phng trỡnh ng thng song song vi ng thng y = 2x + 1 v tip xỳc vi parabol y = -x2... ti im cú tung 1 - 2 v ct trc honh ti im cú honh l 2 + 2 Bi 8: Cho parabol y = ax2 (P) a) Xỏc nh a th hm s i qua A(-2; 8) b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a ng thng y = -x + 2 tip xỳc vi (P) Bi 9: Cho parabol y = x2 4x + 3 (P) a) Vit phng trỡnh ng thng i qua A (2; 1) v cú h s gúc k 28 PH PASS GIP P CON Nẩ b) CMR ng thng va lp luụn ct (P) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca k Bi 10: Cho parabol y = x2 (P) v ng... = ( x ) 2 + Vy Max P = 1 1 x= 4 4 Bi 13: Chng minh giỏ tr ca biu thc 2x 5 x +1 x + 10 + + P= x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 Khụng ph thuc vo bin s x -GiiK : x > 0 34 1 4 PH PASS GIP P CON Nẩ Ta cú P = 2x 5 x +1 x + 10 + + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 3) ( x + 2)( x + 3) P= 2 x x + 12 x + 22 x + 12 ( x + 1)(2 x + 10 x + 12) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) ( x + 1)( x + 2)( x + 3) P= 2.( x + 2)( x + 3)... PH PASS GIP P CON Nẩ b)Tỡm mt biu thc liờn h gia cỏc nghim khụng ph thuc v m c)Tỡm cỏc giỏ tr ca m hai nghim x1, x2 ca phng trỡnh tho món h thc x1 x2 5 + = x2 x1 2 Ch 4: HM S V TH Phn I : Kin thc cn nh: I Hm s bc nht : 1 Dng tng quỏt: y = ax + b (a 0 ) 2 Tớnh cht : + ng bin nu a > 0 + Nghch bin nu a < 0 3 th : L mt ng thng ct trc tung ti im cú tung bng b, ct trc honh ti im cú hong bng b a 4... - Gii Gi s phng trỡnh ng thng cn lp cú dng: y = ax + b song song vi ng thng y = 2x + 1 a = 2 Tip xỳc vi parabol y = -x2 nờn phng trỡnh : -x2 = 2x + b cú nghim kộp ú x2 + 2x +b = 0 cú nghim kộp ú = 1 b ; = 0 ú 1 b = 0 b = 1 Vy phng trỡnh ng thng cn lp l y = 2x + 1 4 Bi toỏn 4: Lp phng trỡnh ng thng i qua mt im M(x0; y0) v tip xỳc vi ng cong y = ax2 (P) Cỏch gii: + Nờu dng phng trỡnh ng thng :... trờn b) Tỡm giỏ tr nguyờn sao cho nghim ca h cú giá trị nguyờn Bi 10: Cho h phng trỡnh: 2 x + ay = b + 4 ax + by = 8 + 9a Xỏc nh a, b h cú nghim x = 3; y = -1 Ch 3: Phng trỡnh I Phng trỡnh bc nht mt n s: II Phng trỡnh bc hai mt n s: Phn I: kin thc cn nh 1 Dng tng quỏt: ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) Trong ú x l n, a, b, c l cỏc h s Vớ d: trong cỏc phng trỡnh sau, phng trỡnh no l phng trỡnh bc hai mt n s:... : (m + 7)x2 2.(m-9)x 7m + 15 = 0 l phng trỡnh bc hai thỡ : m+ 7 0 m -7 Ta cú: = (m - 9)2 + (m + 7) (7m - 15) = m2 - 18m + 81 + 7m2 15m +49m 105 = 8m2 + 16m 24 = 8 (m2 + 2m - 3) = 0 ú (m2 + 2m - 3) = 0 m = 1 hoc m = -3 (tho món) Vy vi m = 1 hoc m= - 3 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp b) Ta cú : = 452 15m = 2025 15m = 0 ú 2025 15m = 0 m = 135 Vy vi m = 135 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp Vớ... x2 = 13 Tr tng v ca h ta c : x2 = 3 2m thay vo phng trỡnh (1) ta c : x1 + 3 2m = m + 5 ú x1 = 3m + 2 20 PH PASS GIP P CON Nẩ Thay x1 = 3m + 2 v x2 = 3 2m vo phng trỡnh (2) ta c (3m + 2) (3 2m) = 6 m ú 9m 6m2 + 6 4m = 6 m m = 0 ú 6m2 6m = 0 tho món K (*) m = 1 Vy vi m = 0 hoc m = 1 thỡ phng trỡnh cú hai nghim tho món : 2x1 + 3x2 = 13 5.Bi tp dng tỡm mt h thc liờn h gia hai nghim khụng ph thuc ... -4x -2 39 PH PASS GIP P CON Nẩ ấ CNG ễN THI VAO 10 PHN HINH HOC Chủ đề 1.T GIAC: S nhn bit cỏc loi t giỏc T giỏc - Cỏc cnh i song song - Cỏc cnh i bng - cnh i song song v bng - Cỏc gúc i bng... gúc i bng - ng chộo ct ti trung im mi ng cnh i song song Hỡnh thang cnh bờn song song gúc vuụng gúc k ỏy bng Hthang cõn gúc vuụng cnh bờn song song gúc ng vuụng chộo bng Hỡnh ch nht - cnh k bng... song song nhau) 4 Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP