TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ VÂN SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MJLS RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Hà Nội - 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ VÂN SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MJLS RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Người hướng dẫn khoa học: Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Th.s Nguyễn Trung Dũng Thầy giao đề tài "Sự ổn định hệ MJLS rời rạc" cho em tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo khoa Toán giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp K35A Toán nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, Ngày 16 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp kết nỗ lực tự thân hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn: Th.s Nguyễn Trung Dũng Nội dung khóa luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu công bố Hà Nội, Ngày 16 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Thị Vân LỜI NÓI ĐẦU Mô hình toán học toán gặp phải người làm điều khiển Bất đối tượng thực tế mô tả thuộc tính phương trình toán học Ứng với đối tượng khác lại có thuộc tính khác nhau, dẫn tới phương pháp mô hình toán học phương trình toán học mô tả khác Các phương trình toán tuyến tính, phi tuyến, liên tục, hay rời rạc Với đối tượng mà có thay đổi đột ngột đó, mô hình đối tượng thay đổi theo ta cần có tập hợp mô hình mô tả trạng thái tương ứng cách thức chuyển đổi mô hình Trên thực tế, ta xác xảy chuyển mô chuyển sang mô hình Ta đưa xác suất trình Trong luận văn này, em tìm hiểu lớp đối tượng vậy, ví dụ như: hệ thống kinh tế, hệ thống điều khiển máy bay, hệ thống điều khiển robot Các hệ thống mô hình tập mô hình tuyến tính gián đoạn với việc mô tả trình chuyển mô hình tuân theo quy luật xích Markov Những hệ thống thường gọi hệ thống tuyến tính bước nhảy (MJLS) Tiếp theo việc mô hình hóa hệ thống, phải khảo sát ổn định hệ thống Điều thực dựa phân tích mô hình Như vai trò việc mô hình hóa kiểm tra ổn định hệ thống vô quan trọng Ở đây, em trình bày luận văn tập trung vào vấn đề chứng minh ổn định hệ thống MJLS Luận văn bao gồm phần sau: Chương 1: Kiến thức sở Trình bày kiến thức toán học liên quan trình Markov, số bất đẳng thức ma trận tuyến tính, lý thuyết hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc (MJLS) Chương 2: Sự ổn định MJLS Trình bày hệ thống MJLS phân tích ổn định hệ thống ví dụ minh họa Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Mục lục Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quá trình Markov 1.1.1 Xích Markov 1.1.2 Xác suất chuyển trạng thái 1.1.3 Ma trận xác suất chuyển 1.1.4 Phương trình Chapman-Kolmogorov 1.2 Hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc(MJLS ) 11 1.2.1 Hệ MJLS rời rạc 11 1.2.2 Một số định nghĩa 11 1.3 Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính 12 1.3.1 Bổ đề Schur 12 1.3.2 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính 13 Chương CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH THEO MOMENT CẤP 15 2.1 Các tiêu chuẩn ổn định 15 2.2 Các ví dụ minh họa: 32 KẾT LUẬN 38 Tài liệu tham khảo 39 Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quá trình Markov Đầu kỷ XX, A A Markov (14 / / 1856 - 20 / / 1922) - nhà Toán học Vật lý tiếng người Nga đưa mô hình toán học để mô tả chuyển động phân tử chất lỏng bình kín Về sau mô hình phát triển sử dụng nhiều lĩnh vực khác học, sinh học, y học, kinh tế, mang tên là: Quá trình Markov Trong năm gần đây, trình Markov ứng dụng nhiều thương nghiệp, tin học, viễn thông, Xích Markov trường hợp riêng trình Markov (khi ta đánh số trạng thái) 1.1.1 Xích Markov Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa xích Markov Kí hiệu X(t) vị trí hệ thời điểm t E tập gồm giá trị X(t) E gọi không gian trạng thái X(t) Ta nói X(t) có tính Markov nếu: P{X(tn+1 ) = j|X(t0 ) = i0 , , X(tn−1 ) = in−1 , X(tn ) = i} = P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i} với t0 < t1 < t2 < < tn < tn+1 < i0 , i1 , , in−1 , i, j ∈ E Nếu X(t) có tính Markov E đếm X(t) gọi xích Markov Với t = 0, 1, ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc Với t ∈ [0, +∞) ta có khái niệm xích Markov với thời gian liên tục Ví dụ 1.1 Cho ξ0 , ξ1 , , ξn , dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, Ek tập giá trị ξk , Ek hữu hạn hay đếm (k = 0, 1, , n, ) ∞ Đặt E = Ek , rõ ràng E tập không đếm Khi đó, ta thấy: k=0 P{ξn+1 = j|ξ0 = i0 , , ξn−1 = in−1 , ξn = i} = P{ξn+1 = j} = P{ξn+1 = j|ξn = i} = p(n, i, n + 1, j) với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , , in−1 ∈ En−1 , i ∈ En , j ∈ En+1 Như (ξn ; n = 0, 1, ) xích Markov Ví dụ 1.2 Cho ξ0 , η1 , , ηn , dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, nhận giá trị số nguyên Đặt Xn = ξ0 + η1 + η2 + + ηn Ta có: P{Xn+1 = j|ξ0 = i0 , X1 = i1 , , Xn−1 = in−1 , Xn = i} = P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 } = P{ηn+1 = j − i|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 } = P{ηn+1 = j − i} P{Xn+1 = j|Xn = i} = P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 + η1 + η2 + + ηn = i} = P{ηn+1 = j − i|ξ0 + η1 + η2 + + ηn = i} = P{ηn+1 = j − i} Vậy (Xn ; n = 1, 2, ) xích Markov 1.1.2 Xác suất chuyển trạng thái Đặt p(s, i,t, j) = P{X(t) = j|X(s) = i}, (s < t) xác suất có điều kiện để hệ thời điểm s trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j Do ta gọi p(s, i,t, j) xác suất chuyển trạng thái hệ Nếu xác suất chuyển phụ thuộc vào (t − s), tức p(s, i,t, j) = p(s + h, i,t + h, j) ta nói hệ theo thời gian Nhận xét Các xích Markov ví dụ không Nếu ví dụ cho ξ0 , ξ1 , , ξn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập phân phối xác suất (ξn ; n = 0, 1, ) xích Markov ngược lại Nếu ví dụ cho η1 , η2 , , ηn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập phân phối xác suất (Xn , n = 1, 2, ) xích Markov Thật vậy, lập luận ta có: Định lý 2.1.6 Giả sử {σk } dãy Markov hữu hạn trạng thái với ma trận chuyển xác suất P = Πk = (pi j (k)) thỏa mãn Πk+p = Πk , (1.2.4) ổn định moment mũ cấp Q1 ( j), Q2 ( j), , Q p ( j), ( j ∈ N) ma trận xác định dương cho trước, tồn ma trận xác định dương P1 ( j), P2 ( j), , Pp ( j), ( j ∈ N) cho: N ∑ pi j (l)H T (i)Pl+1 ( j)H(i) − Pl (i) = −Ql (i), l ∈ p − j=1 N ∑ pi j (p)H T (i)P1 ( j)H(i) − Pp (i) = −Q p (i), i ∈ N (2.1.7) j=1 Chứng minh Điều kiện đủ: Định nghĩa: Pkp+l ( j) = Pl ( j), Qkp+l ( j) = Ql ( j), j ∈ N, k ≥ j ∈ p − định nghĩa hàm Lyapunov V (xk , σk ) = xkT Pk (σk )xk Từ Pl ( j)( j ∈ N, l ∈ p) xác định dương, V (., ) hàm xác định dương Từ ∆V (xk , σk ) = V (xk+1 , σk+1 )−V (xk , σk ) = xkT (H T (σk )Pk+1 (σk+1 )H(σk )−Pk (σk ))xk , thu E(∆V (xk , σk )|xk = x), σk = i)) = xT E(H T (σk )Pk+1 (σk+1 )H(σk )−Pk (σk )|σk = i)x Cho k ≥ l ∈ p − 1, ta thu được: E(∆V (xkp+l , σkp+l )|xkp+l = x, σkp+l = i) 25 = xT [E(H T (σkp+l )Pkp+l+1 (σkp+l+1 )H(σkp+l )|σkp+l ) − Pkp+l (i)] N = xT H T (i) ( ∑ P(σkp+l+1 = j|σkp+l = i)Pkp+l+1 ( j) H(i)x − xT Pkp+l (i)x j=1 N = xT H T (i) ( ∑ P(σl+1 = j|σl = i)Pl+1 ( j) H(i)x − xT Pl (i)x j=1 N = xT H T (i) ( ∑ pi j (l)Pl+1 ( j) H(i)x − xT Pl (i)x j=1 = −xT Ql (i)x (2.1.8) cho l = p, ta có: E(∆V (xkp+p , σkp+p )|xkp+p = x, σkp+p = i) N = xT ( ∑ H T (i)P(σkp+p+1 = j|σkp+p = i)Pkp+p+1 ( j)H(i) − Pkp+p (i) x j=1 N = xT ( ∑ H T (i)pi j (p)P1 ( j)H(i) − Pp (i) x j=1 = −xT Q p (i)x (2.1.9) Đặt µ1 = min{λmin (Ql jPl ( j)−1 ) : ≤ l ≤ p, ≤ j ≤ N} µ2 = max{λmax (Ql jPl ( j)−1 ) : ≤ l ≤ p, ≤ j ≤ N} Từ (2.1.7), ta có: Pl ( j) > Ql ( j) (l ∈ p j ∈ N) Từ bổ đề (1.3.3) ta thu được, < µ1 ≤ µ2 < Từ (2.1.8), (2.1.9), ta có: 26 E(∆V (xkp+l , σkp+l )|xkp+l = x, σkp+l = i) ≤ −µ1 xT Pl (i)x = −µ1V (x, i), l ∈ p − 1, i∈N E(∆V (xkp+p , σkp+p )|xkp+p = x, σkp+p = i) ≤ −µ1 xT Pp (i)x = −µ1V (x, i), i ∈ N Cộng hai bất phương trình trên, với i ∈ N k ≥ 0, ta có: E(∆V (xk , σk )|xk = x, σk = i) ≤ −µ1V (x, i) E(V (xk+1 , σk+1 )|xk = x, σk = i) ≤ (1 − µ1 )V (x, i) Điều dẫn tới E(V (xk+1 , σk+1 )) ≤ (1 − µ1 )E(V (xk , σk )) (2.1.10) Đặt λ1 = min{λmin (Pl ( j)) : l ∈ p, j ∈ N} λ2 = max{λmax (Pl ( j)) : l ∈ p, j ∈ N} Dễ dàng λ2 ≥ λ1 > từ (2.1.10), có: E||xk ||2 ≤ E{V (xk , σk )} λ2 ≤ E||x0 ||2 (1 − µ1 )k λ1 λ1 Điều dẫn tới (1.2.4) ổn định moment mũ cấp Điều kiện cần: Cho trước ma trận xác định dương Ql ( j)( j ∈ N l ∈ p), định nghĩa Qk ( j) Định nghĩa: Φ(m, k) = H(σm−1 )H(σm−2 ) H(σk ), m>k K PkK = ∑ ΦT (m, k)Qm (σm )Φ(m, k), m=k 27 k≥0 ν1 = min{λmin (Ql ( j)) : l ∈ p, j ∈ N} ν2 = max{λmax (Ql ( j)) : l ∈ p, j ∈ N} Ta phải chứng minh điều với k: K ∑ ΦT (m, k)Qm (σm )Φ(m, k), Pk∞ = m=k phần tử không gian Hilbert L2 (Ω, F, P) Giả sử (1.2.4) ổn định theo moment mũ cấp 2, tồn < α < B > cho: E||xm ||2 = E||Φ(m, k)z||2 ≤ B||xk ||2 α m−k , m > k ta có: E||PkK ||2 = sup Ex T ||x||=1 (PkK )T PkK x sup Ex ||x||=1 T PkK x K = sup Ex T ||x||=1 ∑Φ T (m, k)Qm (σm )Φ(m, k)x m=k K ≤ ν22 T ∑ E(Φ(m, k)x) (Φ(m, k)x) m=k K ≤ ν22 B2 ||x|| ∑α m−k m=k ν22 B2 ||x|| < +∞ ≤ 1−α Điều dẫn tới Pk∞ ∈ L2 (Ω, F, P) Định nghĩa: ∞ Pk = Pk∞ = ∑ ΦT (m, k)Q(σm )Φ(m, k), k ≥ m=k Khi ta có: Pk = H T (σk )Pk+1 H(σk ) + Qk (σk ) (k ≥ 0) Định nghĩa Pk (i) = E(Pk |σk = i) với k ≥ 0, thì: Pk (i) = H T (i)E(Pk+1 |σk = i)H(i) + Qk (i) i ∈ N 28 và: N E(Pk+1 |σk = i) = ∑ E(Pk+1 |σk+1 = j, σk = i)P(σk+1 = jσk = i) j=1 N = ∑ pi j (k)E(Pk+1 |σk+1 = j) j=1 N = ∑ pi j (k)Pk+1 ( j) j=1 Bây ta cần Pk (i) tuần hoàn theo k với chu kì p Thật vậy, ta có: Pk+p (i) = E(Pk+p |σk+p = i) ∞ = E( ∑ ΦT (m, k + p)Qm (σm )Φ(m, k + p)|σk+p = i) m=k+p ∞ = E( ∑ ΦT (m + p, k + p)Qm+p (σm+p )Φ(m + p, k + p)|σk+p = i) m=k ∞ = ∑ E(H T (σk+p ) · · · H T (σm+p )Qm+p (σm+p ) m=k × H(σm+p ) · · · H(σk+p )|σk+p = i) ∞ = ∑ m=k ∑ H T (i)H T (i1 ) · · · H T (im−k )Qm+p (im−k )H(im−k ) · · · H(i1 ) i1 , ,im−k × H(i)P(σk+p+1 = i1 , , σm+p = im−k |σk+p = i) ∞ = ∑ m=k ∑ H T (i)H T (i1 ) · · · H T (im−k )Qm (σm )H(im−k ) · · · H(i1 ) i1 , ,im−k × H(i)P(σk+1 = i1 , , σm = im−k |σk = i) ∞ = ∑ E(H T (σk ) · · · H T (σm )Qm (σm )H(σm ) · · · H(σk )|dk ) = Pk (i) m=k Theo trên, ta sử dụng tính có chu kỳ Qk (i) theo k từ P(σk+p+1 = i1 , , σm+p = im−k |σk+p = i) 29 = P(σk+1 = i1 , , σm = im−k |σk = i) Điều đây: P(σk+p+1 = i1 , , σm+p = im−k |σk+p = i) = P(σk+p+1 = i1 |σk+p = i)P(σk+p+2 = i2 |σk+p+1 = i1 , σk+p = i) × · · · × P(σm+p = im−k |σm+p−1 = im−k−1 , · · · , σk+p+1 = i1 , σk+p = i) = P(σk+p+1 = i1 |σk+p = i)P(σk+p+2 = i2 |σk+p+1 = i1 ) × · · · × P(σm+p = im−k |σm+p−1 = im−k−1 ) = P(σk+1 = i1 |σk = i)P(σk+2 = i2 |σk+1 = i1 ) × · · · × P(σm = im−k |σm−1 = im−k−1 ) = P(σk+1 = i1 , , σm = im−k |σk = i) Trong mục này, ta sử dụng tính chu kì Πk Tổng kết lí trên, ta có kết luận Pl ( j) = Pl ( j) ( j ∈ N l ∈ p) ma trận xác định dương nghiệm phương trình ma trận (2.1.7) Để phát triển kết chính, sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 • vec(AX) = (I ⊗ A)vec(X), vec(AXB) = (BT ⊗ A)vec(X) • Nếu A1 XB1 + · · · + Ak XBk = C, thì: [BT1 ⊗ A1 + · · · + BTk ⊗ Ak ]vec(X) = vec(C) 30 • vec(AX +Y B) = (I ⊗ A)vec(X) + (BT ⊗ I)vec(Y ) Định lý 2.1.7 Giả sử {σk } xích Markov hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển Πk = (pi j (k)), hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp tích ma trận ngẫu nhiên {∏ki=1 Ai } hội tụ theo mũ tới ma trận không,  H(1) ⊗ H(1) ···   ··· H(2) ⊗ H(2)  Ak =   ··· ···  ··· ··· ··· ···  ··· ··· ···       ··· H(N) ⊗ H(N) Hệ 2.1.2 Giả sử {σk } xích Markov nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P = (pi j ), hệ (1.2.4) ổn định (ngẫu nhiên, mũ) moment cấp ma trận: A = diag{H(1) ⊗ H(1), H(2) ⊗ H(2), , H(N) ⊗ H(N)}(PT ⊗ I) ổn định Schur Giả sử ma trận xác suất chuyển Πk tuần hoàn theo chu kì p, hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp A p A p−1 A1 ổn định Schur Giả sử ma trận xác suất chuyển Πk xấp xỉ ma trận ma trận xác suất chuyển Π, hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp ma trận A(Π) = diag{H(1) ⊗ H(1), H(2) ⊗ H(2), , H(N) ⊗ H(N)}(ΠT ⊗ I) ổn định Schur 31 2.2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 2.2 Xét hệ MJLS xk+1 = a(σk )xk , x0 biết Ở đây, xét xích Markov với trạng thái cho ma trận phân phối xác suất sau:         P=       0 0 p21 p23 0 p26 0 0 0 0 0 p53 0 p72 p55 0 0 0 0                p77 Dễ dàng, {6} trạng thái hấp thụ, {3, 4} lớp truyền ứng, {1, 2, 5, 7} trạng thái chuyển Bài toán trở thành, tìm điều kiện cho ổn định moment cấp Chúng ta phải kiểm tra ma trận A cho bởi:  a2 (1) p21 0 0   a2 (2) 0 0 p72 a2 (2)    p23 a2 (3) a2 (3) p53 a2 (3) 0   P= 0 a2 (4) 0 0   0 0 p55 a2 (5) 0    p26 a2 (6) 0 a2 (6)  0 0 0 a2 (7)                Ta có det(λ I − A) = (λ − p21 a2 (1)a2 (2))(λ − a2 (3)a2 (4))(λ − p55 a2 (5)) × (λ − a2 (6))(λ − p77 a2 (7)) A ổn định Schur p21 a2 (1)a2 (2) < 1, a2 (3)a2 (4) < 1, p55 a2 (5) < 1, a2 (6) < 1, p77 a2 (7) < Đó điều kiện cần đủ cho hệ (1.2.4) ổn định theo 32 moment cấp Ví dụ 2.3 Ổn định hình thức không đảm bảo ổn định moment cấp Cho H(1) = 0.5 10 0.5 , H(2) = 0.5 10 0.5 ma trận ổn định Schur • Giả sử ma trận xác suất chuyển P= 1 Trong trường hợp chọn Q(1) = Q(2) = I Sử dụng liệu định lí (2.1.1) ta thu H(1) = 0.9981 -0.0503 −0.0503 -0.0075 , H(2) = −0.0075 -0.0503 −0.0503 0.9981 ma trận không xác định dương Theo định lí (2.1.1) ta có (1.2.4) không ổn định theo moment cấp hình thức ma trận H(1), H(2) ổn định Theo hệ (2.1.2) ta tính giá trị riêng ma trận kiểm tra A 0.25, 0.25, - 0.25, - 0.25, 0.0006, - 0.0006, 100.4994, - 100.4994 Vậy A không ổn định Schur • Giả sử trình gồm trạng thái độc lập, đồng có phân phối xác suất với ma trận xác suất chuyển 0.5 P= 0.5 0.5 0.5 Nếu muốn sử dụng kết định lí (2.1.1) với Q(1) = Q(2) = I, cần tính nghiệm phương trình Lyapunov Sau trình: 33 P(1) = 0.9970 -0.0807 −0.0807 -1.0212 , P(2) = −1.0212 -0.0807 −0.0807 0.9970 ma trận không xác định dương, (1.2.4) không ổn định theo moment cấp Tuy nhiên, kiểm tra ma trận A theo hệ (2.1.2) có 50.7451 - 49.75 giá trị riêng nó, không ổn định Schur Từ trình độc lập, đồng có phân phối xác suất, kiểm tra tiêu chuẩn đơn giản đưa hệ (2.1.1) Chọn S = I, thu nghiệm cặp phương trình Lyapunov định lý (2.1.4) R= −0.0121 -0.0807 −0.0807 -0.0121 ma trận không xác định dương Từ hệ (2.1.1), kết luận (1.2.4) không ổn định moment cấp • Giả sử trình có ma trận xác suất chuyển P= 0.2 0.8 0.1 0.9 Giải cặp phương trình Lyapunov định lý (2.1.1) ta thu P(1) = 0.9787 -0.4575 −0.4573 -9.0346 , P(2) = −0.3512 -0.0436 −0.0436 0.9989 ma trận không xác định dương Vậy (1.2.4) không ổn định moment cấp Tuy nhiên, kiểm tra ma trận A có giá trị riêng 28.9686, A không ổn định Ví dụ 2.4 Không ổn định mẫu không kết luận hệ không ổn định moment cấp Cho H(1) = -1 0.5 , H(2) = 34 0.5 1 • Giả sử {σk } trạng thái dãy Markov với ma trận xác suất chuyển P= 0.3 0.7 0.8 0.2 Sau tính toán đơn giản, ta thu giá trị riêng ma trận kiểm tra A hệ (2.1.2) 0.5695, -0.2195, 0.5168, -0.2418, -0.25, 0.5, 0.5 -0.25 Vậy A ổn định Schur, theo hệ (2.1.2) ta kết luận (1.2.4) ổn định moment cấp Thật vậy, ta giải cặp phương trình Lyapunov định lý với Q(1) = Q(2) = I thu P(1) = 3.1429 -2.2857 −2.2857 4.6964 , P(2) = 1.7143 0.5714 0.5714 5.2321 ma trận xác định dương Từ định lý (2.1.1) ta có kết luận hệ (1.2.4) ổn định moment cấp • Giả sử trình {σk } trạng thái xích Markov với thời gian không đồng với ma trận xác suất chuyển  0.3 + e−(k+1)  Πk =  sin2 k 0.8 − (k + 2)2 0.7 − e−(k+1)   sin2 k  0.2 + (k + 2)2 Sử dụng hệ (2.1.2) ta cần sử dụng trạng thái ổn định ma trận xác suất chuyển với P = lim Πk = k→∞ 0.3 0.7 0.8 0.2 Từ thảo luận trước, kết luận (1.2.4) với ma trận xác suất chuyển P ổn định moment cấp Từ hệ (2.1.2) kết luận hệ (1.2.4) với chuỗi Markov không đồng có ma trận xác suất chuyển Πk ổn định moment mũ cấp Ví dụ 2.5 Loại hệ điều khiển đáng tin cậy Hệ điều khiển mô tả hệ thức xk+1 = Axk + B(σk )uk , 35 (2.2.11) A= B(1) = 1.71828 2.71828 0 0.36788 1.72828 , −0.63212 0.63212 B(3) = 1.71828 B(2) = , −0.63212 , B(4) = 1.71828 0.63212 0 0 , Mô hình cho biết biến cố bị hỏng khôi phục không cho hệ đáng tin cậy, với hai thiết bị truyền động, thiết bị truyền động bị hỏng cần phải tự hồi phục Trạng thái {σk } biểu thị hai thiết bị hoạt động tốt Trạng thái biểu thị hai thiết bị bị hỏng tự hồi phục Trạng thái biểu thị hai thiết bị hỏng Cho p f pr kí hiệu tốc độ hỏng tốc độ tự hồi phục, biến cố thiết bị hỏng thiết bị có khả tự hồi phục biến cố độc lập, ma trận xác suất chuyển P cho bởi:  (1 − p f )2 (1 − p f )pr (1 − p f )pr p2r   p f (1 − p f ) (1 − p f )(1 − pr ) pr p f pr (1 − pr ) P=  pr p f (1 − p f )(1 − pr ) pr (1 − pr )  p f (1 − p f ) p2f (1 − pr )p f (1 − pr )p f       (1 − pr )2 Bài toán cần tìm luật điều khiển nối tiếp uk = G(σk )xk cho hệ điều khiển có chu trình đóng đáng tin cậy, đòi hỏi ổn định bình phương mong đợi hữu hạn, điều nói chung tương đương với ổn định mũ moment cấp hệ điều khiển có chu trình đóng Giả sử pr = 0.1 p f = 0.9, chọn hệ điều khiển nối tiếp uk = G(σk )xk , đó: G(i) = −0.8890 0.04222 −0.7752 -0.9914 36 , (i = 1, 2, 3, 4) hệ ma trận mô hình đặc biệt có chu trình đóng cho H(σk ) = A + B(σk )G(σk ), cụ thể là: H(1) = H(3) = −0.1490 -1.6409 0.0719 -0.2855 1.1907 0.0725 0.5620 0.3412 , H(2) = , H(4) = 1.3785 -1.7134 −0.49 -0.2588 2.71828 0 0.36788 , Giải cặp phương trình định lý (2.1.1) với Q(i) = I(i = 1, 2, 3, 4), ta có: P(1) = P(3) = 1.2809 1.3087 1.3087 23.0683 3.0268 0.5840 0.5840 1.3098 , P(2) = , P(4) = 3.1538 -1.5980 −1.5980 3.6128 1.6751 0.0030 0.0030 1.0393 , ma trận xác định dương, từ định lý (2.1.1) hệ điều khiển chu trình đóng (2.2.11) với luật điều khiển cho ổn định moment cấp 2, hệ tin cậy với luật điều khiển cho Tất điều kiểm tra rễ ràng hệ (2.1.2), giá trị riêng ma trận kiểm tra A hệ (2.1.2) 0.6359, -0.1943, 0.0654, -0.0653, A ổn định Từ hệ (2.1.2) hệ điều khiển chu trình đóng (2.2.11) với luật điều khiển cho ổn định mũ moment cấp 37 KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày ổn định theo moment cấp (hay ổn định bình phương trung bình) hệ MJLS rời rạc Bằng phương pháp Lyapunov thứ 2, dựa cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính, em chứng minh số tiêu chuẩn ổn định, ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ MJLS rời rạc Kết cụ thể là: • Điều kiện cần đủ cho hệ MJLS rời rạc {σk } xích Markov nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P ổn định moment cấp mũ • Điều kiện cần đủ cho hệ MJLS rời rạc {σk } xích ngẫu nhiên hữu hạn độc lập phân phối đồng với phân phối xác suất {p1 , p2 , , pN } ổn định ngẫu nhiên moment cấp • Giả sử {σk } dãy Markov với trạng thái thời gian nhất, hữu hạn tính ổn định moment cấp 2, ổn định ngẫu nhiên moment cấp ổn định moment hệ MJLS tương đương • Điều kiện cần đủ cho hệ MJLS {σk } xích Markov có không nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P = (pi j (k))N×N • Điều kiện cần đủ cho hệ MJLS dãy Markov hữu hạn trạng thái với ma trận chuyển xác suất P = Πk = (pi j (k)) thỏa mãn Πk+p = Πk Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2004 [2] Yuguang Fang , Thesis stochastic stability of jump linear systems, Case Western Reserve University, 1994 [3] Yuguang Fang and Kenneth A Loparo, Stochastic stability of jump linear systems, IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL 47, NO 7, JULY 2002 [4] Costa O.L.V Fragoso M.D Marques R.P, Probability and Its Applications -Discrete-time Markov jump linear systems, Springer 2004 39 [...]... TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH THEO MOMENT CẤP 2 2.1 Các tiêu chuẩn ổn định Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự ổn định theo moment cấp 2 (hay ổn định bình phương trung bình) của hệ (1.2.4) Ở đây, chúng ta sử dụng phương pháp Lyapunov thứ hai để nghiên cứu sự ổn định Định lý 2.1.1 Giả sử {σk } là một xích Markov thuần nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P Khi đó, hệ (1.2.4) là ổn định moment... Trước tiên, chúng ta tìm điều kiện cần và đủ để hệ trong ví dụ ổn định Trong định lý này, chúng ta chỉ ra rằng (1.2.4) ổn định moment cấp 2 nếu và chỉ nếu A ổn định Schur Chứng minh Kí hiệu: A ≥ B để định nghĩa sự không bằng nhau theo từng phần tử và ρ(A) định nghĩa bán kính phổ của ma trận A Điều kiện cần: Giả sử (1.2.4) là ổn định moment cấp 2, từ định lý (2.1.2), cho S(1) = S(2) = = S(N) = 1, thì... } Khi đó, hệ (1.2.4) được gọi là hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc hay MJLS rời rạc 1.2.2 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Hệ (1.2.4) được gọi là ổn định σ - moment mũ (exponentially σ - moment stable) nếu ∀x0 ∈ Rx , tồn tại các hằng số α, β > 0 độc lập với x0 sao cho: E{||xk (x0 , w)||δ } ≤ α.||x0 ||δ e−β k , k ≥ 0 Định nghĩa 1.2.2 Hệ (1.2.4) được gọi là ổn định σ - moment ngẫu nhiên (stochastically... = (pi j ), thì hệ (1.2.4) ổn định (ngẫu nhiên, mũ) moment cấp 2 nếu ma trận: A = diag{H(1) ⊗ H(1), H(2) ⊗ H(2), , H(N) ⊗ H(N)}(PT ⊗ I) ổn định Schur 2 Giả sử ma trận xác suất chuyển Πk tuần hoàn theo chu kì p, thì hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp 2 nếu A p A p−1 A1 ổn định Schur 3 Giả sử ma trận xác suất chuyển Πk có thể xấp xỉ bởi ma trận ma trận xác suất chuyển Π, thì hệ (1.2.4) ổn định mũ moment... gian thuần nhất, hữu hạn thì tính ổn định moment cấp 2, ổn định ngẫu nhiên moment cấp 2 và ổn định moment mũ cấp 2 của hệ (1.2.4) là tương đương 22 Ví dụ 2.1 Giả sử H(i) = ai (i ∈ N) là vô hướng và định nghĩa:  p11 a21 p12 a22 p1N a2N    p21 a2 1  A=   pN1 a21 p22 a22 p2N a2N pN2 a22 pNN a2N       Chúng ta muốn tìm điều kiện cần và đủ cho (1.2.4) ổn định theo moment cấp 2 Trước tiên,... p55 a2 (5)) × (λ − a2 (6))(λ − p77 a2 (7)) A ổn định Schur nếu và chỉ nếu p21 a2 (1)a2 (2) < 1, a2 (3)a2 (4) < 1, p55 a2 (5) < 1, a2 (6) < 1, và p77 a2 (7) < 1 Đó là điều kiện cần và đủ cho hệ (1.2.4) ổn định theo 32 moment cấp 2 Ví dụ 2.3 Ổn định mỗi hình thức không đảm bảo ổn định moment cấp 2 Cho H(1) = 0.5 10 0 0.5 , H(2) = 0.5 0 10 0.5 là các ma trận ổn định Schur • Giả sử ma trận xác suất chuyển... hợp này chọn Q(1) = Q(2) = I Sử dụng dữ liệu của định lí (2.1.1) ta thu được H(1) = 0.9981 -0.0503 −0.0503 -0.0075 , H(2) = −0.0075 -0.0503 −0.0503 0.9981 là các ma trận không xác định dương Theo định lí (2.1.1) ta có (1.2.4) không ổn định theo moment cấp 2 mặc dù hình thức của mỗi ma trận H(1), H(2) ổn định Theo hệ quả (2.1.2) ta tính được các giá trị riêng của ma trận kiểm tra A là 0.25, 0.25, - 0.25,... lập và phân phối thuần nhất, nếu sử dụng định lý (2.1.1), thì chúng ta cần giải N cặp phương trình Lyapunov, điều này gây phức tạp hơn so với việc sử dụng hệ quả (2.1.1) Theo trên chúng ta chỉ xét tính ổn định ngẫu nhiên của moment cấp 2 Đây không còn là vấn đề bởi vì kết quả sau đây chỉ ra điều kiện cần và đủ cho ổn định moment cấp 2 và ổn định moment mũ cấp 2 Định lý 2.1.4 Giả sử {σk } là dãy Markov... trong vài trường hợp đặc biệt, định lý cung cấp một cách kiểm tra dễ dàng tính ổn định ngẫu nhiên Ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.1.1 Giả sử rằng {σk } là một xích ngẫu nhiên hữu hạn độc lập và phân phối đồng nhất với phân phối xác suất {p1 , p2 , , pN }, thì hệ (1.2.4) ổn định ngẫu nhiên moment cấp 2 nếu và chỉ nếu với ma trận xác định dương S đều tồn tại một ma trận xác định dương R sao cho thỏa mãn... (i)R(i)H(i) − P(i) − H T (i)S(i)H(i) = αH T (i)H(i) − αI − H T (i)S(i))H(i) = −Q(i), và P(i), Q(i)(i = 1, 2, , N) xác định dương, P(i) là nghiệm của. (2.1.1) Từ (2.1.5) và lý thuyết của phương trình Lyapunov, chúng ta chỉ ra được ổn định √ Schur của pii H(i)(i ∈ N) là điều kiện cần cho ổn định moment cấp 2 Chúng ta gọi (2.1.1), hoặc (2.1.5) là cặp phương trình Lyapunov Trong khi thực 21 hành, không dễ ... đẳng thức ma trận tuyến tính, lý thuyết hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc (MJLS) Chương 2: Sự ổn định MJLS Trình bày hệ thống MJLS phân tích ổn định hệ thống ví dụ minh họa Tuy có nhiều cố... ổn định, ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ MJLS rời rạc Kết cụ thể là: • Điều kiện cần đủ cho hệ MJLS rời rạc {σk } xích Markov nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P ổn. .. cho (1.2.4) ổn định theo moment cấp Trước tiên, tìm điều kiện cần đủ để hệ ví dụ ổn định Trong định lý này, (1.2.4) ổn định moment cấp A ổn định Schur Chứng minh Kí hiệu: A ≥ B để định nghĩa không