LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trường trình thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: ThS Lê Khắc Quynh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Và em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân yêu, bạn bè động viên khích lệ em nhiều để em hoàn thành tốt khóa luận Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Trần Phương Thúy LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy giáo: ThS Lê Khắc Quynh Công trình không trùng lặp với kết luận văn tác giả khác Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Trần Phương Thúy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học ngành triết học tự nhiên khoa học tự nhiên Vật lý học có liên hệ chặt chẽ với môn khoa học khác Từ lâu phương pháp Toán học sử dụng Vật lý Toán học công cụ Vật lý phát triển đặc biệt Vật lý lý thuyết Các lý thuyết vật lý sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận công thức xác miêu tả đại lượng vật lý thu nghiên cứu xác hay giá trị ước lượng tiên đoán hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật lý biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy toán học vật lý có giao thoa với Những Phương pháp toán học dùng vật lý học đại đa dạng bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc chuyên đề như: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính… Bộ môn Phương pháp toán lý ví dụ ta phải dùng đến nhiều công thức toán học để giải tập vật lý Từ sở phương trình Vật lý toán bản, ứng với loại phương trình xây dựng loạt phương trình dao động như: Phương trình sóng chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt… Kiến thức toán vô cần thiết cho bạn sinh viên tiếp thu, thực hành nghiên cứu với môn học khác học trường Bên cạnh sở lý thuyết tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm kiến thức Các dạng tập vô phong phú đa dạng Chính vậy, cần phải làm tìm phương pháp tốt nhằm tạo cho niềm say mê yêu thích môn học Việc làm có lợi giúp bạn sinh viên thời gian ngắn nắm dạng tập, nắm phương pháp giải từ phát triển hướng tìm tòi lời giải cho dạng tập tương tự Được định hướng thầy giáo hướng dẫn ThS Lê Khắc Quynh nên em định chọn đề tài “Phân loại phương pháp giải số toán dao động sợi dây” để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp cho bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên bắt đầu học phương trình sóng chiều bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành Vật lý toán Mặc dù có yêu thích, với nỗ lực thân việc tìm kiếm thu thập tài liệu Cùng với giúp đỡ thầy hướng dẫn khoảng thời gian ngắn, lượng kiến thức em hạn hẹp nên không tránh khỏi sai xót hạn chế Vì em mong góp ý hội đồng xét duyệt, quý thầy cô ý kiến bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Những đóng góp quý thầy cô bạn hành trang giúp em phát huy sáng tạo đường nghiệp sau Mục đích nghiên cứu Phân loại phương pháp giải dạng tập phương trình dao động sóng chiều sợi dây Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học để thiết lập giải tập phương trình dao động sóng chiều sợi dây Đối tượng nghiên cứu Các toán phương trình dao động sóng chiều sợi dây Phương pháp nghiên cứu  Nghiên cứu lí luận: - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải thích toán học - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện kiểm tra tính xác lý thuyết  Thực hành Giải tập có liên quan theo dạng chia Ý nghĩa đề tài Nếu mục tiêu thực cách hiệu mang lại ý nghĩa lớn việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng việc giải tập có liên quan tới dao động sợi dây thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết Cấu trúc khóa luận  Cơ sở lý thuyết - Đại cương phương trình vật lý toán - Thiết lập phương trình dao động sợi dây  Phân loại giải số tập dao động sợi dây: - Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si - Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt - Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt - Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện tổng quát NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Đại cương phương trình vật lý toán Các phương trình mô tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập Cấp đạo hàm cấp cao hàm chưa biết có mặt phương trình cấp phương trình Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chưa biết đạo hàm riêng Dạng tổng quát phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập: A  2u  2u  2u u u  B  C  D  E  Fu  Gx, y  2 x xy y x y (1-1) với u  x, t ; A; B; C ; D; E; F ; G số hàm  x , y  Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta đưa phương trình (1-1) ba dạng sau: 1) Nếu AC  B  miền đó, ta đưa phương trình (1-1) miền dạng:  2u  2u u u   D1  E1  F1u  G1 ( , ) 2     (1-2) Phương trình gọi phương trình loại eliptic Dạng đơn giản phương trình phương trình Lalapxơ: 2u 2u  0  2 Nghĩa là: D1  E1  F1  G1  (1-3) 2) Nếu AC  B  miền đưa phương trình (1-1) miền dạng: 2u 2u u u   D2  E2  F2u  G2 ( ,)     (1-4) Phương trình gọi phương trình hipebolic Dạng đơn giản phương trình hipebolic phương trình dao động sợi dây:  2u  2u   G2 ( , )   (1-5) Nghĩa là: D2  E2  F2  3) Nếu AC  B  miền phương trình (1-1) đưa dạng: 2u u u  D3  E3  F3u  G3 ( ,)    (1-6) Phương trình gọi phương trình parabolic có dạng đơn giản phương trình truyền nhiệt: 2u u  E3  G3 (,)   (1-7) Nghĩa là: D3  F3  Trong phương trình (1-5) (1-7) ta thường lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x , ta có phương trình dao động dây (hay phương trình sóng chiều):  2u  u  a t x (1-8) Phương trình truyền nhiệt: u 2 u a t x (1-9) Phương trình Lalapxơ: 2u 2u  0 x2 y2 (1-10) Nhiều toán vật lí kĩ thuật dẫn đến phương trình người ta gọi chúng phương trình vật lí - toán Các phương trình (1-8), (1,9), (1-10) có vô số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phương trình (1-8) (1-9) xuất phương trình không dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu trình xảy khoảng không gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt hữu hạn ta có hai loại điều kiện phụ sau: 1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t  2) Điều kiện biên cho biết trình xảy biên khoảng không gian Bài toán tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên gọi toán hỗn hợp, trình xảy khoảng vô hạn    x  , ta cần điều kiện ban đầu Bài toán gọi toán Côsi (Cauchy) Phương trình (1-10) không chứa thời gian, hai biến số x, y biến số không gian Nó xuất nghiên cứu phương trình dừng Để xác định nghiệm, ta cần điều kiện, toán gọi toán biên Các điều kiện ban đầu điều kiện biên thường xuất phát việc đo đạc thực nghiệm vật lí kĩ thuật nghĩa mang tính chất gần Những sai số nhỏ điều kiện kéo theo sai số nhỏ nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm toán đặt phải phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các toán thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục điều kiện phụ, gọi toán thiết lập Trong đề tài ta tìm hiểu phương trình dao động dây (1-5) hay (1-8) 1.2 Lập phương trình dao động sợi dây Bài toán: Xét sợi dây căng T nghĩa điểm sợi dây có lực T tác dụng theo phương tiếp tuyến với Giả thiết sợi dây đàn hồi, dao động nhỏ để bỏ qua tăng chiều dài sợi dây căng T tiết diện suốt trình dao động Giả sử trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x , dao động xảy cho điểm sợi dây di chuyển vuông góc với trục x nằm mặt phẳng chứa trục x Lấy mặt phẳng hệ tọa độ Đềcác vuông góc x , u , u kí hiệu độ lệch dây khỏi vị trí cân Trong trình dao động, u hàm hoành độ x thời gian t, u  (x, t) Ta thiết lập phương trình cho u  ( x, t ) Hình Biểu thức dao động sợi dây Xét đoạn dây từ x x2 Tách đoạn khỏi sợi dây thời điểm t thay hai đầu lực căng T Ta xác định hình chiếu trục u lực tác dụng lên phần xét sợi dây Gọi  góc tiếp tuyến sợi dây với trục x điểm x1,  góc tương ứng điểm x2 Tổng hình chiếu lực căng T sin  T sin1 (*) Giả sử tác dụng lên sợi dây song song ngược chiều với trục u (chẳng hạn trọng lượng dây) Mật độ phân bố lực dọc theo sợi Phương trình (2.5) cho nghiệm Tk (t ) tổng quát dạng: Tk t   M k sin akt akt  N k cos  Trk t  l l (2.20) (trong M k ; N k hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc k ; Trt t  nghiệm riêng không phương trình (2.19)) Thay (2.20) vào (2.15) ta được:  akt akt kx   v( x, t )   M k sin  N k cos  Trt t  sin l l l  k 0  (2.21) Thay (2.21) (2.14) (2.3) điều kiện ban đầu hàm vx, t    x  Bx v t   g  x   A1    l  G  x       v  h( x)  t t  hoàn toàn tường mình: (2.22) Sử dụng điều kiện biên (2.22) từ (2.21) ta có: vt 0    v 0  t  t 0   kx  N k  Trk 0sin l  G x   k 0   M ak  dTrk  sin kx  h x   k   l dt t 0  l k 0  l  kx dx  N k  Trk 0   G  x sin l l    l kx M ak  dTrk   hx sin dx  k l dt t 0 l l  l  kx N  G x sin dx  Trk 0   k  l l   l M  hx sin kx dx  l dTrk  k ak  l ak dt   (2.23) t 0 Thay (2.23) vào (2.21) nghiệm vx, t  hoàn toàn tường minh:  l kx l dTrk v  x, t      h x sin dx   l ak dt k 1   ak  64  akt   sin l t 0  2 l  kx akt  kx    G  x sin  Trk 0  cos  sin l l  l l  (2.24) Thay (2.11), (2.14) (2.24) vào (2.1) nghiệm u x, t  hoàn toàn tường minh:  B  A x  u  x, t   A  l  l kx l dTrk hx sin dx     l ak dt k 1   ak   akt   sin l t 0  2 l  kx akt  kx    G  x sin  Trk 0  cos  sin l l l l    Bài toán Tìm nghiệm u x, t  phương trình 0  x  l  2u  u  a  f  x, t  miền D   2 t t 0  t   với điều kiện ban đầu a u x0   điều kiện biên u  x   xl u t 0  g x   ;  u  h x   t  t 0 số  0; f x ; gx; hx giải tích D Gợi ý đáp số Ta tìm nghiệm u x, t  toán dạng chồng chập sóng đứng dạng:  2k  1x k 0 2l u x, t    Tk t sin Thay (3.1) vào phương trình   Tk ' ' t sin k 0 2k  1x  2l (3.1)  2u  u  a  f  x, t  ta được: t x 2 2k  1x  f x, t  a 2k  1  Tk t sin  l 2l k 0     2k  1x  f x, t  a 2k  1    Tk ' ' t   Tk t  sin 4l 2l k 0   65 (3.2) Do ta xét x  0, l  nên ta coi hàm f x, t  giả tuần hoàn theo biến x ( thân hàm f x, t  không tuần hoàn, với t  ta khai triển hàm f  x, t  thành chuỗi dạng:  2k  1x k 0 2l f  x, t     k t sin (3.3) l  k t   2k  1x dx f  x, t sin  l 2l (3.4) Thay (3.3) vào (3.2) ta được:   2k  1x    t sin 2k  1x a 2k  1      T ' ' t  T t sin     k k 4l 2l 2l k 0  k 0   Đồng thức vế đẳng thức ta được: Tk ' ' t   a 2k  1  Tk t    k t  4l (3.5) Phương trình (3.5) cho nghiệm Tk (t ) tổng quát dạng: Tk t   M k sin a2k  1t a2k  1t  N k cos  Trk t  2l 2l (3.6) (trong M k ; N k hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc k ; Trt t  nghiệm riêng không phương trình (3.5)) Thay (3.6) vào (3.1) ta được:  2k  1t a2k  1t a2k  1t   u ( x, t )   M k sin  N k cos  Trt t  sin 2l 2l 2l  k 0  Sử dụng điều kiện ban đầu: u t 0  g x    u  h x   t  t 0  2k  1x  g x    N k  Trk 0sin 2l  k 0    a2k  1 M  dTrk  sin 2k  1x  h x  k   2l dt  2l k 0  66 (3.7) l  2k  1x dx  T 0  N k   g x sin rk l 2l    l 2k  1x dx  2l dTrk M   k a 2k  1  h x sin 2l a 2k  1 dt  (3.8) t 0 Thay (3.8) vào (3.7) nghiệm u x, t  hoàn toàn tường minh: l   2k  1x dx  2l dTrk  u  x, t      h x sin  2l a 2k  1 dt k 0   a 2k  1  a 2k  1t   sin 2l t 0  2 l 2k  1x dx  T 0 cos a2k  1t  T t  sin 2k  1x    g  x sin   rk rk 2l 2l 2l  l  Bài toán Tìm nghiệm u x, t  phương trình:  2u  u  a  f x, t  t t với điều kiện ban đầu 0  x  l 0  t   miền D   u x0  A  điều kiện biên u  x  B  xl u t 0  g x   ;  u  hx   t  t 0 a; A; ; B số  0; f x ; gx hx giải tích D Giải Ta tìm nghiệm ux, t  phương trình dạng: u x, t   v x, t   w1 x  w2  x Thay (1) vào phương trình (4.1)  2u  u  a  f  x, t  ta t x 2 2  2v  v d w1 d w2  a  a  a  f  x, t  t x dx dx Tìm hàm vx, t ; w1 x; w2 x thỏa mãn điều kiện cụ thể sau: 67 (4.2) Hàm vx, t  nghiệm phương trình  2v  v  a 0 t x (4.3) v x0  với điều kiện biên  v  x   xl (4.4) v t 0  g  x   w1  x   w2  x  với điều kiện ban đầu  v  h( x)  t  t 0 Hàm w1 x  nghiệm phương trình  a (4.5) d w1 0 dx w1 x0  A với điều kiện biên  dw1 0  dx x l  (4.6) (4.7) Hàm w2 x nghiệm phương trình  a d w2 0 dx w2 x0  với điều kiện biên  dw2 B  dx x l  (4.8) (4.9) Giải phương trình vi phân (4.6) với điều kiện biên (4.7) cho nghiệm w1  x  dạng: w1  x   A (4.10) Giải phương trình vi phân (8) với điều kiện biên (9) cho nghiệm w2 x dạng: w2  x   Bx (4.11) Thay (4.10) (4.11) vào (4.5) điều kiện ban đầu vx, t  hoàn toàn xác định: v t 0  g  x   A  Bx  G  x    v  h( x )  t  t 0 68 (4.12) Ta tìm nghiệm vx, t  toán dạng chồng chập sóng đứng dạng:  2k  1x k 0 2l v x, t    Tk t sin Thay (4.13) vào phương trình   Tk ' ' t sin 2k  1x  2l k 0    k 0   T ' ' t   k (4.13)  2u  u  a  f  x, t  ta được: t x 2 2k  1x  f x, t  a 2k  1  Tk t sin  4l 2l k 0   2k  1x  f x, t  a 2k  1  Tk t  sin 4l 2l  (4.14) Do ta xét x  0, l  nên ta coi hàm f x, t  giả tuần hoàn theo biến x ( thân hàm f x, t  không tuần hoàn), với t  ta khai triển hàm f x, t  thành chuỗi dạng:  2k  1x k 0 2l f x, t     k t  sin 4.15) l  k t   2k  1x dx f  x, t sin  l 2l (4.16) Thay (4.15) vào (4.14) ta được:   2k  1x    t sin 2k  1x a 2k  1      T ' ' t  T t sin     k k 4l 2l 2l k 0  k 0   Đồng thức vế đẳng thức ta được: a 2k  1  Tk ' ' t   Tk t    k t  4l (4.17) Phương trình (4.5) cho nghiệm Tk (t ) tổng quát dạng: Tk t   M k sin a2k  1t a2k  1t  N k cos  Trk t  2l 2l (4.18) (trong M k ; N k hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc k ; Trt t  nghiệm riêng không phương trình (4.17)) Thay (4.18) vào (4.13) ta được: 69  2k  1x a2k  1t a2k  1t   v( x, t )    M k sin  N k cos  Trt t  sin 2l 2l 2l  k 0  (4.19) Sử dụng điều kiện ban đầu: v t 0  G  x    v  h x   t  t 0  2k  1x  Gx    N k  Trk 0sin 2l  k 0    M a2k  1  dTrk  sin 2k  1x  h x   k  2l dt t 0  2l k 0  l  2k  1x dx  T 0  N k   G  x sin rk l 2l    l 2k  1x dx  dTrk M   k a 2k  1  h x  sin 2l dt  (4.20) t 0 Thay (20) vào (19) nghiệm vx, t  hoàn toàn tường minh: l   dT a2k  1x  v  x, t     h x sin dx  rk  2l dt k 0   a 2k  1  a2k  1t   sin 2l t 0  2 l 2k  1x dx  T 0 cos a2k  1t  T t  sin 2k  1x    G x  sin   rk rk 2l 2l 2l  l  (4.21) Thay (4.11), (4.12) (4.21) vào (4.1) u x, t  tường minh l   dT a 2k  1x  u  x, t   A  Bx    hx  sin dx  rk  2l dt k 0   a 2k  1  a2k  1t   sin 2l t 0  2 l 2k  1x dx  T 0 cos a2k  1t  T t  sin 2k  1x    G x sin   rk rk 2l 2l 2l  l  2.4 Dạng Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện biên tổng quát 70 Bài toán dao động sợi dây với điều kiện biên tương đối tổng quát u t   f1 x  toán có điều kiện ban đầu dạng:  u  f x   x  t 0 u x   g1 t   u x  l  g t  điều kiện biên: Ta xét toán cụ thể sau: Bài toán: Tìm nghiệm u x, t  phương trình 0  x  l  2u  u  a  miền D   2 t x 0  t   u t   f1 x  điều kiện ban đầu dạng:  u  f x   x  t 0 u  g1 t  điều kiện biên:  x  u x  l  g t  hàm f1 x ; f  x ; g1 t ; g t  giải tích D Giải Ta tìm nghiệm toán dạng: u  x, t   v x, t   w1  x, t   w2  x, t  Thay (1) vào phương trình (1)  2u  u  a  ta được: t x 2 2  2v  w1  w2  v  w1  w2  a   a   a 0 x t x t x x  2  2v  w1  w2  v  w1  w2  a  a   a  x t t x x x đặt:  F ( x, t )  a (2) có dạng: (2)  w1  w1  w2  w2   a  t x x x 2  2v  v  a   F ( x, t ) x t Như vậy, ta chuyển toán ban đầu thành toán phụ sau: 71 (3) Tìm nghiệm vx, t  phương trình:  2v  2v  a 2   F ( x, t ) x t với điều kiện ban đầu: v t   f1  x   w1 t   w2 t   F  x    v w w  f ( x)    F2 ( x)  t  t t t  t 0  t 0 điều kiện biên v t     v  x   t 0 (4) (5) w1 x   g1 t  Hàm w1 x, t  thỏa mãn điều kiện:  w1 0  x x l  (6) w2 x   Hàm w2 x, t  thỏa mãn điều kiện:  w2  g t   x x l  (7) Các hàm w1 x, t ; w2 ( x, t ) lựa chọn cách thích hợp cho thỏa mãn điều kiện (6) (7) Theo tính nghiệm việc lực chọn w1  x, t ; w2 x, t  không ảnh hưởng đến giá trị nghiệm u x, t   Hàm w1 x, t  lực chọn nhiều dạng như: a) w1 x, t   g1 t  n b) w1 x, t     x  g1 t   l  c) w1 x, t   cos kx g1 t  l d) w1  x, t   cos m (trong n  N ; n  ) ( k  Z ) kx g1 t  ( k  Z ; Z  N ) l nhiều cách lựa chọn hàm khác Tuy nhiên, việc lựa chọn hàm w1 x, t  phải dựa nguyên tắc 1) Phải thỏa mãn điều kiện (6) 72 2) Phải lựa chọn w1 x, t  cho biểu thức F x, t  tối giản 3) Phải lựa chọn w1 x, t  cho biểu thức F1 x, t  F2 x, t  tối giản Việc lựa chọn w1 x, t  cụ thể xét ví dụ Và ta coi lựa chọn hàm w1 x, t  thích hợp  Hàm w2 x, t  lựa chọn nhiều dạng a) w2 x, t   x.g2 (t ) b) w2 x, t   l 2kx sin g t  (trong k  Z / 0 ) 2k l c) w2 x, t   4lx  x g t  2l d) w2 x, t   xn g t  (trong n  N ; N  ) nl n 1 có nhiều cách lực chọn hàm w2 x, t  phải dựa nguyên tắc: 1) Phải thỏa mãn điều kiện (7) 2) Phải lựa chọn w2  x, t  cho biểu thức F x, t  tối giản 3) Phải lựa chọn w2 x, t  cho biểu thức F1 x, t  F2 x, t  tối giản Việc lựa chọn w2 x, t  cụ thể xét phần ví dụ Ta coi tìm xong dạng w2 x, t  Như vậy, sau thay hàm w1 x, t  w2 x, t  vào (3) (4) hàm F  x, t ; F1  x, t ; F2  x, t  hoàn toàn tường minh  Nghiệm vx, t  phương trình (3) tìm dạng đơn giản sau:  2k  1x k 0 2l v x, t    Tk t sin Hiển nhiên vx, t  theo (8) thỏa mãn điều kiện (5) Thay (8) vào (3) ta được: 73 (8)   2k  12  T k 0 4l k sin 2k  1x  a 2l   T ' 'sin k 2k  1x   F ( x, t ) k 0 2l   2k  12  T  sin 2k  1x  F ( x, t )   Tk ' ' k 4l a 2l a2 k 0   (9) F ( x, t ) giả tuần hoàn theo biến x , a2 Do xét x  0, l  nên ta coi hàm với t  ta khai triển hàm F ( x, t ) thành chuỗi dạng: a2 2k  1x F ( x, t )     k (t ) sin a 2l k 0 (10) l  k (t )  2k  1x dx F ( x, t ) sin  l0 a 2l (11) Thay (10) vào (9) ta được: 2k  1x T  sin 2k  1x    (t ) sin 2k  1x  T ' '    k k  k 4l a 2l 2l  k 0  k 0  Đồng thức vế đẳng thức, ta được: Tk ' ' 2k  12  T   (t ) k k 2 (12) 4l a Phương trình (12) cho nghiệm dạng: Tk (t )  M k sin 2k  1t  N 2la k cos 2k  1t  T 2la rk (t ) (13) (trong M k ; N k số tích phân nhìn chung phụ thuộc vào k ; Trk t  nghiệm không phương trình (12)) Thay (13) vào (8) nghiệm vx, t  có dạng:  2k  1t  N cos 2k  1t  T (t ) sin 2k  1x  v( x, t )    M k sin k rk  2la 2la 2l k 0  Sử dụng điều kiện ban đầu (4)   N k  Trk (0) sin 2k  1x  F1 ( x) v    t 0 2l k 0     v   M 2k  1x  dTrk  sin 2k  1x  F ( x)   t t  k   k 2la dt t   2l 74 (14)   sin( 2k  1)x dx  N k  Trk (0)   F1 ( x ) l 2l   sin 2k  1x  M 2k  1  dTrk   F2 ( x ) dx  k 2la dt t  l 2l   sin 2k  1x dx  Trk (0)  N k   F1 ( x) l 2l    4a sin 2k  1x 2la dT M  dx  rk  k 2k  1  F2 ( x) 2k  1 dt 2l  (15) t 0 Thay (15) vào (14) nghiệm vx, t  hoàn toàn tường minh Thay hàm vx, t ; w1 x, t ; w2 x, t  vào (1) nghiệm u x, t  hoàn toàn tường minh Kết luận chương Chương trình bày dạng tập dao động sợi dây, đồng thời cách giải loại tập số thí dụ vận dụng cụ thể 75 KẾT LUẬN Qua thời gian tiến hành thực đề tài, với cố gắng thân giúp đỡ thầy, cô giáo khoa Vật lý đặc biệt thầy giáo hướng dẫn ThS Lê Khắc Quynh, đến em hoàn thành đề tài đạt số kết sau:  Đề tài đề cập số nội dung sau: - Xây dựng phương trình dao động sợi dây - Phân loại cá toán đặc trưng: Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện tổng quát - Đưa cách giải cho loại toán với số toán cụ thể  Đề tài giúp em hiểu sâu môn Phương pháp toán - lý nói chung phương trình sóng chiều nói riêng Tập thói quen khả giải tập dao động sợi dây Bước đầu em hiểu, làm quen với công tác nghiên cứu khoa học làm quen với công việc thực tế 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chính Cương (2009), Bài tập Phương pháp Toán Lí, NXB ĐHSP, Hà Nội [2] Đặng Đức Dũng - Lê Đức Thông (2007) “Phương pháp toán cho vật lí tập 3”, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM [3] Bùi Tuấn Khang (2004), “Toán chuyên đề - Hàm biến phức Phương trình Vật lí toán”, Đại học Đà Nẵng [4] Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lý”, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2004), “Toán học cao cấp - tập Ba - Phép tính giải tích nhiều biến số”, Nhà xuất Giáo dục [6] Tikhonov A.N, Samarski A.A, Uravneniia matematicheskoi phiziki [7] Levin B.I, Mentodu matematicheskoi phiziki [8] R Courant, D Hilbert, Methods of mathematical physics 77 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa đề tài Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Đại cương phương trình vật lý toán 1.2 Lập phương trình dao động sợi dây Chương 2: PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY 10 2.1 Dạng 1: Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Côsi 10 2.2 Dạng 2: Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt.20 2.3 Dạng 3: Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn với điều kiện đặc biệt 43 2.3.1 Lực cưỡng phụ thuộc vào tọa độ x 43 2.3.2 Lực cưỡng phụ thuộc vào tọa độ x thời gian t 58 2.4 Dạng Dao động tự sợi dây hữu hạn với điều kiện biên tổng quát 70 KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 [...]... điều kiện dao động 9 Chương 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban đầu dao động của sợi dây Trong khuân khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập hay gặp trong quá trình nghiên cứu các dạng bài tập ôn luyện thi đầu vào cao... lớn bài tập về dao động của sợi dây: 1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 2 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt 3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt 4 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát 2.1 Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Côsi Định nghĩa sợi dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây. .. điểm của sợi dây lại trở về vị trí nằm yên trên trục hoành  Xét dao động tại các điểm a) Tại x  0 Bắt đầu dao động: t  1 2 Kết thúc dao động: at  3  t  3 2 b) Tại x  1 Bắt đầu dao động: t  0 Kết thúc dao động: t  1 c) Tại x  1 Bắt đầu dao động: t  1 Kết thúc dao động: t  2 2.2 Dạng 2: Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt Dao động tự do của sợi dây hữu hạn là bài toán. .. nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét Tính chất: Dao động của sợi dây vô hạn không chịu ảnh hưởng của điều kiện biên mà chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung như sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t  0 sợi dây có một hình dạng nào đó u( x, t ) t 0  u( x,0)  f ( x) và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu u't x,... hằng số Nó là một trong các phương trình vật lý - toán đơn giản nhất Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)  0 thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây Còn phương trình (1-12) với g(x,t)  0 là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây Kết luận chương 1 Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động sợi dây như việc xây dựng phương. .. k 1 k l l l Đây là dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền cho nó một xung lượng p tập trung tại điểm x  c Ví dụ 3 Một sợi dây hữu hạn, được gắn chặt ở các đầu mút x  0 và x  l , dao động với vận tốc ban đầu bằng 0 Sợi dây có dạng ban đầu là u  x,0  4 xl  x  l2 Giải 26 0 xl 2 2 Ta có phương trình dao động là:  u2  a 2  u2  0 t (1) x Theo bài ra ta có 4 xl ... x2 ) của dây, cho nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức: u''tt (x, t)  Tu' 'xx (x, t)  g(x, t)  0 u' 'tt ( x, t )  a 2u' 'xx ( x, t )   g ( x, t ) Hay: Trong đó a2  T  (1-12) là một hằng số dương Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai có hệ số. .. kx  1 thực hiện dao động với biên độ cực đại trong suốt quá trình dao l động thì các điểm đó gọi là bụng sóng Sóng đứng uk x, t  có k bụng, k  1 Tần số k  ka của dao động riêng được gọi là tần số riêng của sợi l dây Tần số riêng nhỏ nhất l   T l  Tần số này càng cao nếu dây càng ngắn ( l càng nhỏ), sức căng T càng lớn,  càng nhỏ Tần số k , đối với k  2 , là tần số của các họa âm tương... hưởng của trọng lực và ảnh hưởng của các đầu mút của sợi dây Để hiểu rõ ta đi xét bài toán cụ thể: Bài toán: Vẽ dạng của sợi dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi u  x , t  t 0 0 khi x  1  x  1 khi 1  x  2   3  x khi 2  x  3 0 khi x  3 1 2 Tại các thời điểm t0  0, t1  , t 2  1, t3  2,5 Xét dao động của các điểm x  0, x  1, x... x)  t  t 0 u x  0  0 u x  l  0 và điều kiện biên:  trong đó a là hằng số  0 , các hàm f x  và g x  giải tích trên D Giải Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l , chiếm đoạn 0, l  của trục x khi cân bằng Sử dụng phương pháp tách biến, ta sẽ tìm nghiệm u x, t  của bài toán dưới dạng: u x, t   X  x T t  (1.1) 2 2 Thay (1.1) vào phương trình  u2  a 2  u2  0 ta được: ... kiện dao động Chương PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Cơ sở để phân loại toán dao động sợi dây đề tài dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động điều... - Đại cương phương trình vật lý toán - Thiết lập phương trình dao động sợi dây  Phân loại giải số tập dao động sợi dây: - Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si - Dao động tự sợi dây hữu hạn... cứu Phân loại phương pháp giải dạng tập phương trình dao động sóng chiều sợi dây Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học để thiết lập giải tập phương trình dao động sóng chiều sợi dây Đối