LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Toán – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành đề tài luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Cao Thị Thanh Huệ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Trần Văn Bằng với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em không trùng với kết tác giả khác.Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Cao Thị Thanh Huệ MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A Một số khái niệm Cấp phương trình vi phân Phương trình vi phân thường B Một số dạng phƣơng trình vi phân Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân cấp 3 Phương trình cấp Phương trình vi phân toàn phần 5 Phương trình tuyến tính cấp 6 Phương trình tuyến tính với hệ số Phương trình không Phương pháp hệ số bất định Chƣơng ỨNG DỤNG A Một số ứng dụng vật lý Vận tốc thoát khỏi Trái Đất Vật thể rơi 11 Dao động lò xo 11 Dao động không tắt dần 13 Sự cộng hưởng 15 Dao động tắt dần 16 Con lắc đơn 18 Định luật Newton chuyển động hành tinh 19 Lực xuyên tâm định luật II Kepler 21 10 Định luật I Kepler 22 11 Định luật III Kepler 24 12 Bài toán quỹ đạo 26 B Một số ứng dụng hóa học kinh tế 33 Định luật làm lạnh Newton 33 Sự chuyển đổi hóa chất đơn giản 35 Tăng trưởng logictic giá hàng hóa 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI NÓI ĐẦU Sự phát triển toán học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rự rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích toán học Với đời ngành Giải tích toán học, đặc biệt giải tích hàm toán thực tế sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, … giải nhanh gọn xác Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng việc nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình vi phân phần Giải tích Có thể nghiên cứu phần để thấy hay môn học thực tế môn khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải toán dao động lò xo, lắc đơn, định luật Newton… Xuất phát từ nhận thức long ham mê môn học, em mạnh dạn chọn đề tài: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN” để thực khoá luận tốt nghiệp Khoá luận bao gồm nội dung: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A MỘT SỐ KHÁI NIỆM Cấp phƣơng trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ d2y  dy   2   y  dx  dx  phương trình cấp 2 Phƣơng trình vi phân thƣờng Phương trình F  x, y, y ', y  n    gọi phương trình vi phân thường cấp n B MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng trình tuyến tính Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính viết dạng b0  x  dny d n1 y dy  b x   bn1  x   bn  x  y  R  x  1  n n 1 dx dx dx Phƣơng trình vi phân cấp 2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát F  x, y, y '  hàm F xác định miền D  R3 Hoặc từ (2.1) ta giải (2.1) y '  f  x, y  ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phương trình vi phân giải đạo hàm dạng đối xứng M  x, y  dx  N  x, y  dy  2.2 Cách giải Ta dùng phương pháp tách biến - Đưa phương trình vi phân cấp dạng A  x  dx  B  x  dy  (2.2) A  x  B  y  hàm phụ thuộc x y - Tích phân hai vế phương trình (2.2) ta tích phân tổng quát (2.2)  A  x  dx   B  y  dy  C 2.3 Ví dụ Giải phương trình 2x 2y dx  dy  1 x  y2 Ta có tích phân tổng quát 2x 2y  1 x dx   1 y dy C hay ln 1  x   ln 1  y   C , C 0 Do 1  x 1  y   C '; 2 tích phân tổng quát phương trình C '  eC Phƣơng trình cấp 3.1 Định nghĩa Phương trình M  x, y  dx  N  x, y  dy  (3.1) gọi phương trình M  x, y  N  x, y  hàm bậc Cách giải - Đưa (3.1) dạng dy y  g    dx x (3.2) - Đặt y  vx , phương trình (3.2) trở thành x dv  v  g  v   dx (3.3) - Giải (3.3) phương pháp tách biến Phƣơng trình vi phân toàn phần 4.1 Định nghĩa Phương trình M  x, y  dx  N  x, y  dy  (4.1) gọi phương trình vi phân toàn phần tồn hàm F  x, y  khả vi cho dF  x, y   M  x, y  dx  N  x, y  4.2 Cách giải Xác định F F  M N x y Từ hai phương trình ta tìm F cho F thoả mãn phương trình lại ta tìm nghiệm tổng quát (4.1)   F x, y C Phƣơng trình tuyến tính cấp 5.1 Định nghĩa Phương trình tuyến tính cấp có dạng dy  P  x y  Q  x dx (5.1) 5.2 Cách giải - Đưa phương trình dạng (5.1) - Tìm thừa số tích phân exp   Pdx  - Nhân hai vế (5.1) với thừa số tích phân - Giải phương trình vi phân toàn phần 5.3 Nghiệm tổng quát Giả sử v thừa số tích phân phương trình Khi nghiệm tổng quát phương trình y  v1  vQdx  Cv1 Phƣơng trình tuyến tính với hệ số Dạng tổng quát a0 y    a1 y  n n 1   an1 y ' an y  (6.1) a0 , a1, , an số thực Giả sử y1, y2 , , yn hệ nghiệm phương trình (6.1) y  c1 y1  c2 y2   cn yn nghiệm tổng quát phương trình (6.1) Phƣơng trình không Phƣơng pháp hệ số bất định 7.1 Phƣơng trình không Dạng tổng quát a0 y   a1 y n n1   an1 y ' an y  R  x  (7.1) Giả sử y p nghiệm riêng (7.1) yc nghiêm phương trình 10 tương ứng Khi y  y p  yc nghiệm tổng quát phương trình (7.1) 7.2 Phƣơng pháp hệ số bất định  Trƣờng hợp Hàm R  x  có dạng đa thức cấp m nhân với hàm mũ R  x    b0 x m  b1x m1   bm1x  bm  e x b0 , b1 , , bm ,  số Ta kí hiệu Pm  x   b0 x m  b1 x m1   bm1x  bm (7.3) -  nghiệm phương trình đặc trưng F     a0 n  a1 n1   an1  an  tức F    Khi ta tìm nghiệm riêng (7.1) dạng y*  x   Qm  x  e x (7.4) Qm  x  đa thức cấp m với hệ số ta cần xác định Qm  x   d x m  d1 x m1   d m Để xác định hệ số d0 , d1, dm ta thay (7.4) vào (7.3) sau giản ước thừa số e x ta đồng hệ số lũy thừa bậc x hai vế -  nghiệm bội k  k  1 phương trình đặc trưng Khi F    F '     F  k 1    0; F k     (7.5) Trong trường hợp ta tìm nghiệm riêng y*  x  dạng (7.4) F    không cho phép ta xác định hệ số d0 , d1, , dm Ta tìm nghiệm riêng y*  x  dạng y*  x   x k Qm  x  e x Để xác định hệ số d0 , d1, , dm ta làm phần trước 11 (7.6) Khi hai đường cong l L vuông góc với nên dy  dY dx dX Do quỹ đạo đẳng giác nghiệm phương trình     X ,Y ,  dY  dX       Đổi kí hiệu X ,Y x, y ta có quy tắc tìm quỹ đạo đẳng giác họ đường cong (12.1) sau - Tìm phương trình vi phân họ đường cong (12.1) dy k dy  dx - Trong phương trình vi phân tìm thay   dy dx 1 k dx (tức trường hợp tìm quỹ đạo đẳng giác) thay  dy    dy dx dx (tức trường hợp tìm quỹ đạo trực giao) Giải phương trình vi phân thu quỹ đạo đẳng giác trực giao tương ứng Ví dụ Cho họ đường cong y   x  Tìm quỹ đạo cắt họ đường thẳng góc  không đổi Giải  Xét trường hợp    Lập phương trình vi phân họ đường thẳng   y x     y '   32 Khử  ta y'  y x Vậy phương trình vi phân quỹ đạo phải tìm dy k y dx  dy x 1 k dx  k  tan   hay dy kx  y  dx x  ky Nhân hai vế phương trình với ta k  x  y2  xdy  ydx xdx  ydy  k x2  y x  y2 hay    y d  arctan   d ln  x  y  k  x Do y arctan  ln  x  y   ln C1 k x hay x  y  Ce 2 y arctan k x Chuyển sang toạ độ cực   x  r cos    y  r sin  ta r  Ce 33  k Đây đường xoắn ốc logarit  Xét trường hợp    tức trường hợp tìm quỹ đạo trực giao Khi ta có phương trình vi phân quỹ đạo phải tìm 1 y  dy x dx Hay xdx  ydy  Tích phân ta C  x2  y  C Đây họ đường cong tâm gốc tọa y o x =  Hình c Trường hợp tọa độ cực Có trường hợp toán quỹ đạo giải đơn giản dùng tọa độ cực   x  r cos    y  r sin  0 2 34 y T T1  L R   l o x Hình3 Giả sử họ đường cong (12.1) cho phương trình tọa độ cực   r , ,    (12.5) Gọi L quỹ đạo đẳng giác M  r1 ,1  điểm Ký hiệu   T1MR ( góc tiếp tuyến MT1 L M bán kính vecto OM ),    TMR ( góc tiếp tuyến MT l M OM ) Theo hình vẽ ta có 1     Nhưng r r tan 1  ; tan   r1 r dr dr r1  r  d d  Trường hợp    Đặt tan   k ta có tan   tan 1  tan  tan 1  k   tan  tan 1  k tan 1 hay theo 35 r1 k r r1  r r  k r1 Lập phương trình vi phân họ đường cong (12.1) theo phần trước ta F  r , , r     hay   r F  r , , r    r    r1  k r r Thay r , , tương ứng r1 ,1 , ta suy phương trình vi phân r1 r k r1 quỹ đạo đẳng giác r1   k  r F  r1 ,1 ,  r1  k  r1    0     r r1  Trường hợp   Khi tan   nên  phương trình tan 1 r r1  vi phân quỹ đạo trực giao  r12   F r1 ,1 ,    r1   Ví dụ Tìm quỹ đạo trực giao họ Cardioid cho phương trình r   1  cos  36 (12.6) Giải Ta có r   sin  Do phương trình vi phân họ (12.6) r sin  r  cos Theo công thức phương trình vi phân quỹ đạo trực giao r2 r sin     cos r hay r  cos sin    r r sin   cos Giải phương trình ta họ quỹ đạo trực giao r  C 1  cos  1.2 BÀI TẬP Tìm quỹ đạo đẳng giác họ đường cong a x2  y   (dưới góc  ) b x2  ny  a ( n số) Tìm quỹ đạo trực giao họ đường cong sau a Họ parabol y  ax b Họ đường cong bậc hai đồng dạng x2  ny  a c Họ lemiscas  x  y   2a  x  y  Tìm đường cong cắt họ đường cong   a 1  cos  góc không đổi  B Một số ứng dụng hoá học kinh tế Định luật làm lạnh Newton Những thí nghiệm tiến hành điều kiện xác nhiệt độ xấp xỉ vật tìm nhờ định luật làm lạnh Newton 37 Nhiệt độ vật thay đổi với tốc độ mà tỷ lệ với độ chênh nhiệt độ môi trường bên nhiệt độ vật Giả sử số tỷ lệ dù nhiệt độ tăng hay giảm Ví dụ Một nhiệt kế 700F nhà, đặt bên nơi có nhiệt độ không khí 100F Ba phút sau nhiệt kế 250F Chúng ta dự đoán nhiệt độ thời điểm khác Giả sử u (F) nhiệt độ nhiệt kế thời điểm t (phút) Thời gian đo từ lúc nhiệt kế đặt bên Ta có t  u  70 t  u  25 Theo định luật Newton biến thiên nhiệt độ theo thời gian, du , tỷ lệ với độ chênh lệch nhiệt độ  u 10  Vì nhiệt độ nhiệt kế giảm dt nên chọn  k  số tỷ lệ Khi ta có phương trình vi phân du  k  u  10  dt Ta có nghiệm u  10  Ce kt Tại t  u  10  C  70 Do C  60 Vì ta có u  10  60e kt Tại t  u  10  60e3k  25 Từ suy e3k  Vì k  ln 38 (1.1) Vậy nhiệt độ xác định phương trình  1 u  10  60exp    t ln   BÀI TẬP Bài Một nhiệt kế 180F mang vào phòng nơi có nhiệt độ 700F, phút sau nhiệt kế 310F Hãy xác định nhiệt độ hàm thời gian tìm nhiệt độ sau năm phút nhiệt kế mang vào phòng Bài Một nhiệt kế 750F mang nơi có nhiệt độ 200F Bốn phút sau nhiệt kế 300F Tìm nhiệt độ sau bảy phút nhiệt kế mang Sự chuyển đối hoá chất đơn giản Kết thí nghiệm ra, phản ứng hoá học chất A chuyển thành chất khác tốc độ chuyển hoá tỷ lệ với lượng chất không bị chuyển hoá x Giả sử lượng chất không bị biến đổi thời điểm t  x0 Khi lượng x thời điểm t  xác định phương trình vi phân dx  kx dt (2.1) điều kiện x  x0 t  Vì lượng x giảm thời gian tăng lên nên số tỷ lệ (2.1) xác định  k  Từ (2.1) ta có nghiệm x  Ce kt Từ x  x0 t  ta suy C  x0 Vì ta có x  x0ekt Ta giả sử t  30s (2.2) lượng chất ban đầu x0 vừa bị biến đổi Ta xác định lượng chất không bị biến đổi lại t  60s 39 Khi lượng chất bị biến đổi lượng chất lại không bị biến đổi 3 Do x  x0 t  30 Từ (2.2) ta có x0  x0e 30t Từ ta có k  ln Khi với t đo giây lượng chất không 30 bị biến đổi xác định phương trình   x  x0 exp  t ln   30  (2.3) Tại t  60  1  x  x0 exp  60ln   x0 exp  2ln 3  30  Tăng trƣởng logictic giá hàng hoá Nhiều nỗ lực thực để phát triển mô hình nghiên cứu phát triển dân số Một mô hình đơn giản cho việc nghiên cứu là: giả sử tỷ lệ sinh đẻ trung bình số dương tỷ lệ tử vong trung bình tỷ lệ với dân số Nếu x  t  dân số thời điểm t giả sử dẫn đến phương trình vi phân dx  b  ax x dt (3.1) Trong b a số dương Phương trình gọi phương trình logictic phát triển dân số xác định phương trình (3.1) gọi tăng trưởng logictic Từ (3.1) ta có 40 dx  dt x  b  ax  a  1  x  b  ax  dx  bdt   Từ ta có ln x  bt  C b  ax x  eC ebt b  ax (3.2) Giả sử t  dân số số x0 Khi ta có x x0  ebt b  ax b  ax Từ ta có bx0ebt x t   b  ax0  ax 0ebt (3.3) Ta thấy bx0ebt b x0ebt a lim x  t   lim  lim  t  t  b  ax  ax ebt t  abx ebt b 0 Phương trình logictic (3.1) cho biết tăng trưởng hay suy giảm dân số phụ thuộc vào dân số ban đầu hay lớn a b Xét ví dụ ứng dụng phương trình vi phân cấp Xét mô hình kinh tế thị trường hàng hoá định Giả sử giá P , nguồn cung S nhu cầu D hàng hoá hàm thời gian biến thiên giá tỷ lệ với độ chênh nhu cầu nguồn cung Nghĩa 41 dP  k D  S dt (3.4) Giả sử số k dương giá tăng nhu cầu vượt nguồn cung Nhiều mô hình khác thị trường hàng hoá kết phụ thuộc vào tính chất hàm cung hàm cầu Ví dụ, giả sử D  c  dP S  a  bP (3.5) a, b, c d số dương Ta có phương trình vi phân tuyến tính P dP  k  c  a    d  b  P  dt (3.6) (3.5) phản ánh xu hướng nhu cầu giảm giá tăng nguồn cung tăng giá tăng Giả sử  P  c để D không âm d Từ (3.6) ta có dP  k  d  b P  k c  a  dt Nghiệm tổng quát (3.7) P  t   C1e  k  d b t  ca d b Giả sử t  P  P0 Khi ta có P0  C1  c a d b C1  P0  ca d b Do 42 (3.7) Vì c  a  k  d b t c  a  P  t    P0   e d b d b  (3.8) Phương trình (3.8) với giả định (3.4) (3.5) giá ổn định giá trị ca t lớn d b BÀI TẬP Một quần thể vi khuẩn biết có mẫu tăng trưởng hợp lý với quần thể ban đầu 1000 trạng thái cân quần thể 10.000 Kiểm tra cho thấy cuối có 2000 vi khuẩn diện Hãy xác định quần thể hàm thời gian Việc cung cấp thực phẩm cho dân số định tuỳ thuộc vào thay đổi theo mùa ảnh hưởng đến tốc độ tăng trưởng dân số Phương trình vi phân dx dx = Cx(t)cost  Cx  t  cos t , C số dưong, quy định dt dt mô hình đơn giản cho tăng trưởng dân số theo mùa Giải phương trình vi phân giới hạn dân số ban đầu x0 số C Hãy xác định dân số lớn nhỏ khoảng thời gian giá trị lớn Giả sử thể người tiêu hao loại thuốc mức tỷ lệ thuận với số tiền thuốc y xuất máu thời điểm t Ở thời điểm t  , mũi tiêm y0  g  thuốc vào thể mà trước thể thuốc a Tìm lượng thuốc lại máu cuối T b Nếu thời điểm T mũi tiêm thứ hai y0  g  đưa vào thể tìm lượng thuốc lại cuối 2T c Nếu cuối khoang thời gian có độ dài T liều thuốc y0  g  đua vào thể tìm lượng thuốc lại cuối nT 43 d Tìm giá trị giới hạn kết phần c n tiến vô Nếu hàm cầu cung cho thị trường hàng hoá D  c  dP S  asin  t xác định P  t  phân tích dáng điệu t tăng Nghiên cứu thị trường hàng hoá định cho thấy hàm cầu cung xác định D  c  dP S  a  bP  q sin  t , a, b, c, d , q  số dương Hãy xác định P  t  phân tích dáng điệu t tăng Một kí túc xá đại học cho 100 sinh viên,mỗi ngườ số dễ bị nhiễm virut định Một mô hình đơn giản dịch bệnh, giả sử suốt trình bệnh dịch tốc độ biến thiên theo thời gian số sinh viên mắc bệnh I tỷ lệ với số sinh viên mắc bệnh tỷ lệ với số sinh viên không mắc bệnh, 100  I Nếu thời điểm t  sinh viên bị mấc bệnh số sinh viên mắc bệnh thời điểm t cho phương trình 100e100 kt I 99  e100 kt 44 KẾT LUẬN Trên em trình bày xong toàn bọ khóa luận là: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN” Trong khóa luận nàyem trình bày số toán học, vật lý, hóa học,… dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân Tuy nhiên, trình nghiên cứu, thời gian kiến thức hạn chế nên em tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn khoa để khóa luận em hoàn thiện Qua em xin chân thành cảm thầy Trần Văn Bằng – giảng viên trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Thu Cơ sở phƣơng trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2007 Earl D Rainville – Phillip E Bedient – Richard E Bedient Elementary Differential Equation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 46 [...]... dẫn đến phương trình vi phân Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán như vậy A Một số ứng dụng trong vật lý 1 Vận tốc thoát khỏi trái đất Nhiều bài toán vật lý dẫn đến phương trình vi phân cấp một Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất và bị tác động chỉ bởi lực hấp dẫn của trái đất Giả sử vận tốc ban đầu theo hướng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt...  v0 Vi t lại (3.3) x ''  t   2 x '  t    2 x  t   F t  trong đó 2  kg bg và  2  w w 4 Dao động không tắt dần Xét phương trình vi phân (3.4) x ''  t   2 x '  t    2 x  t   F  t  17 (3.4) Nếu   0 thì phương trình vi phân trở thành x ''  t    2 x  t   F  t  Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng, trong đó  2  (4.1) kg w Nghiệm của phương trình. .. đạo đẳng giác của họ đường cong (12.1) như sau - Tìm phương trình vi phân của họ đường cong (12.1) dy k dy  dx - Trong phương trình vi phân tìm được thay bằng nếu   dy dx 2 1 k dx (tức là trường hợp tìm quỹ đạo đẳng giác) và thay  dy 1 bằng  nếu   dy dx 2 dx (tức là trường hợp tìm quỹ đạo trực giao) Giải phương trình vi phân thu được các quỹ đạo đẳng giác hoặc trực giao tương ứng Ví dụ Cho... lập phương trình vi phân của họ đường cong (12.1) Muốn vậy ta khử  từ hệ phương trình sau  F  x, y,    0   F F dy  0   x y dx Sau khi khử  ta đi đến hệ thức    x, y,  dy  0 dx  (12.3) Đây chính là phương trình vi phân của họ đường cong (12.1) Vì tại giao điểm của l và L toạ độ  x, y  và  X , Y  là như nhau nên từ (12.2) và (12.3) ta suy ra quỹ đạo đẳng giác L nghiệm đúng phương. .. hằng số đều dương Để đơn giản ta đặt b1C 2 1 và B  e M b1 Khi đó r Be 1  e cos (10.7) trong đó B và e là các hằng số dương Phương trình (10.7) là phương trình trong toạ độ cực của quỹ đạo hành tinh trong đó mặt trời là cực Đó cũng là phương trình chuẩn trong toạ độ cực của một hình nón với tiêu điểm là cực và đường chuẩn vuông góc với trục cực Số e được gọi là độ lệch tâm của nón Nếu quỹ đạo của. .. y   x  0 Tìm quỹ đạo cắt họ đường thẳng trên dưới một góc  không đổi Giải  Xét trường hợp    2 Lập phương trình vi phân của họ đường thẳng   y x  0    y '   0 32 Khử  ta được y'  y x Vậy phương trình vi phân của quỹ đạo phải tìm là dy k y dx  dy x 1 k dx  k  tan   hay dy kx  y  dx x  ky Nhân hai vế của phương trình trên với 1 ta được k  x  y2  2 1 xdy  ydx xdx... 1 Thay r , , tương ứng bởi r1 ,1 , ta suy ra phương trình vi phân của r1 r k r1 quỹ đạo đẳng giác là r1  1  k  r 1 F  r1 ,1 ,  r1  k  r1    0     r r1 1  Trường hợp   Khi đó tan   nên  và phương trình 2 tan 1 r r1  vi phân của quỹ đạo trực giao là  r12   F r1 ,1 ,   0  r1   Ví dụ Tìm quỹ đạo trực giao của họ Cardioid cho bởi phương trình r   1  cos...  Do đó phương trình vi phân của họ (12.6) là r sin  r 1  cos Theo công thức trên phương trình vi phân quỹ đạo trực giao là r2 r sin    1  cos r hay r 1  cos sin    r r sin  1  cos Giải phương trình này ta được họ quỹ đạo trực giao r  C 1  cos  1.2 BÀI TẬP 1 Tìm các quỹ đạo đẳng giác của họ đường cong a x2  y 2   2 (dưới 1 góc  ) b x2  ny 2  a ( n là hằng số) 2 Tìm... Giả sử ở một thời điểm ta có F  t   0 khi đó nếu    thì phương trình (6.2) đúng và chuyển động được gọi là dao động tắt dần Nếu    thì phương trình (6.3) có đúng và chuyển động được gọi là chuyển động tắt dần tới hạn Nếu    thì phương trình (6.4) đúng và chuyển động được gọi là quá ngưỡng tắt dần BÀI TẬP Bài 1 Một chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi phương trình vi phân d 2x... (10.5) vào (10.3) và đơn giản hoá ta được d 2u M u  2 2 d C (10.6) Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và nghiệm tổng quát của (10.6) là u  b1cos  b2 sin   M C2 Để đơn giản hoá phương trình cực cuối cùng của quỹ đạo ta chọn hướng của trục cực sao cho r là nhỏ nhất khi   0 Vì u là nghịch đảo của r nên u d 2u du  0 khi   0 Vì  0 và lớnnhất khi   0 Điều kiện là d ... trình vi phân Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân cấp 3 Phương trình cấp Phương trình vi phân toàn phần 5 Phương trình tuyến tính cấp 6 Phương trình tuyến tính với hệ số Phương trình. .. NIỆM Cấp phƣơng trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ d2y  dy   2   y  dx  dx  phương trình cấp 2 Phƣơng trình vi phân thƣờng Phương trình F  x,... y ', y  n    gọi phương trình vi phân thường cấp n B MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng trình tuyến tính Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính vi t dạng b0  x  dny