TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGÔ THỊ HỒNG DIỄM TÌM HIỂU SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN MINH TƯỚC HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Trước tiên em xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Hà Nội nói chung thầy cô giáo khoa Toán, môn Ứng Dụng nói riêng tận tình giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức, kinh nghiệm quý báu suốt thời gian qua Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS Trần Minh Tước, thầy tận tình giúp đỡ, trực tiếp bảo, hướng dẫn em suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Trong thời gian làm việc với thầy, em không ngừng tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích mà học tập tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu khoa học nghiêm túc, hiệu quả, điều cần thiết cho em trình học tập công tác sau Đồng thời, em xin cảm ơn bạn lớp K35 Cử Nhân Toán nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập lớp Hà Nội, tháng 05, năm 2013 Sinh viên Ngô Thị Hồng Diễm Lời cam đoan Em xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng em Các số liệu, kết nêu khóa luận trung thực thông tin trích dẫn khóa luận ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 05, năm 2013 Sinh viên Ngô Thị Hồng Diễm Mục lục Mở đầu Chương 1: Nhắc lại lý thuyết đồ thị ma trận 1.1 Đồ thị 1.1.1 Đồ thị có hướng 1.1.2 Bậc đỉnh đồ thị có hướng 1.1.3 Sự liên thông 1.2 Đường đi, chu trình, tính liên thông đồ thị có 1.2.1 Đường đi, chu trình 1.2.2 Đồ thị có trọng số 1.3 Ma trận Chương 2: Liên hệ đồ thị có hướng ma trận hướng 12 13 15 2.1 Biểu diễn đồ thị có hướng ma trận kề 15 2.1.1 Tính liên thông đồ thị có hướng 16 2.1.2 Bài toán đường ngắn (Thuật toán Floyd) 18 Chương 3: Một vài lớp đồ thị đặc biệt 31 3.1 Đồ thị Euler 31 3.2 Đồ thị vòng có hướng 40 Tài liệu tham khảo 44 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu tính chất đồ thị Một cách phi hình thức, đồ thị gồm tập đối tượng gọi đỉnh (hoặc nút) nối với cạnh (hoặc cung) Đồ thị vẽ dạng tập đỉnh nối với đoạn thẳng (các cạnh) Khi sử dụng đồ thị toán tin học có nhiều cách khác để lưu trữ đồ thị máy tính Sử dụng cấu trúc liệu tùy theo cấu trúc đồ thị thuật toán dùng để thao tác đồ thị Trong đề tài em đặt vấn đề nghiên cứu cấu trúc ma trận đồ thị có hướng Cấu trúc ma trận đồ thị có hướng chứa thông tin quan hệ kề (có cung nối hay không) đỉnh đồ thị Ngoài công cụ hữu ích cho việc xem xét tính chất đồ thị có hướng với mạnh đại số tuyến tính Từ nhận thức em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Tìm hiểu liên hệ đồ thị có hướng ma trận” không nhiệm vụ em phải thực khoá luận tốt nghiệp mà thực đề tài em quan tâm nghiên cứu Các thuật ngữ khóa luận sử dụng cuốn: Norman Biggs (1974), Algebraic Graph Theory Cambridge Tracts in Mathematics, VOL 67 Nguyễn Đức Nghĩa (2003), Nguyễn Tô Thành, Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Mở đầu Toán rời rạc, NXB Giáo dục Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Quốc Gia Hà Nội Đối tượng phạm vi nghiên cứu -Đối tượng: Đồ thị ma trận -Phạm vi nghiên cứu: Đồ thị có hướng ma trận kề Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu mối liên hệ đồ thị có hướng ma trận dựa thể số tính chất đồ thị ma trận kề tương ứng Phương pháp nghiên cứu Thu thập, nghiên cứu tài liệu, xin ý kiến chuyên gia Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu kết luận khóa luận gồm chương: Chương 1: Nhắc lại lý thuyết đồ thị ma trận Chương 2: Liên hệ đồ thị có hướng ma trận Chương 3: Một vài lớp đồ thị đặc biệt Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Chương Nhắc lại lý thuyết đồ thị ma trận 1.1 1.1.1 Đồ thị Đồ thị có hướng Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn, E tập có cặp thứ tự (u, v) với u, v ∈ V u = v , tức E quan hệ hai không phản xạ V Các phần tử V = {v1 , v2 , , vn} gọi đỉnh, phần tử E = {(u, v)|u, v ∈ V, u = v} gọi cung đồ thị có hướng G Nếu e = (u, v) ∈ E ta nói e có đỉnh đầu u, đỉnh cuối v có hướng từ u tới v Khi không gây nhầm lẫn ta →) kí hiệu cung e = uv (hoặc e = − uv Ví dụ 1.1.1 Cho đồ thị có hướng G = (V, E), với V = {a, b, c}, E = {(a, b), (b, c), (c, a)} Đồ thị có hướng G biểu diễn hình vẽ sau: Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG NHẮC LẠI VỀ LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ MA TRẬN a b c Hình 1.1: Đồ thị có hướng Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Nếu (a, b) ∈ E đỉnh a, b gọi kề Hai cung G gọi kề chúng có đỉnh chung 1.1.2 Bậc đỉnh đồ thị có hướng • Bậc vào Định nghĩa 1.1.2 Cho G đồ thị có hướng, bậc vào đỉnh v ký hiệu deg − (v) = {x ∈ V (x, v) ∈ E} • Bậc Định nghĩa 1.1.3 Cho G đồ thị có hướng, bậc v ký hiệu deg + (v) = {y ∈ V (v, y) ∈ E} Định lý 1.1.4 [8] Cho G = (V, E) đồ thị có hướng Tổng bậc vào đỉnh tổng bậc số cung đồ thị Nghĩa ta có: m = deg − (v) = deg + (v) Chứng minh Khi lấy tổng tất bán bậc hay bán bậc vào, cung (u, v) tính lần deg + (u) tính lần deg − (v) Từ suy kết Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG NHẮC LẠI VỀ LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ MA TRẬN b a e c d Hình 1.2: Đồ thị có hướng Ví dụ 1.1.5 Xét đồ thị cho hình ta có: deg − (a) = 1, deg − (b) = 2, deg − (c) = 2, deg − (d) = 2, deg − (e) = deg + (a) = 3, deg + (b) = 1, deg + (c) = 1, deg + (d) = 2, deg + (e) = Rất nhiều tính chất đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng cung Vì vậy, nhiều trường hợp thuận tiện ta bỏ qua hướng cung đồ thị Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vô hướng đồ thị có hướng cho 1.1.3 1.2 Sự liên thông Đường đi, chu trình, tính liên thông đồ thị có hướng 1.2.1 Đường đi, chu trình Đường có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, E) dãy cung liên tiếp v0v1, v1v2, , vn−1vn vi = vj , ∀i = j Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối Đường thường viết gọn: v0 v1 v2 vn−1vn Khi cần nêu đỉnh đầu vo đỉnh cuối đường đi, ta viết: đường vo − Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG NHẮC LẠI VỀ LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ MA TRẬN Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v ) gọi chu trình Một hành trình có hướng đồ thị có hướng dãy định dạng v0 v1 Trong vi ∈ V cho vi−1vi ∈ E ; i = 1, 2, n Với v0 đỉnh đầu đỉnh cuối Một hành trình có hướng gọi vết cung vi−1vi đôi khác Một vết kín gọi mạch Một hành trình gọi đường qua đỉnh phân biệt Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị có hướng: B D A F C Hình 1.3 E Một số đường từ đỉnh A đến đỉnh C là: • Đường d1 : (A, B), (B, C) (đường có độ dài 2) • Đường d2: (A, B), (B, D), (D, E), (E, C) (đường có độ dài 4) • Đường d3: (A, B), (B, D), (D, F ), (F, E), (E, C) (đường có độ dài 5) Đường d2 biểu diễn ma trận kề đồ thị sau: Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN thông mạnh Do đồ thị G liên thông mạnh, H liên thông yếu không liên thông mạnh 30 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Chương Một vài lớp đồ thị đặc biệt 3.1 Đồ thị Euler Đặt vấn đề -Hãy vẽ hình sau nét bút (không nhấc bút lên vẽ) +Ta thấy hình A thì: A B Hình 3.1 Không vẽ nét Tối thiểu phải vẽ nét +Hình B thì: Không vẽ nét Tối thiểu phải vẽ nét 31 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT -Hãy vẽ hình sau nét bút (không nhấc bút lên vẽ) Hình 3.2 • Đường đi, chu trình Euler có hướng Xét đồ thị G = (V, E) – Đường Euler có hướng đường có hướng qua cung đỉnh đồ thị, cung không lần – Chu trình Euler có hướng chu trình có hướng qua cung đỉnh đồ thị, cung không lần Ví dụ 3.1.1 Đồ thị có hướng hình 2.10 có chu trình Euler là: Hình 3.3 ta có: 32 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT d: 5 Có ma trận kề là: Đỉnh 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 – Đồ thị G gọi đồ thị Euler có hướng tồn chu trình Euler có hướng G Điều kiện cần đủ Để đồ thị có hướng đồ thị Euler có hướng: Cho G đồ thị có hướng liên thông G Euler G có đỉnh có bán bậc bán bậc vào – Đồ thị G gọi đồ thị nửa Euler có hướng tồn đường Euler có hướng G Định lý 3.1.2 [10] Đồ thị có hướng liên thông G đồ thị Euler với đỉnh v G có deg + (v) = deg − (v) Hệ 3.1.3 [10] Đồ thị có hướng liên thông G có đường Euler có hướng G có hai đỉnh a, b thỏa mãn: deg − (a) = deg + (a) − deg − (b) = deg + (b) + Còn đỉnh khác cân tức : deg + (x) = deg − (x) với x ∈ V , x = a, x = b Kiểm tra đồ thị có hướng Euler hay nửa Euler – Đồ thị có hướng liên thông (Ta dễ dàng kiểm tra điều dựa vào ma trận đồ thị qua phần "2.2.2 Tính liên thông 33 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT đồ thị có hướng" nêu khóa luận) – Kiểm tra bậc đồ thị: +Nếu tất đỉnh có bán bậc = bán bậc vào tức ma trận đỉnh vi có : Tổng số số hàng i = Tổng số số cột i kết luận "Đây đồ thị Euler có hướng" +Nếu có đỉnh x có bậc nhiều bậc vào đơn vị tức ma trận tồn đỉnh x có: Tổng số số hàng x = Tổng số số cột x cộng thêm có đỉnh y khác có bậc bậc vào đơn vị tức ma trận tồn đỉnh y có: Tổng số số hàng y = Tổng số số cột y trừ đỉnh v khác cân tức : Tổng số số hàng v = Tổng số số cột v kết luận "Đây đồ thị nửa Euler có hướng" +Các trường hợp khác kết luận "Đây đồ thị Euler có hướng hay nửa Euler có hướng" Ví dụ 3.1.4 Cho đồ thị có hướng H1, H2, H3 a c b a a b b d c c e d H1 d H2 Hình 3.4 H3 -Đồ thị vô hướng đồ thị có hướng H1 có ma trận kề là: 34 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT   1  A= 0  0 0  0  0   1   4   1 4    Ta có A4 =      4 1 4 Vì phần tử A4 = nên suy đồ thị H1 đồ thị liên thông Đồ thị có hướng H1 có ma trận kề là: Đỉnh a b c d e a 0 b 0 0 H1 = c 0 d 0 0 e 0 0 Từ ma trận ta thấy tất đỉnh a, b, c, d, e H1 có : Tổng số số hàng i = Tổng số số cột i = Do đồ thị có hướng H1 đồ thị Euler có hướng -Đồ thị vô hướng đồ thịcó hướng H2  có ma trận kề là: 1 1 1   B=  1 1 1   1 1 1   Ta có B =  1 1 1 35 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán 1 0  CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Vì phần tử B = nên suy đồ thị H2 đồ thị liên thông Đồ thị H2 có ma trận kề là: Đỉnh a b c d a 0 H2 = b 0 c 0 d 0 Từ ma trận ta thấy : Tổng số số hàng b = Tổng số số cột b − Tổng số số hàng c = Tổng số số cột c + Tổng số số hàng a = Tổng số số cột a = Tổng số số hàng d = Tổng số số cột d = Nên H2 đồ thị nửa Euler có hướng -Đồ thị vô hướng đồ thịcó hướng H3  có ma trận kề là: 1 1 1   C=  1 1 1   2 2 2   Ta có C =  2 2 2 Vì phần tử C = nên suy đồ thị H3 đồ thị liên thông Đồ thị H3 có ma trận kề là: Đỉnh a b c d a 1 H3 = b 0 c 0 d 0 Từ ma trận ta thấy: Tổng số số hàng a = Tổng số số cột a + 36 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Tổng số số hàng b = Tổng số số cột b − Tổng số số hàng c = Tổng số số cột c = Tổng số số hàng d = Tổng số số cột d − Nên H3 không đồ thị Euler có hướng hay nửa Euler có hướng • Thuật toán xây dựng chu trình Euler có hướng Đối với đồ thị liên có hướng thông yếu, đỉnh có bán bậc bán bậc vào Thuật toán Fleury [7] Bắt đầu từ đỉnh đồ thị theo cung (định hướng) tuân theo quy tắc sau: -Quy tắc Khi qua cung xóa xóa đỉnh cô lập, có Khi ma trận: Từ dòng a ta gióng sang cột có giá trị giả sử cột b thay giá trị Tiếp từ dòng b ta gióng sang cột có giá trị giả sử cột c thay giá trị Cứ làm theo dòng cột Với đỉnh vi có giá trị hàng i cột j ma trận ta xóa hàng cột -Quy tắc Chỉ chọn cung "một không trở lại" không cạnh khác để Trong đó: Cung (u, v) gọi không trở lại nhu từ u ta tới v theo cạnh đó, sau xóa cạnh không cách từ v quay lại u Tức thay giá trị dòng i cột j ta thấy giá trị dòng j cột i ma trận Ví dụ 3.1.5 Tìm chu trình Euler đồ thị có hướng liên thông sau: Đồ thị có ma trận kề là: 37 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Hình 3.5 Đỉnh 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước 1: Xuất phát từ dòng gióng đến cột có giá trị là cột Ta thay giá trị ma trận Đỉnh 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước 2: Từ dòng gióng đến cột 4, giả sử cột ta thay giá trị dòng cột 38 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Đỉnh 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước 3: Tiếp tục, từ dòng ta gióng sang cột 3, ta thay giá trị dòng cột Đồng thời xóa dòng cột tất có giá trị Đỉnh 0 0 0 0 0 0 0 Bước 4: Từ dòng gióng sang cột 6, ta thay giá trị dòng cột Đỉnh 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước 5: Từ dòng gióng sang cột 5, ta thay giá trị dòng cột Đồng thời xóa dòng cột tất có giá trị 39 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Đỉnh 0 0 0 0 0 Bước 6: Từ dòng gióng sang cột 2, ta thay giá trị dòng cột Đồng thời xóa dòng cột tất có giá trị Đỉnh 0 0 0 Bước 7: Từ dòng gióng sang cột 3, ta thay giá trị dòng cột Đồng thời xóa dòng cột tất có giá trị Đỉnh 0 Bước 8: Cuối từ dòng gióng sang cột 1, ta thay giá trị dòng cột Đồng thời xóa dòng 1, cột dòng 3, cột tất có giá trị Như vậy, ví dụ tìm chu trình Euler: 1-2-4-3-6-5-2-3-1 3.2 Đồ thị vòng có hướng Cn (n≥ 3) đồ thị có n đỉnh v1, v2, , có n cạnh (v1 , v2), (v2 , v3 ), , (vn−1 , vn), (vn , v1) Ví dụ: Biểu diễn đồ thị có hướng C3 ma trận kề tương ứng: 40 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT C3 C4 C5 Hình 3.6    A = 0 1 0 Biểu diễn đồ thị có hướng C4  ma trậnkề tương ứng: 0 0 0   A=  0 0 1 0 Biểu diễn đồ thị có hướng C5 ma trận kề  tương ứng:  0   0 0    A= 0     0 0 1 0 0 Nhận xét: Theo chiều đồ thị vòng có hướng tồn thứ tự xếp đỉnh cho đồ thị vòng có dạng:  41 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG MỘT VÀI LỚP ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT   0  0   A = 0    0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0  0   0    1  Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh tồn thứ tự xếp đỉnh qua phép sau: Nói cách khác phép đổi chỗ phần tử tập đỉnh Vn = {1, 2, , n} Phép δ : Vn −→ Vn biểu diễn sau: n Phép δ = δ(1) δ(2) δ(3) δ(n) Trong δ(i) ảnh phần tử i ∈ Vn viết dòng cột với i Ảnh phần tử tập Vn qua phép cho ta hoán vị tập Vn Ngược lại hoán vị lại xác định phép Như có n! phép thế, tồn phép cho: δ(1) = 1, δ(2) = 2, , δ(n) = n theo hướng đồ thị Cn Phép hoán vị kí hiệu tập hợp chu trình nên phép cho ta chu trình (1, 2, , n) Thứ tự phần tử chu trình thay đổi theo phép xoay vòng chu trình Do hoán vị viết là: (2, 3, 4, , n, 1); (3, 4, 5, , n, 1, 2); ( , , , , )(n, 1, 2, , n − 1); Khi viết ma trận kề đồ thị có hướng Cn theo thứ tự xếp đỉnh ta nhận ma trận A 42 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Kết luận Qua khóa luận em tích lũy thêm nhiều kiến thức kinh nghiệm quý báu Bên cạnh kết đạt có điều chưa nhiều vấn đề đồ thị chưa nêu thuật toán cụ thể để giải Mới dừng lại mô hình lý thuyết chưa có chương trình cài đặt cụ thể Bài khóa luận thực khoảng thời gian tháng Bước đầu vào thực tế, tìm hiểu lĩnh vực nghiên cứu khoa học, kiến thức em hạn chế nhiều bỡ ngỡ Do vậy, không tránh khỏi thiếu sót điều chắn, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy Cô bạn học lớp để kiến thức em lĩnh vực hoàn thiện 43 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Tài liệu tham khảo [1] Norman Biggs (1974), Algebraic Graph Theory Cambridge Tracts in Mathematics, VOL 67 [2] Nguyễn Đức Nghĩa (2003), Nguyễn Tô Thành, Toán rời rạc, NXB Giáo dục [3] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Quốc Gia Hà Nội [5] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến (2005), Giáo trình lí thuyết đồ thị, NXB Đại Học Đà Nẵng [6] http://doc.edu.vn/tai-lieu/giao-trinh-thiet-ke-va-danh-gia-thuattoan-6913/ [7] http://tailieu.tv/tai-lieu/giao-trinh-tin-hoc-tu-can-ban-den-nangcao-phan-i-967/ [8] http://www.math.hcmuns.edu.vn/ nvdong/Toanroirac/VII.Dothi.pdf [9] http://www.search-document.com/pdf/8/4/giai-do-thi.html [10] http://vi.scribd.com/doc/13817503/3/ 44 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán [...]... Chương 2 Liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận 2.1 Biểu diễn đồ thị có hướng bằng ma trận kề Cho đồ thị G = (V, E) trong đó V = {v1 , v2 , , vn} Ma trận kề biểu diễn đồ thị G là ma trận có kích thước n × n được xác định như sau: aij = 1 nếu vi vj là một cung của G 0 nếu vi vj không là một cung của G Ví dụ 2.1.1 Tìm ma trận kề của đồ thị sau: 2 1 3 4 Hình 2.1: Đồ thị có hướng Ma trận kề của đồ thị trên... của một ma trận chỉ tổng số hàng và cột của ma trận. Ví dụ, ma trận trên có ba hàng và ba cột được gọi là ma trận 3 × 3 Một ma trận với m hàng và n cột được đặt là m × n Ma trận vuông - Một ma trận có số hàng và số cột bằng nhau được gọi là ma trận vuông Ma trận cột - Một ma trận có một cột và nhiều hơn một hàng thì được gọi là ma trận cột Ma trận cột còn được gọi là một vectơ cột hay đơn 13 Ngô Thị Hồng... Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG 2 LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN  0 1  A= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1  0 1   1 0 Nhận xét: - Nhìn vào ma trận ta biết được 2 đỉnh nào kề nhau - Biết được bậc của từng đỉnh nếu là đồ thị đơn Các tính chất của ma trận kề: - Chúng ta có thể nhận thấy rằng, ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn luôn là mà trận đối xứng Còn ma trận của đồ thị có hướng thì có. .. 1.9: Đồ thị G là liên thông, còn đồ thị H là không liên thông Định nghĩa 1.2.7 Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v và đường đi từ v tới u B A E C D Hình 1.10: Đồ thị có hướng liên thông mạnh Định nghĩa 1.2.8 Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng nền của nó là liên thông 1.2.2 Đồ thị có trọng... 1 v5 8 2 2 1 4 Theo hệ quả ta thấy đồ thị có hướng đã cho liên thông mạnh và chứa chu trình Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng điều ngược lại là không đúng, như chỉ ra trong ví dụ dưới đây 26 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG 2 LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN B A B A C E G C E D G D Hình 2.6: Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H Ví... C D E A B 1 1 H5 = C D 2 1 E 1 Theo hệ quả thuật toán Floyd ta thấy đồ thị có hướng H liên không liên 29 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG 2 LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN thông mạnh Do đó đồ thị G là liên thông mạnh, còn H là liên thông yếu nhưng không là liên thông mạnh 30 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Chương 3 Một vài lớp đồ thị đặc biệt 3.1 Đồ thị Euler Đặt vấn đề -Hãy vẽ các hình... THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ VÀ MA TRẬN giản là m-vectơ nếu nó có m hàng và một cột Ma trận hàng - Ma trận hàng có một hàng và nhiều hơn một cột và được cũng được coi là một vectơ hàng Ma trận đơn vị - Ma trận đơn vị có tất cả các phần tử trên đường chéo chính (i = j) bằng 1 Ma trận đơn vị thường  thị bởi I hay U  được biểu 1 0 0   Một ví dụ về ma trận đơn vị như sau I = 0 1 0 0 0 1 Ma trận đối xứng - Ma trận. .. kiểm chứng được điều này: Đồ thị có hướng G và H có chung nền có ma trận kề là:   đồ thị vô hướng 0 1 0 0 1   1 0 1 0 0    A= 0 1 0 1 0     0 0 1 0 1 1 0 0 1 0   6 1 4 4 1   1 6 1 4 4    ta có A4 =  4 1 6 1 4     4 4 1 6 1 1 4 4 1 6 Vì các phần tử của A4 = 0 nên suy ra đồ thị có hướng G và H là đồ thị liên thông yếu Đồ thị có hướng G có ma trận kề là: Đỉnh A B C D E... Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán 2 6 7 4 4 6 1 3 9 3 7 7 2 4 4 2 5 9 9 4 6 5 7 1 5 5 7 2 6 12 6 3 10 5 7 CHƯƠNG 2 LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG VÀ MA TRẬN Cuối cùng, D là ma trận khoảng cách ngắn nhất giữa các đỉnh Theo hệ quả ta thấy đồ thị liên thông mạnh và chứa chu trình Từ hệ quả trên ta có thể sử dụng thuật toán Floyd vào đồ thị có hướng không có trọng số, với w(i, j) = 1 nếu tồn tại cung (i, j) và. .. đồ thị K4 dựa vào ma trận kề của nó B A D C Hình 2.2 Ma trận kề tương ứng là:  Ta có:  1 1 1 1 1 1   A=  1 1 1 1 1 1 3 2 A2 = 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 Vì các phần tử của A2 = 0 nên suy ra đồ thị K4 là đồ thị liên thông Liên quan tới các đường đi trên đồ thị biểu diễn qua ma trận bài toán sau đây cũng sử dụng ma trận có hiệu quả 17 Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán CHƯƠNG 2 LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ ... -Đối tượng: Đồ thị ma trận -Phạm vi nghiên cứu: Đồ thị có hướng ma trận kề Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu mối liên hệ đồ thị có hướng ma trận dựa thể số tính chất đồ thị ma trận kề tương... thuyết đồ thị ma trận Chương 2: Liên hệ đồ thị có hướng ma trận Chương 3: Một vài lớp đồ thị đặc biệt Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Chương Nhắc lại lý thuyết đồ thị ma trận 1.1 1.1.1 Đồ thị Đồ thị. .. Ngô Thị Hồng Diễm - K35-CN Toán Chương Liên hệ đồ thị có hướng ma trận 2.1 Biểu diễn đồ thị có hướng ma trận kề Cho đồ thị G = (V, E) V = {v1 , v2 , , vn} Ma trận kề biểu diễn đồ thị G ma trận có